2024年新高考数学题型全归纳讲义第十八讲立体几何动点与外接球归类(原卷版+解析)

这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第十八讲立体几何动点与外接球归类(原卷版+解析)，共74页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30050" 题型01四大基础模型：三线垂直型 PAGEREF _Tc30050 \h 1
\l "_Tc28684" 题型02 四大基础模型：对棱相等型 PAGEREF _Tc28684 \h 2
\l "_Tc32446" 题型03四大基础模型：直棱柱型 PAGEREF _Tc32446 \h 3
\l "_Tc32522" 题型04 四大基础模型：双线交心型 PAGEREF _Tc32522 \h 4
\l "_Tc16304" 题型05垂面型外接球 PAGEREF _Tc16304 \h 5
\l "_Tc9487" 题型06二面角型外接球 PAGEREF _Tc9487 \h 6
\l "_Tc31535" 题型07 四棱锥型外接球7
\l "_Tc12683" 题型08圆锥形外接球8
\l "_Tc16883" 题型09棱台型外接球9
\l "_Tc7476" 题型10圆台型外接球 PAGEREF _Tc7476 \h 10
\l "_Tc12596" 题型11 内切球型 PAGEREF _Tc12596 \h 11
\l "_Tc25173" 题型12 最值型外接球12
\l "_Tc11326" 题型13翻折型外接球 PAGEREF _Tc11326 \h 13
\l "_Tc2193" 题型14外接球计算截面 PAGEREF _Tc2193 \h 14
\l "_Tc4002" 高考练场 PAGEREF _Tc4002 \h 14
热点题型归纳
题型01四大基础模型：三线垂直型
【解题攻略】
【典例1-1】在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为___________
【典例1-2】.在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022上·江西萍乡·高三统考）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】．（2020下·四川绵阳·高三统考）在边长为4的正方形中，，分别为，的中点.将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2018上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型02 四大基础模型：对棱相等型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2019下·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在三棱锥中，、、两两重直，，，，则该三棱锥外接球表面积为 ．
【变式1-1】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型03四大基础模型：直棱柱型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】．（2022下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型04 四大基础模型：双线交心型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·河南·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2021上·贵州·高三统考）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022下·吉林·高三吉林一中校考）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，，，则该三棱锥的外接球表面积为 ．
【变式1-3】（2021上·江苏南京·高三统考开学考试）在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为 .
题型05垂面型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2020下·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）在三棱锥中，，，，，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为．
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021·高三课时练习）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023上·江苏连云港·高三校考）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面ABC，，点Q为三棱锥外接球O上一动点，且点Q到平面PAC的距离的最大值为，则球O的体积为( )
A．B．
C．D．
题型06二面角型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则
A．1B．2C．D．
【典例1-2】（2022上·湖南郴州·高三统考阶段练习）在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型07 棱锥型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江·高三校联考开学考试）已知四棱锥外接球表面积为，体积为平面，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·湖北十堰·统考三模）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．10C．D．11
【变式1-1】（2022·江西·校联考模拟预测）在平行四边形中，，现沿着将平面折起，E，F分别为和的中点，那么当四棱锥的外接球球心不在锥体内部时，的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·模拟预测）如图1，平面五边形，，，，，将沿折起至平面平面，如图2，若，则四棱锥的外接球体积是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
题型08圆锥形外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·浙江杭州·高三统考）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，则（ ）

A．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
B．设内切球的表面积，外接球的表面积为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的一点，为的中点，，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆上存在点使平面
B．圆上存在点使平面
C．圆锥的外接球表面积为
D．棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
【变式1-1】（2021·安徽·校联考模拟预测）已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为 .
【变式1-2】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．B．C．D．
【变式1-3】已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为___________.
题型09棱台型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
【典例1-2】由正三棱锥截得的三棱台的各顶点都在球的球面上，若，三棱台的高为2，且球心在平面与平面之间（不在两平面上），则的取值范围为________.
【变式1-1】已知正三棱台的上下底边长分别为，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上，且球心在正三棱台内，则球的表面积为__________．
【变式1-2】在正四棱台中，，则（ ）
A．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
B．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
C．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
D．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
【变式1-3】．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
题型10圆台型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·江西南昌·高三校联考阶段练习）如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
①圆台的母线长为3；
②球的半径为；
③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为；
④点的轨迹的长度是．
A．1B．2C．3D．4
【典例1-2】（2023下·湖南益阳·高三统考）已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023下·湖北咸宁·高三统考）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）

A．B．C．2D．
【变式1-2】已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．
【变式1-3】已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
题型11 内切球型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·湖南郴州·统考一模）在圆锥中，母线，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（ ）
A．当时，则圆锥的体积为
B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
【典例1-2】.若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·山东日照·统考二模）已知AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，，圆锥SO的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆O上存在点M使∥平面SBC
B．圆O上存在点M使平面SBC
C．圆锥SO的外接球表面积为
D．棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
【变式1-3】已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱与底边夹角的余弦值为，则正四棱锥的外接球与内切球的半径之比为___________.
题型12 最值型外接球
【典例1-1】在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为
A．B．C．D．
【典例1-2】已知三棱锥的外接球O半径为2，球心O到所在平面的距离为1，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【变式1-1】已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（）
A．B．
C．D．
【变式1-2】如图，在体积为的三棱锥中，，，底面，则三棱锥外接球体积的最小值为______.
【变式1-3】如图，已知等腰三角形的面积为，是底边的中点，将沿中线折起，得到三棱锥．若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为______．
题型13翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为，则（ ）
A．8B．4C．D．2
【典例1-2】如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
【变式1-1】（2020·江西·统考模拟预测）已知矩形中，，，取线段，的中点，，连接，以线段为折痕进行翻折，使得，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知等边的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______.
题型14外接球计算截面
【典例1-1】已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知球是棱长为1的正方体的外接球，为棱中点，现在棱和棱上分别取点，，使得平面与正方体各棱所成角相等，则平面截球的截面面积是__.
【变式1-1】已知正方体的棱长2，中心为，则四棱锥的外接球被平面截得的截面面积为______．
【变式1-2】如图，已知球O是直三棱柱的外接球，，，E，F分别为，的中点，过点A，E，F作三棱柱的截面α，若α交于M，过点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．
【变式1-3】已知正三棱锥的外接球是球，，，点为中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______.
高考练场
1.（2018上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱锥中, ,,.则该三棱锥的外接球表面积为 .
3.（2023上·四川广元·高三统考）三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，，△APC的面积为，则三棱锥P－ABC的外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4.（2021·陕西渭南·统考一模）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是 .
5.．（2023上·高三课时练习）已知三棱锥的底面ABC是等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M为SB上一点，且．设三棱锥外接球球心为O，则（ ）
A．直线OM⊥平面SAC，OA⊥SBB．直线平面SAC，OA⊥SB
C．直线OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBCD．直线平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
6.在四面体中，， ，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7.（2023下·陕西西安·高三长安一中校考）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
8.如图所示，正四棱台的顶点都在表面积为的球面上，侧棱长为，且侧棱与底面所成角为，则其上、下底面积之比为（ ）
A．B．C．D．
9.已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
10.已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，内有一个体积为的球，若的最大值为，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
11.已知三棱锥的外接球表面积为，，则三棱锥体积的最大值为___________.
12.如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
13.在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
14.设三棱锥的所有棱长均为1，点满足，，，则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
15.（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）体积为8的四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的外接球球心到底面的距离为1，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D． 正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
对棱相等的四面体：
三棱锥对棱相等，
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为：
1、寻找一个或两个面的外接圆圆心
2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心；
3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积.
如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法
包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）

