第4章一元函数的导数及其应用 第3节利用导数研究函数的极值、最值 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与极值、最大(小)值的关系.
1.函数的极值与导数
函数极值反映的是函数局部的性质
微点拨对函数极值的理解(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.
微思考若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗?
提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值.
2.函数的最值与导数
　反映的是函数整体的性质
(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　　　　　的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的　　　; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　　　　比较,其中最大的一个是　　　　　　,最小的一个是　　　　　　. 
微点拨对函数最值的理解(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一性,即只能有一个最大(小)值;(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在区间端点处取得;(3)函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值;若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最大值、最小值.
常用结论1.有极值的函数一定不是单调函数.2.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.一个函数的极大值一定比极小值大.(　　)2.函数在闭区间上的最值一定在端点处取得.(　　)3.函数在开区间上的最值一定是相应的极值.(　　)
题组二回源教材4.(人教B版选择性必修第三册6.2.2节练习B第3题改编)设函数f(x)=ax3+3x+2有极值,则实数a的取值范围是　　　　　　　,函数的极值点是　　　　. 
解析 当a=0时,f(x)=3x+2没有极值,不合题意;当a≠0时,f'(x)=3ax2+3,则f'(x)=3ax2+3=0应有两个不相等的实数根,所以Δ=-36a>0,解得a0;当x0,f(x)单调递增,符合题意,所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=-1+3=2,又f(2)=23-3×2=2,所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值为2,故选C.
(2)(2024·河北邢台模拟)函数f(x)= +x-ln x的最小值为(　　)A.eB.e+1C.1D.e-1
x>0,所以ex+x>0,当x∈(0,1)时,f'(x)