2024年新高考数学题型全归纳讲义第一讲基本不等式归类(原卷版+解析)

这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第一讲基本不等式归类(原卷版+解析)，共47页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 公式基础 PAGEREF _Tc27194 \h 1
\l "_Tc22731" 题型02 基础模型：倒数型 PAGEREF _Tc22731 \h 2
\l "_Tc394" 题型03 常数代换型 PAGEREF _Tc394 \h 3
\l "_Tc1766" 题型04 积与和型 PAGEREF _Tc1766 \h 4
\l "_Tc8506" 题型05 积与和互化解不等式型 PAGEREF _Tc8506 \h 4
\l "_Tc6010" 题型06 构造分母和定型 PAGEREF _Tc6010 \h 5
\l "_Tc22452" 题型07 凑配系数构造分母和定型 PAGEREF _Tc22452 \h 5
\l "_Tc5641" 题型08 换元构造分母和定型 PAGEREF _Tc5641 \h 6
\l "_Tc26157" 题型09 分子与分母互消型 PAGEREF _Tc26157 \h 7
\l "_Tc31686" 题型10 “1”代换综合型 PAGEREF _Tc31686 \h 7
\l "_Tc29336" 题型11 分子消去型 PAGEREF _Tc29336 \h 8
\l "_Tc19008" 题型12 消元型 PAGEREF _Tc19008 \h 8
\l "_Tc9764" 题型13 齐次化构造型 PAGEREF _Tc9764 \h 9
\l "_Tc25684" 题型14 三角换元构造型 PAGEREF _Tc25684 \h 9
\l "_Tc1246" 题型15 因式分解双换元型 PAGEREF _Tc1246 \h 10
\l "_Tc24543" 题型16 配方型 PAGEREF _Tc24543 \h 11
\l "_Tc28460" 高考练场 PAGEREF _Tc28460 \h 11
热点题型归纳
题型01 公式基础
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（ ）
A．x＋(x>0)的最小值是2B．的最小值是2
C．的最小值是D．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是的是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 基础模型：倒数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若(x,)最大值记为,则的最小值为
A．0B．C．D．
题型03 常数代换型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．13D．21
【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知，，，则的最小值为 ．
【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数满足，则的最小值为 .
【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知，，且，则取得最小值时的值是 .
题型04 积与和型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知，，且，则当取得最小值时，（ ）
A．16B．6C．18D．12
【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】(2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若，且，则的最小值为（ ）
A．18B．15C．20D．13
【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
题型05 积与和互化解不等式型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·云南·校联考阶段练习）已知正数、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
【变式1-1】（2022秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知曲线，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设，，，则ab的最小值是（ ）
A．4B．9C．16D．25
【变式1-3】（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）若，且，则的取值范围（ ）
B．C．D．
题型06 构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）若三个正数满足，则的最小值为 .
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【变式1-1】（2022秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【变式1-2】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为 .
题型07 凑配系数构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三题练习）已知，，且，则的最小值为 .
【典例1-2】（2023秋·全国·高三专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为 .
【变式1-3】（2021·三课时练习）已知，则的最小值为 .
题型08 换元构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为 ．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的最小值为 .
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是 .
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，则的最小值为 .
题型09 分子与分母互消型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021秋·高三单元测试）已知正数，满足，则的最小值是 .
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则的最大值是 .
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知为正数，且，则的最大值为 ．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．9
题型10 “1”代换综合型
【典例1-1】（2022上·辽宁大连·大连二十四中校考）已知且，则的最小值等于 .
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考）若实数，满足等式，，，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【变式1-1】（2020上·上海徐汇·高三上海中学校考）已知实数满足且，若，则的最小值是
【变式1-2】（2020·江苏苏州·吴江盛泽中学模拟预测）已知，且，则的最小值为 ．
题型11 分子消去型
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·江苏省震泽中学高三阶段练习）若，，，则的最小值为 （ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【变式1-1】（2022春·广东韶关·高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．6C．7D．
【变式1-2】（2023春·重庆·高三校联考期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考期中）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．13D．21
题型12 消元型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A．14B．C．8D．
【变式1-1】（2023秋·海南海口·高三校考开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【变式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）若，且，则的最小值为 ．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值是 .
