2023-2024学年重庆市巴南区部分学校高一（下）段考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市巴南区部分学校高一（下）段考数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，四边形ABCD中，AB=DC，则必有( )
A. AD=CBB. OA=OCC. AC=DBD. DO=OB
2.设a，b是非零向量，“a|a|=b|b|”是“a=b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量a=(x,2)，b=(2,y)，c=(2,−4)，且a/​/c，b⊥c，则|a−b|=( )
A. 3B. 10C. 11D. 2 3
4.已知非零向量a，b且AB=a+2b，BC=−5a+2b，CD=7a+2b，则一定共线的三点是( )
A. A，B，DB. A，B，CC. B，C，DD. A，C，D
5.在三角形ABC中，已知|AB+AC|=|AB−AC|，|AB|=2，点G满足GA+GB+GC=0，则向量BG在向量BA方向上的投影向量为( )
A. 13BAB. 23BAC. 2BAD. 3BA
6.如图，矩形ABCD中，点E是线段AB上靠近A的三等分点，点F是线段BC的中点，则DE=( )
A. 89DF−59AC
B. 109DF−59AC
C. −89DF+59AC
D. −109DF+59AC
7.在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足BE=EC，CF=2FD.若点P在线段BD上运动，且AP=λAE+μAF(λ,μ∈R)，则λ+μ的取值范围为( )
A. [−15,75]B. [35,45]C. [23,34]D. [−15,35]
8.已知平面向量a，b不共线，且|a|=1，a⋅b=1，记b与2a+b的夹角是θ，θ最大时，|a−b|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B. 若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线
C. 若非零向量a与b共线，则a=b
D. 若a=b，则|a|=|b|
10.△ABC中，下列说法正确的是( )
A. 若AB⋅BC<0，则△ABC为钝角三角形．
B. 若AP=λ(AB|AB|+AC|AC|)，λ∈[0,+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心
C. 若G为△ABC的重心，则AG=13(AB+AC)
D. 若点O满足|OA|=|OB|=|OC|，AB=2，AC=6，则AO⋅BC=16
11.对于非零向量a=(x,y)，定义变换F(a)=(x+y,x−y)以得到一个新的向量.则关于该变换，下列说法正确的是( )
A. 若a/​/b，则F(a)//F(b)
B. 若a⊥b，则F(a)⊥F(b)
C. 存在a，b使得cs〈F(a),F(b)〉=cs〈a,b〉+12
D. 设a0=(−5,2)，a1=F(a0)，a2=F(a1)，…，a2023=F(a2022)，则a0⋅a2023=21011
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为2π3，则F3的大小为______．
13.已知平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|=|c|=2，若a⋅b=a⋅c=8，则|a|=______．
14.如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上，若DE⋅DF=134，则线段BD的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)：
(1)求满足a=mb+nc的实数m，n；
(2)若(a+kc)/​/(2b−a)，求实数k．
16.(本小题15分)
已知向量a与b的夹角θ=3π4，且|a|=3，|b|=2 2．
(1)求a⋅b，|a+b|；
(2)求a与a+b的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，AB=6，∠ABC=60°，D，E分别在边AB，AC上，且满足|AD||DB|=2，|CE||EA|=3，F为BC中点．
(1)若DE=λAB+μAC，求实数λ，μ的值；
(2)若AF⋅DE=−8，求边BC的长．
18.(本小题17分)
已知向量a，b满足|a|= 3，|b|=1，设a与b的夹角为θ．
(1)若对任意实数x，不等式|a+xb|≥|a+b|恒成立，求csθ的值；
(2)根据(1)中a与b的夹角θ值，求a与a+2b夹角的余弦．
19.(本小题17分)
