2024银川一中高三下学期第一次模拟考试数学（文）含解析

这是一份2024银川一中高三下学期第一次模拟考试数学（文）含解析，共10页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，下列结论正确的个数有个等内容，欢迎下载使用。

文科数学试题卷
( 银川一中第一次模拟考试 )

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．已知，则.
A．B．C．1D．2
3．已知与为非零向量，，若三点共线，
则
A．0B．1C．2D．3
4．已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，
则S5等于
A．B．C．D．
5．自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是
A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30
B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人
C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多
D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多
6．在平面直角坐标系中，若曲线（，为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则
A．，B．，C．，D．，
7．已知函数的图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则
A．的图象关于原点对称B．
C．在上单调递增D．的图象关于点对称
8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商
功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第
二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数
列，且为等差数列，则数列的前项和为
B．C．D．
9．下列结论正确的个数有（ ）个
①是的充要条件
②已知实数、满足，则的最小值为
③命题“，”的否定是“，”
④关于x的不等式有解，实数a的范围是或.
A．1B．2C．3D．4
10．抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，
若为等边三角形，则
A．2B．C．6D．
11．已知为定义在上的偶函数，已知，当时，有，则使成立的的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知一个圆锥的轴截面为锐角三角形，它的内切球体积为，外接球体积为，则 的最大值为
A．B．C．D．
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知O为坐标原点,M(x,y)为不等式组表示的平面区域内的动点,点A的坐标为(2,1),则z=的最大值为___________.
14．已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，
则该三棱柱的体积为___________.
15．已知，则＝___________.
16．已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分)
17．(12分)
设的内角、、的对边长分别为、、，.
(1)若，求角的大小；
(2)若，求的值和的面积.
18．(12分)
某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A，B两项指标数据进行收集和分析，得到的数据如下表：
(1)若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系．试根据上表，求B项指标数据y关于A项指标数据x的经验回归方程．
(2)现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求至少有1只小白鼠的B项指标数据高于3的概率．
参考公式：经验回归方程中，．
参考数据：，．
19．(12分)
如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．
(1)求证：B，D，E，四点共面；
(2)求四棱锥的体积．
20．(12分)
已知抛物线的焦点为为上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且（为坐标原点），记直线过定点，证明：直线过定点，并求出的面积.
21．(12分)
已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若，判断的零点个数．
参考数据：，．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；
(2)若直线l：y=kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q，且|OQ|=|PQ|，点M的直角坐标为(1,0)，求的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]
不等式选讲已知均为正实数，函数的最小值为4．
(1)求证：；
(2)求证：．
指标
1号小白鼠
2号小白鼠
3号小白鼠
4号小白鼠
5号小白鼠
A
5
7
6
9
8
B
2
2
3
4
4
银川一中2024届高三第一次模拟数学(文科)参考答案
1．【答案】C
【详解】由,解得，
又因为，所以，
又由，可得，解得，
所以，
所以，
故选:C.
2．【答案】D
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数z，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.
【详解】由z1+i=1−1i=1+i，得z=1+i2=2i，
则z=−2i，所以z=2.
故选：D.
3．【答案】D
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
【详解】由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
4．【答案】C
【分析】根据等差中项的性质得到，结合，利用等比数列的基本量求得和公比，再由等比数列的求和公式即可得到.
【详解】因为与的等差中项为，所以，
设等比数列的公比为，
又，得：，解得：，或
则，或者，根据答案，只能选C
故选：C.
5．【答案】D
【分析】由饼状图可计算出高一年级共90人，高二年级共60人，高三年级共50人，再由高一学生排名分布的频率条形图可计算出各排名段中高一年级学生的人数，由此即可判断出答案.
【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多，A正确；
成绩在第名的学生中，高一人数为，因此高三最多有32人，B正确；
由条形图知高一学生的成绩在第名的人数为，
而高三的学生成绩在第名的人数最多为人，
故高一学生的成绩在第名的人数一定比高三的学生成绩在第名的人数多，C正确；
成绩在第名的学生中，高一人数为，高二成绩在第名的人数最多为，
即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，错误.
故选：D
6．【答案】C
【分析】由题意将点代入得，求导得，由题意将点代入得，联立即可得解.
【详解】∵函数的导数为，
∴曲线在点处的切线斜率为，
由两直线平行可得①.
又∵点在曲线上，
∴②，由①②解得，.
故选：C.
7．【答案】B
【分析】先设，，从而根据图象关于轴对称，得到方程，求出，A选项，根据，得到A错误；B选项，化简得到B正确；C选项，利用整体法判断函数的单调性；D选项，由得到D错误.
