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专题3-6 圆的综合（27类题型） 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）
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这是一份专题3-6 圆的综合（27类题型） 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用），文件包含专题3-6圆的综合27类题型原卷版docx、专题3-6圆的综合27类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共250页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-4" \n \h \z \u \l "_Tc157188562" 圆的综合问题常用的规律方法
\l "_Tc157188563" 模块一 圆中常见辅助线
\l "_Tc157188564" 【题型1】遇到弦时
\l "_Tc157188565" 【题型2】遇到有直径时
\l "_Tc157188566" 【题型3】遇到有切线时
\l "_Tc157188567" 【题型4】遇到两相交切线时
\l "_Tc157188568" 【题型5】遇到三角形的内切圆时
\l "_Tc157188569" 【题型6】遇到三角形的外接圆时
\l "_Tc157188570" 模块二 切线证明
\l "_Tc157188571" 类型1 有公共点：连半径，证垂直
\l "_Tc157188572" 【题型7】 特殊角计算证垂直
\l "_Tc157188573" 【题型8】 勾股定理逆定理证垂直
\l "_Tc157188574" 【题型9】 通过平行线代换证垂直
\l "_Tc157188575" 【题型10】利用等角代换法证明垂直
\l "_Tc157188576" 【题型11】利用三角形全等证明垂直
\l "_Tc157188577" 类型2 无公共点：作垂直，证半径
\l "_Tc157188578" 【题型12】角平分线的性质证半径
\l "_Tc157188579" 【题型13】特殊角计算证垂直
\l "_Tc157188580" 模块三 圆中求线段长度
\l "_Tc157188581" 【题型14】结合勾股定理求线段长
\l "_Tc157188582" 【题型15】结合三角函数求线段长
\l "_Tc157188583" 【题型16】结合相似求线段长
\l "_Tc157188584" 【题型17】利用旋转变换求线段长
\l "_Tc157188585" 模块四 以圆为背景的阴影部分面积问题
\l "_Tc157188586" 【题型18】和差法（割补）
\l "_Tc157188587" 【题型19】拼接法（等积变形）
\l "_Tc157188588" 模块五 其它类型
\l "_Tc157188589" 【题型20】与圆锥的相关计算
\l "_Tc157188590" 【题型21】圆内接四边形
\l "_Tc157188591" 【题型22】圆与相似综合1：等积式相关证明
\l "_Tc157188592" 【题型23】圆与相似综合2：线段积问题
\l "_Tc157188593" 【题型24】圆中线段间的数量关系（和差倍分）
\l "_Tc157188594" 【题型25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题
\l "_Tc157188595" 【题型26】求圆周角的三角函数值
\l "_Tc157188596" 【题型27】圆中的翻折
圆的综合问题常用的规律方法：
技法01：第一问常考考点——切线，对应规律
①切线的判定：常用方法
有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
技法02：考题常见结合考点
①知2得1：
②三角形相似：
③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；
特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△
④特殊角及其转化：
技法03：常见辅助线
①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径
②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3
——或做两条弦心距，构造矩形或正方形
③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题
技法04：圆中等积式证明（三角形相似）
圆中的等积式证明主要有下面几种形式：
（1）
（2）
（3）
（4）（证a为定值）
其中第（1）（2）的形式属最简单的形式，只需要将线段乘积写成比例的形式（）然后找到对应的两个三角形相似即可，稍复杂的题目还会有将等积式中的线段替换为其他相等的线段情况；
第（3）种形式和第（2）种类似，建议先写成线段比例的形式，然后再考虑数字的归属问题，将系数分配给某一线段；
第(4)种情况难度最大，题目中只给两条线段，另外两条需要自己找，建议写成的形式，括号内的一般填入的是题中可求值的线段，再根据题中条件具体分析即可。
【圆中的相似模型】
(1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为90°;同弧所对圆周角相等)
(2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似)
(3)已知线段比例关系,利用公共角及两边对应成比例证相似
技法05：求阴影部分面积
求阴影部分面积主要有2种形式：①割补法，②等级变形（拼接）
模块一 圆中常见辅助线
【题型1】遇到弦时
处理方式：常添加弦心距
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦AB所在直线的距离是2，则⊙O的半径长为 米．
如图，⊙O的半径为102，弦AB的长为162，P是弦AB上一动点，则线段OP长的最小值为（ ）
A．10B．82C．5D．62
（2022·安徽中考）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠APC=30°，点P是OA的中点，且AP=2，则CD= ．
已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是（ ）
A．7cmB．7cm或1cmC．5cm或2cmD．1cm
如图，已知⊙O的直径为26，弦AB=24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ=10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7【题型2】遇到直径时
处理方式：常添加（画）直径所对的圆周角
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则的度数为 °．
如图，点A、B、C、D均在⊙O上，AB为直径，BC=CD．若∠A=50°，求∠B的度数．
如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径作⊙O，交线段BD于点C，过点C作CF⊥AD于点E．
(1)求证：CF是⊙O的切线．
(2)当∠D=30°，CE=3时，求AC的长．
【题型3】遇到有切线时
处理方式：添加过切点的半径（连结圆心和切点）
如图，CD切⊙O于B，若∠C=30°，则∠ABD的度数是 ．
如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C．过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=48°．则∠OCD为（ ）
A．21°B．24°C．25°D．30°
如图，半圆⊙O的圆心在BC上，AC、AB分别与⊙O相切于点C、D，半圆⊙O交BC于另一点E．连接DE、AO，求证：DE∥AO．
【题型4】遇到两相交切线时