如图所示，在△ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC，O是线段AP的中点，
(1)延长CO交AB于点Q(图1)，求AQQB的值；
(2)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F(图2)，设EB=λAE，FC=μAF．
(ⅰ)求证：2λ+μ为定值；
(ⅱ)设△AEF的面积为S1，△ABC的面积为S2的面积为S2，求S1S2的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平行向量与相等向量、相反向量之间的关系与应用问题，属于基础题．
根据AB=DC，得出四边形ABCD是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【解答】
解：四边形ABCD中，AB=DC，
∴AB/​/DC，且AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴AD=−CB，A错误；
OA=−OC，B错误；
AC≠BD，C错误；
DO=OB，D正确．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：由a|a|=b|b|表示单位向量相等，则a,b同向，但不能确定它们模是否相等，
即由a|a|=b|b|不能推出a=b，
由a=b表示a,b同向且模相等，则a|a|=b|b|，
所以“a|a|=b|b|”是“a=b”的必要而不充分条件．
故选：B．
根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，向量a=(x,2)，b=(2,y)，c=(2,−4)，
若a/​/c，b⊥c，则xy=44−4y=0，解可得x=4y=1，
则a−b=(3,1)，故|a−b|= 9+1= 10，
故选：B．
根据题意，由向量平行和垂直的判断方法分析可得则xy=44−4y=0，解可得x、y的值，即可得a−b的坐标，进而计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行和向量垂直的判断方法，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，BC=−5a+2b，CD=7a+2b，则BD=BC+CD=−5a+2b+7a+2b=2a+4b=2(a+2b)=2AB，
则A、B、D一定共线，符合题意；
对于B，AB=a+2b，BC=−5a+2b，当且仅当a、b共线时，A、B、C三点共线，不符合题意；
对于C，BC=−5a+2b，CD=7a+2b，当且仅当a、b共线时，B、C、D三点共线，不符合题意；
对于D，AB=a+2b，BC=−5a+2b，AC=−4a+4b，当且仅当a、b共线时，A、C、D三点共线，不符合题意．
故选：A．
根据题意，由向量共线的判断方法依次分析选项，综合可得答案．
本题考点平面向量共线的判断，涉及三点共线的证明，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∵|AB+AC|=|AB−AC|，
∴AB2+2AB⋅AC+AC2=AB2−2AB⋅AC+AC2，
∴AB⋅AC=0，即AB⊥AC，
点G满足GA+GB+GC=0，则G为△ABC的重心，
∴向量BG在向量BA方向上的投影为：|BG|cs∠ABG=|BG|⋅BA⋅BD|BA|⋅|BD|=23⋅BA⋅BD|BA|，
∵BD⋅BA=(AD−AB)⋅BA=12AC⋅BA+AB2=AB2，
∴向量BG在向量BA方向上的投影为：23×AB2|AB|=23|AB|，
则向量BG在向量BA方向上的投影向量为：23BA，
故选：B．
根据条件得到AB⊥AC以及G为△ABC的重心，再结合投影的定义求解结论即可．
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解法一：依题意DE=DA+13DC①,DF=DC+12DA②,AC=DC−DA③，
由②③式解得DA=23DF−23AC,DC=23DF+13AC，
代入①式得DE=89DF−59AC．
解法二：以D为原点，DC、DA分别为x、y轴的正方向建立平面直角坐标系，
设DC=a，DA=b，则E(a3,b),F(a,b2),A(0,b),C(a,0)，
由DE=λ1DF+λ2AC，有(a3,b)=λ1(a,b2)+λ2(a,−b)，
有λ1+λ2=13λ12−λ2=1，解得λ1=89,λ2=−59，得DE−=89DF−59AC．
故选：A．
解法一：由平面向量的线性运算，以及平面向量基本定理，可表示DE；
解法二：以D为原点，DC、DA分别为x，y轴的正方向建系，由DE=λ1DF+λ2AC，结合坐标运算，求得λ1，λ2，可表示DE．
本题考查了平面向量的线性运算和坐标运算，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：如图，矩形ABCD中，