题型13 齐次化构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·天津河西·高二统考期末）已知，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2022秋·湖北黄石·高一期中）已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【变式1-1】若a，b均为正实数，则的最大值为
A．B．C．D．2
【变式1-2】函数的最大值为（ ）
A.B.C.D.
【变式1-3】已知，，则的最大值是 ．
【变式1-4】若实数满足，且，则的最大值为____
题型14 三角换元构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最大值是（ ）
A．B．C．0D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为 ．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为 .
【变式1-3】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为 ．
题型15 因式分解双换元型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式1-1】（2021江苏高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab−3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
【变式1-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知且满足，则的最小值是 .
题型16 配方型
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知a，，且，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（ ）
A．40B．C．42D．
【变式1-3】（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）设，，若，则的最大值为 ．
高考练场练场
1.（2020秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴；
②∵x，y为正实数，∴；
③∵，，∴；
④∵，，∴．
其中正确的推导为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
2.（2021上·湖北武汉·高三统考）函数在区间上（ ）
A．有最大值为，最小值为0B．有最大值为，最小值为0
C．有最大值为，无最小值D．有最大值为，无最小值
3.（2023上·新疆乌鲁木齐·高三新疆实验校考）设x，y均为正数，且，则的最小值为 ．
4.（2022·山东·薛城区教育局教学研究室）已知，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
5.（2022上·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为 .
6.（2022上·湖北恩施·恩施市第一中学校考阶段练习）已知，且，，则的最小值为 .
7.（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是 ．
8.（2020·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，，且，则的最小值为 .
9.（2023·全国·高三专题练习）已知、，且，则的取值范围是 .
10.（2022·重庆·校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为 .
11.（2022秋·贵州毕节·高三统考）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
12.（2023春·天津和平·高三统考）已知，则的最小值是 ．
13.（2023·高三单元测试）函数的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
14.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
15.（2023秋·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为 .
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
倒数型：
，或者
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，
利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换
条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
结构形式：
（1）求
（2）求
积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
积与和型，如果满足有和有积有常数，则可以转化为解不等式型。
形形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。

对于分数型求最值，如果复合pa+qb=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代换来求解。
其中结合所给与所求a、b的系数，可以任意调换，来进行变换凑配。
换元型构造分母和定型：
形如型，则可以 通过换元分母，再利用“1”的代换来求解。
满足 一般情况下可以通过“万能K法”转化求解
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
消元型：
对于双变量型不等式求最值，如果不符合常见的转化方法，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解
一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
第一讲 基本不等式归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc10121" 题型01 公式基础 PAGEREF _Tc10121 \h 1
\l "_Tc7762" 题型02 基础模型：倒数型 PAGEREF _Tc7762 \h 3
\l "_Tc31600" 题型03 常数代换型 PAGEREF _Tc31600 \h 6
\l "_Tc12635" .题型04 积与和型 PAGEREF _Tc12635 \h 8
\l "_Tc12983" 题型05 积与和互化解不等式型 PAGEREF _Tc12983 \h 9
\l "_Tc25720" 题型06 构造分母和定型 PAGEREF _Tc25720 \h 10
\l "_Tc4132" 题型07 凑配系数构造分母和定型 PAGEREF _Tc4132 \h 12
\l "_Tc25348" 题型08 换元构造分母和定型 PAGEREF _Tc25348 \h 14
\l "_Tc24231" 题型09 分子与分母互消型 PAGEREF _Tc24231 \h 16
\l "_Tc27945" 题型10 “1”代换综合型 PAGEREF _Tc27945 \h 18
\l "_Tc25298" 题型11 分子消去型 PAGEREF _Tc25298 \h 20
\l "_Tc28150" 题型12 消元型 PAGEREF _Tc28150 \h 21
\l "_Tc22812" 题型13 齐次化构造型 PAGEREF _Tc22812 \h 23
\l "_Tc16167" 题型14 三角换元构造型 PAGEREF _Tc16167 \h 25
\l "_Tc28420" 题型15 因式分解双换元型 PAGEREF _Tc28420 \h 27
\l "_Tc28705" 题型16 配方型 PAGEREF _Tc28705 \h 28
\l "_Tc22169" 高考练场 PAGEREF _Tc22169 \h 30
热点题型归纳
题型01 公式基础
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有，即可确定C的正误.
