专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

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TOC \ "1-4" \n \h \z \u \l "_Tc153912251" 知识点梳理
\l "_Tc153912252" 一、定值问题
\l "_Tc153912253" 二、定点问题
\l "_Tc153912254" 题型一 面积定值
\l "_Tc153912255" 2022·山东淄博·中考真题
\l "_Tc153912256" 2023·福建厦门三模
\l "_Tc153912257" 题型二 线段长为定值
\l "_Tc153912258" 2024届湖北天门市九年级月考
\l "_Tc153912259" 2024届福建龙岩市统考期中
\l "_Tc153912260" 2020·西藏·中考真题
\l "_Tc153912261" 题型二 线段和定值
\l "_Tc153912262" 2023广州市二中月考
\l "_Tc153912263" 2022·四川巴中·中考真题
\l "_Tc153912264" 2024届湖北黄石市·九年级统考
\l "_Tc153912265" 2023·四川乐山·统考二模
\l "_Tc153912266" 2023·海口华侨中学考模
\l "_Tc153912267" 2023·江苏徐州·4月模拟
\l "_Tc153912268" 2022·湖南张家界·中考真题
\l "_Tc153912269" 题型三 加权线段和定值
\l "_Tc153912270" 2023·四川广元·中考真题
\l "_Tc153912271" 2020·四川德阳·中考真题
\l "_Tc153912272" 题型四 线段乘积为定值
\l "_Tc153912273" 2023·四川南充·中考真题
\l "_Tc153912274" 2024届·武汉市东湖高新区统考
\l "_Tc153912275" 2024届福建省福州屏东中学月考
\l "_Tc153912276" 2024届福州市晋安区统考
\l "_Tc153912277" 2023·福建福州·校考三模
\l "_Tc153912278" 题型五 比值为定值
\l "_Tc153912279" 2023年广西钦州市一模
\l "_Tc153912280" 2023福建厦门一中模拟
\l "_Tc153912281" 2023年福州市屏东中学中考模拟
\l "_Tc153912282" 武汉·中考真题
\l "_Tc153912283" 题型六 横（纵）坐标定值
\l "_Tc153912284" 2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题
\l "_Tc153912285" 2024届湖北潜江市初12校联考
\l "_Tc153912286" 题型七 角度为定值
\l "_Tc153912287" 2023·成都武侯区西川中学三模
\l "_Tc153912288" 四川乐山·统考中考真题
\l "_Tc153912289" 题型八 其它定值问题
\l "_Tc153912290" 2023·浙江湖州·统考一模
\l "_Tc153912291" 2024届福建省南平市统考
\l "_Tc153912292" 2023年湖北省武汉市新观察中考四调
\l "_Tc153912293" 题型九 结合韦达定理求定点
\l "_Tc153912294" 2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟
\l "_Tc153912295" 2024届武汉市青山区九年级统考
\l "_Tc153912296" 2024届武汉市新洲区12月统考
\l "_Tc153912297" 2024届·福建厦门市第九中学期中
\l "_Tc153912298" 2023·武汉光谷实验中学中考模拟
\l "_Tc153912299" 2023广东省梅州市九年级下期中
\l "_Tc153912300" 2024届福州市九校联盟期中
\l "_Tc153912301" 2023年湖北省武汉市新观察中考四调
\l "_Tc153912302" 题型十 已知定值求定点
\l "_Tc153912303" 2024届武汉市洪山区九年级统考
\l "_Tc153912304" 2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中
\l "_Tc153912305" 2023年广州市天河外国语学校中考三模
知识点梳理
一、定值问题
一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:
1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
2.韦达定理法：当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。
简单的引例1如下：若线段AB＝x＋2，线段PQ＝－x＋7，那么AB＋PQ＝x＋2－x＋7＝9；即线段AB与线段PQ的和等于9，是一个定值．
简单的引例2如下：求证不论m取任何实数，二次函数y＝x²－2（m＋1）x＋m（m＋2）的图象与x轴的两个交点之间的距离d为定值。通过令y＝0，可以求得方程的两个实数根分别为x1＝m，x2＝m＋2，则两个交点之间的距离d＝x1－x2＝|m－m－2|＝2，是一个定值
二、定点问题
函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图象会随着待定的系数的变化而变化。图象变化过程中，有时始终会经过某个固定的点，定点问题是一个难点。
方法：使待定的系数k失去影响力
【例】证明：无论k取何值，抛物线都经同一定点.
第一步：先找出所有含k的项，再提公因式k
第二步：令与k相乘的因式为0，此时k就不起作用了
令，此时
在一个函数中，知x可求y，这个坐标就是定点，故无论k取何值，函数都经过定点
总结：因为当x取某个值时，使含k项全部抵消了，即k不起作用了!
【例2】（2022·山东日照真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
【思路点拨】将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值．
【详解】证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是
【例3】（2022·江苏连云港·真题）已知二次函数，其中．求证：二次函数的顶点在第三象限
【思路点拨】先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；
【详解】解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．
∵，∴，∴，∴．
∵，∴二次函数的顶点在第三象限．
题型一 面积定值
2022·山东淄博·中考真题
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
2023·福建厦门三模
已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．
(2)将点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点，若点为抛物线上的一个动点，则以线段为直径的圆与直线交于点，，的面积是否为定值？若是，求出它的值；若不是，请说明理由．
题型二 线段长为定值
2024届湖北天门市九年级月考
如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点．