已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足BE=EC,CF=2FD，
设DC=a,DA=b，则AE=AB+BE=a−12b,AF=AD+DF=13a−b，
联立AE=a−12bAF=13a−b，可解得a=65AE−35AFb=25AE−65AF，
因为点P在线段BD上运动，则可设AP=tAB+(1−t)AD,0≤t≤1，
所以AP=tAB+(1−t)AD=ta−(1−t)b
=t(65AE−35AF)−(1−t)(25AE−65AF)
=(−25+8t5)AE+(65−9t5)AF，
又AP=λAE+μAF(λ,μ∈R)，
所以λ=−25+8t5，μ=65−9t5，
则λ+μ=−25+8t5+65−9t5=45−15t，
因为0≤t≤1，所以λ+μ=45−15t∈[35,45]．
故选：B．
建立基底，DC=a,DA=b，则AE=a−12b,AF=13a−b，然后将设AP=tAB+(1−t)AD,0≤t≤1，最终表示为AP=(−25+8t5)AE+(65−9t5)AF，然后得到λ+μ=45−15t，进而求出范围．
本题考查了平面向量的运算和平面向量基本定理的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设|b|=x，则b⋅(2a+b)=2a⋅b+b2=x2+2，|2a+b|= 4a2+4a⋅b+b2= x2+8；
∴csθ=b⋅(2a+b)|b||2a+b|=x2+2x x2+8，易得csθ>0；
∴cs2θ=(x2+2)2x2(x2+8)=1−12(x2+2)2+4x2+2+1=1−12(1x2+2−16)2+43；
当x2=4，即x=2时，cs2θ取得最小值，θ取得最大值；
此时|a−b|2=a2−2a⋅b+b2=1−2+4=3；
∴|a−b|= 3．
故选：C．
把csθ表示为|b|的函数，利用函数的性质求出当θ最大时|b|的值，进而可求出|a−b|的值．
考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，分离常数法的运用，以及配方求二次函数最值的方法，余弦函数的单调性．
9.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由相等向量的定义，若两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，A错误；
对于B，若非零向量AB与CD是共线向量，可能有AB/​/CD，B错误；
对于C，若非零向量a与b共线，当两个向量大小不等时，a=b不成立，C错误；
对于D，若a=b，则a与b方向相同且大小相等，必有|a|=|b|，D正确．
故选：ABC．
根据题意，由相等向量的定义分析A、C、D，由向量平行的定义分析B，综合可得答案．
本题考查向量的定义，涉及向量相等、平行的定义，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，AB⋅BC<0，
则BA⋅BC>0，
则B为锐角，
不能判断△ABC的形状，
即选项A错误；
对于选项B，若AP=λ(AB|AB|+AC|AC|)，λ∈[0,+∞)，
又AB|AB|，AC|AC|为AB，AC同向的单位向量，
则AP在A的内角平分线上，
即点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
即选项B正确；
对于选项C，若G为△ABC的重心，
则GA+GB+GC=0，
则GA+GA+AB+GA+AC=0，
则AG=13(AB+AC)，
即选项C正确；
对于选项D，
若点O满足|OA|=|OB|=|OC|，
则O为△ABC的外心，
又AB=2，AC=6，
则AO⋅BC=AO⋅(AC−AB)=AO⋅AC−AO−AB=12AC2−12AB2=16，
即选项D正确．
故选：BCD．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算及投影的定义逐一判断．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算及投影的定义，属中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，a=(x,y)，设b=(m,n),F(a)=(x+y,x−y),F(b)=(m+n,m−n)，
若a/​/b，则有nx=my，所以(x+y)(m−n)−(x−y)(m+n)=−2nx+2my=0，
则F(a)//F(b)，故A选项正确；
对于B选项，若a⊥b，则有a⋅b=mx+ny=0，
故F(a)⋅F(b)=(x+y)(m+n)+(x−y)(m−n)=2mx+2ny=0．
则F(a)⊥F(b)，故B选项正确；
对于C选项，cs〈F(a)．F(b)〉=F(a)⋅F(b)|F(a)|⋅|F(b)|
