2024年新高考数学题型全归纳讲义第二十三讲圆锥曲线离心率归类(原卷版+解析)

这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第二十三讲圆锥曲线离心率归类(原卷版+解析)，共71页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc21801" 题型01离心率基础 PAGEREF _Tc21801 \h 1
\l "_Tc5991" 题型02第一定义求离心率 PAGEREF _Tc5991 \h 2
\l "_Tc7802" 题型03中点型求离心率 PAGEREF _Tc7802 \h 3
\l "_Tc8399" 题型04点差法型求离心率（第三定义型） PAGEREF _Tc8399 \h 4
\l "_Tc4181" 题型05渐近线型离心率 PAGEREF _Tc4181 \h 5
\l "_Tc26270" 题型06渐近线中点型求离心率 PAGEREF _Tc26270 \h 6
\l "_Tc7142" 题型07构造a、b、c齐次式型 PAGEREF _Tc7142 \h 7
\l "_Tc8088" 题型08焦半径型离心率 PAGEREF _Tc8088 \h 7
\l "_Tc1558" 题型09焦点三角形求离心率 PAGEREF _Tc1558 \h 8
\l "_Tc10573" 题型10双焦点三角形余弦定理型 PAGEREF _Tc10573 \h 9
\l "_Tc31037" 题型11焦点三角形双角度型 PAGEREF _Tc31037 \h 10
\l "_Tc25503" 题型12共焦点型椭圆双曲线离心率 PAGEREF _Tc25503 \h 11
\l "_Tc16663" 题型13借助均值不等式求共焦点型 PAGEREF _Tc16663 \h 12
\l "_Tc4423" 题型14焦点三角形内心型求离心率 PAGEREF _Tc4423 \h 13
\l "_Tc27548" 题型15焦点三角形重心型求离心率 PAGEREF _Tc27548 \h 14
\l "_Tc11746" 题型16小题大做型求离心率 PAGEREF _Tc11746 \h 15
\l "_Tc7538" 高考练场 PAGEREF _Tc7538 \h 16

题型01离心率基础
【解题攻略】
【典例1-1】.P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）双曲线的离心率用来表示，则（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数D．是常数
【变式1-1】（2023秋·高三课时练习）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【变式1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
题型02第一定义求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为___________.
【典例1-2】设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【变式1-1】.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】.已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为___________.
【变式1-3】.设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型03中点型求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021秋·福建厦门·高三福建省厦门集美中学校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（ ）
A．2B．C．D．
【变式1-1】（2022春·陕西安康·高三统考）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2．则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点，分别在其左、右两支上，且，为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022春·新疆·高三八一中学校考）设，分别为双曲线的左、右焦点．若为右支上的一点，且为线段的中点，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型04点差法型求离心率（第三定义型）
【解题攻略】
【典例1-1】已知点是椭圆上的两点，且线段恰好为圆的一条直径，为椭圆上与不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为____________．
【典例1-2】已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为_______
【变式1-1】（2023·四川雅安·统考三模）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2021秋·河南·高三校联考阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【变式1-3】（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
题型05渐近线型离心率
【典例1-1】（2021秋·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考阶段练习）经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与双曲线的左支有两个不同的交点，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试）已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【变式1-1】（2023秋·甘肃天水·高三校考）已知双曲线：的渐近线方程为：，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
.
题型06渐近线中点型求离心率
【典例1-1】（2021秋·陕西渭南·高三统考）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段的中点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
【典例1-2】（2023秋·河南安阳·高三校考）已知双曲线的左焦点为，右顶点为A，两条渐近线为.设关于的对称点为，且线段的中点恰好在上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022春·广西南宁·高三南宁二中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且，则双曲线C的离心率为（ ）．
A．2B．C．3D．4
【变式1-3】（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则说法错误的是（ ）
A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为
C．PM平分D．
题型07构造a、b、c齐次式型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，以线段AF为直径的圆M与双曲线的一条渐近线相交于B，D两点，且满足（O为坐标原点），若圆M的面积S满足，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2008·湖南·高考真题）若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型08焦半径型离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·高三课时练习）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】设是椭圆的右焦点，是椭圆的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【变式1-3】设，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为______.
题型09焦点三角形求离心率
【典例1-1】已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【典例1-2】已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】.已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图，椭圆的左右焦点分别是，点、是上的两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型10双焦点三角形余弦定理型
【解题攻略】
【典例1-1】椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为___________.
