还剩47页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2024年新高考数学题型全归纳讲义第九讲三角函数图像与性质(原卷版+解析)
展开
这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第九讲三角函数图像与性质(原卷版+解析)，共50页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22736" 题型01三角函数单调性 PAGEREF _Tc22736 \h 1
\l "_Tc19078" 题型02 求周期 PAGEREF _Tc19078 \h 2
\l "_Tc11553" 题型03 非同名函数平移 PAGEREF _Tc11553 \h 3
\l "_Tc22024" 题型04 对称轴最值应用 PAGEREF _Tc22024 \h 4
\l "_Tc16732" 题型05 对称中心最值应用 PAGEREF _Tc16732 \h 5
\l "_Tc1210" 题型06 辅助角最值 PAGEREF _Tc1210 \h 6
\l "_Tc17473" 题型07 正余弦换元型最值 PAGEREF _Tc17473 \h 7
\l "_Tc23483" 题型08 一元二次型换元最值 PAGEREF _Tc23483 \h 8
\l "_Tc31308" 题型09 分式型最值 PAGEREF _Tc31308 \h 8
\l "_Tc31241" 题型10 最值型综合 PAGEREF _Tc31241 \h 9
\l "_Tc2355" 题型11 恒等变形：求角 PAGEREF _Tc2355 \h 9
\l "_Tc3720" 题型12恒等变形：拆角求值（分式型） PAGEREF _Tc3720 \h 10
\l "_Tc3133" 题型13 恒等变形：拆角求值（复合型） PAGEREF _Tc3133 \h 11
\l "_Tc14193" 题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶） PAGEREF _Tc14193 \h 11
\l "_Tc8334" 高考练场 PAGEREF _Tc8334 \h 12
热点题型归纳
题型01三角函数单调性
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知函数，则f（x）（ ）
A．在（0，）单调递减B．在（0，π）单调递增
C．在（—，0）单调递减D．在（—，0）单调递增
【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型02 求周期
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数，则的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关
【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C．D．
【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（ ）
A．①③B．①④
C．③④D．②③
题型03 非同名函数平移
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度
【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平栘个单位
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
题型04 对称轴最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．
【变式1-1】已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是
A． B． C． D．
题型05 对称中心最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（ ）
A．
B．是函数图象的一条对称轴
C．时，函数单调递增
D．的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是
【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：
（1）；
（2）它的图象关于直线对称；
（3）它的图象关于点对称；
（4）若，则；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．6
【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型06 辅助角最值
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.
【变式1-1】.已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当时，函数取到最大值，则是（ ）
A．奇函数，在时取到最小值；B．偶函数，在时取到最小值；
C．奇函数，在时取到最小值；D．偶函数，在时取到最小值；
【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
题型07 正余弦换元型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数，则的值域为 ．
【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数的值域为 ．
【变式1-1】已知函数，则的最大值为___________.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数fx=asinx+csx−sinxcsx−ax∈R的最大值为92，则a的值为____________.
题型08 一元二次型换元最值
【典例1-1】（2022·高三单元测试）若，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023下·上海长宁·高三统考）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ．
【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）已知函数，则 ；的最大值为
【变式1-3】（2021·江西·校联考模拟预测）函数的最大值为 .
题型09 分式型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数的最大值是 ，最小值为 ．
【典例1-2】（2023上·新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数的值域为
【变式1-1】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数的值域为 .
【变式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数的值域为 ．
【变式1-3】函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型10 最值型综合
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）已知，为锐角，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知锐角满足，则的最小值为____．
【变式1-1】若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·山东·高三开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式1-3】已知函数 的图象过点（0， ），最小正周期为 ，且最小值为－1.若 ，的值域是 ，则m的取值范围是_____.
题型11 恒等变形：求角
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于（ ）
A．30°B．45°C．120°D．60°
【典例1-2】（2023上·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知且，则=（ ）
A． B． C． D．或
【变式1-1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型12恒等变形：拆角求值（分式型）
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·广西·统考一模）＝ （ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022上·云南昆明·高三东川明月中学校考）若，则的值为（ ）
A．1B．4C．D．2
【变式1-1】（2023·四川资阳·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-2】（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（ ）
A．B．1C．D．2
【变式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求的值（ ）
A．1B．3C．D．
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三统考）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·陕西渭南·高三统考）已知,都是锐角,,,则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若均为锐角且，则
【变式1-2】（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知，且，则 ．
【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）若，，，，则 .
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023下·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．-2
【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
高考练场
1.（2023·江西九江·统考二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．周期为π，在上单调递减
B．周期为，在上单调递减
C．周期为π，在上单调递增
D．周期为，在上单调递增
2.（2023下·江西九江·高三校考）函数的周期不可能为（ ）
A．B．C．D．
3.（2021秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移个单位长度
4.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)−g(x2)|=2的x1、x2有|x1−x2|min=π3，则φ=______．
5.（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6.（2022·河南河南·模拟预测（理））已知函数在处取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
7.（福建省2021届高三毕业班总复习数学试题）已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为_________.
8.（2021下·高三课时练习）函数，的值域为______.
9.（学海导航全国卷大联考2021届高三数学（理）试题）已知函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10.（2021·全国·高三专题练习）设，均为锐角，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．6D．
11.．（2023下·安徽亳州·高三亳州二中校考）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
12.（2022上·辽宁·高三校联考开学考试）化简（ ）
A．B．C．2D．
13.（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考）已知角，且，，则（ ）
A．B．C．D．2
14.（2023上·上海奉贤·高三校考）若是第三象限角，且，则等于 .
A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用
参数
作用
A
A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
φ
φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
ω
ω决定了函数的周期T＝.
（2）图象的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到．
求周期方法
直接法：
形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acs（ωx＋φ）函数的周期T＝.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝
观察法：
形如 等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有周期，以及最小正周期的值
3.恒等变形转化法。
4.定义证明法
平移变换：
1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；
2.正到余，余到正：
方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；
方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重点）
正余弦对称轴：
最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值
正余弦对称中心：
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标
对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0
辅助角范围满足：
与在同一函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围．
之间的互化关系
1.
2.
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
求复合型角，
以给了函数值的角度为基角来拆角。
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
第九讲 三角函数图像与性质
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22736" 题型01三角函数单调性 PAGEREF _Tc22736 \h 1
\l "_Tc19078" 题型02 求周期 PAGEREF _Tc19078 \h 3
\l "_Tc11553" 题型03 非同名函数平移 PAGEREF _Tc11553 \h 6
\l "_Tc22024" 题型04 对称轴最值应用 PAGEREF _Tc22024 \h 8
\l "_Tc16732" 题型05 对称中心最值应用 PAGEREF _Tc16732 \h 11
\l "_Tc1210" 题型06 辅助角最值 PAGEREF _Tc1210 \h 14
\l "_Tc17473" 题型07 正余弦换元型最值 PAGEREF _Tc17473 \h 17
\l "_Tc23483" 题型08 一元二次型换元最值 PAGEREF _Tc23483 \h 20
\l "_Tc31308" 题型09 分式型最值 PAGEREF _Tc31308 \h 21
\l "_Tc31241" 题型10 最值型综合 PAGEREF _Tc31241 \h 23
\l "_Tc2355" 题型11 恒等变形：求角 PAGEREF _Tc2355 \h 25
\l "_Tc3720" 题型12恒等变形：拆角求值（分式型） PAGEREF _Tc3720 \h 27
\l "_Tc3133" 题型13 恒等变形：拆角求值（复合型） PAGEREF _Tc3133 \h 29
\l "_Tc14193" 题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶） PAGEREF _Tc14193 \h 31
\l "_Tc8334" 高考练场 PAGEREF _Tc8334 \h 33
热点题型归纳
题型01三角函数单调性
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【详解】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，
所以从递减到，从递减到，A错误；
当从增加到时，从递减到，从1递减到，
所以从递增到，从递减到，B错误；
当从增加到时，从递减到，从递减到，
所以从递增到，从递减到，C错误；
当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，
所以从递增到，从递增到，D正确；
故选：D
【典例1-2】已知函数，则f（x）（ ）
A．在（0，）单调递减B．在（0，π）单调递增
C．在（—，0）单调递减D．在（—，0）单调递增
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简得到，再将选项代入检验，求出正确答案.