【详解】A：当时，有，故不等式不一定成立，故A错误；
B：当，即时，有，故不等式不一定成立，故B错误；
C：恒成立，故C正确；
D：当时，有，故不等式不一定成立，故D错误；
故选：C
【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】当时，可判断A；当时，可判断B；当时，可判断C；利用均值不等式，可判断D.
【详解】选项A：当时，，，不成立，故A错误；
选项B：当时，，，不成立，故B错误；
选项C：当时，，不成立，故C错误；
选项D：由有意义，故，因此
由均值不等式，，当且仅当，即时等号成立
故D正确
故选：D
【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（ ）
A．x＋(x>0)的最小值是2B．的最小值是2
C．的最小值是D．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4
【答案】B
【解析】由二次根式的性质及基本不等式成立的条件逐项判断即可得解.
【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，
但，所以等号不成立，所以，故B错误；
对于C，，当时，等号成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：B.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【答案】D
【分析】利用基本不等式成立的条件及特值法，逐一判断即可．
【详解】∵可能为负数，如时，，∴A错误；
∵可能为负数，如时，，∴B错误；
∵，如时，，∴C错误；
∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确．
故选：D．
【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式，对选项中依次进行求解判断，特别要注意基本不等式成立的条件“一正、二定、三相等”.
【详解】对于选项A，，当时，，即最小值不是，故选项A不符合题意；
对于选项B，，当时，，当且仅当时取等号，即最小值是2，故选项B不符合题意；
对于选项C，，令，则，在上单调递增，当时，最小值为，故选项C不符合题意；
对于选项D，，当且仅当时取等号，即最小值是，故选项D符合题意；
故选：D.
.
题型02 基础模型：倒数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决
【详解】由，可得，
则，则，令，则
，
又在单调递增，在单调递减
，，
则，即
故选：C
【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.
【详解】解：，又，
= =，当且仅当时，等号成立.
故选：B.
【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，根据基本不等式得，根据，，构造对勾函数，然后利用对勾函数的单调性判断最值.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
因为，所以，，
令，根据对勾函数的单调性可知，
当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值，
故，所以，即，
同理，所以，
所以，所以.
故选：C.
【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先化简函数为，再进行换元，结合t的范围，根据对勾函数的单调性求的最小值即得结果.
【详解】因为，定义域为.
令，所以，，验证可知利用基本不等式求最值时等号不成立.
故根据对勾函数在上单调递减，可知在上递减，
所以时，，此时，故函数的最小值为.故选：C.
【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若(x,)最大值记为,则的最小值为
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】设,设,,则,由对勾函数可得在上单调递增,则,讨论与的大小关系,进而求解即可
【详解】设,因为,所以,
设,,由对勾函数的性质可知在上单调递增,
所以,即,因为(x,)最大值记为,
所以当,即,；当,即,,所以的最小值为
故选:D
.
题型03 常数代换型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
【答案】
【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值.
【详解】解：，由于，，是正实数，且，
所以
，当且仅当，即，所以时等号成立，
则的最小值为，所以，
当且仅当，即时等号成立，则最小值为.故答案为：.
【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．13D．21
【答案】B
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：正实数满足，
则，，
即：，当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为11.故选：B.
【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将化为后与相乘，化简后再利用基本不等式求解.