等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
面面垂直型基本图形
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，

二面角型求外接圆
在空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为两面交线的中点
所以
因为四点共圆，，根据余弦定理可知
锥体求外接球
（1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
(2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：，解出
类比正棱锥，可以得带圆锥型外接球
正棱台外接球，以棱轴截面为主。
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
圆台外接圆模型
圆台外接球，即轴截面题型外接圆
内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，正多面体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.其中锥体与内切球的关系：(V为几何体的体积，S为多面体的表面积，r为内切球的半径)
三角形内切圆
类比：三棱锥
第十八讲 立体几何动点与外接球归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30050" 题型01四大基础模型：三线垂直型 PAGEREF _Tc30050 \h 1
\l "_Tc28684" 题型02 四大基础模型：对棱相等型 PAGEREF _Tc28684 \h 4
\l "_Tc32446" 题型03四大基础模型：直棱柱型 PAGEREF _Tc32446 \h 6
\l "_Tc32522" 题型04 四大基础模型：双线交心型 PAGEREF _Tc32522 \h 10
\l "_Tc16304" 题型05垂面型外接球 PAGEREF _Tc16304 \h 13
\l "_Tc9487" 题型06二面角型外接球 PAGEREF _Tc9487 \h 17
\l "_Tc31535" 题型07 四棱锥型外接球 PAGEREF _Tc31535 \h 21
\l "_Tc12683" 题型08圆锥形外接球 PAGEREF _Tc12683 \h 24
\l "_Tc16883" 题型09棱台型外接球 PAGEREF _Tc16883 \h 28
\l "_Tc7476" 题型10圆台型外接球 PAGEREF _Tc7476 \h 32
\l "_Tc12596" 题型11 内切球型 PAGEREF _Tc12596 \h 35
\l "_Tc25173" 题型12 最值型外接球 PAGEREF _Tc25173 \h 41
\l "_Tc11326" 题型13翻折型外接球 PAGEREF _Tc11326 \h 44
\l "_Tc2193" 题型14外接球计算截面 PAGEREF _Tc2193 \h 47
\l "_Tc4002" 高考练场 PAGEREF _Tc4002 \h 51
热点题型归纳
题型01四大基础模型：三线垂直型
【解题攻略】
【典例1-1】在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为___________
【答案】【分析】设的垂心为，由平面可证明，，，结合推导出，，两两互相垂直，则外接球半径满足，求出代入求解即可得出答案．
【详解】
解：设的垂心为，连接，则平面，如图所示：
由垂心知，，又，，则平面，又平面，所以，
又，，所以平面，又平面，得，
同理，则，
所以，，两两互相垂直，设三棱锥的外接球半径为，
则，所以，球的表面积为．故答案为：.
【典例1-2】.在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【解析】因为，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等．设，则．
根据，得，
解得．
设三棱锥外接球的半径为，则，所以．
故所求外接球的表面积为．
故选：A．
【变式1-1】（2022上·江西萍乡·高三统考）三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【分析】由题可知，可将三棱锥补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.
【详解】由平面BCD，，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，如图所示，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，
则，所以该三棱锥的外接球表面积为.故选：C．
【变式1-2】．（2020下·四川绵阳·高三统考）在边长为4的正方形中，，分别为，的中点.将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】三棱锥中，两两垂直，以它们为相邻棱把三棱锥中补成一个长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由此易得球半径，得面积．
【详解】由题意三棱锥中，两两垂直，以它们为相邻棱把三棱锥中补成一个长方体，如图，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，
，，则外接球半径为，
表面积为．
故选：D．
【变式1-3】（2018上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意画出图形，把三棱锥P-AEF补形为长方体，求出长方体的对角线长，得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解．
【详解】解：如图，
由题意可得，三棱锥P-AEF的三条侧棱PA，PE，PF两两互相垂直，
且，，
把三棱锥P-AEF补形为长方体，则长方体的体对角线长为，
则三棱锥P-AEF的外接球的半径为，
外接球的表面积为．
故选C．
题型02 四大基础模型：对棱相等型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可．
【详解】因为，
所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有，整理得，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有，
所以所求的球体表面积为：．故选：A．
【典例1-2】（2019下·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在三棱锥中，、、两两重直，，，，则该三棱锥外接球表面积为 ．
【答案】
【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．
【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球.
设，长方体的对角线长为，
∴ ∴，
球的直径是，球的半径为，
球的表面积．故答案为：．
【变式1-1】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将三棱锥放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，求出即得三棱锥外接球的半径，即得解.
【详解】解：由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，解得，，．
所以三棱锥外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．故选：C
【变式1-2】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.
【详解】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，
因此三棱锥外接球的直径为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：A
【变式1-3】在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将棱锥补全为长方体，由长方体外接球直径与棱长关系求直径，进而求其表面积.
【详解】三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝5，，，
构造长方体使得面对角线分别为5，，，则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径，如图所示，
设长方体棱长分别为a，b，c，则，，，
则，即，外接球表面积.
故选：D
.
题型03四大基础模型：直棱柱型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知利用余弦定理求得，可得，由平面，可知三棱锥可以补形为长方体，此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，即可求得外接球的表面积.
【详解】如图，在中，由余弦定理，得，
即，则，故，
又而平面，将三棱锥置于一个长方体中，可知三棱锥的外接球半径，
则外接球表面积，
故选:D．