【详解】，
故当时，，所以不单调，AB错误；
当时，，在上单调递增，
故D正确故选：D
【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】设，即，，单调递增，取单调增的部分，
所以可得：，即，
解得： 答案：A.
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式结合辅助角公式化简可得的表达式，求出其单调增区间，结合选项，即可判断出答案.
【详解】∵，
令，则，
即的单调递增区间为，当时，，
∴函数在区间上单调递增.故选：A
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数区间上单调递增，
则令，，解得，，
结合是区间，所以，解得.
“”是“”的充分不必要条件,故选：A.
.
题型02 求周期
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数，则的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数这一结论，解答即可.
【详解】，
对于，其最小正周期为，对于，其最小正周期为，
所以对于任意，的最小正周期都为，
对于，其最小正周期为，
故当时，，其最小正周期为；
当时，，其最小正周期为，
所以的最小正周期与无关，但与有关.
故选：D.
【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.
【详解】画出函数的图象如图所示：
由图可知函数的最小正周期为，满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；综上所述，满足题意的函数的个数有1个.故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】确定和，为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项B：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项C：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项D：，函数定义域为，
，函数为奇函数，，满足条件；
故选：D.
【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.
【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则有周期，若不为有理数，则无周期.
的周期为，的周期为，则当时，只有周期的整数倍才是函数的周期，则不是充分条件；
若，，
则为周期函数，但，为周期函数不正确，故不是必要条件；因此为不充分不必要条件.故选：D
【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（ ）
A．①③B．①④
C．③④D．②③
【答案】D
【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得.
【详解】①由余弦函数的奇偶性可知，，最小值周期为；
②由翻折变换可知，函数的图象如图：
由图知的最小值周期为；
③由周期公式得，所以的最小值周期为；
④的最小值周期为.
故选：D
题型03 非同名函数平移
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】B
【解析】根据，可判断.
【详解】，
所以先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到的图象.
故选：B.
【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度
【答案】C
【分析】把化成可得平移的发现及其长度.
【详解】因为，
所以要得到函数的图象，
只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度.
故选：C.
【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平栘个单位
【答案】C
【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】解：要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位即可，
故选：C．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】先得到，再利用平移变换求解.
【详解】解：因为，
将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象.A，B，C都不满足.故选：D
【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【答案】C
【分析】根据诱导公式，即可得到平移方法.
【详解】函数，
，
所以为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象向左平移个单位.
故选：C
题型04 对称轴最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高三上学期数学试题
【答案】B
【分析】
结合三角恒等变换求得的最大值和最小值，并求得的最小值.
【详解】
，
当时取得最大值为.
当时取得最小值为.
依题意，存在实数，使得对任意实数，总有成立，
，
，
是整数，为奇数，所以的最小值为.
故选：B
【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．
【答案】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得，，再利用三角函数对称性列方程求解即可．
【详解】
设，则，，
，则，，
∴，即，
∴，，
又是的一条对称轴，
∴ ，即.故答案为
【变式1-1】已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值.
【详解】
．将图象向右平移至个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，
所以，，
∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时，，
根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即
故选：C.
【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.
【详解】
根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,
可得
由,
可知
即
所以
的最大值为,的最小值为
则的最大值为,的最小值为
所以的最大值为
故选:A
【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据三角函数平移关系求出的解析式，结合成立的有，求出的关系，结合最小值建立方程求出的值即可.
解：将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，
即，若成立，即，即，
则与一个取最大值1，一个取最小值−1，不妨设，
则，得，则，
∵，∴当时，，当时，，
，则或，即或（舍），
即，由，得，
当时，对称轴方程为.故选：D.
题型05 对称中心最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相邻对称轴之间距离可得最小正周期为，由此可求得，得到解析式；利用正弦型函数对称中心的求法可求得对称中心，对比选项可得结果.
【详解】两条相邻对称轴之间的距离为，最小正周期，
解得：，，
令，解得：，此时，
的对称中心为，
当时，的一个对称中心为.
故选：C.
【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（ ）
A．
B．是函数图象的一条对称轴
C．时，函数单调递增
D．的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是
【答案】C
【分析】由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由最低点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论．
【详解】解：函数，的图象的一个最低点是，
距离点最近的对称中心为，
，，，
，，解得，，因为，
令，可得，
所以函数，故A错误；
，故函数关于对称，故B错误；
当时，，函数单调递增，故C正确；
把的图象向右平移个单位后得到的图象，
若是奇函数，则，，即，，
令，可得的最小值是，故D错误，
故选：C
【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：
（1）；
（2）它的图象关于直线对称；
（3）它的图象关于点对称；
（4）若，则；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先根据图像平移的性质求出的函数解析式，逐项代入分析即可.
【详解】解：由题意得：
，向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数.
对于选项A：由的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，最小正周期，即
，解得，故，所以（1）错误；
当时，代入可知，故图像的一条对称轴是，故（2）正确；
当时，代入可知，故图像的一个对称点是，故（3）正确；
若，则，所以
因此在上的取值范围是，故（4）正确；
由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为个.
故选：C
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换求得和，根据函数与的对称中心重合，得到，即可求解.
【详解】解：将函数的图象分别向左平移个单位长度后，
可得
将函数的图象分别向右各平移个单位长度后，
可得，
因为函数与的对称中心重合，所以，
即，解得，所以的最小值为.故选：A.
【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求出函数的对称中心坐标，再根据三角函数的平移变换规则得到的解析式，结合函数的奇偶性，求出的取值，从而计算可得；
【详解】解：因为，令，，解得，，即函数的对称中心坐标为，，所以，，把的图像向右平移个单位得到，因为为偶函数，所以，解得，因为，所以，所以，且，所以当时；故选：D
题型06 辅助角最值
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由可得出不等式对任意的恒成立，化简得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围.
【详解】
且，
由题意可知，对任意的，，
即，即，
，则，，，可得.
当时，成立；
当时，函数在区间上单调递增，则，此时.
综上所述，实数的取值范围是.故选：C.
【典例1-2】已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】
化简得，其中，，，再结合三角函数的性质可求解.
【详解】由题意得
，其中，，，
令，.因为，，故，
因为，且，所以，，
故，则.
又当时，单调递减，且，
，故.
【变式1-1】.已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
【详解】，其中，处取得最大值，，即，，，①，，
，，，②，
①②得，，即，解得，（舍去），
由①得，，，在第一象限，取，，
由，即，，，，，
使最小，则，即，若不等式恒成立，则，故选：B
【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当时，函数取到最大值，则是（ ）
A．奇函数，在时取到最小值；B．偶函数，在时取到最小值；
C．奇函数，在时取到最小值；D．偶函数，在时取到最小值；
【答案】B
【分析】由辅助角公式可得，根据时有最大值可得
，求出，再根据奇偶性并计算、可得答案.