【详解】由题意，可设，，
因为与的图象关于轴对称，
所以，
则，解得，
由于，，故的最小值为，
因为的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，
所以，解得，
则.
对于A，因为的定义域为，而，所以不是奇函数，
图象不关于原点对称，错误；
对于B，
，B正确；
对于C，由，得，
又在上不单调，C错误；
对于D，，
故不是图象的对称中心，D错误.
故选：B.
8．【答案】D
【分析】根据累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】，，
由于为等差数列，所以，
所以
，也符合，
所以，
所以数列的前项和为.
故选：D
9．【答案】C
【分析】由充分、必要性定义判断①；由基本不等式及最值取值条件判断②；由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论判断③；根据一元二次不等式有解得求参数范围判断④.
【详解】①由，即同号，故；由，即同号，故，对；
②因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，错；
③由特称命题的否定为全称命题,则，，对；
④由题设，可得或，对.
故选：C
10．【答案】C
【分析】设抛物线的准线与y轴交于点D，等边三角形ABF中，
可得点B的坐标代入双曲线上方程可得答案．
【详解】设抛物线的准线与y轴交于点D，如图，在等边三角形
ABF中，，，所以点B的坐标
为，又点B在双曲线上，故，解
得．故选：C．
11．【答案】D
【解析】令，其中，因为函数为定义在上的偶函数，
则，所以，，
所以，函数为偶函数，
当时，，
所以，函数在上为减函数，且，
由可得，则，
所以，，解得或，
因此，使成立的的取值范围为.故选：D.
12．【答案】B
【分析】由图可得，进而，结
合和二次函数的性质可得，结合球的
体积公式计算即可求解.
【详解】设圆锥的外接球半径为，内切球半径为，圆锥的
高为，底面半径为，
母线为，高与母线的夹角为，，如图，
在中，，在中，，则，得.
如图，
在中，，得，又，
所以，
所以，
又圆锥的轴截面为锐角三角形，所以，
所以，
故当时，取得最大值，为，
所以.
故选：B.
13．1
【详解】作出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示，
如图所示，
因为，
又因为可化为直线,
所以由图可知,当直线过时,
直线在轴上的截距最大,此时的最大值为.
14．【答案】
【分析】根据题意，由三视图还原几何体，可得其底面边长，再由三棱柱的体积公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】
由三视图还原几何体如图所示，
则底面正三角形一边上的高为，正四棱柱的高为2，
设底面边长为，则，解得，
所以三棱柱的体积为.
【答案】
【分析】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.
【详解】.
16．【答案】4
【分析】在同一坐标系内作出与的图象，再利用图象的对称性即可求得与的图象所有交点的横坐标之和.
【详解】函数的图象有对称轴，
定义在R上的偶函数满足，
则函数有对称轴，又当时，，
在同一坐标系在内作出与的图象，
由图象可得，与的图象有4个交点，
又与的图象均有对称轴，
则两函数所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
17．【答案】(1) (2)，的面积为
【分析】（1）当时，求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用诱导公式结合两角和与差的余弦公式可得出的值，利用正弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：因为，当时，则有，可得，
因为，故.
（2）解：因为
，
所以，，
因为，由正弦定理可得，
因为，则，可得，
所以，的面积为.
18．【答案】(1) (2)．
【分析】（1）根据题中数据，先计算，再由公式计算出，即可得出回归直线方程；
（2）先设1号至5号小白鼠依次为，根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.
【详解】（1）由题意，可得，，，，．
∵，∴．
∴所求经验回归方程为．
（2）设1号至5号小白鼠依次为，则在这5只小白鼠中随机抽取3只的抽取情况有，共10种，
随机抽取的3只小白鼠中至少有1只的B项指标数据高于3的情况有共9种．
∴从这5只小白鼠中随机抽取3只，至少有1只小白鼠的B项指标数据高于3的概率为．
19．【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由题设，，进而有，易得四边形为平行四边形，再结合，即可证结论；（2）根据面面垂直性质定理证明线面垂直，最后根据体积公式计算即可.
【详解】（1）在三棱柱中，，，（1分）
因为，，即，，所以，（3分）
则四边形为平行四边形，则．（4分）
又因为，所以，故B，D，E，四点共面．（5分）
（2）连接，取AC的中点O，连接，BO，如图所示．（6分）
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
，则，（7分）
又，所以为等边三角形．
又O为AC的中点，所以．（8分）
又平面平面ABC，平面平面，
平面，
所以平面ABC．（9分）
又，O为AC的中点，所以．
因为，，所以，，．（10分）
又因为，，（11分）
所以四棱锥的体积为．（12分）
20．【答案】(1) (2)证明见解析；
【分析】（1）利用抛物线焦半径公式即可得解；
（2）联立直线与抛物线方程，结合题设条件求得，从而得证；再求得直线所过的定点，从而得解.
【详解】（1）因为在上，所以，
又，所以，则，
所以，则，解得或，
当时，，满足要求；当时，，不满足，
故，所以抛物线的方程为.
（2）设，
联立，消去整理得，
所以，且，所以，
因为，解得，
所以直线的方程为，则直线过定点，
直线，即过定点，
又，所以，所以.
21．【答案】(1)1 (2)零点个数为2
【分析】（1）先求导数，判断函数的单调性，结合单调性可得最小值；
（2）利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理可得零点个数.
【详解】（1）当时，，则，
易知单调递增，且，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以．
（2）由题，，又，所以单调递增，
因为，
所以存在唯一的，使，
且当时，单调递减，
当时，单调递增．
又，
所以在内有1个零点．
令，则，
令，则．
所以单调递增，，
所以单调递增，，
即，故在内有1个零点．
综上，当时，的零点个数为2．
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是利用所给值判断区间端点值的符号，二是结合零点存在定理判断零点个数.
【答案】解：(1)依题意，曲线C1:x−22+y2=4，即x2+y2−4x=0,故ρ2−4ρcsθ=0，即ρ=4csθ, 因为ρ2=41+3sin2α，故ρ2+3ρ2sin2α=4.即x2+4y2=4，即x24+y2=1.
将θ=θ0代入ρ2=41+3sin2α得，ρQ2=41+3sin2θ0. 将θ=θ0代入ρ=4csθ得，ρP=4csθ0.
由|OQ|=|PQ|，得ρP=2ρQ，即4csθ02=161+3sin2θ0.解得sin2θ0=23，则cs2θ0=13
又0<θ0<π2，故ρQ=41+3sin2θ0=233，ρP=4csθ0=433
故△PMQ的面积S△PMQ=S△OMP−S△OMQ=12⋅|OM|⋅(ρP−ρQ)⋅sinθ0=12⋅233⋅63=23.
23. 【详解】（1），
，
当且仅当时取等号，
，要证，只要证，
由柯西不等式得，
当且仅当时取等号，．
（2）由基本不等式得，
以上三式当且仅当时同时取等号，将以上三式相加得
，即．