处理方式：常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点（切线长定理）
如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接AB．若AB=PB，点C为圆上一点（异于A、B），则∠ACB= 度．
如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，作直径BC，连接AC，若∠P=60°，PB=2，则AC= ．
如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°．
(1)求∠APB的度数；
(2)当AP=3时，求⊙O的半径．
【题型5】遇到三角形的内切圆时
处理方式：连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段
作用：利用内心的性质，可得①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②内心到三角形三条边的距离相等。
（2023·湖北天门中考）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．
如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．19B．17C．22D．20
已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【题型6】遇到三角形的外接圆时
处理方式：连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等（角平分线交点）
如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，连接AO．
(1)求证：AO⊥BC；
(2)若OA=5，BC=8，求AB的长．
如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．
(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径：
(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？
(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离．
模块二 切线证明
解题模板：
类型1 有公共点：连半径，证垂直
【题型7】 特殊角计算证垂直
如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
求证：DE是⊙O的切线．
如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，
∠OAC＝60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=43，求证：PC为⊙O的切线；
已知：在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠D=60°，点P是AB延长线上一点，且CP=AC．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若PB=5，求⊙O的直径．
【题型8】 勾股定理逆定理证垂直
如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8． 求证：PC是⊙O的切线；
如图，C是⊙O上一点，点D在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，DB=4，DC=8．求证：DC是⊙O的切线．
如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.
如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．
【题型9】 通过平行线代换证垂直
已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
求证：CE为⊙O的切线；
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠CAB＝120°，⊙O的半径等于5，求线段DE的长．
【题型10】利用等角代换法证明垂直
如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．
求证：EF是⊙O的切线；
如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD=ED，求证：AD是⊙O的切线．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB=CE．求证：CE是⊙O的切线．
如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．
如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）求证：FD＝FG．
【题型11】利用三角形全等证明垂直
如图，AC是⊙O的直径，PA相切于⊙O，点B是圆上一点，且PA=PB，连接AB，∠BAC=30°，求证：PB是⊙O的切线．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC，过B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长，交AB延长线于E，求证：CE是⊙O的切线．
如图，AB为⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点，连接BC，DC，BC＝CD，CE⊥DA交DA的延长线于点E．
求证：CE是⊙O的切线；
如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
求证：CD是⊙O的切线；
如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．
类型2 无公共点：作垂直，证半径
【题型12】角平分线的性质证半径
如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F．求证：BC是⊙O的切线．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O，求证：AB是⊙O的切线．
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E，F．
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD=25，BF=2，求⊙O的半径．
【题型13】特殊角计算证垂直
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD+BC=CD，以AB为直径作⊙O，
求证：CD与⊙O相切．
模块三 圆中求线段长度
解题模板：
【题型14】结合勾股定理求线段长
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，过点A、D的圆的圆心O在边AB上，⊙O与边AB交于另一点E．
(1)证明：BC与⊙O相切；
(2)若AC=6，∠B=30°．则AD= ．
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)连接BD．若CF=4，BF=2，求BD的长．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在BA上，以点O为圆心，BO长为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10,CD=8，求EB的长．
如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）连接AC交⊙O于点P，若AP=3，BF＝1，求⊙O的半径．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E.
