广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷及答案

这是一份广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷及答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知是函数在上的两个零点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．向量，在上的投影向量相等D．
10．甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．已知数列的前项和，当取最小值时， .
13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 .（参考公式：决定系数）
14．已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 .
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.
(1)求；
(2)若点在边上，且，，求的周长.
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求与平面所成角的正弦值.
17．已知函数，.
(1)求的单调区间和极小值；
(2)证明：当时，.
18．已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点.
(1)求的方程：
(2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围：
(3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由.
19．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
(1)若，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值；
(2)记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求.
参考答案：
1．A
【分析】
根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由，得，即，此时，
由，得，而，所以.
故选：A
2．D
【分析】
设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解.
【详解】令，由，得，
点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限，
故选：D
3．C
【分析】
根据等比数列的性质可得，进而根据求和公式即可化简求解.
【详解】
根据题意，设等比数列的公比为，
若，即，
故．
故选：C．
4．B
【分析】
根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可.
【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示：
因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，，
易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且，
因为，则，又，且，
由，即，解得；
由面，面，则；
则，
又正方形的面积为，正方形的面积为，
故正四棱台的体积.
故选：B.
5．A
【分析】
求出点的坐标，借助向量坐标运算求出点坐标，代入椭圆方程求解即得.
【详解】令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得，
则，而点在椭圆上，于是，解得，
所以的离心率为.
故选：A
6．D
【分析】
利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可.
【详解】观察图象可知函数为偶函数，
对于A，，为奇函数，排除；
对于B，，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，不是R，舍去，故D正确.
故选：D
7．C
【分析】
结合对数函数单调性比较，与，的大小，然后结合对数运算性质及基本不等式比较，的大小，即可求解．
【详解】
由题意得，，
因为，即，
，即，
因为，所以，
故．
故选：C．
8．A
【分析】
根据三角函数的对称性可得，进而代入化简，结合诱导公式即可求解.
【详解】
令，得，
，，
因为是函数在上的两个零点，
则是在上的两个根，
故，故，
则
.
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题解决的关键是利用三角函数的对称性得到的关系，从而得解.
9．BC
【分析】
根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得.
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
故选：BC
10．ABD
【分析】
根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.
【详解】依题意可得，，，，
所以，故A正确、B正确、C错误；
，故D正确.
故选：ABD
11．ACD
【分析】对于A，构造函数，计算即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，而，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得，为两切线的交点代入化简得，再计算可得；对于D，根据，计算即可判断.
【详解】令，则，
故时，递增；时，递减，
所以的极大值，且，，
因为直线与曲线相交于､两点，
所以与图像有2个交点，
所以，故A正确；
设，且，可得，
在点处的切线程为
，得，即，
因为，所以，即，故B错误；
因为，所以，
因为为两切线的交点，
所以，
即，所以，
所以，故C正确；
因为，所以，所以，
同理得，得，即，
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.

【点睛】方法点睛：判断B，关键在于根据切线方程联立求得，而两点得斜率即为直线得斜率得，化简可得；判断C，根据斜率相等得，根据在切线上，代入化简计算可得，计算得后即可判断，判断D，关键在于利用不等式进行计算化简即可判断.
12．3
【分析】
根据求得，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.
【详解】因为，则当时，，
又当时，，满足，故；
则，
又在单调递减，在单调递增；
故当时，取得最小值，也即时，取得最小值.
故答案为：.
13．
【分析】
根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出，再根据决定系数公式求出.
【详解】因为，两边取对数可得，
又，，
依题意回归直线方程必过样本中心点，
所以，解得，所以，
又.
故答案为：；
14．2
【分析】
根据给定条件，求出点的轨迹方程，结合图形并借助到两点距离的和不小于这两点间距离求出最小值即得.
【详解】设，当时，，则，
化简得：，即；
当时，，则，
化简得，，即，
对于曲线上的任意一点，，当且仅当是线段与曲线的交点时取等号，
而，当且仅当，即点时取等号，
因此，当且仅当点重合于时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2

【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
15．(1)；
(2)
【分析】
（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合的范围，即可求得结果；
（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得，即可求得三角形周长.
【详解】（1）由，则，
又，故.
（2）由（1）可知，，又，则；
由题可知，，
故，
所以，
因为，所以，，
在中，，
故的周长为.
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】
（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.
（2）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.
（3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）取中点，连接，由为中点，为中点，得，
又，则，因此四边形为平行四边形，
于是，而平面平面，
所以平面.
（2）过作于点，连接，由，得≌，
则，即，而，
因此，又平面，则平面，平面，
所以平面平面.
（3）由（2）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量，则，令，得，
设与平面所成角为，，
所以与平面所成角的正弦值是.
17．(1)递增区间为，递减区间为，极小值为1；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值.
（2）根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得.
【详解】（1）函数，，求导得，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以的递增区间为；递减区间为，的极小值为.
（2）当时，令，
求导得，
令，求导得，
函数在上单调递增，则，在上单调递增，
因此，所以.
18．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】
（1）根据焦距以及经过的点即可联立求解，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解，
（3）根据圆心到直线的距离可得，进而根据数量积运算可判断，结合对称性即可求解；或者利用切线关系得,根据斜率相乘关系，代入韦达定理化简可得半径.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故双曲线方程为
（2）当直线斜率不存在时，设,
将其代入双曲线方程，
又，解得，
此时，
当直线斜率存在时，设其方程为，设,
联立，
故，
则
，
化简得，此时，
所以
，
当时，此时，
当时，此时，
，故，
因此，
综上可得.

（3）解法一：当直线与相切时，
圆心到直线的距离，
设设,
类似（2）中的计算可得
，
所以，
由双曲线的对称性，延长交双曲线于另一点,
则，且，
根据轴对称性可得,且直线与也相切，即即为,
符合题意，

当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意，
故存在这样的圆，半径为
解法二：

设，，
由于为圆的切线，平分，且,所以,
设过点与圆相切的直线方程为（直线斜率存在时）
，
，将两根记为，
，
同理可得
故
，
故存在这样的圆，半径为
当或斜率不存在时，此时，，显然满足题意，
故存在这样的圆，半径为
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将用k表示出来，然后再利用基本不等式长最值．
19．(1)；
(2)7.
【分析】
（1）求出的所有可能值及各个值对应的概率，再求出期望.
（2）利用互斥事件的概率公式，求出第位成员闯过第二关的概率，再列出不等式求解即得.
【详解】（1）依题意，的所有可能取值为，
，，
所以的分布列为：
数学期望.
（2）令，若前位玩家都没有通过第一关测试，
其概率为，
若前位玩家中第位玩家才通过第一关测试，
则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为，第位玩家通过第一关测试，
但没有通过第二关测试，其概率为，
第位玩家到第位玩家都没有通过第二关测试，其概率为，
所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：
，
因此第位成员闯过第二关的概率，
由，得，解得，则，所以.
【点睛】
关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
1
2
3