专题1-1 一网打尽全等三角形模型 ·十个模型 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

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目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc150815813" 模型梳理 PAGEREF _Tc150815813 \h 2
\l "_Tc150815814" 题型一 倍长中线模型 PAGEREF _Tc150815814 \h 14
\l "_Tc150815815" 题型二 一线三等角模型 PAGEREF _Tc150815815 \h 14
\l "_Tc150815816" 题型三 半角模型 PAGEREF _Tc150815816 \h 17
\l "_Tc150815817" 2022·山东日照真题 PAGEREF _Tc150815817 \h 18
\l "_Tc150815818" 题型四 手拉手模型 PAGEREF _Tc150815818 \h 21
\l "_Tc150815819" 2022·张家界真题 PAGEREF _Tc150815819 \h 23
\l "_Tc150815820" 2022·贵阳中考 PAGEREF _Tc150815820 \h 23
\l "_Tc150815821" 题型五 对角互补+邻边相等模型 PAGEREF _Tc150815821 \h 26
\l "_Tc150815822" 题型六 平行线夹中点模型 PAGEREF _Tc150815822 \h 27
\l "_Tc150815823" 题型七 截长补短模型 PAGEREF _Tc150815823 \h 28
\l "_Tc150815824" 题型八 绝配角模型 PAGEREF _Tc150815824 \h 32
\l "_Tc150815825" 2023·深圳宝安区二模 PAGEREF _Tc150815825 \h 33
\l "_Tc150815826" 2023·深圳中学联考二模 PAGEREF _Tc150815826 \h 33
\l "_Tc150815827" 题型九 婆罗摩笈模型 PAGEREF _Tc150815827 \h 35
\l "_Tc150815828" 2022武汉·中考真题 PAGEREF _Tc150815828 \h 36
\l "_Tc150815829" 2020·宿迁中考真题 PAGEREF _Tc150815829 \h 37
\l "_Tc150815830" 题型十 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏） PAGEREF _Tc150815830 \h 39
模型梳理
模型1 倍长中线模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△ACD≌△EBD．
证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．
∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．
结论2：△BDE≌△CDF．
证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．
∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．
（三）解题技巧
遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．
模型2 一线三等角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△CAP≌△PBD．
证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．
∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．
结论2：△APC≌△BDP．
证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，
∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．
（三）解题技巧
在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查．
模型3 半角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
A
B
C
D
E
F
G
∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，
∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．
∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，
∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．
∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，
∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．
∴∠DEB＝∠DEF．
∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．
结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．
A
D
B
E
C
F
G
∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，
∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．
∴∠AFD＝∠AFE．
∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．
A
B
C
E
D
F
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝90°，∴EF 2＝CF 2＋CE 2＝BD 2＋CE 2，
∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，
∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，
∴EF＝DE，∴DE 2＝BD 2＋CE 2．
（三）解题技巧
对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论．
模型4 手拉手模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．
证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，
A
D
E
B
C
O
F
∴BD＝CE．
结论2：∠BOC＝∠BAC．
证明：设OB与AC相交于点F．
∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．
A
D
E
B
C
O
G
H
结论3：OA平分∠BOE．
证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．
∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE，
∴＝．
∵BD＝CE，∴AG＝AH，
∴OA平分∠BOE．
（三）解题技巧
如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．
模型5对角互补+邻边相等模型
模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
如图，，
作垂线旋转
模型6 平行线夹中点模型
如图，AB//CD，点E是BC的中点．
【模型分析】
如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。
如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）
口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行
模型7 截长补短模型
【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长: 指在长线段中截取一段等于已知线
段: 补短: 指将短线段延长, 延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词
句, 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程, 截长补短法(往往需证2次全等) 。
①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，
可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，
∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.
②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），
可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，
所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
模型8 绝配角模型
（一）基本模型
（二）结论推导
结论：AC＝EC．
证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，
∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．
∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，
∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．
（三）解题技巧
如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法．
模型9 婆罗摩笈模型
如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B
【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN．

【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE．
【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）
证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN，
易证：△PAD≌BDA
∴BC＝PD，BE=PA
∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，
又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，
易证：△CBE≌△PAB，
∴∠BCM＝∠ABN，
∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°
∴∠BMC＝90°
模型10 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）
模型成立条件：等腰三角形顶角互补
已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，
则△BFD是等腰直角三角形.
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
F
【证明】法一：倍长中线
延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；
所以CG=ED=AD，∠2=∠7；
又∠1+∠2+∠3=360°，
∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），
∠4=∠6=90°；
所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，
所以∠1=∠5；
则△BCG≌△BAD（SAS），
所以∠DBG=90°，BG=BD；
所以BF=DG=DF，BF⊥DF。
法二：构造手拉手模型
将△ABC沿AB 对称，将△ADE 沿AD对称
连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD
题型一 倍长中线模型
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：AF＝EF．
A
B
C
D
F
E
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，求证：BG＝CF．
A
G
B
E
D
C
F
如图，△ABC≌△ADE，∠ACB＝∠AED＝90°，连接EC并延长，交BD于点F，求证：F为BD的中点．
A
B
C
D
E
F
题型二 一线三等角模型
基础篇
如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，求证：CE＝BD．
B
C
A
D
E
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，若BE＝6，DE＝4，则△ACE的面积为_________．
A
B
C
D
E
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝，以AC为直角边向外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为_________．
A
B
C
D