【典例1-2】．（2022下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表面积即可解决.
【详解】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH，
等腰梯形中，，，
则有，则四边形为平行四边形，
则，又，则为等边三角形，
则，则△为等边三角形
则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心，
△中，，则
又底面，则底面，
又，即，
故点H为四棱锥的外接球球心，
球半径则四棱锥外接球表面积为故选：C
【变式1-1】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将三棱锥可以补成长方体，从而得到为三棱锥的外接球的直径，要想体积最小，则最小即可，设，表达出，从而得到，进而求出外接球体积的最小值.
【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线，
则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．
设，则，，，
所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，
所以．故选：A
【变式1-2】（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中点，的中点，连，，，，证明是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径；是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径，设，求出，根据球的表面积公式可求出结果.
【详解】取的中点，的中点，连，，，，
因为平面，平面，所以，，，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
在直角三角形中，是斜边的中点，所以，
在直角三角形中，是斜边的中点，所以，
所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.
因为，是斜边的中点，所以，
因为， 是斜边的中点，所以，
所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.设，则，
则，，所以.故选：B.
【变式1-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先确定底面外接圆半径，则所求外接球半径为，代入球的表面积公式即可求得结果.
【详解】四边形为边长为的正方形，四边形的外接圆半径，
又平面，，四棱锥的外接球半径，
四棱锥的外接球表面积.故选：D.
.
题型04 四大基础模型：双线交心型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作于E，则PE为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球球心，根据勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】
设正方形的边长为，在等边三角形中，过点作于E，
由于平面平面，∴平面．
由于是等边三角形，则，
∴，解得．
设四棱锥外接球的半径为，为正方形ABCD中心，为等边三角形PAB中心，
O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知为矩形，
则，，
，∴外接球表面积．故选：C．
【典例1-2】（2022·河南·校联考模拟预测）在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设中点为，的外心为，的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两条垂线的交点，则点即为三棱锥外接球的球心，求出三棱锥外接球的半径，假设球心到平面的距离得答案．
【详解】解：设中点为，的外心为，的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两条垂线的交点，则点即为三棱锥外接球的球心，
因为和都是边长为的正三角形，可得，
因为平面平面，，平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，所以四边形是边长为1的正方形，
所以外接球半径，所以到平面的距离，
即点到平面距离的最大值为.故选：D.
【变式1-1】（2021上·贵州·高三统考）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别设出三棱锥的底面边长和高，利用体积为，则可得出其关系式.再利用三棱锥的底面边长和高表示出三棱锥的外接球半径，即可利用基本不等式得出其半径的最小值，即可求出其表面积的最小值.
【详解】设三棱锥外接球的球心为，三棱锥底面边长和高分别为，.底面的外接圆半径为，则.
由题意可知是三棱锥的外接球的一条直径，则，即.
设三棱锥的外接球半径为，球心到底面的距离为.则，
故三棱锥的外接球表面积为.
故选：A.
【变式1-2】（2022下·吉林·高三吉林一中校考）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面 ，，，则该三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【详解】
如图，是三棱锥外接球的球心，是外接圆的圆心，由球的性质可得平面；又平面平面，取的中点，连接，
又是边长为2的等边三角形，故且 ,又平面平面，平面， 平面 ，，连结过点作 所以四边形是平行四边形，；
在中， 由正弦定理可得 即：
设三棱锥外接球的半径为
在中， 故
在中，且是的中点，故
在中， 故
在中， 故
两边平方得：
解得：所以三棱锥外接球的表面积为
故答案为：
【变式1-3】（2021上·江苏南京·高三统考开学考试）在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为 .
【答案】
【分析】设中点为，可证明，设和的外心分别为和，过和分别作两个平面的垂线交于点即为三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径的长，到平面的距离即可求解.
【详解】
设中点为，的外心为，的外心为，
过点作面的垂线，过点作直线面的垂线，
两条垂线的交点即为三棱锥外接球的球心，
因为和都是边长为的正三角形，可得，
又，所以，所以，
又因为，，所以面，
因为平面，所以平面平面，且，
所以四边形是边长为的正方形，所以外接球半径，
到平面的距离，
故答案为：.
题型05垂面型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2020下·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）在三棱锥中，，，，，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取AB中点D，AC中点E，连PD，ED，得E为△外接圆的圆心，且OE∥平面，然后求出△的外接圆半径和球心到平面的距离等于，由勾股定理得，即可得出答案.
【详解】解：取AB中点D，AC中点E，连PD，ED
因为，所以E为△外接圆的圆心
因为OE∥PD，OE不包含于平面，所以OE∥平面
因为平面平面，，得PDAB，EDAB
所以PD平面，ED平面。且，
所以球心到平面的距离等于
在△中，，，所以，
所以△得外接圆半径，即
由勾股定理可得球的半径故选A.
【典例1-2】（2021·高三课时练习）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意画出图形，由于与均为边长为2的等边三角形，取中点，连接，，则，根据面面垂直的性质可得出平面，再确定为三棱锥的外接球的球心，结合已知求出三棱锥外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出外接球的表面积.
【详解】解：在边长为2的菱形中，，
如图，
由已知可得，与均为边长为2的等边三角形，
取中点，连接，，则，，
平面平面，交线为，而平面，则平面，分别取与的外心，，
过，分别作两面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，
由与均为等边三角形且边长为2，可得，，
，即三棱锥外接球的半径：，
三棱锥的外接球的表面积为：.故选：C.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先取的中点，连接，，根据题意得到为四面体外接球的球心，且半径，再计算的长度得到，从而得到到的距离为1，再计算直线被四面体的外接球所截得的线段长即可.
【详解】取的中点，连接，，如图所示：
因为，，所以为四面体外接球的球心，且半径.因为，且为中点，所以.平面平面，所以平面.
过作，过作，连接，如图所示：
在中，，，所以，同理，所以.
在中，，所以在中，.
又因为，所以到的距离，
所以直线被球截得的线段长.故选：D
【变式1-2】（2023上·江苏连云港·高三校考）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，，，设三棱锥外接球的球心为，设过点的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.
