2024八下第22章四边形阶段方法技巧训练三专训2利用特殊四边形的性质巧解折叠问题（冀教版）

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专训2　利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等． 平行四边形的折叠问题1．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE恰好经过BC的中点，那么▱ABCD的面积是________．2．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．(第2题) 矩形的折叠问题3．【中考·衢州】如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝eq \r(2)，求AD和AB的长．(第3题) 菱形的折叠问题4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．(第4题) 正方形的折叠问题5．【中考·德州】如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．【导学号：54274027】(第5题)答案1．12eq \r(7)　点拨：如图，设AE，BC的交点为O，连接BE，已知O是BC的中点．∵在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，则△ABC≌△CEA，∴∠ACB＝∠CAE，同时，BC＝AE，即在四边形ABEC中，两条对角线相等．∵在△AOC中，∠ACB＝∠CAE，∴AO＝OC，易得O是AE的中点．∴四边形ABEC是矩形，在Rt△AEC中，CE＝AB＝6，AE＝AD＝8，由勾股定理得AC＝eq \r(AE2－CE2)＝eq \r(82－62)＝2eq \r(7).∴▱ABCD的面积＝AB·AC＝6×2eq \r(7)＝12eq \r(7).(第1题)(第2题)2．解：设AE与BC相交于点F，如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.∵F为BC边的中点，BC＝6，∴AF＝CF＝BF＝eq \f(1,2)×6＝3.又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.(第3题)3．(1)证明：由折叠知∠ADE＝∠A′DE，AE＝EG，BC＝CH.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB∥CD.∴∠A′DE＝∠AED.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∴EG＝CH.(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝eq \r(2)，∴DG＝eq \r(2)，DF＝2.∴AD＝2＋eq \r(2).如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠3＝∠AFE.又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，AE＝BC，∴△EFA≌△CEB.∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋eq \r(2)＋eq \r(2)＝2＋2eq \r(2).4．解：如图，连接BD，AC.(第4题)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°.∴∠ABO＝90°－60°＝30°.∵∠AOB＝90°，∴AO＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×2＝1.由勾股定理，得BO＝DO＝eq \r(3).∵点A沿EF折叠与点O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO.∵AC⊥BD，∴EF∥BD，易得EF为△ABD的中位线，∴EF＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×(eq \r(3)＋eq \r(3))＝eq \r(3).5．(1)证明：∵PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠BPH＝∠PBC.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.(2)解：△PDH的周长不变且为定值8.证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．(第5题)由(1)知∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.