第3章函数与基本初等函数 第10节函数模型及其应用 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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1.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.会比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
1.指数、对数、幂函数模型性质的比较
微点拨“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”是先慢后快,其增长速度越来越快,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”是先快后慢,其增长速度越来越缓慢.
2.几种常见的函数模型
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.函数y=2x的函数值恒比y=x2的函数值大.(　　)2.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快.(　　)3.指数型函数模型,一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题.(　　)4.若f(x)=2x,g(x)=x2,h(x)=lg2x,则当x∈(4,+∞)时f(x)>g(x)>h(x).(　　)
题组二回源教材5.(人教A版必修第一册习题4.4第6题)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
解析 依题意,在2 h内,药物含量线性增加,排除A;又药物含量不可能为负值,故排除D;停止注射后,药物含量呈指数衰减,排除C,故选B.
6.(人教B版必修第一册3.3节例5)已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3 000,且当年产量是100时,总成本是6 000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q).(1)求f(Q)的解析式;(2)求年产量为多少时,平均成本最小,并求最小值.
解 (1)将Q=100,C=6 000代入C=aQ2+3 000中,可得1002a+3 000=6 000,从
等号成立.因此,当年产量为100时,平均成本最小,且最小值为60.
题组三连线高考7.(2020·全国Ⅰ,文5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+bln x
解析 结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+bln x.
8.(多选题)(2023·新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级 ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　 　)A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p2
考点一 实际问题变化过程的图象刻画
例1(2024·北京东城模拟)点P从O点出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,O,P两点的距离y与点P所走路程x的函数关系如图所示,那么点P所走的图形是(　　)
解析 观察动点的运动图象,可以发现两个显著特点:①点P运动到周长的一半时,OP最大;②点P的运动图象是抛物线.设点M为运动到周长的一半时的位置,如下图所示:
图1中,因为OM≤OP,不符合①,因此排除选项A;图4中,由OM≤OP,不符合①,并且OP的距离不是对称变化的,因此排除选项D;另外,在图2中,当点P在线段OA上运动时,此时y=x,其图象是一条线段,不符合②,因此排除选项B,故选C.
[对点训练1]已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　　)A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元
解析 甲商品6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),商人在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙商品4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),商人在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.
考点二 根据给定的函数模型解决实际问题
例2(1)(2024·湖北天门模拟)“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y= 描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为(　　)A.5小时B.6小时C.7小时D.8小时
(2)(2024·山东潍坊模拟)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素,能够调节免疫功能,增强机体免疫力.草莓味甘、性凉,有润肺生津,健脾养胃等功效,受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量,可将其从小到大依次分为4个等级,其等级x(x=1,2,3,4)与其对应等级的市场销售单价y(单位:元/千克)近似满足函数关系式y=eax+b,若花同样的钱买到的1级草莓是4级草莓的2倍,且1级草莓的市场销售单价为20元/千克,则3级草莓的市场销售单价最接近(结果保留2位小数,参考数据: ≈1.59)(　　)元/千克元/千克元/千克元/千克
考点三 构建函数模型解决实际问题(多考向探究预测)
考向1构建函数模型解决实际问题例3(2024·北京顺义模拟)诺贝尔奖发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以保证奖金数逐年增加.假设基金平均年利率为r=6%,资料显示:2003年诺贝尔奖发放后基金总额约为20 000万美元,设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(单位:万美元,2003年记为f(1),2004年记为f(2),…,依此类推).(1)用f(1)表示f(2)和f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2013年度诺贝尔奖各项奖金高达130万美元”是否为真,并说明理由.(参考数据:1.039≈1.30)
[对点训练2](2024·四川成都模拟)“环境就是民生,青山就是美丽,蓝天也是幸福”,随着经济的发展和社会的进步,人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3,排放前每过滤一次,该污染物的含量都会减少20%,当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3,若要使该工厂的废气达标排放,那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.477)(　　)A.8B.9C.10D.11
解析 过滤第一次污染物的含量减少20%,污染物含量为1.2(1-0.2);过滤第二次污染物的含量减少20%,污染物含量为1.2(1-0.2)2;过滤第三次污染物的含量减少20%,污染物含量为1.2(1-0.2)3;…过滤第n次污染物的含量减少20%,污染物含量为1.2(1-0.2)n.
所以n的最小值为8,即排放前需要过滤的次数至少为8,故选A.
考向2选择恰当的函数模型解决问题例4(2024·福建福州模拟)某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),每件的销售价格P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)近似满足函数关系式P(x)=1+ (k为常数,且k>0),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示:
(1)给出以下四个函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=ax+b;④Q(x)=a·lgbx,请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式.(2)已知第1天的日销售收入为244元,设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位:元),求f(x)的最小值.
解 (1)由表格中的数据可知,当时间x变长时,Q(x)先增后减,①③④函数模型在定义域上均是单调的,不符合该数据模型,所以选择模型②:Q(x)=a|x-m|+b.易知m=22,又由表格可知Q(18)=139,Q(14)=135,代入Q(x)=a|x-22|+b,得
所以日销售量Q(x)与时间x之间的函数关系式为Q(x)=-|x-22|+143(1≤x≤30,x∈N*).
当22≤x≤30,x∈N*时,f(x)=-x+ +164单调递减,所以函数的最小值为f(x)min=f(30)=139.5<144.综上,当x=30时,函数f(x)取得最小值139.5元.
[对点训练3](2024·山西临汾模拟)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数,y(单位:万元)表示x天收取的总费用).
(1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0,且p≠1),y2=lga(x+b)(a>0,且a≠1),要从这两个函数中选出一个来模拟表中x,y之间的关系,问:选择哪一个函数较好?说明理由.(2)该公司旗下有10个这样的仓库,每个仓库储存货物时,每天需要2 000元的运营成本,不储存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天,设该批货物存放在m(0≤m≤10)个仓库内,其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于43 000元,则m的最小值是多少?(注:收益=收入-成本)
解 (1)若选择函数y1=px-1+q(p>0,且p≠1),将点(1,1),(3,2)代入函数,
∴y2=lg2(x+1).当x=7时,y2=lg28=3;当x=14时,y2=lg215.可知当x=7或14时,与实际数据比较接近.综上,选择函数y2=lga(x+b)(a>0,且a≠1)较好.
(2)设该公司这7天的仓库收益为f(m)元,由表格数据可知,若货物存放7天,每个仓库收费30 000元,∴f(m)=30 000m-[2 000m+500×(10-m)]×7=19 500m-35 000,由f(m)≥43 000,解得m≥4,∴m的最小值为4.