【详解】连接，，由，
可知：和是等边三角形，
设三棱锥外接球的球心为，
所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，
是等边三角形，为中点，
所以，又因为侧面底面，侧面底面，
所以底面，而底面，因此，所以是矩形,
和是边长为的等边三角形，所以两个三角形的高，
在矩形中，，连接，
所以，设过点的平面为，当时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，，
因此圆的半径为：，所以此时面积为，
当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，
所以截面的面积范围为.故选：A．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面ABC，，点Q为三棱锥外接球O上一动点，且点Q到平面PAC的距离的最大值为，则球O的体积为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取AC的中点M，证明BM⊥平面PAC，从而可得BM⊥平面PAC，可得BM⊥PA，再证PA⊥平面ABC；设BC＝a，在△ABC中，利用余弦定理求出cs∠ABC及∠ABC的大小.设外接圆的圆心为，半径为r，球O的半径为R，求出长度；连接，OA，求出长度；在△PAO中，利用勾股定理求出R．易知，从而得∥平面PAC，从而得点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离.根据点Q到平面PAC距离的最大值为可得a的值，从而求得R，再根据球的体积公式即可求解．
【详解】取AC的中点M，∵，∴，∵平面平面ABC，平面平面，
∴平面PAC，∵平面PAC，∴，∵，，∴平面ABC，
设，则，∴，
设外接圆的圆心为，半径为r，球O的半径为R，如图所示，显然B，M，三点共线，且平面PAC．
由，，得，，∴；连接，OA，则，
由平面ABC，且外接圆的圆心为，可得．
∵平面ABC，∴，∥平面PAC，∴点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离，
∵点Q到平面PAC距离的最大值为，∴，得，∴，
∴球O的体积为．故选：C．
.
题型06二面角型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）在菱形中，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则
A．1B．2C．D．
【答案】B
【详解】因为在菱形 中，的中点为,所以 ,则 ,所以 为二面角的平面角,,由于,所以 为等边三角形,若外接圆的圆心为,则平面,在等边中,,可以证明,所以,又,所以 ,在中,,选B.
【典例1-2】（2022上·湖南郴州·高三统考阶段练习）在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．
【详解】解：如图所示，，，，
，设，则，，由勾股定理可得，
，四面体的外接球的表面积为，故选：．
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题作出图形，易得外接圆圆心在中点，结合正弦定理可求外接圆半径，结合图形知，，再结合二面角大小求出，进而得解.
【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，，又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为，
故选：B
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由球的截面性质确定球心的位置，结合条件求出球的半径，由此可求外接球的表面积
【详解】如图所示，为直角三角形，又，所以，因为为正三角形，所以，
连接，为的中点，E为中点，则，所以为二面角的平面角
所以．因为为直角三角形，E为中点，所以点为的外接圆的圆心，
设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．
则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，
，
所以,，∴．
所以，故选：C.
【变式1-3】已知在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，取AC的中点D，连接BD，SD，则可得为二面角的平面角，得，过点D作与平面垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，然后在△OSD中利用余弦定理可求出R，从而可求得球的表面积.
【详解】如图，取AC的中点D，连接BD，SD，因为，，
所以，所以为二面角的平面角，所以，因为AB⊥BC，，所以，因为，所以，
过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，可得，
在△OSD中，∠ODS＝，利用余弦定理可得，
解得R2＝，所以其外接球的表面积为.故选：D
.
题型07 棱锥型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江·高三校联考开学考试）已知四棱锥外接球表面积为，体积为平面，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将已知转化为，运用余弦定理与基本不等式得到AC的取值范围，
由此运用正弦定理得四边形ABCD外接圆半径的范围，然后根据球的性质得球半径的
范围，得解.
【详解】
以四边形ABCD的外接圆为底，PA为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.
设内接圆柱的底面半径为r、 R外接球的半径，,则，
，故，
，所以
在中运用余弦定理与基本不等式得：
，
在中运用余弦定理与基本不等式得：，
上两式相加得：，故有： ，
在中由正弦定理得：，
因此，.故选：B
【典例1-2】（2022·湖北十堰·统考三模）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．10C．D．11
【答案】C
【分析】判断出为外接球直径即可求出外接球半径，由得即可求出内切球半径，即可求出表面积之比.
【详解】
设四棱锥外接球与内切球的半径分别为R，r，由底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
则即为外接球直径，则.
设内切球球心为，因为，
又，，
四棱锥的表面积，所以，
故四棱锥外接球与内切球的表面积之比为.
故选：C.
【变式1-1】（2022·江西·校联考模拟预测）在平行四边形中，，现沿着将平面折起，E，F分别为和的中点，那么当四棱锥的外接球球心不在锥体内部时，的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，当折起平面时，四棱锥的外接球球心在或其延长线上.当外接球球心与点重合时，求出的值，利用排除法出答案.
【详解】因为平行四边形中，，
所以三角形与都是边长为的正三角形，
当折起平面时，四棱锥的外接球球心是过三角形的中心平面的垂线与过三角形的中心平面的垂线的交点，
因为E，F分别为和的中点，所以由对称性可知，球心在或其延长线上.
因为四棱锥的外接球球心不在锥体内部，
若球心与点重合.连接，根据题设可知,，所以，根据勾股定理，有
可得, ，因为，所以排除ABC.
故选：D.
【变式1-2】（2022·全国·模拟预测）如图1，平面五边形，，，，，将沿折起至平面平面，如图2，若，则四棱锥的外接球体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作，，由题意计算得，，，证明得平面，从而判断得外接球球心在平面的垂线上，再计算出，可得就是外接球球心，从而得半径，代入球的体积公式计算.
【详解】由，易得，由题可知四边形为等腰梯形，过点作，在中，，，由三角函数知，所以，取中点，过点作交于点，连接，，又因为平面平面，所以平面，易求，所以为中点，且外接球球心在平面的垂线上，又因为中，，，所以；同理可得，所以在平面内，，即就是外接球球心，所以半径，所以四棱锥外接球体积为.
故选：A.
【变式1-3】（2022下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表面积即可解决.
【详解】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH，等腰梯形中，，，
则有，则四边形为平行四边形，则，又，则为等边三角形，
则，则△为等边三角形。则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心，
△中，，则
又底面，则底面，
又，
即，故点H为四棱锥的外接球球心，
球半径则四棱锥外接球表面积为故选：C
题型08圆锥形外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·浙江杭州·高三统考）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，则（ ）