【典例1-2】已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且过右焦点，，若，则该椭圆离心率是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图所示，为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于B．D两点且，E为线段上靠近的四等分点．若对于线段上的任意点P，都有成立，则椭圆的离心率为________．
【变式1-2】已知椭圆的左焦点和右焦点，上顶点为，的中垂线交椭圆于点，若左焦点在线段上，则椭圆离心率为____．
【变式1-3】.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型11焦点三角形双角度型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校考）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且 ，则椭圆的离心率为 ．
【典例1-2】（2023·上海·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，且，则 ．
【变式1-1】（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【变式1-2】已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（ ）
A．B．
C．D．
题型12共焦点型椭圆双曲线离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线的焦点相同，记左、右焦点分别为，，椭圆和双曲线的离心率分别为，，设点为与在第一象限内的公共点，且满足，若，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【典例1-2】（2022秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知椭圆，双曲线，，为的焦点，为和的交点，若△的内切圆的圆心的横坐标为1，和的离心率之积为，则实数的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-1】（2023·高三课时练习）已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知分别是椭圆和双曲线的公共的左右焦点，是的离心率，若在第一象限内的交点为，且满足，则的关系是（ ）
A．B．C．D．
题型13借助均值不等式求共焦点型
【典例1-1】、已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值__________．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】．（2022秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考）已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．15
【变式1-3】（2022·高三课时练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型14焦点三角形内心型求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C的右支上运动，的内心为I，若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【典例1-2】．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（ ）
A．B．C．1D．
【变式1-2】（2022秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：
①当轴时，
②离心率
③
④点的横坐标为定值
上述结论正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．②③④
【变式1-3】（2023秋·高三课时练习）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型15焦点三角形重心型求离心率
【典例1-1】（2020·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径为，圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为．
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左顶点为A，若在双曲线的右支上存在两点M，N，使△AMN为等边三角形，且右焦点为△AMN的重心，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【变式1-3】（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型16小题大做型求离心率
【典例1-1】已知椭圆，若存在过点且互相垂直的直线，，使得，与椭圆C均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】如图，椭圆的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点.且，，，若，则离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】存在过椭圆左焦点的弦，使得，则椭圆C的离心率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【变式1-3】过原点的一条直线与椭圆=1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【市级联考】河南省洛阳市2018-2019学年高三第一学期考试数学试题（文）
高考练场
1..已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．
3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，过作以为圆心､为半径的圆的切线切点为.延长交的左支于点，若为线段的中点，且，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
4.（2021秋·江苏扬州·高三扬州大学附属中学校考）已知直线y=x-1与双曲线交于A、B两点，若线段AB的中点为M（2，1），则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．2C．D．
5.（2022春·新疆博尔塔拉·高三阶段练习）若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
6.（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
7.（2022·陕西·校联考模拟预测）已知双曲线左顶点为，左、右焦点分别为，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8.（2023·高三课时练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9.已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10..已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11.在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在椭圆上，___
12.（2021秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点是与的一个交点，满足.设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
13.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
14.（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左､右焦点，且，点P为双曲线右支上一点，M为的内心，若成立，则λ的值为（ ）
A．B．C．2D．
15.（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，直线垂直于且交线段于点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是______.
求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得，利用或求解；
（2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言
对于抛物线，则
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
焦点四边形具有中心对称性质。
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.
第二十三讲 圆锥曲线离心率归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc21801" 题型01离心率基础 PAGEREF _Tc21801 \h 1
\l "_Tc5991" 题型02第一定义求离心率 PAGEREF _Tc5991 \h 3
\l "_Tc7802" 题型03中点型求离心率 PAGEREF _Tc7802 \h 6
\l "_Tc8399" 题型04点差法型求离心率（第三定义型） PAGEREF _Tc8399 \h 9
\l "_Tc4181" 题型05渐近线型离心率 PAGEREF _Tc4181 \h 12
\l "_Tc26270" 题型06渐近线中点型求离心率 PAGEREF _Tc26270 \h 13
\l "_Tc7142" 题型07构造a、b、c齐次式型 PAGEREF _Tc7142 \h 17
\l "_Tc8088" 题型08焦半径型离心率 PAGEREF _Tc8088 \h 19
\l "_Tc1558" 题型09焦点三角形求离心率 PAGEREF _Tc1558 \h 21
\l "_Tc10573" 题型10双焦点三角形余弦定理型 PAGEREF _Tc10573 \h 23
\l "_Tc31037" 题型11焦点三角形双角度型 PAGEREF _Tc31037 \h 27
\l "_Tc25503" 题型12共焦点型椭圆双曲线离心率 PAGEREF _Tc25503 \h 30
\l "_Tc16663" 题型13借助均值不等式求共焦点型 PAGEREF _Tc16663 \h 32
\l "_Tc4423" 题型14焦点三角形内心型求离心率 PAGEREF _Tc4423 \h 35
\l "_Tc27548" 题型15焦点三角形重心型求离心率 PAGEREF _Tc27548 \h 39
\l "_Tc11746" 题型16小题大做型求离心率 PAGEREF _Tc11746 \h 41
\l "_Tc7538" 高考练场 PAGEREF _Tc7538 \h 45

题型01离心率基础
【解题攻略】
【典例1-1】.P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，求出，化简方程即得解.
【详解】
如图所示，，
由题得
所以.
故选：C
【典例1-2】（2021秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）双曲线的离心率用来表示，则（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数D．是常数
【答案】D
【分析】根据双曲线的渐近线为坐标轴，结合等轴双曲线的离心率为定值，即可求解.
【详解】由题意，双曲线的渐近线为轴和轴，即坐标轴，
其中坐标轴互相垂直，即该双曲线为等轴双曲线，
所以双曲线的离心率为，即（常数）.