【详解】由题意得：，，，所以得：，
所以：
当且仅当时，即时取等号.
故最小值为：.故答案为：.
【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】由题知，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】因为正数满足，
所以，，
所以，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，的最小值为.故答案为：
【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知，，且，则取得最小值时的值是 .
【答案】/
【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立.故答案为：
题型04 积与和型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知，，且，则当取得最小值时，（ ）
A．16B．6C．18D．12
【答案】B
【分析】根据已知条件可得，将展开利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，，所以
所以．
当且仅当即时取等号，所以当取得最小值时，故选：B.
【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件变形可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，，且，则，可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是.故选：C.
【变式1-1】（2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将已知等式变形为，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，且，则，可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.
【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若，且，则的最小值为（ ）
A．18B．15C．20D．13
【答案】A
【分析】变形条件为，利用“1”的技巧变形待求式，运用均值不等式即可求解.
【详解】由题意可得，
则，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以的最小值为，故选：A
【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【详解】根据题意，，
∴，当且仅当且时等号成立，
∴的最小值为，故选：D．
题型05 积与和互化解不等式型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·云南·校联考阶段练习）已知正数、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值.
【详解】由题意得，
得，即，当且仅当时，等号成立.
因此，的最大值为为.
故选：C.
【典例1-2】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】D
【分析】先化简把单独放在一侧,再应用重要不等式把未知数都转化为,计算求解即可.
【详解】可变形为，因为，所以，
解得，当且仅当时，取到最大值4.故选: D．
【变式1-1】（2022秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知曲线，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用，可求的最大值．
【详解】曲线，，
又，当且仅当时取等号，，
，，，的最大值为．故选：．
【变式1-2】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设，，，则ab的最小值是（ ）
A．4B．9C．16D．25
【答案】D
【分析】利用均值不等式，把方程转化为不等式，解之即可.
【详解】∵，，∴，
令，则，即，解得，
∴，当且仅当时，等号成立.
故选：D
【变式1-3】（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）若，且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简整理式子可得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由，且，则，即，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
整理得，即，
因为，所以，所以，解得.故选：D
题型06 构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）若三个正数满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意为正数，，
所以
，
当且仅当，
，时等号成立.故答案为：
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.
【详解】因为，，，
则
.
当且仅当即时取等.故选：C.
【变式1-1】（2022秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，等式恒成立，，
由于，所以，，
，
当且仅当时，即时取等号.
，，故的最小值为1.故选：.
【变式1-2】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由题可得，，则，
所以
，
当且仅当，即时，取得等号，故选:C.
【变式1-3】（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
因为为正实数，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，故答案为：.
题型07 凑配系数构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三题练习）已知，，且，则的最小值为 .
【答案】12
【分析】，展开后利用基本不等式可求．
【详解】∵，，且，
∴
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为12．故答案为：12．
【典例1-2】（2023秋·全国·高三专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【答案】
【分析】依题意得，利用基本不等式“1”的代换求出的最小值，即可得解.
【详解】因为且，若恒成立，则，
又
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，即实数的取值范围是．故答案为：．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】因为，且，若恒成立，
则，又
，
当且仅当，即，时，等号成立，
，即实数的取值范围是．故答案为：．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意为正数，，
所以
，
当且仅当，
，时等号成立.故答案为：
【变式1-3】（2021·三课时练习）已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】首先利用“1”的等价变形，，再利用基本不等式求最小值.
【详解】，

，
当且仅当，即，解得是等号成立，
所以的最小值是
题型08 换元构造分母和定型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为 ．
【答案】【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】设，
可得，解得，所以，
，
当且仅当时，即等号成立，
则的小值为.故答案为：9.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．
【详解】解：令，，因为，所以，
则，，所以,
所以
，
当且仅当，即，，即时取“”，
所以的最小值为.故答案为：.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将用与表示，凑配常数1，使用“1”的代换与基本不等式求解.