A．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
B．设内切球的表面积，外接球的表面积为，则
C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D．设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
【答案】ACD
【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为（即为的重心），即可求出的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A、B，由圆锥及球的体积公式判断C，所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，即可求出，不妨设为上的点，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，即可求出截面圆的半径，从而判断D.
【详解】作出圆锥的轴截面如下：

因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，
又，所以，
设球心为（即为的重心），所以，，
即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故A正确；
设内切球的表面积，外接球的表面积为，则，故B错误；
设圆锥的体积为，则，
内切球的体积为，则，所以，故C正确；
设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上），
设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则，
过点作交于点，则，所以，
即，解得，
所以平面截内切球截面圆的半径，
所以截面圆的面积为，故D正确；故选：ACD
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的一点，为的中点，，圆锥的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆上存在点使平面
B．圆上存在点使平面
C．圆锥的外接球表面积为
D．棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
【答案】AD
【分析】对于选项A，通过找面面平行得到线面平行，从而判断出选项A正确；对于选项B，通过假设存在点，从则得出面SBC应与面平行，与题意不符，从而判断出B错误；对于选项C，可以直接求出外接球的半径，求出球的表面积，从而判断出C错误；对于选项D，转化成正四面体的外接球能否在圆锥内任意转动，进而去判断圆锥轴截面内切圆半径与球半径的关系，从而判断出选项D的正误.
【详解】对于选项A，如下图，过作，交劣弧与点，连接，
由于分别为的中点，所以，
由于面，面，面，面，
所以面，面，面，面，
又因为，所以面面，
由于面，所以面，所以选项A正确；
选项B， 假设在点M使面SBC，面SBC，所以，
由圆锥易得底面圆，底面圆，
所以，，面，面，
所以面，
故面SBC应与面平行，与题意显然不符，即选项B错误；
选项C，如下图，依题意可知，所以，又，所以，
不妨设圆锥外接球心为，半径为，则，
即，将代入，解得，
所以球的表面积，即选项C错误；
选项D，棱长为的正四面体如下图所示，
正方体的边长为，体对角线长为，
所以棱长为的正四面体的外接球半径为，
设内切圆的半径为，则，解得，
所以，所以棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动，即选项D正确．
故选：AD.
【变式1-1】（2021·安徽·校联考模拟预测）已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为 .
【答案】
【分析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，根据已知条件求出、，利用圆锥的侧面积公式可求得圆锥的侧面积.
【详解】设，球的半径为，则，球的表面积为，得，
,
在中，，即，解得，
故圆锥的侧面积为.
故答案为：.
【变式1-2】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，
侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=,
则圆锥的体积为,
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,
在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,
展开整理得R=所以外接球的体积为,
故所求体积比为故选A
【变式1-3】已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为___________.
【答案】
【分析】
设圆锥的底面半径为，球的半径为，根据已知条件求出、，利用圆锥的侧面积公式可求得圆锥的侧面积.
【详解】
设，球的半径为，则，球的表面积为，得，
,
在中，，即，解得，
故圆锥的侧面积为.故答案为：.
题型09棱台型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．
【答案】
【分析】设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，下底面的外接圆的圆易得三棱台的外接球的球心在上，分别求得AG，，在和，利用勾股定理求解.
【详解】如图所示：设三棱台的上底面的外接圆的圆心为，
下底面的外接圆的圆心为，则，为所在正三角形的中心，故三棱台的外接球的球心在上，因为是边长为6的等边三角形，故，
同理可得，设三棱台的外接球的半径为，在中，，
在中，，又三棱台的高为，
因为，所以，故球心在的延长线上，
则，解得，
所以球的表面积为．故答案为：．
【典例1-2】由正三棱锥截得的三棱台的各顶点都在球的球面上，若，三棱台的高为2，且球心在平面与平面之间（不在两平面上），则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用三棱台的横截面，设OH=h，A1G=m，利用球的半径结合勾股定理列出关于m和h的关系式，由此求出m的范围，由，即可得出答案.
【详解】该三棱台的横截面如下图所示，因为为正三角形，，所以
又，球心O在GH上，A，A1都在球面上，故OA=OA1，
设OH=h，A1G=m，由和均为直角三角形，
所以，解得，
又由图可知，，
综上可得，，又，所以，
则的取值范围为，
故答案为：.
【变式1-1】已知正三棱台的上下底边长分别为，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上，且球心在正三棱台内，则球的表面积为__________．
【答案】
【详解】分析：取正三棱台的上、下底面的中心分别为，则，得，解得，得，利用球的表面积公式即可求解．
详解：因为正三棱台的上、下底面边长分别为，
取正三棱台的上、下底面的中心分别为，
则正三棱台的高为，
在上下底面的等边三角形中，可得,
则球心在直线上，且半径为，
所以，且,
解得，所以，
所以球的表面积为．
【变式1-2】在正四棱台中，，则（ ）
A．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
B．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
C．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
D．该棱台的体积为，该棱台外接球的表面积为
【答案】B
【分析】根据正棱台中的直角梯形（或直角三角形）求得棱台的高，外接球的半径，从而计算棱台体积、球表面积．
【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高．
，，
在直角梯形中，，
棱台的体积为，
由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，，
若在线段上（如图1），由得，因为，，所以方程无实数解，
因此在的延长线上（如图2），即在平面下方，
因此有，解得，
所以球表面积为．
故选：B．
【变式1-3】．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据面面垂直的性质，结合球的几何性质、球体积进行求解即可.
【详解】设的中点分别为，连接，如下图所示：
显然，因为平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1⊥平面ABC，
所以平面ABC，显然该三棱台外接球的球心在直线上，设球心为
因为AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝，所以，
因此，当在线段上时，如下图所示：
设，由勾股定理可知：，
所以球的体积为：，当不在线段上时，如下图所示：
，由勾股定理可知：，方程组无实数解，
故选：A
题型10圆台型外接球
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·江西南昌·高三校联考阶段练习）如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
①圆台的母线长为3；
②球的半径为；
③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为；
④点的轨迹的长度是．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由球体、圆台的结构特征及已知条件确定母线长、台高和球体的半径，再根据圆锥与圆台相关线段相似比求锥体高，进而求的轨迹的长度.
【详解】圆台上、下底半径分别为，设母线长为，高为，则球的直径为，
因为与半圆相切于点，则，所以，①正确；
过作于，则1，
所以，即球的半径为，②正确；
因为，易得，则，③错误；
过作于，延长与交于，则的轨迹以为圆心，为半径的圆．
作于，得，则，即，得，
所以，点的轨迹的长度是，④错误，
故选：B
【典例1-2】（2023下·湖南益阳·高三统考）已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积.
【详解】设圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，内切球的半径为，
因为上下底面面积之比为1：9，所以，得，
所以圆台的侧面积为，得，
因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以，
所以，得，所以，，
所以，得，
所以该球的表面积为，故选：A
【变式1-1】（2023下·湖北咸宁·高三统考）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）

A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，即可得答案.
【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，，
设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线，因此，
从而，故.设台体体积为，球体体积为，
则.
故选：B

【变式1-2】已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．
【答案】
【分析】先画出圆台的轴截面，利用圆心到上底圆周上一点等于外接球半径，圆心到下底圆周上一点等于外接球半径，建立方程，解出外接球半径，求出外接球表面积.
【详解】如图所示，
设外接球半径为r，球心到上底的距离为h，则球心到下底的距离为
则有，，解得，．所以外接球的表面积为．
故答案为：
【变式1-3】已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆台的侧面积计算公式可求母线长，进而可求圆台的高，根据球的性质，即可利用球心与底面圆心的连线垂直与底面，根据勾股定理即可求解.
【详解】设圆台的高和母线分别为，球心到圆台上底面的距离为，
根据圆台的侧面积公式可得，
因此圆台的高，
当球心在圆台内部时，则，解得，故此时外接球半径为，
当球心在圆台外部时，则，，解得不符合要求，舍去，
故球半径为。故选：B
题型11 内切球型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·湖南郴州·统考一模）在圆锥中，母线，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（ ）
A．当时，则圆锥的体积为
B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
【答案】AC
【分析】根据侧面积可得，进而可得体积，可判断A选项，利用余弦定理可确定轴截面的顶角为钝角，进而可得截面面积的最值，可判断B选项，确定外接球球心与半径，可得外接球表面积，判断C选项，求得正四面体的外接球半径及圆锥的内切球半径，即可判断D选项.
【详解】由已知圆锥的侧面积为，即，
A选项：当时，，所以，体积，A选项正确；
B选项：当时，，此时圆锥的轴截面如图所示，

，所以为钝角，令，是圆锥的底面圆周上任意的不同两点，则，所以，当且仅当时，取等号，B选项错误；
C选项：当时，，其轴截面如图所示，

可知其轴截面的外接圆半径即为圆锥的外接球半径，
又，
所以，所以外接球半径满足，，
所以外接球表面积，C选项正确；
D选项：棱长为的正四面体可以补成正方体，如图所示，