故选：D.
【变式1-1】（2023秋·高三课时练习）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到，从而求出离心率.
【详解】依题意可得等轴双曲线中，则，
所以离心率.
故选：A
【变式1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据，且求得，再根据勾股定理列出关于 的方程，解出 即可
【详解】点椭圆上的点，

，且
在 中， 即 ，整理得：
即 故选：D
【变式1-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为的周长为18，所以，结合题意可得，代入离心率公式运算求解．
【详解】设焦距为．
因为的周长为18，所以，所以．
因为长半轴长为5，即
所以椭圆C的离心率为故选：B．
题型02第一定义求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据题意可得，结合，求得，，继而可求出，求得答案.
【详解】因为点A，B为C上关于原点对称的两点，故连接AB，则AB过原点O，
又因为， ，故，
又，所以，，取C的左焦点为 ，连接 ，则，
所以，所以，所以C的离心率为，故答案为：
【典例1-2】设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.
【变式1-1】.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值.
【详解】连接，由题知点A､关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得，所以，D正确.
故选：D
【变式1-2】.已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据题意可得，结合，求得，，继而可求出，求得答案.
【详解】因为点A，B为C上关于原点对称的两点，故连接AB，则AB过原点O，
又因为， ，故，
又，所以，，取C的左焦点为 ，连接 ，则，
所以，所以，所以C的离心率为，故答案为：
【变式1-3】.设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点在椭圆的内部，以及列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取值范围.
【详解】因为点在椭圆的内部，所以①，而②，，由①②得，即.所以.
因为，而，所以，即，由三角形的性质可得，因为是椭圆上的动点，且恒成立，所以，所以，即，所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：A
.
题型03中点型求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的中点为P，连接OP，，求出，，即得解.
【详解】设的中点为P，连接OP，，得，，所以，，在中，
由余弦定理得，
所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：B.
【典例1-2】（2021秋·福建厦门·高三福建省厦门集美中学校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据双曲线的定义得出，从而求出，在中利用余弦定理以及离心率的定义即可求解.
【详解】点为线段的中点，且，则, 设，则，
又为直角三角形，，即，
，，由双曲线的定义可得，，，，
，又，在中，由余弦定理可得
，，离心率.故选：A
【变式1-1】（2022春·陕西安康·高三统考）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合双曲线的性质和余弦定理,即可求解.
【详解】由双曲线的定义知，，∵，
∴，即，
∴，
在中，由余弦定理知，，∵，故选A．
【变式1-2】（2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点，分别在其左、右两支上，且，为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】若，，，由求得，进而可求、，在中有得到关于a、c的齐次方程，即可求离心率.
【详解】
由题意，若，，，
∴，即，得，
∵，得，
∴在中，，即，
∴.故选：A
【变式1-3】（2022春·新疆·高三八一中学校考）设，分别为双曲线的左、右焦点．若为右支上的一点，且为线段的中点，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，再由双曲线定义可得，在中，利用勾股定理可得，同除解方程即可求解.
【详解】由题意可得，由双曲线定义可得，
则，．在中，，又，，
整理可得，即，
解得或（舍去）．故选：B
题型04点差法型求离心率（第三定义型）
【解题攻略】
【典例1-1】已知点是椭圆上的两点，且线段恰好为圆的一条直径，为椭圆上与不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为____________．
湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高三下学期数学试题
【答案】
【分析】根据给定条件，设出点A，M的坐标，表示出点B的坐标，利用斜率坐标公式结合椭圆方程即可计算作答.
【详解】设，，依题意，，两式相减得，
因线段恰好为圆的一条直径，则，
于是得直线的斜率之积为，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：
【典例1-2】已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为_______
【答案】试题分析：直线与的交点为，点即为中点，设与的交点分别为，所以。将点代入椭圆方程，两式相减整理可得，即，由直线方程可知，所以，即。因为，所以，即， 。
【变式1-1】（2023·四川雅安·统考三模）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由离心率和点求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及的坐标，由点差法得到，结合中点坐标及斜率求得，
再利用焦点坐标，即可求解.
【详解】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线方程为，焦点为；
设椭圆方程为，则椭圆焦点为焦点为，故，设，则，
两式相减得，整理得，即，解得，故，椭圆方程为.故选：D.
【变式1-2】（2021秋·河南·高三校联考阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设，，，则，
两式相减得，所以.
因为，，所以.
因为，，
所以，，故.故选：C
【变式1-3】（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意故选：C
题型05渐近线型离心率
【典例1-1】（2021秋·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考阶段练习）经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与双曲线的左支有两个不同的交点，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】只需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，再利用双曲线中 关系以及离心率的范围即得.
【详解】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率即，
即，整理得，
即，
又双曲线故的范围是故选：B
【典例1-2】（2023春·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试）已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】将P点坐标代入渐近线方程，求出a与b的关系，再根据 求出离心率.
【详解】渐近线方程为： ，由于P点坐标在第二象限，选用 ，
将P点坐标代入得： ，又 ；
故选：D.
