专题3-3 二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

这是一份专题3-3 二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用），文件包含专题3-3二次函数面积定值比例问题以及米勒角问题原卷版docx、专题3-3二次函数面积定值比例问题以及米勒角问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \n \h \z \u \l "_Tc155367254" 【题型1】作铅垂高解决面积定值问题
\l "_Tc155367255" 例1－1湖北武汉市·中考真题
\l "_Tc155367256" 2023·齐齐哈尔·中考真题（删减）
\l "_Tc155367257" 南通·中考真题
\l "_Tc155367258" 2023·山东泰安·中考真题
\l "_Tc155367259" 【题型2】作平行线解决面积问题
\l "_Tc155367260" 例2－1山东省临沂市·中考真题
\l "_Tc155367261" 2023·四川甘孜·中考真题
\l "_Tc155367262" 四川凉山州·中考真题
\l "_Tc155367263" 连云港·中考真题
\l "_Tc155367264" 2023·黑龙江·中考真题
\l "_Tc155367265" 江苏徐州·中考真题
\l "_Tc155367266" 【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式
\l "_Tc155367267" 例3－1内蒙古通辽市·中考真题
\l "_Tc155367268" 2023·辽宁盘锦·中考真题
\l "_Tc155367269" 2022·福建·统考模拟预测
\l "_Tc155367270" 【题型4】面积比例问题的转化为线段比
\l "_Tc155367271" 例4－1
\l "_Tc155367272" 深圳市中考真题
\l "_Tc155367273" 牡丹江中考真题
\l "_Tc155367274" 2022·四川内江中考真题
\l "_Tc155367275" 2023·四川泸州中考真题
\l "_Tc155367276" 2022·四川内江中考真题
\l "_Tc155367277" 【题型5】 米勒角（最大张角问题）
\l "_Tc155367278" 例题5-1
\l "_Tc155367279" 山东烟台中考真题
\l "_Tc155367280" 2023·四川宜宾中考真题
一、面积定值与等值问题
1 .定值问题
【问题描述】
如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．
思路1：铅垂法列方程解．
根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），
，，分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．
思路2：构造等积变形
同底等高三角形面积相等．
取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，
在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点．
当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程：，解之即可．
当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程：，解之即可．
2 . 等值问题
【问题描述】
如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积，求点P坐标．
思路1：铅垂法
计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解．
思路2：构造等积变形
过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点，
另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点．
先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标．
二、面积比例问题
1、方法突破
除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．
大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．
策略一：运用比例计算类
策略二：转化面积比
如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比．
转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则．
更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD交于点E，则．
策略三：进阶版转化
在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比．
“A”字型线段比：．
“8”字型线段比：．
转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：．
总结：面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行．
三、米勒角问题（最大张角）
【问题描述】
1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：
如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．
【问题铺垫】
圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．
相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．
如图，．
换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角．
【问题解决】
结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．
证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，
∠AMB即为圆O的圆外角，
∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．
∴当圆与直线l相切时，∠APB最大．
特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有．（切割线定理）
证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）
∴△AOP∽△POB，∴，∴．
即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置．
【题型1】作铅垂高解决面积定值问题
例1－1湖北武汉市·中考真题
抛物线L：经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求的值．
【分析】
（1）解析式：；
（2）考虑到直线过定点Q（1，4），且M、N均为动点，故考虑用割补法．
，分别过M、N作对称轴的垂线，垂足分别记为G、H，
，
考虑：联立方程：，化简得，
，∴，
解得：，（舍）．
故k的值为－3．
2023·齐齐哈尔·中考真题（删减）
如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，，点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标

【答案】
【分析】过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标；
【详解】解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，