则正方体的棱长，
所以正方体的外接球即正四面体的外接球，
直径为，半径为，
当时，，高，
圆锥的内切球球心在线段上，圆锥的轴截面截内切球的大圆，即圆锥轴截面的内切圆，
设内切圆半径为，由三角形面积得，解得，
所以棱长为的正四面体不能在圆锥内任意转动，D选项错误；
故选：AC.
【典例1-2】.若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，计算出，可得出，再计算出，即可求得的值.
【详解】设，则正的内切圆半径为，
由等面积法可得，可得，则，如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.球的半径为，则，
可将正三棱柱置于圆柱内，使得、的外接圆分别为圆、圆，
圆的半径为，所以，，
因此，.故选：A.
【变式1-1】古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先求出三棱锥的外接球半径，进一步利用等体积法的应用求出内切球的半径，最后利用球的表面积公式求出结果．
解：因为四棱锥为阳马，平面，，，所以
设外接球的半径为，所以，故，所以，
所以，，所以设内切球的半径为，利用，解得，故，
故外接球与内切球的表面积之比为．故选：．
【变式1-2】（2023·山东日照·统考二模）已知AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，，圆锥SO的侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆O上存在点M使∥平面SBC
B．圆O上存在点M使平面SBC
C．圆锥SO的外接球表面积为
D．棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
【答案】ACD
【分析】对于A，根据面面平行证得线面平行；
对于B，假设存在点M使∥平面SBC，推理出矛盾，得出结论不成立；
对于C，圆锥SO的外接球球心在SO，构造关于外接球半径的直角三角形，由勾股定理求解；
对于D，求解圆锥SO的内切球半径，再求解内切球的内接正四面体棱长即可.
【详解】对于A，如下图，过点O作，交劣弧于点，连结.
由于分别为的中点，所以，
又平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面.
又，所以面平面.
又，所以平面SBC，故A正确；
对于B，假设圆O上存在点M使平面SBC, 平面，所以.
又因为平面ABC, 平面ABC，所以，又，
所以平面SOB,又平面SBC,
所以平面平面SBC，而平面平面，故B错误；
对于C，如下图，已知，圆锥SO的侧面积为，解得，则，
由题意可知球心O在SO上，记为，设其半径为，
由勾股定理得，
所以，解得，
所以圆锥SO的外接球表面积为，故C正确；
对于D，设圆锥SO的内切球半径为，则圆锥的轴截面内切圆的半径为，
，，则，
如下图，由等面积法知，.
设半径为的球内接正四面体棱长为.如下图，为正四面体底面中心，为正四面体外接球球心，，
则，即，解得.故D正确.
故选：ACD.
【变式1-3】已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱与底边夹角的余弦值为，则正四棱锥的外接球与内切球的半径之比为___________.
【答案】
【分析】
先作出高PH，找出外接球的球心，计算出外接球的半径；利用等体积法求内切球的半径，即可求出外接球与内切球的半径之比.
【详解】
如图，连接，取的中点，连接，则正面，则正四棱锥的外接球的球心在上，连接OA.取的中点，连接，，∵，∴，.
∵侧棱与底边夹角的余弦值为，即，∴， ..又∵，所以.
设正四棱锥的外接球的半径为，在中，，
即，解得.设正四棱锥的外接球的内切球的半径为，
∵，而正四棱锥的表面积，
所以，即，解得.所以.故答案为：.
题型12 最值型外接球
【典例1-1】在中，分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
将三棱锥S﹣EFG补充成长方体，则对角线长分别为，，设长方体的长宽高分别为x，y，z，推导出x2+y2+z2＝28+，由基本不等式得，能求出三棱锥S﹣EFG的外接球面积的最小值．
【详解】
由题意得三棱锥S﹣EFG的对棱分别相等，将三棱锥S﹣EFG补充成长方体，
则对角线长分别为，，设长方体的长宽高分别为x，y，z，
则x2+y2＝4m，y2+z2＝56，x2+z2＝4n，∴x2+y2+z2＝28+，
又∵，，且＝9，当且仅当取等号，
∴x2+y2+z2=28+，∴三棱锥S﹣EFG的外接球面积的最小值为：．
故选：B．
【典例1-2】已知三棱锥的外接球O半径为2，球心O到所在平面的距离为1，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】
首先由球和三棱锥的组合体可知三棱锥的体积最大，转化为半径为的圆内接面积的最大值，由图形可知当的高过圆心时面积最大，利用正弦定理表示三角形的面积，并利用导数求函数的最大值.
【详解】
由题意可知当三棱锥的体积最大时，点到底面的距离，如图所示， ,
中，,要求三棱锥体积的最大值，转化为半径为的圆内接面积的最大值，
如图，当的高过圆心时面积最大，此时是等腰三角形，，
根据正弦定理,，
，，
设 则，则 ， 令，
，当时，，当时，，
当时，此时 , 此时取得最大值.
【变式1-1】已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据平面平面，四边形为等腰梯形，则球心在过的中点的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过的外心面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.
【详解】
依题意如图所示：
取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心，
取是的外心，作平面平面，
则是四棱锥的外接球球心，且，
设四棱锥的外接球半径为，则，而，
所以，故选：A.
【变式1-2】如图，在体积为的三棱锥中，，，底面，则三棱锥外接球体积的最小值为______.
【答案】
【分析】
设外接圆的圆心为，外接圆的半径为，由已知得是外心，为三棱锥外接球的球心，求出外接球半径的最小值可得球体积最小值，为此设，，，，由棱锥体积得的关系，利用基本不等式得出的最小值即可得体积最小值．
【详解】
如图，设外接圆的圆心为，外接圆的半径为，，，，，由，有，由可知，为三棱锥外接球的球心，有，解得
(当且仅当时取等号)，故三棱锥外接球体积的最小值为.
【变式1-3】如图，已知等腰三角形的面积为，是底边的中点，将沿中线折起，得到三棱锥．若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为______．
【答案】
【分析】
将三棱锥补形为一个以为棱的长方体，利用长方体的对角线为三棱锥的外接球的直径可求出结果.
【详解】
设，，则的面积．
由于，，，所以平面，
将三棱锥补形为一个长方体，如图，

