2024八下第22章四边形全章热门考点整合应用练习（冀教版）

这是一份2024八下第22章四边形全章热门考点整合应用练习（冀教版），共17页。

全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理，一个性质，四个图形，四个判定与性质，四个技巧，两种思想． 一个定理——三角形的中位线定理1．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，点E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．求证：(1)四边形EFGH是矩形；(2)四边形EQGP是菱形．　(第1题) 一个性质——直角三角形斜边上的中线性质2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)∠DHF＝∠DEF.　(第2题) 四个图形eq \a\vs4\al(图形1) 平行四边形3．【中考·凉山州】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连接DF.求证：(1)AC＝EF；(2)四边形ADFE是平行四边形．(第3题)eq \a\vs4\al(图形2) 矩形4．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：△AOE≌△COF.(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．　(第4题)eq \a\vs4\al(图形3) 菱形5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？　(第5题)eq \a\vs4\al(图形4) 正方形6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(第6题) 四个判定与性质eq \a\vs4\al(判定与性质1) 平行四边形7．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．(第7题)eq \a\vs4\al(判定与性质2) 矩形8．【中考·湘西州】如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：(1)△ADE≌△CBF；(2)四边形DEBF为矩形．(第8题)eq \a\vs4\al(判定与性质3) 菱形9．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．(第9题)eq \a\vs4\al(判定与性质4) 正方形10．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点．求证：FB⊥BH.(第10题) 四个技巧eq \a\vs4\al(技巧1) 解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．【导学号：54274030】(第11题)eq \a\vs4\al(技巧2) 解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第12题)eq \a\vs4\al(技巧3) 解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法)13．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．(第13题)eq \a\vs4\al(技巧4) 解中点四边形的技巧14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．(1)求证：四边形DEFG是矩形；(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．(第14题) 两种思想eq \a\vs4\al(思想1) 转化思想15．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：PA＝EF.(第15题)eq \a\vs4\al(思想2) 数形结合思想16．[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为[运用](1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________；(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．(第16题)答案1．证明：(1)∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，∴EF∥AC且EF＝eq \f(1,2)AC，GH∥AC且GH＝eq \f(1,2)AC，EH∥BD，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴▱EFGH是矩形．(2)∵点E，P，G，Q分别为AB，AC，DC，DB的中点，∴EP＝eq \f(1,2)BC，PG＝eq \f(1,2)AD，GQ＝eq \f(1,2)BC，QE＝eq \f(1,2)AD.∵AD＝BC，∴EP＝PG＝GQ＝QE，∴四边形EQGP是菱形．点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．2．证明：(1)∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC.同理可得EF∥AB.∴四边形ADEF是平行四边形．(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形，∴∠DAF＝∠DEF.在Rt△AHB中，∵D是AB的中点，∴DH＝eq \f(1,2)AB＝AD，∴∠DAH＝∠DHA.同理可得HF＝eq \f(1,2)AC＝AF，∴∠FAH＝∠FHA.∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA.∴∠DAF＝∠DHF.∴∠DHF＝∠DEF.3．证明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，　∴AB＝2BC.∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AE＝AB，AB＝2AF，∴AF＝BC.在Rt△BCA和Rt△AFE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝AF，,BA＝AE，))∴Rt△BCA≌Rt△AFE(HL)，∴AC＝EF.(2)∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°.又∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°＝∠DAB.∴EF∥AD.∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD.∴四边形ADFE是平行四边形．4．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠AEO＝∠CFO.在△AOE和△COF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEO＝∠CFO，,∠AOE＝∠COF，,OA＝OC.))∴△AOE≌△COF(AAS)．(2)解：当AC＝EF时，四边形AECF是矩形．理由如下：由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．5．(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形．(2)解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．理由：∵D是AB的中点，∴BD＝eq \f(1,2)AB.∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝eq \f(1,2)BC.又∵AB＝BC，∴BD＝DE.又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．6．(1)解：DE⊥FG.理由如下：由题意，得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠EDB＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG.∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．7．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)解：四边形MFNE是平行四边形．证明如下：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF.又∵M，N分别是BE，DF的中点，∴ME＝FN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠AEB＝∠FBE.∴∠CFD＝∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边形．规律总结：本题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论．本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质，利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形．8．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.又∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEA＝∠BFC＝90°.∴△ADE≌△CBF.(2)∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.∵CD＝AB，∴DF＝BE.又∵CD∥AB，∴四边形DEBF为平行四边形．又∵∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形．　(第9题)9．证明：如图，连接CE，交AD于点O.∵AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形．∵AO平分∠CAE，∴AO⊥CE，且OC＝OE.∵EF∥CD，∴∠2＝∠1.又∵∠DOC＝∠FOE，　∴△DOC≌△FOE(ASA)．∴OD＝OF.即CE与DF互相垂直且平分，∴四边形CDEF是菱形．10．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCF＝∠BCF＝45°，DC∥AE，∠CBE＝90°，∴∠CDF＝∠E.又∵CF＝CF，∴△DCF≌△BCF.∴∠CDF＝∠CBF.∴∠CBF＝∠E.∵H为GE的中点，∴HB＝HG＝eq \f(1,2)GE.∴∠HGB＝∠HBG.∵∠CDG＋∠CGD＝90°，∠CGD＝∠HGB＝∠HBG，∴∠FBG＋∠HBG＝90°，即∠FBH＝90°，∴FB⊥BH.11．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，∴根据轴对称的性质可得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分图形的周长为(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.12．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是eq \f(1,4).理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.∵四边形A′B′C′O是正方形，∴∠EOF＝90°.∴∠EOF＝∠BOC.∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF.∴S△BOE＝S△COF.∴两个正方形重叠部分的面积等于S△BOC.∵S正方形ABCD＝1×1＝1，∴S△BOC＝eq \f(1,4)S正方形ABCD＝eq \f(1,4).∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是eq \f(1,4).13．解：(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×16＝8，由勾股定理得AG＝eq \r(AB2－BG2)＝eq \r(102－82)＝6，所以AC＝2AG＝2×6＝12.所以菱形ABCD的面积＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)×12×16＝96.(2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，所以eq \f(1,2)BD·AG＝eq \f(1,2)AB·OE＋eq \f(1,2)AD·OF，即eq \f(1,2)×16×6＝eq \f(1,2)×10·OE＋eq \f(1,2)×10·OF.解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．　(第13题)(3)发生变化．如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，所以eq \f(1,2)BD·AG＝eq \f(1,2)AB·OE－eq \f(1,2)AD·OF.即eq \f(1,2)×16×6＝eq \f(1,2)×10·OE－eq \f(1,2)×10·OF.解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．所以OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.14．(1)证明：如图，连接AO并延长交BC于H，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AH是BC的中垂线，即AH⊥BC.∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，　(第14题)∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.∴四边形DEFG是平行四边形．∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.又∵DE∥AH，∴EF⊥DE，∴四边形DEFG是矩形．(2)解：∵D，E，F分别是AB，OB，OC的中点，∴AO＝2DE＝4，BC＝2EF＝6.　∵△BOC是等腰直角三角形，∴OH＝eq \f(1,2)BC＝3.∴AH＝OA＋OH＝4＋3＝7.∴S△ABC＝eq \f(1,2)×6×7＝21.15．证明：连接PC.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°，∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°.∴四边形PECF是矩形．∴PC＝EF.在△ABP和△CBP中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABP＝∠CBP，,BP＝BP，))∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.∴PA＝EF.点拨：本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中，通过等式的传递性证明两条线段相等．16．解：(1)(2，1.5)(2)设点D的坐标为(x，y)．若以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形，①当AB为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴eq \f(－1＋3,2)＝eq \f(1＋x,2)，eq \f(2＋1,2)＝eq \f(4＋y,2).∴x＝1，y＝－1.∴点D的坐标为(1，－1)．②当BC为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴eq \f(3＋1,2)＝eq \f(－1＋x,2)，eq \f(1＋4,2)＝eq \f(2＋y,2).∴x＝5，y＝3.∴点D的坐标为(5，3)．③当AC为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴eq \f(－1＋1,2)＝eq \f(3＋x,2)，eq \f(2＋4,2)＝∴x＝－3，y＝5.∴点D的坐标为(－3，5)．综上所述，点D的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．