=2mx+2ny (x+y)2+(x−y)2⋅ (m+n)2+(m−n)2
=mx+ny x2+y2⋅ m2+n2，
cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=mx+ny x2+y2⋅ m2+n2，
cs〈F(a),F(b)〉=cs〈a,b〉，故C选项错误；
对于D选项，当an=(x,y)时，an+1=F(an)=(x+y,x−y)，
an−2=F(an+1)=(2x,2y),an+2=2an，
a0=(−5,2),a2022=21011a0=(−5×21011,2×21011)，
a2023=F(a2022)=(−3×21011,−7×21011)，
a0⋅a2023=−5×(−3)×21011+2×(−7)×21011=21011，故D选项正确．
故选：ABD．
由定义变换的新向量，结合向量平行的条件验证选项A；
结合向量垂直的条件验证选项B；
由向量夹角的坐标运算验证选项C；
由新定义向量的变换，得到向量间的关系，求出a2023，再计算a0⋅a2023验证选项D．
本题考查向量的坐标运算，属于中档题．
12.【答案】 3
【解析】解：因为F1+F2+F3=0，且|F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为2π3，
所以F3=−F1−F2，
F32=F12+2F1⋅F2+F22=1+2×1×2×cs2π3+4=3，
|F3|= 3．
故答案为： 3．
根据平面向量的数量积运算，由F1+F2+F3=0求模长|F3|即可．
本题考查了平面向量的模长计算问题，是基础题．
13.【答案】4 2
【解析】解：设b=(2,0)，c=(0,2)，a=(x,y)，
因为a⋅b=a⋅c=8，
所以2x=2y=8，解得x=y=4，
所以|a|= 42+42=4 2．
故答案为：4 2．
根据题意，可设b=(2,0)，c=(0,2)，a=(x,y)，再结合平面向量数量积的坐标运算，即可得解．
本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】 32
【解析】解：因为在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，
所以AB⋅AC=4，
又在△ABC中，由余弦定理可得：
BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠CAB，
又AB=4，AC=2，∠BAC=60°，
得BC=2 3，
设BD=λBC(0≤λ≤1)，
则DE⋅DF=(BE−BD)⋅(DC+CF)
=(−12AB−λBC)⋅[(1−λ)BC−12AC)
=[(λ−12)AB−λAC]⋅[(12−λ)AC−(1−λ)AB]
=(λ−12)(λ−1)AB2−λ(12−λ)AC2−(2λ2−2λ+14)AB⋅AC
=12λ2−18λ+7
=134，
解得：λ=14，
即BD=14BC，
即线段BD的长为 32，
故答案为： 32．
先由平面向量数量积的运算可得：AB⋅AC=4，
再由余弦定理可得：BC=2 3，
然后设BD=λBC(0≤λ≤1)，结合平面向量的线性运算可得：DE⋅DF=(BE−BD)⋅(DC+CF)=12λ2−18λ+7=134，解得：λ=14，即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算及平面向量的线性运算，属中档题．
15.【答案】解：(1)由题意得，mb+nc=m(−1,2)+n(4,1)=(−m+4n,2m+n)，
∵a=mb+nc，∴(3,2)=(−m+4n,2m+n)，
即3=−m+4n2=2m+n，解得m=59，n=89，
(2)由题意得，a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k)，
2b−a=2(−1,2)−(3,2)=(−5,2)，
∵(a+kc)//(2b−a)，
∴2(3+4k)+5(2+k)=0，解得k=−1613．
【解析】(1)由题意和向量的坐标运算求出mb+nc的坐标，再由向量相等的条件列出方程组，求出m和n的值；
(2)由题意和向量的坐标运算求出a+kc和2b−a的坐标，再由向量共线的条件列出方程．求出k的值．
本题考查了向量的坐标运算，向量相等的条件，以及向量共线的条件，属于基础题．
16.【答案】解：(1)a⋅b=|a|⋅|b|cs=3×2 2×cs3π4=−6，
|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 9+2×(−6)+8= 5．
(2)由题意知，a⋅(a+b)=a2+a⋅b=9+(−6)=3，
设a与a+b的夹角为θ，则csθ=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|=33× 5= 55，