【详解】设，
由对应系数相等得 ，得 所以
整理得即
所以
.经验证当 时，等号可取到.故答案为：
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】换元后可得，再由及“1”的技巧化简，利用均值不等式求解.
【详解】令，则，
即，
，
当且仅当，即时，解得时等号成立，故的最小值为.
故答案为：
题型09 分子与分母互消型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021秋·高三单元测试）已知正数，满足，则的最小值是 .
【答案】【分析】设，则，计算利用基本不等式可得最小值，即可得的最小值，解不等式可得的最小值，即的最小值.
【详解】因为，则，
设，则，
由，
当且仅当即时等号成立，
由即，解得：或（舍）
所以，的最小值是，故答案为：.
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则的最大值是 .
【答案】
【分析】设，则，同时根据均为正数确定的取值范围，利用基本不等式可求得，解不等式可求得结果.
【详解】设，则，
均为正数，，解得：；
则（当且仅当，即时取等号），
又，当，时，取得最小值；
，即，解得：，满足，
的最大值为.故答案为：9
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知为正数，且，则的最大值为 ．
【答案】【分析】等式化为，两边平方，令，由基本不等式可得，即可求出.
【详解】因为，所以，
所以，
即，令，
则，而，当且仅当时，等号成立，
所以，即，所以的最大值为8.故答案为：．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【分析】设，将变形整理，用含k的式子表示，这样会出现互为倒数的形式，再利用基本不等式即可求解.
【详解】解：设，则，∴
∴整理得：，由得
，当且仅当时取“=”.∴，
解得或（舍去）,即当时，取得最小值8，故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.
【详解】因为，所以,所以，
即所以，解得，
当且仅当，解得 或时等号成立，
所以当时有最大值为9.故选:D.
题型10 “1”代换综合型
【典例1-1】（2022上·辽宁大连·大连二十四中校考）已知且，则的最小值等于 .
【答案】/
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】因为且，
所以，
当且仅当且，即，等号成立，
故的最小值等于.
故答案为：.
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考）若实数，满足等式，，，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得：，由已知可得代入整理，再利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可求解.
【详解】由题意可得：，
因为，所以，即
，当且仅当即时等号成立，，所以，即，所以，解得：，所以实数的取值范围为：，故答案为：.
【变式1-1】（2020上·上海徐汇·高三上海中学校考）已知实数满足且，若，则的最小值是
【答案】
【解析】将变形为，再根据“”的妙用结合基本不等式求解出的最小值.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以，取等号时，即，
所以的最小值为，故答案为：.
【变式1-2】（2020·江苏苏州·吴江盛泽中学模拟预测）已知，且，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由基本不等式可得：≤ ，即 ≤4，当且仅当时，取“”．
又因为≥8.
当且仅当时，取“”．
所以≥≥.
当且仅当时，取“”．
所以的最小值为.
题型11 分子消去型
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·江苏省震泽中学高三阶段练习）若，，，则的最小值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】，结合基本不等式即可求出答案.
【详解】解：，
因为，，所以，
当且仅当，即，即或时，取等号，
所以的最小值为.故选：A.
【典例1-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解.
【详解】因为，，．所以，当且仅当时，等号成立．故选：B.
【变式1-1】（2022春·广东韶关·高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．6C．7D．
【答案】B
【分析】利用已知条件 将原式化为可以使用基本不等式的形式即可.
【详解】由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号，
∴ 的最小值为6；故选：B.
【变式1-2】（2023春·重庆·高三校联考期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量共线定理推论得，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为
因为点在线段上（不含端点），所以
当且仅当时取等号，故选：B
【变式1-3】（2022春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考期中）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．13D．21
【答案】B
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：正实数满足，则，
，即：，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为11.故选：B.
题型12 消元型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为x＋2y＋xy＝7，所以，所以．
因为，则所以，
当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立，
所以x＋y的最小值为3．故选：D
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A．14B．C．8D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，用含x的式子表示，再运用基本不等式求解作答.