(1)求证：BC是⊙D的切线；
(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长．
如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．
如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径．
（3）连接BE，求BE的长．
（2023·辽宁大连中考）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长．
【题型15】结合三角函数求线段长
（2023·四川成都中考）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求和的长．
（2022·内蒙古鄂尔多斯中考）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝5，cs∠ABD＝，求OE的长．
（2023·四川乐山中考）如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．
(1)求证：直线是是的切线；
(2)若，的半径为3，求的长．
（2023·内蒙古赤峰中考）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．
(1)求证：是切线；
(2)若，，求的长．
（2023·甘肃武威中考）如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当的半径为，时，求的长．
（2023·湖南衡阳中考）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的半径．
如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O切线，C是⊙O上的点且AC∥OP．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AB=4，求PC长．
（2023·宁夏中考）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
（2023·辽宁沈阳中考）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，则的长为______ ．
（2023·浙江湖州中考）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．
(1)求证：．
(2)已知，，求的长．
（2023·湖南湘西中考）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，点E是AB的中点，且AB=10，BC=6．
(1)PC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
(2)求CE的长．
（2023·山东济南中考）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求直径的长．
（2023·辽宁锦州中考）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长．
（2023·辽宁丹东中考）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
（2023·辽宁丹东中考）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
（2023·辽宁鞍山中考）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．
(1)求证：为的切线．
(2)若，，求的半径．
（2023·四川内江中考）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)当时，判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长．
（2023·新疆中考）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
（2023·山东中考）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)P是上一点，，求；
(3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
（2023·内蒙古呼和浩特中考）已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
①当时，求的长；
②求的最大值．
（2023·四川雅安中考）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
【题型16】结合相似求线段长
如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
（2023·四川泸州中考）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)为上一点，连接交于点，若，求的长．
（2023·四川眉山中考）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
（2023·青海西宁中考）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
（2023·江苏苏州中考）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（2023·河南中考）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ．
（2023·湖南常德中考）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
（2023·山东聊城中考）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
（2023·四川中考）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（2022·新疆中考）如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求DB的长．
（2022·湖北恩施中考）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
（2022·四川遂宁中考）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
(1)求证：PD是的切线；
(2)求证：∽；
(3)若，，求点O到AD的距离．
（2023·四川宜宾中考）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)如果是的中点，且，求的长．
（2022·广西柳州中考）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求sin∠FHG的值；
(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径．
（2022·贵州安顺中考）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)延长，交于点，若，求的半径．
（2023·湖北中考）如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
（2023·内蒙古通辽中考）如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径．
（2023·内蒙古中考）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)若，，求的长．
（2023·陕西中考）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径，，求线段的长．
（2023·辽宁盘锦中考）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．
(1)求证：与相切．
(2)若，，求的长．
【题型17】利用旋转变换求线段长
（2023·内蒙古呼和浩特中考）如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则 ， ．
模块四 以圆为背景的阴影部分面积问题
【题型18】和差法（割补）
如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3-π4B．23-πC．(6-π)33D．3-π2
如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣4D．π2-1
（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作BC，AC，AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）
A．2π﹣23B．2π-3C．2πD．π-3
（2023·湖北鄂州中考）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
∴．
如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝32，则图中阴影部分的面积是 ．
如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．
在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 ．
