2024南京、盐城高三下学期3月第一次模拟考试数学含答案

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注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为
第1题图
A．A∪CUB B．A∪CUB C．B∪CUA D．B∪CUA
2．复数z满足(1－i)2z＝1＋i，(i为虚数单位)，则|z|＝
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(,2),2) D．1
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋5a1，a5＝4，则a1＝
A．eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4) C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
4．德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论)中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝eq \f(2π,\r(,GM))·aEQ \S(\F(3,2))，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
5．关于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq \f(π,2))，有下列四个说法：
①f(x)的最大值为3
②f(x)的图象可由y＝3sinx的图象平移得到
③f(x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为eq \f(π,2)
④f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称
若有且仅有一个说法是错误的，则f(eq \f(π,2))＝
A．－eq \f(3\r(,3),2) B．－eq \f(3,2) C．eq \f(3,2) D．eq \f(3\r(,3),2)
6．设O为坐标原点，圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝4与x轴切于点A，直线x－eq \r(,3)y＋2eq \r(,3)＝0圆M于B，C两点，其中B在第二象限，则eq \\ac(\S\UP7(→),OA)·eq \\ac(\S\UP7(→),BC)＝
A． eq \f(\r(,15),4) B．eq \f(3\r(,5),4) C．eq \f(\r(,15),2) D．eq \f(3\r(,5),2)
7．在棱长为2a(a＞0)的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为棱AB，D1C1的中点．已知动点P在该正方体的表面上，且eq \\ac(\S\UP7(→),PM)·eq \\ac(\S\UP7(→),PN)＝0，则点P的轨迹长度为
A．12a B．12πa C．24a D．24πa
8．用min{x，y}表示x，y中的最小数．已知函数f(x)＝eq \f(x,e\s(x))，则min{f(x)，f(x＋ln2)}的最大值为
A．eq \f(2,e\s(2)) B．eq \f(1,e) C．eq \f(ln2,2) D．ln2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知x，y∈R，且12x＝3，12y＝4，则
A．y＞x B．x＋y＞1 C．xy＜eq \f(1,4) D．eq \r(,x)＋eq \r(,y)＜eq \r(,2)
10．有n(n∈N*，n≥10)个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai(i＝1，2，3，…，n)，则
A．P(A1A2)＝eq \f(1,3) B．P(A1|A2)＝eq \f(4,5)
C．P(A1＋A2)＝eq \f(7,9) D．P(A10)＝eq \f(1,2)
11．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，过F的直线l1交E于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，E在B处的切线为l2，过A作与l2平行的直线l3，交E于另一点C(x3，y3)，记l3与y轴的交点为D，则
A．y1y2＝1 B．x1＋x3＝3x2
C．AF＝DF D．△ABC面积的最小值为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在(x－eq \f(1,x\s(2)))6的展开式中，常数项为 ▲ ．
13．设双曲线C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为 ▲ ．
14．已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，且sinα－sinβ＝－eq \f(1,2)，csα－csβ＝eq \f(1,2)，则tanα＋tanβ＝ ▲ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
在△ABC中，sin(B－A)＋eq \r(,2)sinA＝sinC．
(1)求B的大小；
(2)延长BC至点M，使得2eq \\ac(\S\UP7(→),BC)＝eq \\ac(\S\UP7(→),CM)．若∠CAM＝eq \f(π,4)，求∠BAC的大小．
16．(本小题满分15分)
如图，已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD，A1A＝D1D＝eq \r(,17)，点P是棱DD1的中点，点Q在棱BC上．
(1)若BQ＝3QC，证明：PQ∥平面ABB1A1；
(2)若二面角P－QD－C的正弦值为eq \f(5\r(,26),26)，求BQ的长．
第16题图
17．(本小题满分15分)
已知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布N(220，202)．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件，记其中恰有2件不合格品的概率为pn，求pn取得最大值时n的值．
附：若Z~N(μ，σ2)，取P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.95．
18．(本小题满分17分)
已知椭圆C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，直线l：x＝4与x轴交于点M，且|AM|＝a|AF|．
(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q．
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，∠PNQ＝90°？若存在，求|BM|；若不存在，请说明理由．
19．(本小题满分17分)
已知a＞0，函数f(x)＝axsinx＋csax－1，0＜x＜eq \f(π,4)．
(1)若a＝2，证明：f(x)＞0；
(2)若f(x)＞0，求a的取值范围；
(3)设集合P＝{an|an＝ eq \(∑,\s\up6(n),\s\d6(k＝1))csEQ \F(π,2k(k＋1))，n∈N*}，对于正整数m，集合Qm＝{x|m＜x＜2m}，记P∩Qm中元素的个数为bm，求数列{bm}的通项公式．