【详解】因为，则，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取最小值14.故选：A
【变式1-1】（2023秋·海南海口·高三校考开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B【分析】根据变形得，进而转化为，
用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.故选：B.
【变式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）若，且，则的最小值为 ．
【答案】3【分析】由已知得，代入，然后由基本不等式得最小值．
【详解】因为，所以，
，当且仅当时，等号成立．
故答案为：3．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为正实数、满足，则，由可得，
所以，
.
当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故答案为：.
题型13 齐次化构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·天津河西·高二统考期末）已知，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，化二元变量问题为一元变量，结合基本不等式处理.
【详解】，设，则.
于是，
令，则，
当，即，也即时，取到最小值.故选：C
【典例1-2】（2022秋·湖北黄石·高一期中）已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】将原式变形，换元设，然后利用基本不等式可求得结果.
【详解】由题得，设，
则，
当且仅当，即时取等号．所以的最小值为6．故选：C．
【变式1-1】若a，b均为正实数，则的最大值为
A．B．C．D．2
【答案】B【详解】因为a，b均为正实数，
则，
当且仅当，且a=1取等，即a=1,b= 取等即则的最大值为，故选：B．
【变式1-2】函数的最大值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B【解析】由题意得，
当且仅当时，取最大值,故选B.
【变式1-3】已知，，则的最大值是 ．
【答案】详解：由题得原式=，设，所以原式=，令
所以原式=.(函数在上单调递减).故答案为：.
【变式1-4】若实数满足，且，则的最大值为____
【详解】实数x、y满足x＞y＞0，且lg2x+lg2y＝1，则xy＝2，
则，
当且仅当x﹣y，即x﹣y＝2时取等号故的最大值为，故答案为：．
.
题型14 三角换元构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值；
法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.
【详解】法一：∵，∴可设，，
∴，代入所求式子得，，
当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.
法二：设，，代入已知等式得，，
∴
，
其中，.∴，所以的最小值为.故选：D
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最大值是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.
【详解】
令
，等号在时取到．
故选：A
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】【分析】设，结合三角函数定义表示，代入条件等式通过三角恒等变换和正弦函数性质可求的最小值.
【详解】设，则，则点在单位圆上，
根据三角函数的定义，可设，，则，
则由可得，
则，因为由可得，所以，即，
所以，
由可得，
所以当时，取得最小值，即的最小值为，故答案为：
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】把整理为完全平方式，利用三角换元法可求.
【详解】因为，所以令，
解得，
所以
.
因为，所以的最小值为.
【变式1-3】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由a2＋b2＝c2可设a＝csinx，b＝ccsx，＝＝，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±，则的取值范围为.
题型15 因式分解双换元型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.
【详解】，，配凑得：，
两边同时除以4得：，即，
令，，则，，，
所以
（当且仅当即时，等号成立）.
故选：C.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.
【详解】因为，所以，令，则且
，代入中得：
当即时取“=”,所以最小值为1.故选：B
【变式1-1】（2021江苏高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab−3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
【详解】5+14由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a=x+3y4，b=x−y4，
所以a2+b2＝（x+3y4）2+（x−y4）2=x2+5y2+28≥25x2y2+28=5+14，当且仅当x2=5，y2=55时取等．故答案为5+14．
【变式1-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值；
【详解】：∵，
∴可设，，
∴，代入所求式子得，
，
当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知且满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将因式分解，令，，即可求得，代入利用均值不等式即可求得最小值．
【详解】解：，
令，，
则，，且，
所以
当且仅当时取等号，此时的最小值故答案为：．
题型16 配方型
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知a，，且，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】由题知，进而得，再结合已知得，即可得答案.
【详解】解：，
则，当且仅当时，“=”成立，
又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，
所以的最大值为.故选：C
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】将条件中的式子进行配方，利用基本不等式得到关于的不等式，解不等式即可求出结果.
【详解】因为，
所以 ，当且仅当时等号成立，因为，
所以，即，所以，
即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，故选：B.