【详解】，取，
当时，有最大值，即，所以，可得，
所以，，则，
因为，所以，为偶函数，
，，故B正确，故选：B.
【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
【答案】4
【分析】化简，因为，则，在上有两个不等实根，转化为在上有两个不等实根，故，即可得出答案．
【详解】，
其中，，
因为，则，+
在上有两个不等实根，
在上有两个不等实根，
则，所以
①对任意，，恒成立．由②得，存在，成立，
所以，，所以．故答案为：4
题型07 正余弦换元型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数，则的值域为 ．
【答案】
【分析】利用换元法，令，进而可得，再利用函数的单调性即可求解.
【详解】由令，则，
所以，又对勾函数的单调递减区间为，；
单调递增区间为，，结合对勾函数的图象，如下：
所以，所以，所以函数的值域为.
故答案为：.
【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.
【详解】令，，
则，即，所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
【变式1-1】已知函数，则的最大值为___________.
【答案】##
【分析】设，用换元法化为二次函数求解．
【详解】设，则，，
，
∴时，，即．
故答案为：．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．
【详解】由函数，且f(x)在区间上单调递减，
∴在区间上,f′(x)=−sin2x+3a(csx−sinx)+2a−1≤0恒成立，∵设，
∴当x∈时,,t∈[−1,1]，即−1≤csx−sinx≤1，令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，令g(t)=t2+3at+2a−2，
只需满足或或，
解得或或，综上，可得实数a的取值范围是，故选：A.
【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数fx=asinx+csx−sinxcsx−ax∈R的最大值为92，则a的值为____________.
【答案】52+5
【分析】
利用换元法，令t=sinx+csx，结合同角三角函数的平方关系，将函数化为关于的函数g(t)，然后分类求最值.
【详解】设t=sinx+csx=2sin(x+π4)，则t∈[−2,2]，则t2=sin2x+cs2x+2sinxcsx=1+2sinxcsx，
∴sinxcsx=t2−12，∴gt=fx=asinx+csx−sinxcsx−a=at−t2−12−a=−12t2+at+12−a，
对称轴方程为t=a>0，当0当a≥2时，gtmax=g2=−12+2a−a=92，
解得a=52+5.故答案为：52+5.
题型08 一元二次型换元最值
【典例1-1】（2022·高三单元测试）若，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可化简函数为，根据余弦型函数值域的求法可求得，结合二次函数最值的求法可求得的最大值和最小值，加和即可求得结果.
【详解】，
当时，，，
当时，；当时，；
.故选：C.
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.
【详解】由
因为 所以当时
故选：B
【变式1-1】（2023下·上海长宁·高三统考）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数后，求函数的最大值即可.
【详解】由得，设，因，所以，
则在上恒成立，设，
则二次函数的对称轴为，
因其开口向下，所以时函数单调递增，所以的最大值，
故，故答案为：
【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）已知函数，则 ；的最大值为
【答案】
【分析】将代入解析式即可求的值；利用二倍角公式化简，令，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求最值.
【详解】因为，
所以，
，
令，则，对称轴为，开口向上，
所以当时，
所以的最大值为，故答案为：；.
【变式1-3】（2021·江西·校联考模拟预测）函数的最大值为 .
【答案】2
【分析】由，换元令，则，得函数为，，然后利用二次函数的性质求其最值即可
【详解】解：，
令，由于，所以，
由，得，
所以，，
因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上，
所以当时，取得最大值，
所以函数的最大值为2，
故答案为：2
题型09 分式型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数的最大值是 ，最小值为 ．
【答案】
【详解】∵， ，变形可得
即 ，其中
即 解得：
故答案为最大值是 ， 最小值为
【典例1-2】（2023上·新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数的值域为
【答案】
【分析】将函数式化简，利用正弦函数的有界性求出函数的值域；
【详解】由，得定义域为，且，
即有，所以，解得，
故函数的值域为．
【变式1-1】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数的值域为 .
【答案】
【分析】化简得到，计算故得到答案.
【详解】
故，
故答案为：
【变式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】将函数，变形为，再根据求解.
【详解】因为函数所以，因为，
解得或.
故答案为：
【变式1-3】函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对变形，得到，当时，利用的几何意义求解其取值范围，进而得到，当时，，从而求出的最小值.
【详解】
当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，所以，所以
所以，即，综合得，， 故最小值为：.
故选：B.
题型10 最值型综合
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）已知，为锐角，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.故选：A.
【典例1-2】已知锐角满足，则的最小值为____．
【答案】8
【分析】根据两角差的余弦公式，可得，令，则，根据基本不等式“1”的活用，计算化简，即可得答案.
【详解】因为锐角满足，所以，
令，则，由题意得，，
则
当且仅当时取等号，此时的最小值．故答案为：8
【变式1-1】若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用，及基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：∵，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的取值范围为.故选：B.
【变式1-2】（2022·山东·高三开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据，可得，再根据两角和的正切公式可得，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，所以，
，
所以，即，
又因，
所以，
即，
解得或（舍去），
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.故选：D.
【变式1-3】已知函数 的图象过点（0， ），最小正周期为 ，且最小值为－1.若 ，的值域是 ，则m的取值范围是_____.
【答案】
【分析】
根据题意易求,，由图象过（0， ），，可得，从而得函数解析式，由可得，由余弦函数性质及值域，可得，求解即可.
【详解】
由函数最小值为－1，，得，因为最小正周期为，所以，故，
又图象过点（0， ）,所以 而，所以，从而，
由，可得．因为,且，
由余弦函数的图象与性质可知：，解得，故填.
题型11 恒等变形：求角
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于（ ）
A．30°B．45°C．120°D．60°
【答案】D
【分析】由两角和的正切公式，结合诱导公式可证tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，再结合已知条件求得tan B＝，进而得解.
【详解】由两角和的正切公式变形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C，
∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3.
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3，∴tan B＝，B＝60°.故选：D.
【典例1-2】（2023上·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，所以.故选：C
【变式1-1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对已知等式化简结合可求出，则可求出，然后对变形化简可得，从而可求出的值.
【详解】因为，
所以，所以．
因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，
所以．
又，所以．故选：C
【变式1-2】（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化切为弦，结合，得到，因为，所以，故，求出.
【详解】，即，
故，所以，
所以，
因为，，
所以，因为，所以，
故，解得故选：C
【变式1-3】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的等式，利用平方关系及差角的余弦求出，再借助正弦函数的单调性求解作答.
【详解】由，得，
两边平方得，即，
由，知，又，即，
即有，因此，所以
故选：C
题型12恒等变形：拆角求值（分式型）
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·广西·统考一模）＝ （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先求出，然后，利用，代入 的值求解即可
【详解】，
令，得， ，，所以，，
所以，
故选：A
【典例1-2】（2022上·云南昆明·高三东川明月中学校考）若，则的值为（ ）
A．1B．4C．D．2
【答案】B
【分析】依题意可得，再利用辅助角公式、二倍角公式及诱导公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，即，即，所以，即，所以，所以；
故选：B
【变式1-1】（2023·四川资阳·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.
【详解】
.故选：A.
【变式1-2】（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】化切为弦通分变形，逆用两角和的正弦公式与二倍角公式化简可得.
【详解】
，故选：B.