【变式1-1】（2023秋·甘肃天水·高三校考）已知双曲线：的渐近线方程为：，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程求出，从而根据求出离心率.
【详解】的渐近线方程为，
故，故双曲线的离心率为.
故选：A
【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即，从而求出离心率.
【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率，
所以双曲线离心率.
故选：D
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的几何性质可知：双曲线与没有公共点，则，即可求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，若双曲线（，）与直线无公共点，则应有，所以离心率，
故选：D
.
题型06渐近线中点型求离心率
【典例1-1】（2021秋·陕西渭南·高三统考）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段的中点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据三角形中位线得，又M是线段的中点，又可得，则可得渐近线的倾斜角为，从而求得的值，即可得双曲线离心率.
【详解】双曲线C：的渐近线方程为，

因为O是线段的中点，M是线段的中点，所以
又，所以，所以，
所以
所以渐近线的倾斜角为，则，又，
所以，则离心率.故选：C.
【典例1-2】（2023秋·河南安阳·高三校考）已知双曲线的左焦点为，右顶点为A，两条渐近线为.设关于的对称点为，且线段的中点恰好在上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法1：根据几何性质分析可得：，运算求解；方法2：根据点关于线对称求点，再求线段的中点，代入渐近线方程运算求解.
【详解】方法1：
如图，设为坐标原点，，直线与交于点，则，且为线段的中点，设线段中点为，则在上，∵，则，
设直线与轴的交点为，则为线段的中点，且轴，则，
∵，则，∴，即，整理得
设双曲线的离心率为，则，解得或（舍去）.
方法2：由题意可得：，不妨设直线，，则，解得，即，设线段中点为，点，则，
将点坐标代入方程得，整理得，
设双曲线的离心率为，则，解得或（舍去）.故选：C.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出切线方程，与椭圆方程联立后利用根的判别式求出，求出切线方程，从而得到M点坐标，再联立渐近线得到N，Q的横坐标，利用中点得到方程，求出，从而求出离心率.
【详解】由题意得：渐近线方程为，设切线方程为，联立得：
，由得：，
解得：，所以切线方程为，令得：，所以，联立与，解得：，联立与，解得：，因为N为MQ的中点，
所以，解得：，所以离心率为故选：A
【变式1-2】（2022春·广西南宁·高三南宁二中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且，则双曲线C的离心率为（ ）．
A．2B．C．3D．4
【答案】A
【分析】因为，且，可得，再结合双曲线的知识可得，利用几何知识可得为等边三角形，，进而求．
【详解】记M为双曲线的渐近线上的点，因为，且，
所以，．所以．因为右焦点到渐近线的距离，所以．所以，所以，
所以≌，所以，又因为，．
所以为等边三角形，所以，所以，即，
所以．故选：A．
【变式1-3】（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则说法错误的是（ ）
A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为
C．PM平分D．
【答案】B
【分析】由题设及双曲线性质可得且，即可判断A、B；根据角平分线性质只需判断、是否相等判断C；利用向量线性运算的几何意义，用表示即可判断D.
【详解】由题设，且，又，所以，而，故，
由，则，，故，所以C的离心率为2，A正确；
由上可得，故C的渐近线方程为，B错误；
由，则，故，
而M为OA的中点，则，，故，
由角平分线性质易知：PM平分，C正确；
，D正确.故选：B
题型07构造a、b、c齐次式型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，根据列式，根据的取值范围求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围.
【详解】依题意可知在第一象限，在第二象限，
到渐近线的距离为，
即，设，则，，
由得，
故，，
.
故选:C
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y，由k＝1得到，即．由k＝3得到，即，再求离心率的范围．
【详解】双曲线右焦点为，设过右焦点的直线为，
与双曲线方程联立消去y可得到：，
由题意可知，当k＝1时，此方程有两个不相等的异号实根，
∴，得0＜a＜b，即；
当k=3时，此方程有两个不相等的同号实根，∴，得0＜b＜3a，；
又，∴离心率的取值范围为．故选：C.
【变式1-1】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，以线段AF为直径的圆M与双曲线的一条渐近线相交于B，D两点，且满足（O为坐标原点），若圆M的面积S满足，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由结合圆的相交弦定理得，由圆M的面积S满足，即可求出双曲线C的离心率e的取值范围.
【详解】设双曲线C的半焦距为c，∵，∴.
由圆的相交弦定理知，.
又圆M的半径，∴，
∴，∴，∴，
∴.又，∴，∴.故选:B.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】设，
利用向量加法法则知，则
即，
故①，
设，
则，
②，
由①②得，即，
又，所以，即，即
所以双曲线离心率的值大于3，故选：D
【变式1-3】（2008·湖南·高考真题）若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题设条件可得基本量的关系，从而可求离心率.
【详解】根据双曲线的第二定义，双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离为，而该点到左准线的距离为．故由条件知．整理得．
综合，解得． 故选：B
题型08焦半径型离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·高三课时练习）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.