设直线的解析式为，
将，代入，得
，解得，∴直线AC的解析式为
设点P的横坐标为
则，，
∴
∵，∴，解得，∴
南通·中考真题
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为3时，求的值；
解：（1）在中，令，得不成立，
函数的图象上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点” 或；
（2）在函数中，令，
解得：，
，，
在函数中，令，
解得：，
，，
轴，
，，
，
的面积为3，
，
当时，，
解得，
当时，，
△，
方程没有实数根，
当时，，
解得：，综上所述，的值为或
2023·山东泰安·中考真题
如图1，二次函数的图象经过点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标；
(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线解析式，然后通过设点坐标，并表示对应点坐标，从而利用“割补法”计算的面积表达式并建立方程求解即可；
【详解】（1）解：将代入得：
，解得：，∴抛物线解析式为：；
（2）解：由抛物线可知，其对称轴为直线，，
设直线解析式为：，将，代入解得：，
∴直线解析式为：，此时，如图所示，作轴，交于点，

∵点P在二次函数对称轴上，∴设，则，
∴，∴，
∵要使得面积为5，∴，解得：或，
∴的坐标为或
【题型2】作平行线解决面积问题
例2－1山东省临沂市·中考真题
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．
（1）求、满足的关系式及的值．
（2）如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）点A坐标为（－2，0），点B坐标为（0，2），
代入解析式可得：c＝2，4a－2b+2＝0
（2）考虑A、B水平距离为2，△PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1．
当a＝－1时，可得b＝－1，抛物线解析式为y＝－x²－x+2．
取点C（0，3）作AB的平行线，其解析式为：y＝x+3，
联立方程－x²－x+2＝x+3，解得x＝－1，故点坐标为（－1，2）
取点D（0，1）作AB的平行线，其解析式为：y＝x+1，
联立方程－x²－x+2＝x+1，解得，．
点坐标为、点坐标为．
2023·四川甘孜·中考真题
已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．

(1)求b，c的值；
(2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式
【答案】(1)，(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）得到，即可求解；
（3）由题意的：，即可求解．
【详解】（1）由题意，得
（2）由（1）得抛物线的解析式为．
令，则，得．
∴B点的坐标为．
，
∴．
∵，
∴直线的解析式为．
∵，
∴可设直线的解析式为．
∵在直线上，
∴．
∴．
∴直线的解析式为．