【变式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求的值（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】D
【分析】化切为弦，通分后变形，利用两角和的正弦及余弦求解．
【详解】解：
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三统考）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式可求得，利用两角和差余弦公式可依次求得和.
【详解】，，
，，，则，
，，
.故选：D.
【典例1-2】（2023上·陕西渭南·高三统考）已知,都是锐角,,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意判断的范围,从而求出的值,将写为,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.
【详解】由于,都是锐角,则,,
因为,,所以,,
所以,,所以
.故选:B
【变式1-1】（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若均为锐角且，则
【答案】
【分析】根据求出，根据可求得结果.
【详解】因为均为锐角且，
所以，，
所以
，
所以.故答案为：.
【变式1-2】（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知，且，则 ．
【答案】/－0.8
【分析】已知等式变形为，引入函数，即有，根据正弦函数性质得的关系，再结合可得的表达式，从而利用诱导公式、二倍角公式求得结论．
【详解】由得，
设，其中，，为锐角，
已知条件即为，
所以，或，，
若，，则，与已知矛盾，
所以，，，
则，
故答案为：．
【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）若，，，，则 .
【答案】
【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出，的角度值，进而可求
【详解】由，，则，
，所以或，
，
，则，
当时，，则，
当时，，则，
又，.故.故答案为：
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】根据已知条件求得，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．
【详解】，，
，则，
．故选：D．
【典例1-2】（2023下·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．-2
【答案】C【分析】根据正余弦的和差角公式化简，由可得，再根据可得，进而求解即可.
【详解】由可得，即，故.
又，故，即，代入可得.故.故选：C
【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D【分析】确定，计算得到，，计算得到答案.
【详解】，化简得，
故，解得，
又，则，
故.
故选：D.
【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．
【详解】由，可得，即，故.又，故，
即，代入可得.故故选：D
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】由两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，进行计算即可求解.
【详解】根据，，
得，．
两式分别相加、减，可得，．
易得，，，所以上述两式相除，得．故选：D．
高考练场 场
1.（2023·江西九江·统考二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．周期为π，在上单调递减
B．周期为，在上单调递减
C．周期为π，在上单调递增
D．周期为，在上单调递增
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的正负性、单调性，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.
【详解】当时，即，
，
显然该函数此时在上单调递减，
当时，即，
，
因此函数的周期为，在上单调递减，故选：B
2.（2023下·江西九江·高三校考）函数的周期不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令、、中的两个等于零分类，结合三角函数最小正周期，即可判断选项A，B，D；
而若时，，，即可化简得出，再分类为与判断其周期，与假设矛盾，即可证明最小正周期不可能是.
【详解】当，时，函数，最小正周期为，故选项A可能；
当，时，函数，最小正周期为，故选项B可能；
当，时，函数，最小正周期为，故选项C可能；
而对于选项D：
，
则若时，
，
令 ，
所以
与题设矛盾，故函数的最小正周期不可能是；
故选：D.
3.（2021秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换，求出结果
【详解】因为，所以将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移个单位长度，就可得到函数的图像.
故选C．
4.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)−g(x2)|=2的x1、x2有|x1−x2|min=π3，则φ=______．
【答案】π6
【分析】函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后,得到函数gx=sin(2x−2φ)的图象．若对满足|f(x1)−g(x2)|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，讨论x1=π4，x2=7π12与x1=3π4，x2=5π12两种情况，分别求出φ值，检验是否符合条件即可.
【详解】因为函数f(x)=sin2x的周期为π，函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后,
得到函数g(x)sin(2x−2φ)的图象．满足|f(x1)−g(x2)|=2的可知，fx1、g(x2)一个取最大值一个取最小值
因为x1−x2|min=π3，若x1=π4，x2=7π12，
f(x)在x1=π4取最大值，g(x)在x2=7π12取得最小值，sin(2×7π12−2φ)=−1，
此时φ=−π6，不合题意，x1=3π4，x2=5π12，f(x)在x1=3π4取最小值，g(x)在x2=5π12，取得最大值，
sin(2×5π12−2φ)=1，此时φ=π6，满足题意．故答案为π6．
5.（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】由一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离求出，由平移得利用单调性列出的不等式求解即可
【详解】由题意，知，∴，∴，∴，∴，由，得，即的增区间为，∴，∴，，∴．∵，∴，故选：B．
6.（2022·河南河南·模拟预测（理））已知函数在处取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.
【详解】，其中为锐角，.
因为当处取得最大值，所以，，即，，
所以.故选：A
7.（福建省2021届高三毕业班总复习数学试题）已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为_________.
【答案】
【详解】由题意，知，则线段的中点为.
而.① ；设，②
①、②两式分别平方，相加，得，解得.
又，所以，故取.
所以线段中点的纵坐标为.
8.（2021下·高三课时练习）函数，的值域为______.
【答案】【分析】利用平方关系将函数化为的二次函数，配方求值域即可.
【详解】，
，
故的值域为 ，故答案为：.
9.（学海导航全国卷大联考2021届高三数学（理）试题）已知函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】首先根据换元法将函数的最小值与函数在区间的最小值，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.
【详解】
，
令，则，
因此函数的最小值与函数在区间的最小值相同，
又因为，当且仅当即时等号成立，
所以函数的最小值2.故选：B
10.（2021·全国·高三专题练习）设，均为锐角，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B【分析】由已知条件可得，而目标三角函数式可化为，结合基本不等式即可求其最大值.
【详解】由题意，，得，即，
∴由为锐角，，当且仅当，即时等号成立．故的最大值是．故选：B.
11.．（2023下·安徽亳州·高三亳州二中校考）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值.
【详解】，符号相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，故选：A．
12.（2022上·辽宁·高三校联考开学考试）化简（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D【分析】由三角恒等变换与诱导公式求解即可
【详解】
，
故选：D.
13.（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考）已知角，且，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C【分析】根据两角差的正弦、余弦、正切公式化简求解即可.
【详解】因为，所以，，，
又，所以，
所以，所以.故选：C.
14.（2023上·上海奉贤·高三校考）若是第三象限角，且，则等于 .
【答案】【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出，再利用平方关系求出，进而求出.
【详解】 ， ，
是第三象限角， ，
.故答案为：.
A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用
参数
作用
A
A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
φ
φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
ω
ω决定了函数的周期T＝.
（2）图象的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到．
求周期方法
直接法：
形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acs（ωx＋φ）函数的周期T＝.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝
观察法：
形如 等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有周期，以及最小正周期的值
3.恒等变形转化法。
4.定义证明法
平移变换：
1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；
2.正到余，余到正：
方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；
方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重点）
正余弦对称轴：
最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值
正余弦对称中心：
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标
对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0
辅助角范围满足：
与在同一函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围．
之间的互化关系
1.
2.