如图，在中，，过点B作，延长到点D，使得，连接，，若，，则的长为________．

如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，AD⊥BD，BD＝2AD，求证：CD＝AB．
B
C
A
D
提高篇
如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，点E在BC上，点F是CE的中点，连接AF，DF，求证：AF＝DF且AF⊥DF．
A
B
C
E
D
F
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________．
A
E
D
B
C
如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CDE＝90°，点A在边DE上，连接BE交CD于点F，求证：AE＝2DF．
B
C
A
D
E
F
如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，过点D作DE⊥AC于点E，若BE＝BC，DE＝8，求AE的长．
A
B
C
D
E
如图，E为正方形ABCD外一点，连接AE，DE，AE＝AB，AF平分∠BAE交DE于点F，连接CF．
（1）求∠AFD的度数；
（2）求证：AF⊥CF．
A
D
B
C
F
E
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，DE⊥AB，交AC于点E，交BC的延长线于点F，若DF＝AC，AB＝m，AE＝n，求AD＋DE的值（用含m，n的式子表示）．
A
B
C
F
D
E
题型三 半角模型
例题
例1 如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D为△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，则△AEF的周长为_________．
A
E
F
B
C
D
例2 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，△CEF的周长为2，则正方形ABCD的边长为_________．
A
D
B
E
C
F
例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E，F在AB上，∠ECF＝45°，AE＝2，EF＝3，则BF的长为_________．
C
A
E
B
F
2022·山东日照真题
例4 如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于点E，F．设CM＝a，CN＝b，且ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①如图2，当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
A
C
B
M
E
P
F
N
图1
A
C
B
M
E
P
F
N
图2
基础
如图，D为等边△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，若BE＝1，△AEF的周长为4，则AE的长为_________．
A
E
F
B
C
D
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且EF＝BE＋DF．
（1）求证：∠EAF＝45°；
（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG．探究BC，CF与CG的数量关系，并证明．
A
D
B
E
C
F
G
提高
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF＝45°，则△CEF的周长为_________．
C
A
B
E
F
P
如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DF⊥DE交BA的延长线于点F，连接EF，AC，DE，EF分别与AC交于点P，Q，则PQ＝_________．
F
B
A
C
D
E
P
Q
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为边AC上一点，将△BCD沿BD翻折得到△BED，延长DE到点F，使∠DBF＝45°，若S△ADF ＝S△BEF，则CD 2＋EF 2的值是_________．
F
B
C
A
D
E
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且∠EAF＝45°．
（1）探究EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；
（2）若CE＝5，DF＝2，求正方形ABCD的边长．
A
D
B
E
C
F
（1）问题背景：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F在线段BC上，∠EAF＝45°，用等式表示线段BE，EF与CF的数量关系，并证明；
（2）拓展应用：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在线段BC上，点F在BC的延长线上，∠EAF＝45°，若EC＝1，CF＝2，求BE的长．
B
C
E
F
A
B
C
F
A
E
图1
图2
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E是CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，∠ABF的平分线与EF的延长线交于点G．
（1）如图1，当点F落在AD边上时，求DF的长；
（2）如图2，若＝，求CE的长；
（3）当点E从点C运动到点D时，直接写出点G运动的路径长．
B
C
图1
A
D
E
F
G
G
B
C
图2
A
D
F
题型四 手拉手模型
例题
例1 在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，探究且BD与CE的数量关系和位置关系，并证明．
A
D
E
B
C
例2 如图，P为正方形ABCD外一点，∠APD＝45°，求证：∠BPC＝45°．
A
D
P
B
C
例3 已知△ABC为等边三角形．
（1）如图1，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接PA，PB，PC，求证：PA＝PB＋PC；
（2）如图2，P为△ABC内一点，PB＞PC，∠BPC＝150°，若PA＝4，△PBC的面积为，求△ABC的面积．
A
B
C
P
A
B
C
P
图1
图2
基础篇
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BAC＝90°，D，E，C三点在一条直线上，BD＝1，BC＝，求DE的长．
A
B
C
D
E
2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在△ABC内，BD的延长线与CE交于点F，若点F为CE的中点，AD＝3，BD＝，求DF的长．
A
B
C
D
E
F
3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为 ．
提高篇
4．如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________．
A
B
C
D
2022·张家界真题
5．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（ ）．
A． B． C． D．
A
B
C
O
2022·贵阳中考
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________．
C
A
B
D
E
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，AB⊥AC，若∠ABD＝30°，求∠ACD的度数．
B
C
A
D
8．如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ．
9．如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ．
10．已知△ABC是等边三角形，PA＝5，PB＝3．
（1）如图1，点P是△ABC内一点，且PC＝4，求∠BPC的度数；
（2）如图2，点P是△ABC外一点，且∠APB＝60°，求PC的长．
B
C
图1
P
A
B
C
图2
P
A
11．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．
(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
12．如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______．
题型五 对角互补+邻边相等模型
如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积等于 ．
如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为 ．