【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义
在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，
因为点在双曲线右支上，所以，所以，得，由双曲线的性质可得，所以，化简得，所以，解得，
因为，所以，即双曲线离心率的取值范围为，故选：C
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理得，，可得在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，根据在双曲线右支上，得关于的不等式，从而求出的范围
【详解】解：由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，
在中，由正弦定理得，又，∴，即，
∵在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，∴，即，
由双曲线的几何性质，知，∴，即，
∴，解得，又，双曲线离心率的范围是．故选：C．
【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为，最小值为，可求出，即可计算出离心率
【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率，
故选：A.
【变式1-2】设是椭圆的右焦点，是椭圆的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B【详解】如图，设直线与轴的交点为，因为由椭圆性质可知，，由题意可知解得，故选B.
【变式1-3】设，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为______.
【答案】
【分析】由题设易知，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围.
【详解】由题设，，则，而，
所以.故答案为：.
题型09焦点三角形求离心率
【典例1-1】已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆的上顶点为A,问题转化为的面积大于解不等式即可.
【详解】由题知a=2,b=设椭圆的右顶点为A(,0),的面积为,
∴的面积的最大值时为><3, ∴, ∴
故选A.
【典例1-2】已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆定义得到，由得到，由勾股定理得到，两式结合求出，结合得到，求出离心率.
【详解】由题意得：，则，
由椭圆定义可知：，
所以，即，所以，
又，所以，即
故E的离心率为.故选：C.
【变式1-1】.已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.
【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接.
根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形.
由椭圆的定义有：
由余弦定理有：
即
所以
当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.
所以等号不能成立,即即，所以故选：A
【变式1-2】如图，椭圆的左右焦点分别是，点、是上的两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延长交椭圆于点，在和两个直角三角形中结合勾股定理和椭圆的几何性质建立等量关系求解.
【详解】延长交椭圆于点，得，，
设，则，据椭圆的定义有，，在中，，
在中，．故选：A
【变式1-3】已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知四边形为平行四边形，设，进而得，
根据四边形面积求出点M的坐标，再代入椭圆方程得出关于e的方程，解方程即可.
【详解】如图，不妨设点在第一象限，
由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，设点，由，得，
因为四边形的面积为，所以，得，
由，得，解得，所以，即点，代入椭圆方程，
得，整理得，由，得，
解得，由，得.故选：A
题型10双焦点三角形余弦定理型
【解题攻略】
【典例1-1】椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】设椭圆，设，运用椭圆的定义，可得，，即有，取的中点，连接，则，由勾股定理可得a,c的另一关系式，联立解得，，运用离心率公式计算即可得到答案．
【详解】设椭圆， ，，，如图示：
设，则，由椭圆的定义可得，
，即有，即，①取的中点，连接，则 ，
由,则，由勾股定理可得，
即为，②由①②解得，，则离心率，故答案为：
【典例1-2】已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且过右焦点，，若，则该椭圆离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意不妨设，则，根据椭圆的定义可求得，从而可求得，即可得解.
【详解】解：根据题意可得如图椭圆，是直角三角形，，
不妨设，则，因为，所以，
，所以离心率．
故选：A．
【变式1-1】如图所示，为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于B．D两点且，E为线段上靠近的四等分点．若对于线段上的任意点P，都有成立，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【分析】取的中点Q，连EQ．PQ．根据向量的加法和减法转化，
同理，等价于，由点的任意性判断，得到，根据几何关系和椭圆定义得到边长，根据余弦定理建立方程求椭圆的离心率.
【详解】解：取的中点Q，连EQ．PQ．，
同理，恒成立等价于，因为点是线段上的任意一点，故，得到，设，则，，
由，得，，，在中，，
在中，又所以，解得．
故答案为：
【变式1-2】已知椭圆的左焦点和右焦点，上顶点为，的中垂线交椭圆于点，若左焦点在线段上，则椭圆离心率为____．
【答案】【详解】如图，设，由椭圆的定义可得．
∵的中垂线交椭圆于点，∴，∴．又，
∴，解得，∴．
在中，，∴．
在中，由余弦定理得，∴，
∴，∴，即椭圆的离心率为．故答案为：．
【变式1-3】.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根据，得到方程，解得.
【详解】解：，，
在和中利用余弦定理可得
。
即
化简可得同除得：解得或（舍去）故选：
题型11焦点三角形双角度型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校考）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且 ，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】由题意得到，即，进而求得，结合，得到，即可求得椭圆的离心率．
【详解】因为，，则，所以，
且，所以，
又由，即，即，
所以．故答案为：．
【典例1-2】（2023·上海·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，且，则 ．
【答案】.
【分析】根据正弦定理和已知条件可得，结合椭圆的定义可得，再根据即可求解.
【详解】由正弦定理得，又，所以，所以，
所以，所以，所以，
因为(不等式两边不能取等号，否则题目中分式的分母为0，无意义)，
所以，即，所以，即解得，
所以.故答案为: .
【变式1-1】（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设，可得，.然后根据正弦定理可求出，.根据椭圆的定义可推得，，化简整理可得，.求出，令，构造函数，根据函数的单调性，即可得出答案.
【详解】设，则，.由正弦定理可得，，
所以，.根据椭圆的定义可知，，所以有，
所以有.