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
求复合型角，
以给了函数值的角度为基角来拆角。
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22736" 题型01三角函数单调性 PAGEREF _Tc22736 \h 1
\l "_Tc19078" 题型02 求周期 PAGEREF _Tc19078 \h 2
\l "_Tc11553" 题型03 非同名函数平移 PAGEREF _Tc11553 \h 3
\l "_Tc22024" 题型04 对称轴最值应用 PAGEREF _Tc22024 \h 4
\l "_Tc16732" 题型05 对称中心最值应用 PAGEREF _Tc16732 \h 5
\l "_Tc1210" 题型06 辅助角最值 PAGEREF _Tc1210 \h 6
\l "_Tc17473" 题型07 正余弦换元型最值 PAGEREF _Tc17473 \h 7
\l "_Tc23483" 题型08 一元二次型换元最值 PAGEREF _Tc23483 \h 8
\l "_Tc31308" 题型09 分式型最值 PAGEREF _Tc31308 \h 8
\l "_Tc31241" 题型10 最值型综合 PAGEREF _Tc31241 \h 9
\l "_Tc2355" 题型11 恒等变形：求角 PAGEREF _Tc2355 \h 9
\l "_Tc3720" 题型12恒等变形：拆角求值（分式型） PAGEREF _Tc3720 \h 10
\l "_Tc3133" 题型13 恒等变形：拆角求值（复合型） PAGEREF _Tc3133 \h 11
\l "_Tc14193" 题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶） PAGEREF _Tc14193 \h 11
\l "_Tc8334" 高考练场 PAGEREF _Tc8334 \h 12
热点题型归纳
题型01三角函数单调性
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知函数，则f（x）（ ）
A．在（0，）单调递减B．在（0，π）单调递增
C．在（—，0）单调递减D．在（—，0）单调递增
【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型02 求周期
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数，则的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关
【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C．D．
【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（ ）
A．①③B．①④
C．③④D．②③
题型03 非同名函数平移
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度
【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平栘个单位
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
题型04 对称轴最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．
【变式1-1】已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是
A． B． C． D．
题型05 对称中心最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（ ）
A．
B．是函数图象的一条对称轴
C．时，函数单调递增
D．的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是
【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：
（1）；
（2）它的图象关于直线对称；
（3）它的图象关于点对称；
（4）若，则；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．6
【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型06 辅助角最值
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.
【变式1-1】.已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当时，函数取到最大值，则是（ ）
A．奇函数，在时取到最小值；B．偶函数，在时取到最小值；
C．奇函数，在时取到最小值；D．偶函数，在时取到最小值；
【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
题型07 正余弦换元型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数，则的值域为 ．
【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数的值域为 ．
【变式1-1】已知函数，则的最大值为___________.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数fx=asinx+csx−sinxcsx−ax∈R的最大值为92，则a的值为____________.
题型08 一元二次型换元最值
【典例1-1】（2022·高三单元测试）若，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023下·上海长宁·高三统考）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ．
【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）已知函数，则 ；的最大值为
【变式1-3】（2021·江西·校联考模拟预测）函数的最大值为 .
题型09 分式型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数的最大值是 ，最小值为 ．
【典例1-2】（2023上·新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数的值域为
【变式1-1】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数的值域为 .
【变式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数的值域为 ．
【变式1-3】函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型10 最值型综合
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）已知，为锐角，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知锐角满足，则的最小值为____．
【变式1-1】若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·山东·高三开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式1-3】已知函数 的图象过点（0， ），最小正周期为 ，且最小值为－1.若 ，的值域是 ，则m的取值范围是_____.
题型11 恒等变形：求角
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于（ ）
A．30°B．45°C．120°D．60°
【典例1-2】（2023上·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知且，则=（ ）
A． B． C． D．或
【变式1-1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型12恒等变形：拆角求值（分式型）
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·广西·统考一模）＝ （ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022上·云南昆明·高三东川明月中学校考）若，则的值为（ ）
A．1B．4C．D．2
【变式1-1】（2023·四川资阳·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-2】（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（ ）
A．B．1C．D．2
【变式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求的值（ ）
A．1B．3C．D．
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三统考）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·陕西渭南·高三统考）已知,都是锐角,,,则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若均为锐角且，则
【变式1-2】（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知，且，则 ．
【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）若，，，，则 .
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023下·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．-2
【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
高考练场
1.（2023·江西九江·统考二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．周期为π，在上单调递减
B．周期为，在上单调递减
C．周期为π，在上单调递增
D．周期为，在上单调递增
2.（2023下·江西九江·高三校考）函数的周期不可能为（ ）
A．B．C．D．
3.（2021秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移个单位长度
4.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)−g(x2)|=2的x1、x2有|x1−x2|min=π3，则φ=______．
5.（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6.（2022·河南河南·模拟预测（理））已知函数在处取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
7.（福建省2021届高三毕业班总复习数学试题）已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为_________.
8.（2021下·高三课时练习）函数，的值域为______.
9.（学海导航全国卷大联考2021届高三数学（理）试题）已知函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10.（2021·全国·高三专题练习）设，均为锐角，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．6D．
11.．（2023下·安徽亳州·高三亳州二中校考）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
12.（2022上·辽宁·高三校联考开学考试）化简（ ）
A．B．C．2D．
13.（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考）已知角，且，，则（ ）
A．B．C．D．2
14.（2023上·上海奉贤·高三校考）若是第三象限角，且，则等于 .
A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用
参数
作用
A
A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
φ
φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
ω
ω决定了函数的周期T＝.
（2）图象的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到．
求周期方法
直接法：
形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acs（ωx＋φ）函数的周期T＝.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝
观察法：
形如 等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有周期，以及最小正周期的值
3.恒等变形转化法。
4.定义证明法
平移变换：
1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；
2.正到余，余到正：
方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；
方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重点）
正余弦对称轴：
最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值
正余弦对称中心：
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标
对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0
辅助角范围满足：
与在同一函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围．
之间的互化关系
1.
2.
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
求复合型角，
以给了函数值的角度为基角来拆角。
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
第九讲 三角函数图像与性质
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22736" 题型01三角函数单调性 PAGEREF _Tc22736 \h 1
\l "_Tc19078" 题型02 求周期 PAGEREF _Tc19078 \h 3
\l "_Tc11553" 题型03 非同名函数平移 PAGEREF _Tc11553 \h 6
\l "_Tc22024" 题型04 对称轴最值应用 PAGEREF _Tc22024 \h 8
\l "_Tc16732" 题型05 对称中心最值应用 PAGEREF _Tc16732 \h 11
\l "_Tc1210" 题型06 辅助角最值 PAGEREF _Tc1210 \h 14
\l "_Tc17473" 题型07 正余弦换元型最值 PAGEREF _Tc17473 \h 17
\l "_Tc23483" 题型08 一元二次型换元最值 PAGEREF _Tc23483 \h 20
\l "_Tc31308" 题型09 分式型最值 PAGEREF _Tc31308 \h 21
\l "_Tc31241" 题型10 最值型综合 PAGEREF _Tc31241 \h 23
\l "_Tc2355" 题型11 恒等变形：求角 PAGEREF _Tc2355 \h 25
\l "_Tc3720" 题型12恒等变形：拆角求值（分式型） PAGEREF _Tc3720 \h 27
\l "_Tc3133" 题型13 恒等变形：拆角求值（复合型） PAGEREF _Tc3133 \h 29
\l "_Tc14193" 题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶） PAGEREF _Tc14193 \h 31
\l "_Tc8334" 高考练场 PAGEREF _Tc8334 \h 33
热点题型归纳
题型01三角函数单调性
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【详解】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，
所以从递减到，从递减到，A错误；
当从增加到时，从递减到，从1递减到，
所以从递增到，从递减到，B错误；
当从增加到时，从递减到，从递减到，
所以从递增到，从递减到，C错误；
当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，
所以从递增到，从递增到，D正确；
故选：D
【典例1-2】已知函数，则f（x）（ ）
A．在（0，）单调递减B．在（0，π）单调递增
C．在（—，0）单调递减D．在（—，0）单调递增
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简得到，再将选项代入检验，求出正确答案.
