2024八下第22章四边形阶段方法技巧训练二专训2菱形性质与判定的灵活运用（冀教版）

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专训2　菱形性质与判定的灵活运用名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等． 利用菱形的性质与判定判断图形的形状1．【 中考·北京】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．(第1题) 利用菱形的性质与判定证明线段的关系2．【 中考·滨州】如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于eq \f(1,2)BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；(2)若菱形ABEF的周长为16，AE＝4eq \r(3)，求∠C的大小．(第2题) 利用菱形的性质与判定求线段长3．【 中考·包头】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)(第3题) 利用菱形的性质与判定解决面积问题4．【 中考·云南】如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.(第4题)答案1．(1)证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC.∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形．∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE.∴四边形BCDE是菱形．(2)解：∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA.∴AB＝BC＝1.∵∠ABD＝90°，E为AD的中点，∴BE＝AE＝eq \f(1,2)AD.∵AD＝2BC＝2，∴BE＝AE＝AB＝1.∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝60°.∴∠DAC＝30°，∠ADB＝30°.∴∠ADC＝60°.∴∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，∵AD＝2，∠DAC＝30°，∴CD＝1.∴AC＝eq \r(3).2．(1)证明：由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD.∴∠BAE＝∠EAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD.∴∠AEB＝∠EAF.∴∠BAE＝∠AEB.∴BE＝AB.∴BE＝AF.∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形．(2)解： 如图，连接BF，交AE于G，(第2题)∵菱形ABEF的周长为16，AE＝4eq \r(3)，∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，AG＝eq \f(1,2)AE＝2eq \r(3)，AE⊥BF.在Rt△ABG中，AB2＝AG2＋BG2，∴42＝(2eq \r(3))2＋BG2.∴BG＝2.∴BF＝2BG＝4.∴AB＝AF＝BF＝4.∴△ABF为等边三角形．∴∠BAF＝60°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAF＝60°.3．解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝eq \f(1,2)∠CAB＝30°.在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6.(2)∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF.又∵∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD.∴AF＝DF.∴四边形AEDF是菱形．∴AE＝DE＝DF＝AF.在Rt△CED中，∵∠CDE＝∠B＝30°，∴CE＝eq \f(1,2)DE.又∵CE2＋CD2＝DE2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)DE))eq \s\up12(2)＋9＝DE2.∴DE＝2eq \r(3)(负值舍去)．∴四边形AEDF的周长为8eq \r(3).4．(1)证明：∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴在Rt△ABD中，DE＝eq \f(1,2)AB＝AE，在Rt△ACD中，DF＝eq \f(1,2)AC＝AF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF＝DE＝DF.∴四边形AEDF是菱形．(2)解：如图，设EF与AD相交于点O.(第4题)∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49，①易知AD⊥EF，∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq \s\up12(2)＝32.即x2＋y2＝36，②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝eq \f(13,2).∴菱形AEDF的面积S＝eq \f(1,2)xy＝eq \f(13,4).