则该长方体的体对角线满足（当且仅当，时取等号），
设该三棱锥外接球的半径为，则，该三棱锥外接球的表面积，即该三棱锥外接球表面积的最小值为.故答案为：.
题型13翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为，则（ ）
A．8B．4C．D．2
【答案】C
【分析】先找出两个三角形外接圆的圆心及外接球的球心，通过证明，可得四边形为平行四边形，进而证得BC⊥面APC，通过勾股定理可求得PB的值.
【详解】如图所示，由题意知，，所以，，
所以AB的中点即为△ABC外接圆的圆心，记为，又因为，所以，，
所以在中，取AC的中点M，连接PM，则△APC的外心必在PM的延长线上，记为，
所以在中，因为，，所以为等边三角形，
所以，（或由正弦定理得：）所以，
在中，，，，设外接球半径为R，则，解得：，
设O为三棱锥P-ABC的外接球球心，则面ABC，面APC．所以在中，，
又因为在，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，又因为，
所以，又因为面APC，所以BC⊥面APC，所以，
所以，即：.故选：C.
【典例1-2】如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
【答案】A
【分析】
将三棱锥补充成长方体，求出长方体的体对角线长可得三棱锥的外接球的直径，从而求出三棱锥的外接球面积.
【详解】由题意得，三棱锥的对棱分别相等，将三棱锥补充成长方体，
则对角线长分别为，，，设长方体的长、宽、高分别为，，，
则，，，，
三棱锥的外接球的直径为，半径为 ， 三棱锥的外接球的面积为.故选.
【变式1-1】（2020·江西·统考模拟预测）已知矩形中，，，取线段，的中点，，连接，以线段为折痕进行翻折，使得，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】四面体的外接球就是三棱柱的外接球，记，分别是和的外接圆圆心，则的中点就是翻折后的直三棱柱的外接球球心，正弦定理求出，勾股定理求出代入球的表面积公式即可得解.
【详解】在中，，，则是等腰三角形，，
由于四面体的外接球就是三棱柱的外接球，
记，分别是和的外接圆圆心，则的中点就是翻折后的直三棱柱的外接球球心，则外接球半径，
由正弦定理可得，则，
所以，故四面体的外接球表面积为，
故选：B
【变式1-2】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先得到球心在的中点，然后当与球相切时直线与直线所成角的最大，过作垂足为，当平面时四面体体积取得最大值，即可求出答案.
【详解】由题意可知，均为等腰直角三角形，所以四面体的外接球的球心在的中点，
因为是球上的动点，若直线与直线所成角的最大，则与球相切，，此时，最大，
因为，，所以，
过作垂足为，则在以为圆心，为半径的圆上运动.
所以当平面时四面体的体积取得最大值.
因为，所以，
所以，
故选：D.
【变式1-3】已知等边的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______.
【答案】
【分析】
折叠为空间立体图象，得出四棱锥的外接球的球心，求得四棱锥的外接球的半径，则，由此能求出四棱锥的体积的最大时，点到平面距离的最大值．
【详解】
由题意得，取的中点,
则是等腰梯形外接圆圆心，是的外心，
作平面，平面，
则是四棱锥的外接球的球心，且，
设四棱锥的外接球半径为，则，
，
所以当四棱锥的体积最大时，
点到平面距离的最大值．
题型14外接球计算截面
【典例1-1】已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题可得,当截面时,截面面积最小,设正四面体棱长为,先求得正四面体的外接球半径为,再求得,进而求得截面圆的半径,从而得到截面圆面积
【详解】
由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小,
设截面半径为,球的半径为,则,
因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则,令,,则,
在中,,即,则,
在中,,即,则,
解得,则,在中,,
因为点在线段上,,设中点为,则,所以,
在中,,即,
所以,因为,所以,所以截面面积为,故选：A
【典例1-2】已知球是棱长为1的正方体的外接球，为棱中点，现在棱和棱上分别取点，，使得平面与正方体各棱所成角相等，则平面截球的截面面积是__.
【答案】.
【分析】
首先证明，分别为对应棱的中点，再证明平面，求出的中点到与平面的交点的距离，再由勾股定理求得截面圆的半径，则答案可求.
【详解】正方体中，是棱中点，，分别为棱，上任意点，
正方体中，有，，
若平面与正方体各棱所成角相等，只需平面与，，所成角相等即可，
所以四面体中，，，与面所成角相等，设，，
过作面，如下图所示：与面所成角为，与面所成角为，与面所成角为，则，，，
由所成角相等，得，即，，分别为，，的中点，
，，故面面，连接，，，，，
在正方体中，，又平面，，而，平面，则平面，，平面，则，同理，
，且，平面，平面，
球是正方体的外接球且正方体棱长为1，为的中点，，
设面，则为截面圆圆心且面，，
因此，设截面圆的半径，为球的半径，则，
，故，截面面积为.
故答案为：.
【变式1-1】已知正方体的棱长2，中心为，则四棱锥的外接球被平面截得的截面面积为______．
【答案】
【分析】
求出四棱锥的外接球的半径，再由勾股定理求出四棱锥的外接球被平面截得的截面圆的半径，由圆的面积公式求解．
【详解】
设四棱锥的外接球半径为，球心为，
直线与平面交于点，则，
即，，
又球心到平面的距离，
设四棱锥的外接球被平面截得的圆的半径为，
则，
所以四棱锥的外接球被平面截得的截面面积．故答案为：
【变式1-2】如图，已知球O是直三棱柱的外接球，，，E，F分别为，的中点，过点A，E，F作三棱柱的截面α，若α交于M，过点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．
【答案】
【分析】
延长与相交于在三棱柱上底面，连结，与的交于点，根据线段比例关系，可以求得各线段长，求得外接球半径，作出截面圆，求得截面圆的半径的最小值，进而求得截面圆的面积.
【详解】
在平面中，延长与相交于在三棱柱上底面，
连结，与的交于点，
根据线段比例关系，可以求得各线段长，如图所示，
外接球：上下底面为直角三角形，所以上下底面的外心就是斜边上的中点，
则有外接球半径，
当垂直截面圆时，过的截面圆最小，
设截面圆半径为，由余弦定理可得，
所以，
所以截面圆最小面积为.
故答案为：.