因为，，所以，令，则，设，
则函数在上单调递增.又，，
所以，，即.故答案为：.
【变式1-2】已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率.
【详解】由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.故选：B
【变式1-3】设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，利用正弦定理，求得与的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案.
【详解】设，
在中，由正弦定理得，
可得，
又由，所以，
所以
.故选：B.
题型12共焦点型椭圆双曲线离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线的焦点相同，记左、右焦点分别为，，椭圆和双曲线的离心率分别为，，设点为与在第一象限内的公共点，且满足，若，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，(分别为椭圆的长半轴长及双曲线的实半轴长)，从而得，再代入中，求解即可.
【详解】设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，半焦距为，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为，半焦距为，
则有，
又因为点为与在第一象限内的公共点，且满足，所以且，
由椭圆的定义可得，所以，
由双曲线的定义可得，所以，所以所以，又因为，解得(舍)或，故选：A.
【典例1-2】（2022秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知椭圆，双曲线，，为的焦点，为和的交点，若△的内切圆的圆心的横坐标为1，和的离心率之积为，则实数的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】设 的内切圆的圆心为，且与，，的切点为，，，由切线长相等，以及双曲线的定义，可得内切圆的圆心横坐标为，运用离心率公式，可得．
【详解】
不妨设点P在第一象限，设 的内切圆的圆心为，且与，，的切点为，，，
可得， ，
由双曲线的定义可得 ，即有 ，
又 ，可得 ，可得内切圆的圆心的横坐标为，
和的离心率之积为，可得 解得，
故选：
【变式1-1】（2023·高三课时练习）已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果.
【详解】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形，则．
由点P在第一象限，知，即，即，
即．故选：B
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由结合外角定理可得，然后可得，
再结合椭圆和双曲线定义、勾股定理列式整理可得.
【详解】因为，
所以，所以
所以，
记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，则由椭圆和双曲线定义可得：…①…②①2+②2可得
由勾股定理知，，代入上式可得
整理得，即所以故选：D
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知分别是椭圆和双曲线的公共的左右焦点，是的离心率，若在第一象限内的交点为，且满足，则的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先确定，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，所以，
所以.故选：A.
题型13借助均值不等式求共焦点型
【典例1-1】、已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值__________．
【答案】
【解析】由题意，可设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，由椭圆和双曲线的定义可知， ，则， ，又，由余弦定理可得，整理得，即， 则，所以.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，，根据，利用余弦定理得到，进而得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．
因为，
所以，
即．
∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．
故选：A．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义和双曲线的定义，以及余弦定理列方程，转化为离心率的形式，并用基本不等式求得最小值.
【详解】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点在第一象限，那么，半焦距为，
根据椭圆与双曲线的定义有：，，
解得，，
在中，由余弦定理，可得：，
整理得，
所以，
∴，
当且仅当取等号.
故选：D.
【变式1-2】．（2022秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考）已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．15
【答案】C
【分析】利用椭圆、双曲线的定义，确定，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论．
【详解】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令在双曲线的右支上
由双曲线的定义①，
由椭圆的定义②，
又，即，所以，即，
故③，
①②得④，
将④代入③得，
，
当且仅当，即时取等号；
故选：C
【变式1-3】（2022·高三课时练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，取椭圆与双曲线在一象限的交点为，由已知条件结合椭圆双曲线的定义推出，可得，再利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，
取椭圆与双曲线在一象限的交点为，由椭圆和双曲线定义分别有，，
因为，所以，③因为，
所以，④所以，即，
所以，即，则
当且仅当即，时等号成立，所以最小值为，故选：B.
题型14焦点三角形内心型求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C的右支上运动，的内心为I，若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】首先设双曲线的右顶点为A，的内切圆I与、、分别相切于点P、Q、N，根据双曲线的概念得到，从而得到A与N重合，再结合题意得到，即可得到答案.
【详解】设双曲线的右顶点为A，的内切圆I与、、分别
相切于点P、Q、N，如图所示：
.
所以，，，
则，
而，所以，即A与N重合，
即内切圆I与相切于点A，所以，又，所以A为的中点，
所以，故.故选：A.
【典例1-2】．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长到且，延长到且，结合向量的线性关系知是△的重心，根据重心和内心的性质，进而得到，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】如下图示，延长到且，延长到且，
所以，即，
故是△的重心，即，又，
所以，而是的内心，则，
由，则，故，即.
故选：D
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】设出内切圆的半径，表示出，由得，结合双曲线的定义及离心率即可求解.
【详解】
设内切圆的半径为，则，
由可得，化简得，
又，故.故选：D.
【变式1-2】（2022秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：
①当轴时，
②离心率
③
④点的横坐标为定值
上述结论正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．②③④
【答案】D
【解析】当轴时，求出，判定①不正确；通过求解离心率，可判定②正确；设的内切圆半径为，利用面积公式求得，可判定③正确；设内切圆与,的切点分别为，结合双曲线的定义，求得的横坐标，可判定④正确.