【详解】，
故当时，，所以不单调，AB错误；
当时，，在上单调递增，
故D正确故选：D
【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】设，即，，单调递增，取单调增的部分，
所以可得：，即，
解得： 答案：A.
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式结合辅助角公式化简可得的表达式，求出其单调增区间，结合选项，即可判断出答案.
【详解】∵，
令，则，
即的单调递增区间为，当时，，
∴函数在区间上单调递增.故选：A
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数区间上单调递增，
则令，，解得，，
结合是区间，所以，解得.
“”是“”的充分不必要条件,故选：A.
.
题型02 求周期
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数，则的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数这一结论，解答即可.
【详解】，
对于，其最小正周期为，对于，其最小正周期为，
所以对于任意，的最小正周期都为，
对于，其最小正周期为，
故当时，，其最小正周期为；
当时，，其最小正周期为，
所以的最小正周期与无关，但与有关.
故选：D.
【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.
【详解】画出函数的图象如图所示：
由图可知函数的最小正周期为，满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；综上所述，满足题意的函数的个数有1个.故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】确定和，为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项B：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项C：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项D：，函数定义域为，
，函数为奇函数，，满足条件；
故选：D.
【变式1-2】（2023·广东·统考二模）已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.
【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则有周期，若不为有理数，则无周期.
的周期为，的周期为，则当时，只有周期的整数倍才是函数的周期，则不是充分条件；
若，，
则为周期函数，但，为周期函数不正确，故不是必要条件；因此为不充分不必要条件.故选：D
【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（ ）
A．①③B．①④
C．③④D．②③
【答案】D
【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得.
【详解】①由余弦函数的奇偶性可知，，最小值周期为；
②由翻折变换可知，函数的图象如图：
由图知的最小值周期为；
③由周期公式得，所以的最小值周期为；
④的最小值周期为.
故选：D
题型03 非同名函数平移
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】B
【解析】根据，可判断.
【详解】，
所以先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到的图象.
故选：B.
【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度
【答案】C
【分析】把化成可得平移的发现及其长度.
【详解】因为，
所以要得到函数的图象，
只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度.
故选：C.
【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平栘个单位
【答案】C
【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】解：要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位即可，
故选：C．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】先得到，再利用平移变换求解.
【详解】解：因为，
将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象.A，B，C都不满足.故选：D
【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【答案】C
【分析】根据诱导公式，即可得到平移方法.
【详解】函数，
，
所以为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象向左平移个单位.
故选：C
题型04 对称轴最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高三上学期数学试题
【答案】B
【分析】
结合三角恒等变换求得的最大值和最小值，并求得的最小值.
【详解】
，
当时取得最大值为.
当时取得最小值为.
依题意，存在实数，使得对任意实数，总有成立，
，
，
是整数，为奇数，所以的最小值为.
故选：B
【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．
【答案】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得，，再利用三角函数对称性列方程求解即可．
【详解】
设，则，，
，则，，
∴，即，
∴，，
又是的一条对称轴，
∴ ，即.故答案为
【变式1-1】已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值.
【详解】
．将图象向右平移至个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，
所以，，
∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时，，
根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即
故选：C.
【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.
【详解】
根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,
可得
由,
可知
即
所以
的最大值为,的最小值为
则的最大值为,的最小值为
所以的最大值为
故选:A
【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据三角函数平移关系求出的解析式，结合成立的有，求出的关系，结合最小值建立方程求出的值即可.
解：将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，
即，若成立，即，即，
则与一个取最大值1，一个取最小值−1，不妨设，
则，得，则，
∵，∴当时，，当时，，
，则或，即或（舍），
即，由，得，
当时，对称轴方程为.故选：D.
题型05 对称中心最值应用
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相邻对称轴之间距离可得最小正周期为，由此可求得，得到解析式；利用正弦型函数对称中心的求法可求得对称中心，对比选项可得结果.
【详解】两条相邻对称轴之间的距离为，最小正周期，
解得：，，
令，解得：，此时，
的对称中心为，
当时，的一个对称中心为.
故选：C.
【典例1-2】（2022·天津南开·二模）函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（ ）
A．
B．是函数图象的一条对称轴
C．时，函数单调递增
D．的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是
【答案】C
【分析】由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由最低点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论．
【详解】解：函数，的图象的一个最低点是，
距离点最近的对称中心为，
，，，
，，解得，，因为，
令，可得，
所以函数，故A错误；
，故函数关于对称，故B错误；
当时，，函数单调递增，故C正确；
把的图象向右平移个单位后得到的图象，
若是奇函数，则，，即，，
令，可得的最小值是，故D错误，
故选：C
【变式1-1】．（2022·四川凉山·三模（理））将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：
（1）；
（2）它的图象关于直线对称；
（3）它的图象关于点对称；
（4）若，则；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先根据图像平移的性质求出的函数解析式，逐项代入分析即可.
【详解】解：由题意得：
，向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数.
对于选项A：由的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，最小正周期，即
，解得，故，所以（1）错误；
当时，代入可知，故图像的一条对称轴是，故（2）正确；
当时，代入可知，故图像的一个对称点是，故（3）正确；
若，则，所以
因此在上的取值范围是，故（4）正确；
由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为个.
故选：C
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换求得和，根据函数与的对称中心重合，得到，即可求解.
【详解】解：将函数的图象分别向左平移个单位长度后，
可得
将函数的图象分别向右各平移个单位长度后，
可得，
因为函数与的对称中心重合，所以，
即，解得，所以的最小值为.故选：A.
【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求出函数的对称中心坐标，再根据三角函数的平移变换规则得到的解析式，结合函数的奇偶性，求出的取值，从而计算可得；
【详解】解：因为，令，，解得，，即函数的对称中心坐标为，，所以，，把的图像向右平移个单位得到，因为为偶函数，所以，解得，因为，所以，所以，且，所以当时；故选：D
题型06 辅助角最值
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由可得出不等式对任意的恒成立，化简得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围.
【详解】
且，
由题意可知，对任意的，，
即，即，
，则，，，可得.
当时，成立；
当时，函数在区间上单调递增，则，此时.
综上所述，实数的取值范围是.故选：C.
【典例1-2】已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】
化简得，其中，，，再结合三角函数的性质可求解.
【详解】由题意得
，其中，，，
令，.因为，，故，
因为，且，所以，，
故，则.
又当时，单调递减，且，
，故.
【变式1-1】.已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
【详解】，其中，处取得最大值，，即，，，①，，
，，，②，
①②得，，即，解得，（舍去），
由①得，，，在第一象限，取，，
由，即，，，，，
使最小，则，即，若不等式恒成立，则，故选：B
【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当时，函数取到最大值，则是（ ）
A．奇函数，在时取到最小值；B．偶函数，在时取到最小值；
C．奇函数，在时取到最小值；D．偶函数，在时取到最小值；
【答案】B
【分析】由辅助角公式可得，根据时有最大值可得
，求出，再根据奇偶性并计算、可得答案.
【详解】，取，
当时，有最大值，即，所以，可得，
所以，，则，
因为，所以，为偶函数，
，，故B正确，故选：B.
【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．
【答案】4
【分析】化简，因为，则，在上有两个不等实根，转化为在上有两个不等实根，故，即可得出答案．
【详解】，
其中，，
因为，则，+
在上有两个不等实根，
在上有两个不等实根，
则，所以
①对任意，，恒成立．由②得，存在，成立，
所以，，所以．故答案为：4
题型07 正余弦换元型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数，则的值域为 ．
【答案】
【分析】利用换元法，令，进而可得，再利用函数的单调性即可求解.
