2024赣州高三下学期年3月摸底考试数学试题

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2024年3月
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位.，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
3. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（ ）
A B. C. D.
5. 在平行四边形中，，则（ ）
A. 16B. 14C. 12D. 10
6. 若一组样本数据方差为，则样本数据的方差为（ ）
A. 1B. 2C. 2.5D.
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. 数列为单调数列D. 数列为单调数列
10. 已知函数，则（ ）
A. 是的一个周期
B. 的图象关于原点对称
C. 的图象过点
D. 为上的单调函数
11. 曲线是平面内与两个定点的距离的积等于的点的轨迹，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）
A. 曲线关于坐标轴对称；
B. 周长的最小值为；
C. 点到轴距离的最大值为
D. 点到原点距离最小值为.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值：__________.
13. 展开式中的常数项为__________.
14. 已知是抛物线上异于顶点的点，在处的切线分别交轴､轴于点，过作的垂线分别交轴､轴于点，分别记与的面积为，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的正切值.
16. 某人准备应聘甲､乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立.
（1）若.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
（2）已知甲､乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.
17. 己知椭圆过点，椭圆右焦点与点所在直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过的直线与椭圆交于两点.点.直线分别交椭圆于点，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
18 已知函数.
（1）求的单调区间，
（2）已如.若函数有唯一的零点.证明，.
19. 设数列.如果对小于的每个正整数都有.则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合，的元素个数记为.
（1）对数列，写出的所有元素；
（2）数列满足，若.求数列的种数.
（3）证明：若数列满足，则.