四川凉山州·中考真题
如图，抛物线的图象过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】
（1）抛物线解析式为：y＝－x²+2x+3；
（2）将军饮马问题，作点C关于对称轴的对称点C’（2，3），连接AC’，与对称轴交点即为所求P点，可得P点坐标为（1，2），△PAC的周长亦可求．
（3）过点C作AP平行线与抛物线交点即为M点，联立方程得解；
记AP与y轴交点为Q点，作点C关于Q点的对称点点D，
过点D作AP的平行线，与抛物线在x轴上方部分的交点即为所求M点，
联立方程得解．
连云港·中考真题
如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知．
（1）求的值和直线对应的函数表达式；
（2）为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
解：（1）将代入，化简得，，
则（舍或，，．
，设直线的函数表达式为，
将，代入表达式，可得，，解得，，
直线的函数表达式为．
（2）如图，过点作，设直线交轴于点，将直线向下平移个单位，得到直线．
由（1）得直线的表达式为，，
直线的表达式为，
联立，解得，或，
或，
由直线的表达式可得，
，，
直线的表达式为：，
联立，
解得，，或，，
，，，，；
综上可得，符合题意的点的坐标为：，，，，，
2023·黑龙江·中考真题
如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）采用待定系数法，将点和点坐标直接代入抛物线，即可求得抛物线的解析式．
（2）过线段的中点，且与平行的直线上的点与点，点连线组成的三角形的面积都等于，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案．
【详解】（1）解：因为抛物线经过点 和点两点，所以
，
解得
，
所以抛物线解析式为：．
（2）解：如图，设线段的中点为，可知点的坐标为，过点作与平行的直线，假设与抛物线交于点， （在的左边），（在图中未能显示）．
设直线的函数解析式为．
因为直线经过点和，所以
，
解得，
所以，直线的函数解析式为：．
又，
可设直线的函数解析式为，
因为直线经过点 ，所以
．
解得．
所以，直线的函数解析式为．
根据题意可知，
．
又，
所以，直线上任意一点与点，点连线组成的的面积都满足．
所以，直线与抛物线的交点，即为所求，可得
，
化简，得
，
解得，
所以，点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：存在，点的坐标为或．
江苏徐州·中考真题
如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、4，直线与轴交于点，连接、．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有 个．
解：（1）点、在的图象上，、的横坐标分别为、4，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线为；
（2）在中，令，则，
的坐标为，
，
．
（3）过的中点，作的平行线交抛物线两个交点、，此时△的面积和△的面积等于的面积的一半，
作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点、，此时△的面积和△的面积等于的面积的一半，
所以这样的点共有4个，
故答案为4．
【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式
例3－1内蒙古通辽市·中考真题
已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）设顶点式，代入A点坐标，可得解析式为：．
当x＝3时，y＝5，故点B坐标为（3，5），∴直线AB的解析式为：y＝2x－1．
（2）铅垂法表示△ACD的面积：
设点D坐标为，过点D作DP⊥x轴交AB于P点，
则P点坐标为，线段DP＝－m²+9，
，
面积公式表示△MCD的面积：
过点D作DQ⊥MC交MC于点Q，则DQ＝1－m，
，
解得：m＝5或－1．考虑D点在A、M之间的抛物线上，故m＝－1．
D点坐标为（－1，5）．
2023·辽宁盘锦·中考真题
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
【答案】(1)，(2)，(3)
【分析】（1）将点，代入抛物线得到，解方程组即可得到答案；
（2）设，，则，则，，从而表示出点的坐标为，代入抛物线解析式，求出的值即可得到答案；
（3）求出直线的表达式，利用，得到，求出点的坐标，再根据进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，
，解得：，抛物线的解析式为：；
（2）解：设点，直线的解析式为，
，，解得：，
直线的解析式为，当时，，
，，，
在抛物线中，当时，，，，
，
设点的坐标为，，，，，
，，
解得：，点的坐标为，．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标
【答案】(1)，(2)存在，或（3，4）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，解得．所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，解得．所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，所以，．
设，则．
所以，即，
解得，．所以点P的坐标为或（3，4）．zz
2022·福建·统考模拟预测
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
【答案】(1)
(2)存在，或（3，4）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，解得．所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
【题型4】面积比例问题的转化为线段比
例4－1
如图，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．
【分析】
（1）解析式：
（2）显然△COF和△CDF共高，可将面积之比化为底边之比．
，
思路1：转化底边之比为“A”字型线段比
在y轴上取点E（0，5），（为何是这个点？因此此时OC：CE＝3：2）
过点E作BC的平行线交x轴于G点，
EG与抛物线交点即为所求D点，
根据平行线分线段成比例，OF：FD＝OC：CE＝3：2．
直线EG解析式为：y＝－x+5，
与抛物线联立方程，得：，
解得：，．
故D点坐标为（1，4）或（2，3）．
思路2：转化底边之比为“8”字型线段比
过点D作DG∥y轴交BC边于点G，则，又OC＝3，故点G满足DG＝2即可．这个问题设D点坐标即可求解．
也可以构造水平“8”字，过点D作DG∥x轴交BC于点G，则，又OB＝3，∴DG＝2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．
其实本题分析点的位置也能解：
思路3：设点D坐标为，
根据OF：DF＝3：2，可得F点坐标为，
点F在直线BC上，将点坐标代入直线BC解析式：y＝－x+3，
，
解得，，
故D点坐标为（1，4）或（2，3）．
这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D点坐标如何得到F点坐标．
深圳市中考真题
如图抛物线经过点，点，且．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．
【分析】
（1）解析式为，对称轴为直线x＝1．
（2）连接CP，可将四边形CBPA分为△CAP和△CBP．
即或．
考虑△CAP和△CBP共底边CP，记CP与x轴交于点M，则
①AM：BM＝5：3，点M坐标为，
根据C、M坐标求解直线CM解析式：，
联立方程：，解得：（舍），．
故P点坐标为（4，－5）．
②AM：BM＝3：5，点M坐标为，
根据C、M坐标求解直线CM解析式为：，
联立方程：，解得：（舍），．
故P点坐标为（8，－45）．
牡丹江中考真题
抛物线经过点和点．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标；
（2）若过顶点的直线将的面积分为两部分，并与轴交于点，则点的坐标为 ．
注：抛物线的顶点坐标
解：（1）把点和点代入得：，
解得：，，，
顶点．
（2）取线段的三等分点、，连接、交轴于点、，则：
，，点，点，
，，轴于点，，
设直线的解析式为：，
把点，代入，得：，解得：，
直线的表达式为：，
当时，，，．
故答案为：，，．
2022·四川内江中考真题
如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；
(2)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【答案】(1)，(2)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用得到，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题
【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，解得：，∴抛物线的解析式为；
（2）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝，
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
2023·四川泸州中考真题
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据抛物线对称轴为，可得，求得，再将代入抛物线，根据待定系数法求得，即可解答；
（2）①求出点，点的坐标，即可得到直线的解析式为，设，则，求得的解析式，列方程求出点的坐标，最后根据列方程，即可求出的长；
②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答．
【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为，
得，
解得，
将代入抛物线可得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得，
解得，，
，，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
设，则，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
联立方程，
解得，
根据，得，
解得，，
经检验，，是方程的解，
点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
在轴正半轴，
，
即的长为；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，