【详解】由令，则，
所以，又对勾函数的单调递减区间为，；
单调递增区间为，，结合对勾函数的图象，如下：
所以，所以，所以函数的值域为.
故答案为：.
【典例1-2】（2022·高三单元测试）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.
【详解】令，，
则，即，所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
【变式1-1】已知函数，则的最大值为___________.
【答案】##
【分析】设，用换元法化为二次函数求解．
【详解】设，则，，
，
∴时，，即．
故答案为：．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．
【详解】由函数，且f(x)在区间上单调递减，
∴在区间上,f′(x)=−sin2x+3a(csx−sinx)+2a−1≤0恒成立，∵设，
∴当x∈时,,t∈[−1,1]，即−1≤csx−sinx≤1，令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，令g(t)=t2+3at+2a−2，
只需满足或或，
解得或或，综上，可得实数a的取值范围是，故选：A.
【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数fx=asinx+csx−sinxcsx−ax∈R的最大值为92，则a的值为____________.
【答案】52+5
【分析】
利用换元法，令t=sinx+csx，结合同角三角函数的平方关系，将函数化为关于的函数g(t)，然后分类求最值.
【详解】设t=sinx+csx=2sin(x+π4)，则t∈[−2,2]，则t2=sin2x+cs2x+2sinxcsx=1+2sinxcsx，
∴sinxcsx=t2−12，∴gt=fx=asinx+csx−sinxcsx−a=at−t2−12−a=−12t2+at+12−a，
对称轴方程为t=a>0，当0
解得a=52+5.故答案为：52+5.
题型08 一元二次型换元最值
【典例1-1】（2022·高三单元测试）若，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可化简函数为，根据余弦型函数值域的求法可求得，结合二次函数最值的求法可求得的最大值和最小值，加和即可求得结果.
【详解】，
当时，，，
当时，；当时，；
.故选：C.
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.
【详解】由
因为 所以当时
故选：B
【变式1-1】（2023下·上海长宁·高三统考）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数后，求函数的最大值即可.
【详解】由得，设，因，所以，
则在上恒成立，设，
则二次函数的对称轴为，
因其开口向下，所以时函数单调递增，所以的最大值，
故，故答案为：
【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）已知函数，则 ；的最大值为
【答案】
【分析】将代入解析式即可求的值；利用二倍角公式化简，令，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求最值.
【详解】因为，
所以，
，
令，则，对称轴为，开口向上，
所以当时，
所以的最大值为，故答案为：；.
【变式1-3】（2021·江西·校联考模拟预测）函数的最大值为 .
【答案】2
【分析】由，换元令，则，得函数为，，然后利用二次函数的性质求其最值即可
【详解】解：，
令，由于，所以，
由，得，
所以，，
因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上，
所以当时，取得最大值，
所以函数的最大值为2，
故答案为：2
题型09 分式型最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数的最大值是 ，最小值为 ．
【答案】
【详解】∵， ，变形可得
即 ，其中
即 解得：
故答案为最大值是 ， 最小值为
【典例1-2】（2023上·新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数的值域为
【答案】
【分析】将函数式化简，利用正弦函数的有界性求出函数的值域；
【详解】由，得定义域为，且，
即有，所以，解得，
故函数的值域为．
【变式1-1】（2022上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数的值域为 .
【答案】
【分析】化简得到，计算故得到答案.
【详解】
故，
故答案为：
【变式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】将函数，变形为，再根据求解.
【详解】因为函数所以，因为，
解得或.
故答案为：
【变式1-3】函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对变形，得到，当时，利用的几何意义求解其取值范围，进而得到，当时，，从而求出的最小值.
【详解】
当，
当时,因为，
令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，所以，所以
所以，即，综合得，， 故最小值为：.
故选：B.
题型10 最值型综合
【典例1-1】（2021·全国·高三专题练习）已知，为锐角，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.故选：A.
【典例1-2】已知锐角满足，则的最小值为____．
【答案】8
【分析】根据两角差的余弦公式，可得，令，则，根据基本不等式“1”的活用，计算化简，即可得答案.
【详解】因为锐角满足，所以，
令，则，由题意得，，
则
当且仅当时取等号，此时的最小值．故答案为：8
【变式1-1】若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用，及基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：∵，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的取值范围为.故选：B.
【变式1-2】（2022·山东·高三开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据，可得，再根据两角和的正切公式可得，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，所以，
，
所以，即，
又因，
所以，
即，
解得或（舍去），
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.故选：D.
【变式1-3】已知函数 的图象过点（0， ），最小正周期为 ，且最小值为－1.若 ，的值域是 ，则m的取值范围是_____.
【答案】
【分析】
根据题意易求,，由图象过（0， ），，可得，从而得函数解析式，由可得，由余弦函数性质及值域，可得，求解即可.
【详解】
由函数最小值为－1，，得，因为最小正周期为，所以，故，
又图象过点（0， ）,所以 而，所以，从而，
由，可得．因为,且，
由余弦函数的图象与性质可知：，解得，故填.
题型11 恒等变形：求角
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于（ ）
A．30°B．45°C．120°D．60°
【答案】D
【分析】由两角和的正切公式，结合诱导公式可证tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，再结合已知条件求得tan B＝，进而得解.
【详解】由两角和的正切公式变形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C，
∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3.
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3，∴tan B＝，B＝60°.故选：D.
【典例1-2】（2023上·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，所以.故选：C
【变式1-1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对已知等式化简结合可求出，则可求出，然后对变形化简可得，从而可求出的值.
【详解】因为，
所以，所以．
因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，
所以．
又，所以．故选：C
【变式1-2】（2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化切为弦，结合，得到，因为，所以，故，求出.
【详解】，即，
故，所以，
所以，
因为，，
所以，因为，所以，
故，解得故选：C
【变式1-3】（2023上·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的等式，利用平方关系及差角的余弦求出，再借助正弦函数的单调性求解作答.
【详解】由，得，
两边平方得，即，
由，知，又，即，
即有，因此，所以
故选：C
题型12恒等变形：拆角求值（分式型）
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·广西·统考一模）＝ （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先求出，然后，利用，代入 的值求解即可
【详解】，
令，得， ，，所以，，
所以，
故选：A
【典例1-2】（2022上·云南昆明·高三东川明月中学校考）若，则的值为（ ）
A．1B．4C．D．2
【答案】B
【分析】依题意可得，再利用辅助角公式、二倍角公式及诱导公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，即，即，所以，即，所以，所以；
故选：B
【变式1-1】（2023·四川资阳·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.
【详解】
.故选：A.
【变式1-2】（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】化切为弦通分变形，逆用两角和的正弦公式与二倍角公式化简可得.
【详解】
，故选：B.
【变式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求的值（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】D
【分析】化切为弦，通分后变形，利用两角和的正弦及余弦求解．
【详解】解：
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三统考）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式可求得，利用两角和差余弦公式可依次求得和.
【详解】，，
，，，则，
，，
.故选：D.
【典例1-2】（2023上·陕西渭南·高三统考）已知,都是锐角,,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意判断的范围,从而求出的值,将写为,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.
【详解】由于,都是锐角,则,,
因为,,所以,,
所以,,所以
.故选:B
【变式1-1】（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若均为锐角且，则
【答案】
【分析】根据求出，根据可求得结果.