【变式1-3】已知正三棱锥的外接球是球，，，点为中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______.
【答案】
【分析】
利用球心和小圆圆心的连线垂直于小圆，计算OD、OE，过E的截面垂直于OE时，截面最小，求出面积；当过E的截面经过球心时，截面最大，求出面积即可.
【详解】
如图，设的中心为，球的半径为，连接，，，，则，，
在中，，解得，所以，，所以，过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面的半径为，则截面面积为，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为.
故答案为：.
高考练场
1.（2018上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意画出图形，把三棱锥P-AEF补形为长方体，求出长方体的对角线长，得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解．
【详解】解：如图，
由题意可得，三棱锥P-AEF的三条侧棱PA，PE，PF两两互相垂直，
且，，
把三棱锥P-AEF补形为长方体，则长方体的体对角线长为，
则三棱锥P-AEF的外接球的半径为，
外接球的表面积为．
故选C．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱锥中, ,,.则该三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】
【详解】试题分析：由条件，可将三棱锥放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为，有，得到，所以长方体的体对角线长为，该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球半径为，从而其表面积为.
3.（2023上·四川广元·高三统考）三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，，△APC的面积为，则三棱锥P－ABC的外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设 ，利用△APC的面积为，所以 ，由正弦定理 ，得出△ABC外接圆半径，再用勾股定理表示出外接球半径，用基本不等式求出半径的最小值，从而得出体积的最小值.
【详解】设 ，因为△APC的面积为，所以 ，，
设△ABC外接圆半径为r，利用正弦定理得 ，即.
因为平面，所球心O在过△ABC外心且与平面ABC垂直的直线上，
球心O到平面ABC的距离为 ，
设球O的半径为R，则，
当且仅当 时，等号成立，
故三棱锥的外接球体积的最小值为 .故选：D.
4.（2021·陕西渭南·统考一模）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是 .
【答案】
【解析】由条件可得是三棱锥的外接球的一条直径，设三棱锥底面边长和高分别为a，h.，根据体积公式可得，再由球心到底面的距离、求半径和底面外接圆半径的勾股关系，得到，进而得解.
【详解】设三棱锥外接球的球心为O，三棱锥底面边长和高分别为a，h.由，可知是三棱锥的外接球的一条直径，所以O为的中点，则球心到底面的距离为.底面的外接圆半径为r，则.
则，即.设三棱锥的外接球半径为R，
则，当且仅当，即时等号成立，
故三棱锥的外接球表面积为.故答案为：.
5.．（2023上·高三课时练习）已知三棱锥的底面ABC是等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M为SB上一点，且．设三棱锥外接球球心为O，则（ ）
A．直线OM⊥平面SAC，OA⊥SBB．直线平面SAC，OA⊥SB
C．直线OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBCD．直线平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
【答案】D
【分析】画出几何图形，根据题意先找出和的外心，通过两个外心与平面的位置关系确定出球心位置，再根据线面垂直判断OA与SB的位置关系，继而可判断平面OAM与平面SBC的位置关系，最后根据线线平行判断出直线OM与平面SAC的位置关系.
【详解】第1步：判断OA与SB的位置关系,如图，取AC的中点E，BC的中点F，
连接AF，BE，设AF与BE的交点为O，连接OM，则O为外心，E为外心，因为平面SAC⊥平面ABC，所以O为三棱锥S-ABC外接球球心，因为SE⊥AC，BE⊥AC，，
所以AC⊥平面SBE，又平面SBE，所以AC⊥SB，假设OA⊥SB，因为，所以SB⊥平面ABC，
如图显然SB不垂直于平面ABC，所以OA不垂直于SB，故A、B错误；
第2步：判断平面OAM与平面SBC的位置关系,因为AM⊥BC，AF⊥BC，，
所以BC⊥平面AMF，又平面SBC，所以平面OAM⊥平面SBC；第3步：判断直线OM与平面SAC的位置关系,
因为AC⊥平面SBE，所以AC⊥OM，因为BC⊥平面AMF，所以BC⊥OM，
又，所以OM⊥平面ABC，又SE⊥平面ABC，所以，
所以直线平面SAC，故C错误， D正确.故选：D.
6.在四面体中，， ，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】取中点，中点，连接，证明是二面角的平面角，，是直角的外心，是直角的外心，在平面内过作，过作，交点为四面体外接球球心，求出球半径可得表面积．
【详解】取中点，中点，连接，则，，
，，所以是直角的外心，，，
，，所以，，所以是二面角的平面角，，
是中点，则是直角的外心，
由，，，平面得平面，
平面，所以平面平面，同理平面平面，
平面平面，平面平面，
在平面内过作，则平面，
在平面内过作，则平面，与交于点，
所以为四面体的外接球的球心，
中，，所以，所以，
，所以外接球表面积为．故选：B．
7.（2023下·陕西西安·高三长安一中校考）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，根据圆锥底面周长与侧面弧长的关系建立方程，求得母线，由勾股定理求得高线，进而求得外接球半径，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
设圆锥的母线长为，由题意可得，解得，则圆锥的高，
圆锥外接球的半径设为，则，解得，
故圆锥外接球的表面积.故选：A.
8.如图所示，正四棱台的顶点都在表面积为的球面上，侧棱长为，且侧棱与底面所成角为，则其上、下底面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将棱台的截面拿出来分析，根据对称性，球心一定在这个梯形平面上下底的垂线上，列方程找出梯形上下底之间的关系即可.
【详解】
把棱台的截面拿出来分析，
如图所示，根据对称性，球心一定在这个梯形平面上下底的垂线上，注意到梯形的底角是，解得，
设球心为，，于是是等边三角形，，可确定球心在梯形下底下方.
于是，，故， ，
又上下底面正方形的对角线，
于是上、下底面积之比为.故选：A
9.已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出圆台的轴截面等腰梯形，其外接圆是圆台外接球的大圆，在这个轴截面中进行计算可得．
【详解】如图等腰梯形是圆台的轴截面，是圆台的对称轴，
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径分别为r，2r，
因母线与轴的夹角是，母线长为2，可得圆台的高为1，，设圆台外接球的半径为R，球心到下底面（大圆面）的距离为x，若球心在圆台两底面之间，如图点位置，则且，无解；
若圆台两底面在球心同侧，如图点位置，则且，解得，则，
则该圆台外接球的表面积为．
故选：C．
10.已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，内有一个体积为的球，若的最大值为，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
【答案】
【分析】
求出正三棱柱底面内切圆、外接圆的半径，对和分类讨论，即可求出此三棱柱外接球表面积的最小值.
【详解】
解：因为正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，
则底面三角形的内切圆的半径，外接圆的半径
三棱柱内的球的体积的最大值为，此时球的半径，
当，即时，三棱柱的内的球的半径，
取得最大值，因为，所以不可能为；
当，即时，三棱柱的内的球的半径，取得最大值
解得，又，所以，
设正三棱柱外接球的半径为，则
正三棱柱外接球表面积.当时，取得最小值。故答案为：
11.已知三棱锥的外接球表面积为，，则三棱锥体积的最大值为___________.
【答案】
【分析】
根据，可确定平面，，从而确定三棱锥外接球的球心为的中点，以及三棱锥的高为，再根据三棱锥的外接球表面积为，计算出外接球半径，，当为以为直径的半圆的中点时，的面积取得最大值，则此时体积最大，求解即可.
【详解】
依题意，，解得，记三棱锥外接球的球心为，的中点为，其中即为的中点，则，则，设，在中，由勾股定理可得，，即，解得，即三棱锥的高；因为，故为所在截面圆的直径，故当为半圆的中点时，的面积取得最大值，则三棱锥体积的最大值为
故答案为：
12.如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（ ）
A．14πB．15πC．πD．2π
A．14πB．15πC．πD．2π
【答案】A【分析】将三棱锥补充成长方体，求出长方体的体对角线长可得三棱锥的外接球的直径，从而求出三棱锥的外接球面积.
【详解】由题意得，三棱锥的对棱分别相等，将三棱锥补充成长方体，
则对角线长分别为，，，设长方体的长、宽、高分别为，，，
则，，，，
三棱锥的外接球的直径为，半径为 ， 三棱锥的外接球的面积为.故选.
13.在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．
解：如图所示，，，，，
设，则，，由勾股定理可得，，
四面体的外接球的表面积为，故选：．
14.设三棱锥的所有棱长均为1，点满足，，，则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设⊥平面，垂足为，交平面于点，连结AM,求出AM, SM,
列方程求出外接球半径R,根据勾股定理求出小圆半径r,即可求出面积.
【详解】
设⊥平面，垂足为，交平面于点，连结AM,
∵三棱锥的所有棱长均为1，
∴，.
易知三棱锥的外接球球心在直线上，设为点，并设外接球的半径为，由，即解得.
由，， ，得，所以，
设三棱锥的外接球被平面所截的截面小圆的半径为，则，
所以三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为．故选：B.
15.（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）体积为8的四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的外接球球心到底面的距离为1，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】由已知可得到底面的距离，进而求出的外接球的半径，确定点与点不在平面的两侧，得到点的轨迹，求解轨迹长度即可．
【详解】由题意可知，点到底面的距离，
又四棱锥的外接球球心到底面的距离为1，设外接球半径为，
因为底面的中心为，所以平面，且，
所以与不可能在面的两侧，如图所示，故点在垂直于且与球心距离为2的平面与的外接球的交线上，即在如图所示的以为半径的圆上，而，
所以，故点的轨迹长度为．故选：B 正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
对棱相等的四面体：
三棱锥对棱相等，
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为：
1、寻找一个或两个面的外接圆圆心
2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心；
3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积.
如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法
包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）

等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
面面垂直型基本图形
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，

二面角型求外接圆
在空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为两面交线的中点
所以
因为四点共圆，，根据余弦定理可知
锥体求外接球
（1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
(2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：，解出
类比正棱锥，可以得带圆锥型外接球
正棱台外接球，以棱轴截面为主。
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
圆台外接圆模型
圆台外接球，即轴截面题型外接圆
内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，正多面体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.其中锥体与内切球的关系：(V为几何体的体积，S为多面体的表面积，r为内切球的半径)
三角形内切圆
类比：三棱锥