故a与a+b的夹角的余弦值为 55．
【解析】(1)由平面向量数量积的运算法则，可得a⋅b的值；由|a+b|= (a+b)2，再代入相关数据，得解．
(2)先求出a⋅(a+b)=3，设a与a+b的夹角为θ，由csθ=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|，得解．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法和数量积的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，AB=6，∠ABC=60°，
D，E分别在边AB，AC上，且满足|AD||DB|=2，|CE||EA|=3，
∵|AD||DB|=2,|CE||EA|=3，∴AD=23AB,AE=14AC，
∴DE=AE−AD=14AC−23AB，∴λ=−23,μ=14；
(2)∵F为BC中点，
∴AF=BF−BA=12BC−BA，
由(1)知DE=14AC−23AB，
∴DE=14AC−23AB=14(BC−BA)+23BA=14BC+512BA，
∴AF⋅DE=(12BC−BA)⋅(14BC+512BA)=18|BC|2−124BC⋅BA−512|BA|2，
设|BC|=a，∵在△ABC中，AB=6，∠ABC=60°，
∴AF⋅DE=18a2−124×6×12a−512×62=−8，即a2−a−56=0，
解得a=−7(舍)或a=8，∴BC长为8．
【解析】(1)根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案；
(2)利用转化法化简AF⋅DE=−8，从而求得BC的长．
本题考查了向量的线性运算以及平面向量的基本定理，属于中档题．
18.【答案】解：(1)已知向量a，b满足|a|= 3，|b|=1，
又不等式|a+xb|≥|a+b|恒成立，
得a2+x2b2+2xa⋅b≥a2+b2+2a⋅b，
即x2b2+2xa⋅b−b2−2a⋅b≥0恒成立，
则x2+2 3xcsθ−1−2 3csθ≥0恒成立，
所以Δ=(2 3csθ)2−4(−1−2 3csθ)≤0．
即(csθ+ 33)2≤0，
解得csθ=− 33；
(2)由(1)知csθ=− 33，
则a⋅(a+2b)=a2+2a⋅b=a2+2|a||b|csθ=3+2 3×1×(− 33)=1，
|a+2b|2=a2+4a⋅b+4b2=3+4× 3×1×(− 33)+4=3，
则|a+2b|= 3，
则cs=a⋅(a+2b)|a|⋅|a+2b|=1 3× 3=13，
故a与a+2b夹角的余弦值为13．
【解析】(1)由平面向量的模的运算，结合平面向量数量积的运算求解；
(2)由平面向量的模的运算，结合平面向量夹角的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的余弦，属中档题．
19.【答案】解：(1)依题意，因为2BP=PC，
所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(BA+AC)=23AB+13AC，
因为O是线段AP的中点，所以AO=12AP=13AB+16AC，
设AB=xAQ，则有AO=x3AQ+16AC，
因为C，O，Q三点共线，所以x3+16=1，解得x=52，
即AQ=25AB，所以QB=35AB，所以AQQB=23；
(2)证明：(i)根据题意AB=AE+EB=AE+λAE=(1+λ)AE，
同理可得：AC=(1+μ)AF，
由(1)可知，AO=12AP=13AB+16AC，
所以AO=1+λ3AE+1+μ6AF，
因为E，O，F三点共线，所以1+λ3+1+μ6=1，
化简得2λ+μ=3，
即2λ+μ为定值，且定值为3；
(ii)根据题意，S1=12|AE||AF|sinA，
S2=12|AB||AC|sinA=12(1+λ)|AE|(1+μ)|AF|sinA，
所以S1S2=12|AE||AF|sinA12(1+λ)|AE|(1+μ)|AF|sinA=1(1+λ)(1+μ)，
由(i)可知2λ+μ=3，则μ=3−2λ，
所以S1S2=1(1+λ)(1+3−2λ)=1−2λ2+2λ+4=1−2(λ−12)2+92，
易知，当λ=12时，S1S2有最小值，此时S1S2=29．
【解析】(1)根据题意，将AQ,AC作为基底表示AO，由C，O，Q三点共线可知，AQ,AC的系数之和为1，即可求出AQQB的值；
(2)(i)根据题意，将AE,AF作为基底表示AO，由E，O，F三点共线可知，AE,AF的系数之和为1，即可求出2λ+μ为一定值；(ii)根据题意，S1=12|AE||AF|sinA,S2=12|AB||AC|sinA=12(1+λ)|AE|(1+μ)|AF|sinA，S1S2=1(1+λ)(1+μ)，由2λ+μ=3可将S1S2化为关于λ的函数，利用函数性质求S1S2的最小值即可．
本题考查了平面向量基本定理的应用，属于难题．