【详解】当轴时，可得，此时，所以①不正确；
因为，所以，整理得，
可得（其中为双曲线的离心率，），所以，所以②正确；
设的内切圆半径为，
由双曲线的定义可得，
其中，
因为，所以，
解得，所以③正确；
设内切圆与,的切点分别为，
可得，
因为，
可得，则点的坐标为，
所以点横坐标为，所以④正确.
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·高三课时练习）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，，可得，可以将，转换为，结合双曲线的定义以及即可求解.
【详解】如图所示：

由题意为内心，
设，，，内切圆半径为，
所以，又因为，
即，
化简得，
由双曲线定义可知，因此有；
注意到，且以及，
联立并化简得，即 ，
解得或（舍去，因为）故选：C
题型15焦点三角形重心型求离心率
【典例1-1】（2020·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据，得到，，然后由等面积法由，结合，解得，再利用距离公式得到，进而得到A的坐标，代入双曲线方程求解即可.
【详解】如图所示：因为，所以，所以，，所以，又，解得，
设，，所以，.
所以，解得，所以，代入双曲线方程得：，
解得，所以.故选：C
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，由平行于轴得则所以的面积
又
由焦半径公式，因此代入椭圆方程得
故选C．
【变式1-1】（2022春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径为，圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，可得，则，由，结合双曲线的定义可求得，代入椭圆方程中化简可求出离心率
【详解】由轴得：，则，所以，
又，得，由，得
，化简得，因此，代入椭圆方程得，
化简得，所以离心率.故选：C
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左顶点为A，若在双曲线的右支上存在两点M，N，使△AMN为等边三角形，且右焦点为△AMN的重心，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】设双曲线的右焦点为，左焦点为，由重心性质可求，根据双曲线定义求，
在中由余弦定理列方程可得关系，由此可求离心率.
【详解】设双曲线的右焦点为，左焦点为，如图，连接MF，．
由△AMN为等边三角形，F为△AMN的重心，得．
由图形的对称性可知，．又因为△AMF是等腰三角形，所以．
在中，由余弦定理得，
即，整理得，即，
由于，，则，所以，故双曲线的离心率，故选：C．
【变式1-3】（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依次求出点、的坐标，然后由点在双曲线上可建立方程求解.
【详解】不妨设在，令，则有，
解得，所以，，
因为点在双曲线上，所以，解得，故选：B.
题型16小题大做型求离心率
【典例1-1】已知椭圆，若存在过点且互相垂直的直线，，使得，与椭圆C均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断l1，l2中一条斜率不存在和另一条斜率为0，两直线中有一条与椭圆相交，当两直线斜率存在且不为0时，可设，联立椭圆方程，由于判别式小于0，以及求根公式，结合两直线垂直的条件，可将换为，解不等式，考虑不等式有解，可得m的范围，即可得到所求离心率的范围．
【详解】椭圆，
过点A（3，1）的直线l1，l2中一条斜率不存在和另一条斜率为0时，斜率为0的直线与椭圆相交，当两直线的斜率存在且不为0时，设，即，
联立椭圆方程可得，
由直线和椭圆无交点，可得，
化简得，解得或；
由两直线垂直的条件，可将换为，即有，化为，
解得．由题意可得，可得；
同样，解得．则．故选：C．
【典例1-2】如图，椭圆的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点.且，，，若，则离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题设条件求出，从而得到一个关于直线的斜率恒成立的不等式，故可得关于基本量的不等式，据此可求离心率的范围.
【详解】因为点P是上第一象限内任意一点，故为锐角，所以，
设直线的斜率为，则.
由可得，故，
所以，
因为，故，所以，
解得，因为对任意的恒成立，
故，整理得到对任意的恒成立，
故即即.故选：B.
【变式1-1】存在过椭圆左焦点的弦，使得，则椭圆C的离心率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当轴，即，结合即可求得离心率，②当不垂直于轴时，设的方程为：，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出和，即可求得弦长，设直线的倾斜角为，化简得到，进一步可得，利用的范围，即可取得离心率的最小值.
【详解】①当轴时，有，得，所以，又因为 ，
所以，即，所以离心率，
②当不垂直于轴时，，设的方程为：，
代入得，
设，，则，，
由弦长公式知：
，
化简得：
，
设直线的倾斜角为，则，
所以，
又因为 ，所以，即，
即，所以，所以，
因为，所以，又由，所以，
综上所述：离心率的最小值是，故选：D
当不垂直于轴时，，设的方程为：，与椭圆方程联立，设直线的倾斜角为，则，令其等于，即可得关于的齐次式利用的范围即可求出离心率的范围，进而可求得最小值.
【变式1-2】已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.
【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.
【变式1-3】过原点的一条直线与椭圆=1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以AB为直径的圆的圆周角∠ABF2∈[]，故圆心角，所以当斜率存在时，斜率，然后将斜率转化为的关系式，求解离心率的取值范围；当斜率不存在时，易得，易解离心率的值，综上便可得出答案．
【详解】解：当过原点的直线斜率不存在时，因为以AB为直径的圆经过右焦点，所以有，此时；
当过原点的直线斜率存在时，设过原点的直线为，，因为∠ABF2∈[]
所以圆心角，所以，即，直线与椭圆联立方程组，解得，因为以AB为直径的圆经过右焦点，所以，以AB为直径的圆方程为，
所以有，即，
故，即，所以，解得
故得到综上：，故选B
高考练场
1..已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据题意得到，根据得到，再计算离心率即可.