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围．
【详解】解：，，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，，
的取值范围是．故选：B．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（ ）
A．40B．C．42D．
【答案】D
【分析】将表示成的函数，利用均值不等式求出的范围即可求解作答.
【详解】，
又，当且仅当时取“=”，则，
所以当时，的最大值为.故选：D
【变式1-3】（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）设，，若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值.
【详解】因为，
所以，，可得，
当且仅当时，取最大值.
故答案为：.
高考练场 高考练场
1.（2020秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴；
②∵x，y为正实数，∴；
③∵，，∴；
④∵，，∴．
其中正确的推导为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】D
【解析】根据基本不等式的条件判断，
【详解】①，∴，因此正确；
②时，若，则，不等式错误；
③时，不等式错误；
④，则，，因此不等式正确，从而不等式正确．
故选：D．
2.（2021上·湖北武汉·高三统考）函数在区间上（ ）
A．有最大值为，最小值为0B．有最大值为，最小值为0
C．有最大值为，无最小值D．有最大值为，无最小值
【答案】A
【分析】计算，设，变换，根据双勾函数的性质得到函数的单调区间，计算最值得到答案.
【详解】当时，，
设，易知在上单调递增，故.
，，当时，，
双勾函数在上单调递减，在上单调递增，且，
故，，
综上所述：，，即，.
故选：A.
3.（2023上·新疆乌鲁木齐·高三新疆实验校考）设x，y均为正数，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据基本不等式“1”的代换求解最值即可.
【详解】因为x，y均为正数，且
则
当且仅当且，即
所以的最小值为.故答案为：.
4.（2022·山东·薛城区教育局教学研究室）已知，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】A
【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【详解】因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为3.故选：A.
5.（2022上·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由，可得，再根据结合基本不等式即可得解.
【详解】解：因为，所以，
则
，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.故答案为：.
6.（2022上·湖北恩施·恩施市第一中学校考阶段练习）已知，且，，则的最小值为 .
【答案】/.
【分析】由于，，所以，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为，所以
又因为，所以，即，所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故答案为：
7.（2023·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；即的最小值是，故答案为.
8.（2020·全国·高三专题练习）已知正实数、满足，，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】将等式变形为，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，，则，，由得，
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故答案为：.
9.（2023·全国·高三专题练习）已知、，且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得，将题中等式变形为，在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的二次不等式，解此二次不等式可得出的取值范围.
【详解】、，，，，
，所以，即，
，解得.当且仅当时，；当且仅当时，.
因此，的取值范围是.故答案为：.
10.（2022·重庆·校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】由为，转化，结合均值不等式，即得解
【详解】因为，所以
=2，
当且仅当，即，即时，等号成立.故答案为：2
11.（2022秋·贵州毕节·高三统考）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】C
【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】由于，，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.故选：C．
12.（2023春·天津和平·高三统考）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得.
【详解】∵，∴且，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴的最小值为.故答案为：.
13.（2023·高三单元测试）函数的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数
又由，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以即函数的最大值是.故选：C.
14.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】【分析】由可得原不等式等价于，两边平方，利用均值不等式求解即可.
【详解】因为，所以，所以不等式可化为，
设，，则，则，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，即，所以，故答案为：
15.（2023秋·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为 .
【答案】【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由，得，设，其中.
则，从而，
记，则，不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
倒数型：
，或者
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，
利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换
条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
结构形式：
（1）求
（2）求
积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
积与和型，如果满足有和有积有常数，则可以转化为解不等式型。
形形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。

对于分数型求最值，如果复合pa+qb=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代换来求解。
其中结合所给与所求a、b的系数，可以任意调换，来进行变换凑配。
换元型构造分母和定型：
形如型，则可以 通过换元分母，再利用“1”的代换来求解。
满足 一般情况下可以通过“万能K法”转化求解
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
消元型：
对于双变量型不等式求最值，如果不符合常见的转化方法，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解
一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）