2023-2024学年安徽师大附中高二（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年安徽师大附中高二（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|lg(2−x)≤0}，B={x∈N|y= 1−x2}，则A∪B=( )
A. {0,1,2}B. {1,2}C. {0,1}D. {1}
2.在等差数列{an}中，若a3+a7=10，a6=7，则公差d=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知不重合的直线a，b和平面α，β，a⊥α，b⊥β，则“a⊥b”是“α⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知数据4x1+1，4x2+1，…，4x10+1的平均数和方差分别为4，10，那么数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为( )
A. −1，52B. 1，52C. 1，32D. 34，58
5.已知向量a，b满足a⋅(a+b)=2，且|a|=1，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. 1B. −1C. aD. −a
6.已知sinx−2csx= 5sin(x+φ)，则sin2φ−2cs2φ=( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0=60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：时)为( )
(精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)
A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 0.9
8.已知定义在R上的连续可导函数f(x)及其导函数f′(x)满足f(x)0时f(x)>0，则下列式子不一定成立的是( )
A. f(8)>2f(4)B. f(4)>2f(2)C. f(2)>2f(1)D. f(1)>2f(12)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定数集A=R，B=(0,+∞)，x，y满足方程2x−y=0，下列对应关系f为函数的是( )
A. f：A→B，y=f(x)B. f：B→A，y=f(x)
C. f：A→B，x=f(y)D. f：B→A，x=f(y)
10.已知z为复数，设z，z−，iz在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则( )
A. |OA|=|OB|B. OA⊥OCC. |AC|=|BC|D. OB//AC
11.设定义在R上的可导函数f(x)和g(x)满足f′(x)=g(x)，g′(x)=f(x)，f(x)为奇函数，且g(0)=1.则下列选项中正确的有( )
A. g(x)为偶函数B. f(x)为周期函数
C. g(x)存在最大值且最大值为1D. g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)=2sinx+f′(0)csx，则f′(0)= ______．
13.已知A(4,1)，B(2,2)，C(0,3)，若在圆x2+y2=r2(r>0)上存在点P满足|PA|2+|PB|2+|PC|2=13，则实数r的取值范围是______．
14.已知动点P，Q分别在圆M：(x−lnm)2+(y−m)2=14和曲线y=lnx上，则|PQ|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2x3+3ax2+1(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=−1时，求函数f(x)在区间[0,2]上的最值．
16.(本小题15分)
已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从C1，C2上分别取两个点，将其坐标记录于表中：
(1)求C1和C2的标准方程；
(2)若C1和C2交于不同的两点A，B，求OA⋅OB的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥CD，AD=2BC=2，CD= 3,PB= 6．
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)点M为棱PC的中点，求BM与平面PCD所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
设Sn为数列{an}的前n项和，已知{Snn(n+1)}是首项为12、公差为13的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn=(2n−1)anSn，Tn为数列{bn}的前n项积，证明：i=1nTi≤6n−15．
19.(本小题17分)
已知集合A中含有三个元素x，y，z，同时满足①xf(4)e4，化简得f(8)>e4f(4)>2f(4)，故A成立；
对于B：因为F(4)>F(2)，即f(4)e4>f(2)e2，化简得f(4)>e2f(2)>2f(2)，故B成立；
对于C：因为F(2)>F(1)，即f(2)e2>f(1)e，化简得f(2)>ef(1)>2f(1)，故C成立；
对于D：因为F(1)>F(12)，即f(1)e>f(12)e12，化简得f(1)>e12f(12)，而e12f(12)0)上，
所以|r−1|≤ (2−0)2+(2−0)2≤r+1，
解得2 2−1≤r≤2 2+1，
故实数r的取值范围是[2 2−1,2 2+1]．
故答案为：[2 2−1,2 2+1]．
由题意设出点P(x,y)，结合点P满足|PA|2+|PB|2+|PC|2=13，求出P点的轨迹为圆，进而问题转化为两圆有公共点问题即可．
本题主要考査圆与圆的位置关系以及转化与化归思想的应用，属于中档题．
14.【答案】 2−12
【解析】解：因为圆M：(x−lnm)2+(y−m)2=14，
设M(x,y)，则x=lnmy=m，
所以y=ex，
即圆心M在曲线y=ex上运动，
易知，函数y=ex与函数的图象y=lnx关于直线y=x对称，
而曲线f(x)与直线y=x+1相切于点A(0,1)，曲线(x)与直线y=x−1相切于点B(1,0)，
所以PM|的最小值为|AB|= 2，
即|PQ|的最小值为|PM|−12= 2−12．
故答案为： 2−12．
设M(x,y)，则x=lnmy=m，得出圆心轨迹为y=ex，由函数y=ex与函数y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合导数的几何意义可得|PQ|的最小值为 2，进而确定|PQ|的最小值．
本题主要考查切线的应用，属于中档题．
15.【答案】解：1)因为f(x)=2x3+3ax2+1(a∈R)，所以f′(x)=6x2+6ax=6x(x+a)，
①当a=0时，f′(x)=6x2≥0恒成立，此时f(x)在R上单调递增；
②当a0，解得x−a，由f′(x)=6x(x+a)0或x