专题2-6 逆等线之乾坤大挪移 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

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\l "_Tc153530836" 2022年四川省内江中考
\l "_Tc153530837" 2022滨州中考
\l "_Tc153530838" 题型二 构造SAS型全等拼接线段
\l "_Tc153530839" 2022·贵州遵义·统考中考真题
\l "_Tc153530840" 2023·日照·二模
\l "_Tc153530841" 2023·咸阳·二模
\l "_Tc153530842" 2023·深圳中学联考
\l "_Tc153530843" 2023·甘肃武威中考真题拆解
\l "_Tc153530844" 2023·黄冈中考真题拆解
\l "_Tc153530845" 题型三 构造相似求加权线段和
\l "_Tc153530846" 2023年成都市天府新区二模
\l "_Tc153530847" 2022·广州中考真题（7种解法）
\l "_Tc153530848" 2023·湖北黄石中考拆解
\l "_Tc153530849" 题型四 取到最小值时对其它量进行计算
\l "_Tc153530850" 湖北武汉·中考真题
一、什么是逆等线段。
两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。
二、解题步骤:
1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形)
2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。
3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。
4.问题转化为将军饮马问题求最值。
【模型解读】
△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。
一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。
观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。
这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述
如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。
分析思路：
① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个
也叫做一边一角造全等。
② 即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）
③ 构造出△ADC≌△CEF ( SAS),证出EF=CD
④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求
此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值
⑤ 求BF
题型一 平移，对称或构造平行四边形
2022年四川省内江中考
如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为 ．

如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．

2022滨州中考
如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC，分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为_________．
A
D
B
C
F
E
O
如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为 ．
如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．
（1）的长为 ；
（2）的最小值为 ．
题型二 构造SAS型全等拼接线段
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分别是AC、AB上的动点，且AD＝BE，F是BC的中点，则BD＋EF的最小值为___________．
A
B
C
D
E
F
如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3eq \r(,3)，点E、F分别是对角线AC和边CD上的动点，且AE＝CF，则BE＋BF的最小值是___________．
D
A
B
C
E
F
如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边BC上一点，AE＝AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM＝EN，连接DM、DN，则DM＋DN的最小值为___________．
A
B
C
D
N
E
M
如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为___________．
A
D
B
C
E
F
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），C（4，3），CD⊥y轴于D，连接OC，E、F分别是线段CD、OC上的动点，且CE＝OF，连接AE、AF，则AE＋AF的最小值为___________，此时点E的坐标为___________．
y
x
O
A
D
C
E
F
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转30°到△AB'C'，M、N分别为边AC'、B'C' 上的动点，且AM＝C'N，连接CM、CN，则CM＋CN的最小值为___________．
A
B′
C′
N
M
C
B
2022·贵州遵义·统考中考真题
如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ．
2023·日照·二模
如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ．
2023·咸阳·二模
如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为 ．

2023·深圳中学联考
如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为 ．

如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．

2023·甘肃武威中考真题拆解
如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
2023·黄冈中考真题拆解
已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
题型三 构造相似求加权线段和
2023年成都市天府新区二模
如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ．
如图，已知BC⊥AB，BC＝AB＝3，E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE＝2BD，则AE＋2CD的最小值为________

如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°．E，F分别是BC，BD上的动点，且CE＝DF，则AE+AF的最小值为 。

如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是 。

如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段A B和B C上的动点， ，求的最小值.

2022·广州中考真题（7种解法）
如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=DF，当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
2023·湖北黄石中考拆解
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．

题型四 取到最小值时对其它量进行计算
如图，为等边的高，M、N分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ．
如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则当AM+BN取最小值时，CN＝ ．
如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为 ．

如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为________

湖北武汉·中考真题
如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是 ．