【详解】由题知：，因为，
所以，整理得，所以，得，.故选：A
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．
【答案】【详解】因为关于的对称点在椭圆上，则，，
为正三角形，，又，
所以轴，设，则，即，故答案为.
3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，过作以为圆心､为半径的圆的切线切点为.延长交的左支于点，若为线段的中点，且，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知把，用，表示，再由勾股定理求得，然后结合列式求解双曲线的离心率.
【详解】解：由题意，得，，
，，
，
解得.故选：C.
4.（2021秋·江苏扬州·高三扬州大学附属中学校考）已知直线y=x-1与双曲线交于A、B两点，若线段AB的中点为M（2，1），则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合点差法，以及双曲线离心率的求法，即可求解.
【详解】根据题意，设，，则，，
由，相减得，即，
因为，所以，即，故离心率.
故选：C.
5.（2022春·新疆博尔塔拉·高三阶段练习）若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据题意得到渐近线方程的斜率，从而得到，求出离心率.
【详解】由题意得：渐近线方程的斜率为，
又渐近线方程为，所以，
所以C的离心率为故选：D
6.（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】由题意可得为直角三角形，再结合A为线段的中点，可得AO垂直平分，可表示出直线，再联立渐近线方程可以得到，，的关系，进而得到双曲线离心率
【详解】由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，
A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，
，为的中点，
，又A为线段BF1的中点，垂直平分，
可设直线为①，直线为②，直线为③，
由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得，
，所以双曲线C的离心率，
故选：B
7.（2022·陕西·校联考模拟预测）已知双曲线左顶点为，左、右焦点分别为，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得两点的坐标，利用向量夹角公式列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】以为直径的圆的方程为，双曲线的一条渐近线方程为，
由解得（不妨设），，所以，
所以，，
，
所以双曲线的离心率.故选：B
8.（2023·高三课时练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，根据双曲线的定义，再利用基本不等式求出的最小值，从而得到，即可求出离心率的取值范围.
【详解】解：设，则，由双曲线的定义知，
∴，，当且仅当，即时，等号成立，
∴当的最小值为时，，，此时，解得，又，∴．
故选：C．
9.已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.
【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，
因为，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的离心率.
故选：C
10..已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意及椭圆的定义，可求得、的长，根据三角函数定义，求得根据余弦定理，可求得，根据两角的关系，列出方程，代入离心率公式，即可得答案.
【详解】由题意得，所以，则，
由椭圆的定义可得，所以，因为，
所以，解得，，在中，，
在中，，因为，
所以，即，所以所以.故选：C
11.在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在椭圆上，___
【答案】【解析】由题意椭圆中． 故是椭圆的两个焦点， ，由正弦定理得
12.（2021秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点是与的一个交点，满足.设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】判断出三角形为直角三角形，结合椭圆、双曲线的定义列方程，化简求得.
【详解】依题意椭圆和双曲线有相同的焦点，，点是与的一个交点，不妨设在第一象限.
由于，所以三角形为直角三角形.设椭圆长半轴为，设双曲线实半轴为，
则根据椭圆、双曲线的定义可知：，，，
.故选：B
13.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用椭圆和双曲线的定义把，用长半轴长和实半轴长表示，再用余弦定理求得与的关系，从而得的等式，结合已知可求得．
【详解】设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点为，不妨设在第一象限，
则，解得，
中由余弦定理得，即，
所以，
，，又，，所以，
，所以．故选：B．
14.（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左､右焦点，且，点P为双曲线右支上一点，M为的内心，若成立，则λ的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据，可得，从而可求得离心率，设的内切圆半径为，根据，可得，再根据双曲线的定义即可得解.
【详解】因为，所以，即，所以，所以离心率，设的内切圆半径为，则，又，
所以，即，所以，
所以.故选：B.
15.（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由重心坐标求得I的坐标，再利用圆的切线长定理和双曲线的定义得到G的坐标，再根据与轴平行，由求解.
【详解】解：如图所示：由题意得：，则，
由圆的切线长定理和双曲线的定义得，所以，则，因为与轴平行，
所以，即，则，即，解得，故选：B
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，直线垂直于且交线段于点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【分析】设，，又，，运用向量共线的坐标表示，可得的坐标，再由向量垂直的条件：数量积为0，由的坐标满足椭圆方程，化简整理可得的方程，求得，由，解不等式结合离心率公式即可得到范围．
【详解】解：设，，又，，，，可得，，，可得，，又，，，由，
可得，化为，由在椭圆上，可得，即有，
可得，化为，解得，或（舍去），
由，可得，即有，又，可得，该椭圆的离心率的取值范围是，
故答案为：，．
求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得，利用或求解；
（2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言
对于抛物线，则
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
焦点四边形具有中心对称性质。
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.