，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为，
，
设的解析式为，将，，
代入得，
解得，
的解析式为，
，即，
，
四边形是矩形，
，
，即，
将代入，
得，
解得，（舍去），．
2022·四川内江中考真题
如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；
(2)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）根据S△PCB：S△PCA＝即可求解．
【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝，
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【题型5】 米勒角（最大张角问题）
例题5-1
如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式．
【分析】
考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°，故构造圆．
记△ABP外接圆圆心为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，
故可确定M点位置．
根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），
连接MC、MP，考虑到圆M与直线CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形．
∵MC=4，MP=MA=，
∴，即△CPM是等腰直角三角形，
易求P点坐标为（1，4），
又C点坐标为（-1，2），
可求直线l的解析式为y=x+3．
山东烟台中考真题
如图，抛物线与轴交于A（-1，0）、两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线经过点D，BD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）
【分析】
（1）考虑到点D纵坐标与点C相同，为3，代入反比例解析式，可得D点坐标为（2，3），
根据A、D坐标可得抛物线解析式：．
（2）求t即求P点位置．
思路2：切割线定理
延长BD交y轴于M点，则当时，∠BPD最大．
考虑到B（3，0）、D（2，3），可得直线BD解析式：，
故直线BD与y轴交点M点坐标为（0，9），
，，
∴，
∴，
∴P点坐标为，
故t的值为．
2023·四川宜宾中考真题
如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积；
(3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入点C的坐标，确定a值即可．
（2）设，直线的解析式为，直线的解析式为，表示出P，Q，的坐标，进而计算即可．
（3）当M是y轴与经过A，C，M三点的圆的切点是最大计算即可.
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点、，
∴设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴，
∴．
（2）如图，当点N在对称轴的右侧时，
∵，
∴对称轴为直线，

设，直线的解析式为，直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，
，
∴，，，
∴，
∴．
如图，当点N在对称轴的左侧时，
∵，
∴对称轴为直线，

设，，，，
∴，
∴．
综上所述，．
（3）当的外接圆与相切，切点为M时， 最大，
设外接圆的圆心为E，Q是异于点M的一点，连接，，交圆于点T，
则，根据三角形外角性质，得，故，
∴最大，
设与圆交于点H，连接，，根据切线性质，
∴，
作直径，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
过点E作，垂足为F，过点C作，垂足为G，交于点P，
根据垂径定理，得，四边形是矩形，
∴，

根据，得，
∴，
∴，
在直角三角形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
故，∴当最大时，．