如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝ （用含α的代数式表示）.
题型六 平行线夹中点模型
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，AE⊥BE，求证：AB＝AD＋BC．
A
D
B
C
E
如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________．
A
B
D
C
E
深圳中考
如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且，，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（ ）
A．1 B．EQ 3－ \R(,3) C．EQ \R(,5)－1 D．EQ 4－2 \R(,2)
题型七 截长补短模型
如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为________
如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D为顶点作一个50°角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接EF，点E、F分别在AB、CA延长线上，则BE、EF、FC之间存在什么样的关系？并说明理由．
如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面积；
（2）证明：DF+CF＝EF．

在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：∠BFC=90°+12∠A；
（2）已知∠A=60°．
①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；
②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．
课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
题型八 绝配角模型
例题
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在边AC上，∠ABD＝∠C，求AD的长．
A
D
B
C
【例2】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是BC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如图2，点M为AC上一点，且∠EMC＝2∠BDE，BE＝2，CE＝5，求EM的长．
A
D
E
F
M
B
C
图1
A
D
E
M
B
C
图2
基础篇
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝6，BD＝1，则CD的长为_________．
A
C
D
B
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________．
A
B
C
D
E
2023·深圳宝安区二模
如图，在中，，点为中点，，则的值为 ．（后续计算用到相似）
2023·深圳中学联考二模
如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则 ．
提高篇
如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，∠DAC＝2∠DBE，BE与AC交于点F，若CF＝1，DE＝2，则CD的长为_________．
A
B
C
D
F
E
如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则BC的长为_________．
B
E
C
A
D
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，点E在AC边上，AE＝BC＝2，将△BCE沿BE折叠至△BC′E，当C′E∥CD时，CE的长为_________．
A
D
E
C′
B
C
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠ABC，若AD＝，求AB的长．
B
D
C
A
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点D是AB的中点，点E是AC上一点，∠EBC＝2∠ADE，求AE的长．
A
B
C
D
E
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在AC，BC上，∠BDE＝2∠ABD，EF⊥BD于点G，交AB于点F，用等式表示线段BF与AD的数量关系，并证明．
A
B
E
C
D
G
F
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，∠ACD＝2∠ABD，延长BA到点E，使AE＝AB，连接DE，过点D作DH⊥AE于点H．
（1）求证：△ADE≌△ADC；
（2）用等式表示线段AH与CD的数量关系，并证明；
（3）若AD＝，CD＝6，求AB的长．
E
D
A
H
B
C
题型九 婆罗摩笈模型
如图，△ABE和△ACF都是等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接BC，EF，AD是BC边上的中线，猜想AD与EF的数量关系与位置关系，并证明．
C
B
D
E
A
F
如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，
求证：DE＝2AM.
2022武汉·中考真题
如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 ．
我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．
(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为 ．
②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为 ．
(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）
(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．
2020·宿迁中考真题
【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：
①图1中S△ABC＝S△ADE；
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．
综合与实践
以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点A作于M，延长交于点N.

(1)如图①，若，证明：；
(2)如图②，，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由；
(3)如图③，，，，且，则________________.
我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

(1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
题型十 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）
如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，A，D，E三点在一条直线上，求证：∠BDC＝90°．
A
B
C
E
D
如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD，点F为BD的中点，连接CE，CF，EF，求证：△CEF是等腰直角三角形．
A
B
C
F
E
D
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE，点F为AE中点，若AB＝4，BF＝1，则AD的长为 ．
如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，点D在AB边上，连接EC，取EC中点F，求证：
（1）AF＝DF； （2）AF⊥DF．
如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．
已知两个等腰有公共顶点C，，连接，M是的中点，连接．
(1)如图1，当C，B，E三点共线时，若，B为中点，求的长；
(2)如图1， 探索线段与的关系，并说明理由；
(3)将图1中绕点C顺时针旋转至图2所示，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
已知两个等腰有公共顶点C，，连接是的中点，连接．
(1)如图1，当与在同一直线上时，求证：；
(2)如图2，当时，求证：．
已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．
A
B
D
C
E
已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．
结论1：△ACD≌△EBD．
A
B
D
C
F
E
已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．
结论2：△BDE≌△CDF．
已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，
结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）
A
B
D
P
C
1
2
3
已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．
结论1：△CAP≌△PBD．
1
2
3
D
P
C
B
A
已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．
结论2：△APC≌△BDP．
A
B
C
D
E
F
等边三角形含半角
已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，
∠EDF＝60°．
结论1：EF＝BE＋CF，
∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．
A
D
B
E
C
F
正方形含半角
已知：四边形ABCD是正方形，点E，
F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．
结论2：EF＝BE＋DF，
∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．
A
B
C
E
D
等腰直角三角形含半角
已知：△ABC是等腰直角三角形，
∠BAC＝90°，点D，E在BC上，
∠DAE＝45°．
结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2．
A
D
E
B
C
O
已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．
结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE，
结论2：∠BOC＝∠BAC，
结论3：OA平分∠BOE．
A
B
C
D
E
已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE．
结论：AC＝EC．