【详解】因为均为锐角且，
所以，，
所以
，
所以.故答案为：.
【变式1-2】（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知，且，则 ．
【答案】/－0.8
【分析】已知等式变形为，引入函数，即有，根据正弦函数性质得的关系，再结合可得的表达式，从而利用诱导公式、二倍角公式求得结论．
【详解】由得，
设，其中，，为锐角，
已知条件即为，
所以，或，，
若，，则，与已知矛盾，
所以，，，
则，
故答案为：．
【变式1-3】（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）若，，，，则 .
【答案】
【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出，的角度值，进而可求
【详解】由，，则，
，所以或，
，
，则，
当时，，则，
当时，，则，
又，.故.故答案为：
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）
【典例1-1】（2023上·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】根据已知条件求得，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．
【详解】，，
，则，
．故选：D．
【典例1-2】（2023下·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．-2
【答案】C【分析】根据正余弦的和差角公式化简，由可得，再根据可得，进而求解即可.
【详解】由可得，即，故.
又，故，即，代入可得.故.故选：C
【变式1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D【分析】确定，计算得到，，计算得到答案.
【详解】，化简得，
故，解得，
又，则，
故.
故选：D.
【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．
【详解】由，可得，即，故.又，故，
即，代入可得.故故选：D
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】由两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，进行计算即可求解.
【详解】根据，，
得，．
两式分别相加、减，可得，．
易得，，，所以上述两式相除，得．故选：D．
高考练场 场
1.（2023·江西九江·统考二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．周期为π，在上单调递减
B．周期为，在上单调递减
C．周期为π，在上单调递增
D．周期为，在上单调递增
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的正负性、单调性，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.
【详解】当时，即，
，
显然该函数此时在上单调递减，
当时，即，
，
因此函数的周期为，在上单调递减，故选：B
2.（2023下·江西九江·高三校考）函数的周期不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令、、中的两个等于零分类，结合三角函数最小正周期，即可判断选项A，B，D；
而若时，，，即可化简得出，再分类为与判断其周期，与假设矛盾，即可证明最小正周期不可能是.
【详解】当，时，函数，最小正周期为，故选项A可能；
当，时，函数，最小正周期为，故选项B可能；
当，时，函数，最小正周期为，故选项C可能；
而对于选项D：
，
则若时，
，
令 ，
所以
与题设矛盾，故函数的最小正周期不可能是；
故选：D.
3.（2021秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换，求出结果
【详解】因为，所以将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移个单位长度，就可得到函数的图像.
故选C．
4.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)−g(x2)|=2的x1、x2有|x1−x2|min=π3，则φ=______．
【答案】π6
【分析】函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后,得到函数gx=sin(2x−2φ)的图象．若对满足|f(x1)−g(x2)|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，讨论x1=π4，x2=7π12与x1=3π4，x2=5π12两种情况，分别求出φ值，检验是否符合条件即可.
【详解】因为函数f(x)=sin2x的周期为π，函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后,
得到函数g(x)sin(2x−2φ)的图象．满足|f(x1)−g(x2)|=2的可知，fx1、g(x2)一个取最大值一个取最小值
因为x1−x2|min=π3，若x1=π4，x2=7π12，
f(x)在x1=π4取最大值，g(x)在x2=7π12取得最小值，sin(2×7π12−2φ)=−1，
此时φ=−π6，不合题意，x1=3π4，x2=5π12，f(x)在x1=3π4取最小值，g(x)在x2=5π12，取得最大值，
sin(2×5π12−2φ)=1，此时φ=π6，满足题意．故答案为π6．
5.（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】由一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离求出，由平移得利用单调性列出的不等式求解即可
【详解】由题意，知，∴，∴，∴，∴，由，得，即的增区间为，∴，∴，，∴．∵，∴，故选：B．
6.（2022·河南河南·模拟预测（理））已知函数在处取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.
【详解】，其中为锐角，.
因为当处取得最大值，所以，，即，，
所以.故选：A
7.（福建省2021届高三毕业班总复习数学试题）已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为_________.
【答案】
【详解】由题意，知，则线段的中点为.
而.① ；设，②
①、②两式分别平方，相加，得，解得.
又，所以，故取.
所以线段中点的纵坐标为.
8.（2021下·高三课时练习）函数，的值域为______.
【答案】【分析】利用平方关系将函数化为的二次函数，配方求值域即可.
【详解】，
，
故的值域为 ，故答案为：.
9.（学海导航全国卷大联考2021届高三数学（理）试题）已知函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】首先根据换元法将函数的最小值与函数在区间的最小值，最后利用基本不等式求出函数的最小值即可.
【详解】
，
令，则，
因此函数的最小值与函数在区间的最小值相同，
又因为，当且仅当即时等号成立，
所以函数的最小值2.故选：B
10.（2021·全国·高三专题练习）设，均为锐角，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B【分析】由已知条件可得，而目标三角函数式可化为，结合基本不等式即可求其最大值.
【详解】由题意，，得，即，
∴由为锐角，，当且仅当，即时等号成立．故的最大值是．故选：B.
11.．（2023下·安徽亳州·高三亳州二中校考）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值.
【详解】，符号相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，故选：A．
12.（2022上·辽宁·高三校联考开学考试）化简（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D【分析】由三角恒等变换与诱导公式求解即可
【详解】
，
故选：D.
13.（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考）已知角，且，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C【分析】根据两角差的正弦、余弦、正切公式化简求解即可.
【详解】因为，所以，，，
又，所以，
所以，所以.故选：C.
14.（2023上·上海奉贤·高三校考）若是第三象限角，且，则等于 .
【答案】【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出，再利用平方关系求出，进而求出.
【详解】 ， ，
是第三象限角， ，
.故答案为：.
A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用
参数
作用
A
A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
φ
φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
ω
ω决定了函数的周期T＝.
（2）图象的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到．
求周期方法
直接法：
形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acs（ωx＋φ）函数的周期T＝.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝
观察法：
形如 等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有周期，以及最小正周期的值
3.恒等变形转化法。
4.定义证明法
平移变换：
1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；
2.正到余，余到正：
方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；
方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重点）
正余弦对称轴：
最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；
对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值
正余弦对称中心：
零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标
对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0
辅助角范围满足：
与在同一函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围．
之间的互化关系
1.
2.
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
求复合型角，
以给了函数值的角度为基角来拆角。
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
相关试卷
（新高考通用）2024年高考数学【一轮复习讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第20练 三角函数的图像与性质（精练：基础+重难点）（原卷版+解析）： 这是一份（新高考通用）2024年高考数学【一轮复习讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第20练 三角函数的图像与性质（精练：基础+重难点）（原卷版+解析），共25页。
新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题07 三角函数 7.3三角函数图像与性质（含解析）： 这是一份新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题07 三角函数 7.3三角函数图像与性质（含解析），共31页。试卷主要包含了3 三角函数的图像与性质，单调性，周期性、奇偶性、对称性，三角函数性质综合等内容，欢迎下载使用。
高考数学一轮复习题型归纳讲义 专题07 三角函数 7.3三角函数图像与性质 题型归纳讲义 （原卷版+解析版）： 这是一份高考数学一轮复习题型归纳讲义 专题07 三角函数 7.3三角函数图像与性质 题型归纳讲义 （原卷版+解析版），文件包含专题07三角函数73三角函数图像与性质题型归纳讲义解析版docx、专题07三角函数73三角函数图像与性质题型归纳讲义原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