(1)求顶点A的坐标；
(2)如图，将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
2024届福建龙岩市统考期中
已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值．
2020·西藏·中考真题
在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．
题型二 线段和定值
2023广州市二中月考
已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动．
如图，直线，分别与y轴交于点E，F，当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
2022·四川巴中·中考真题
如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点，如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
2024届湖北黄石市·九年级统考
如图，抛物线过点，点，点，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
2023·四川乐山·统考二模
如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与 轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴于，交直线于．
(1)求二次函数表达式及顶点的坐标；
(2)设抛物线对称轴与轴交于点，连接交对称轴于，连接并延长交对称轴于，证明的值为定值，并求出这个定值．
2023·海口华侨中学考模
如图1，抛物线交x轴于点和点，交于y轴点C，F为抛抛物线顶点，点在抛物线上．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式
(2)直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接DA、DQ,如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
2023·江苏徐州·4月模拟
如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线上方的一个动点（不含A，B两点）

(1)求a，m的值；
(2)若直线、分别交该抛物线的对称轴于点E、F，试问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
2022·湖南张家界·中考真题
如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；
(2)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．
题型三 加权线段和定值
2023·四川广元·中考真题
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
2020·四川德阳·中考真题
如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
题型四 线段乘积为定值
2023·四川南充·中考真题
如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
2024届·武汉市东湖高新区统考
如图1，抛物线与x轴于交，两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点的直线（直线除外）与抛物线交于J，I两点，直线分别交x轴于点M，N. 试探究是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．
2024届福建省福州屏东中学月考
如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中），交轴于两点（点在点的左侧），交轴负半轴于点．

(1)求点的坐标；
(2)如图，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于两点，连接，分别交轴于两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
2024届福州市晋安区统考
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C．

(1)求二次函数解析式；
(2)如图，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
2023·福建福州·校考三模
如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在轴上，，经过点，的抛物线：交直线于另一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与轴的另一个交点为，过点的任意直线（不与轴平行）与抛物线交于点、，直线、分别交轴于点、，是否存在的值使得与的积为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
题型五 比值为定值
2023年广西钦州市一模
定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．

(1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式；
(2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值；
∴的值为定值，该定值为2
2023福建厦门一中模拟
如图，抛物线经过两点，与轴交于两点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为，直线与交于点，连接．
如图，直线与抛物线交于点，连接．问：是否为定值？若是，请求出这个定值：若不是，请说明理由．
2023年福州市屏东中学中考模拟
已知抛物线与直线有且只有一个公共点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)将该抛物线沿直线沿左上方平移个单位后得到抛物线C，点A是抛物线C上的的任意一点，且点A在第一象限的抛物线上，点A的横坐标为m，A和B两点关于原点对称，过点A作轴，垂足为点D，连接交抛物线于M、N两点（点M在点N的右侧）．
①用含m的式子表示直线的解析式；
②设直线与直线与x轴分别交于P、Q两点，求证：为定值．
武汉·中考真题
抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，－3）、B（4，0），求该抛物线的解析式；
（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
题型六 横（纵）坐标定值
2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题
如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接．

(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）
(2)如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．
2024届湖北潜江市初12校联考
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点M在线段上运动（点M与点A、点C不重合），点D是射线上一动点，连接、，直线、分别交抛物线于E、F，连接，当平分时，点D的横坐标是否为定值，请说明理由．
题型七 角度为定值
2023·成都武侯区西川中学三模
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其顶点为．直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．

(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标；
(2)当线段被抛物线的对称轴分成长度比为的两部分时，求的值；
(3)连接，，试探究的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
四川乐山·统考中考真题
如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
题型八 其它定值问题
2023·浙江湖州·统考一模
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．
(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；
(2)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．
2024届福建省南平市统考
抛物线与轴相交于两点，且，点为抛物线在第一象限上的点，顶点为为坐标原点．
(1)若点时，求的值；
(2)直线：交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值．
2023年湖北省武汉市新观察中考四调
已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．

(1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；
(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行
题型九 结合韦达定理求定点
2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟
抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点．

(1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图，将抛物线平移使其顶点为（0，1），点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由．
2024届武汉市青山区九年级统考
已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．
2024届武汉市新洲区12月统考
抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．

(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图，将抛物线平移得到抛物线，使其顶点为原点，过点的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线的平行线交抛物线于另一点M，连接，求证：直线必过一定点．
2024届·福建厦门市第九中学期中
已知抛物线关于直线对称，且过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点．
①求的值；
②平移直线，，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为，的中点，证明直线经过定点
2024届·武汉市武珞路中学期中
已知过点的直线：与抛物线：的图象交于点，，点在轴上，抛物线与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
2023·武汉光谷实验中学中考模拟
已知抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，若过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点
2023广东省梅州市九年级下期中
如图，抛物线与轴分别相交于，两点（点在点的左侧），是的中点，平行四边形的顶点，均在抛物线上．

(1)直接写出点的坐标；
(2)如图（2），若点在抛物线上，连接，求证：直线过一定点．
2024届福州市九校联盟期中
已知二次函数图象的顶点在原点，且点在此二次函数的图象上．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，直线与二次函数的图象交于D、E两点，过点D的直线交二次函数的图象于点F，求证：直线过定点．
2023年湖北省武汉市新观察中考四调
已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．

若，、、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点．
题型十 已知定值求定点
2024届武汉市洪山区九年级统考
如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)直接写出A，B，C点的坐标；
(2)如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由．
2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中
如图1，抛物线与轴交于A，两点（点A在点左边），与轴交于点，点在抛物线上，且的面积为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，直线交抛物线于，两点，直线，分别与轴的正、负半轴交于，两点，且．求证：直线必过定点，并求出这个定点的坐标．
2023年广州市天河外国语学校中考三模
经过点、、的抛物线与x轴只有一个公共点，其中且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，作，交抛物线于点B，求证直线过定点，并求出该定点的坐标．