（2023·浙江衢州中考）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．
(1)求证：；
(2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积．
（2023·山东潍坊中考）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
（2022·内蒙古通辽中考）如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
(1)求证：是圆的切线；
(2)已知，，求长度及阴影部分面积．
（2023·湖南怀化中考）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．
(1)求证：为的切线；
(2)延长与的延长线交于点D，求证：；
(3)若，求阴影部分的面积．
（2022·湖南益阳中考）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【题型19】拼接法（等积变形）
如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是23，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2πB．6πC．33πD．3π
如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．6C．3D．12
如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝23，则图中阴影部分的面积是 ．
如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为 ．
如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
（2023·山东枣庄中考）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．
(1)求证：是切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
（2022·四川绵阳中考）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
模块五 其它类型
【题型20】与圆锥的相关计算
（2023·内蒙古赤峰中考）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A．B．C．D．
一个圆锥的侧面积为36π，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3B．4C．9D．12
如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形ADE剪下来做成圆锥，若AB=BE=22，则该圆锥底面半径为（ ）
A．12B．14C．1D．2
如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为30πcm，侧面积为360πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A．150°B．165°C．135°D．225°
【题型21】圆内接四边形
（2023·山东泰安中考）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023·江苏中考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
（2023·山东青岛中考）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A．B．C．D．
（2023·北京中考）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
【题型22】圆与相似综合1：等积式相关证明
（2022·山东滨州中考）如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证：
(1)PD是的切线；
(2)
（2023·四川广安中考）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
(3)求证：．
（2023·湖北黄石中考）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，求的值．
（2023·湖南永州中考）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)若，求证：．
（2023·四川遂宁中考）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求的长．
（2023·黑龙江大庆中考）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
（2023·山东滨州中考）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：；
(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
【题型23】圆与相似综合2：线段积问题
（2023·江苏无锡中考）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
（2022·湖南株洲中考）如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知．
(1)求证：直线是⊙的切线；
(2)若线段与线段相交于点，连接．
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度．
（2022·湖北黄石中考）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．
【题型24】圆中线段间的数量关系（和差倍分）
（2022·贵州黔西中考）如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：DH是⊙的切线；
(2)若E为AH的中点，求的值．
（2022·广西桂林中考）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cs∠DAB的值；
(3)在（2）的条件下，求的值．
（2022·黑龙江绥化中考）如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在点C运动过程中，当时，求的值．
（2023·湖北宜昌中考）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．
(1)填空：的度数是_________，的长为_________；
(2)求的面积；
(3)如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．
【题型25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题
如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
（2022·湖北武汉中考）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是 ．
【题型26】求圆周角的三角函数值
（2023·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，．
(1)求点的坐标；
(2)求的值．
（2023·江苏苏州中考）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
(1)求证：直线CD与⊙O相切；
(2)如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧AE上一点，AD=1，BC=2．求tan∠APE的值．
（2022·广西梧州中考）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且．连接AD，分别交于点E，F，与交于点G，若．
(1)求证：①；
②CD是的切线．
(2)求的值．
【题型27】圆中的翻折
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于( )．
A．B．C．D．
如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为( )
A．B．C．5D．
如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．8D．10
如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
如图，在扇形中，，点C，D分别是和上的点，且，将扇形沿翻折，翻折后的恰好经过点O．若，则图中阴影部分的面积是 ．
如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
TOC \ "1-4" \n \h \z \u \l "_Tc157188562" 圆的综合问题常用的规律方法
\l "_Tc157188563" 模块一 圆中常见辅助线
\l "_Tc157188564" 【题型1】遇到弦时
\l "_Tc157188565" 【题型2】遇到有直径时
\l "_Tc157188566" 【题型3】遇到有切线时
\l "_Tc157188567" 【题型4】遇到两相交切线时
\l "_Tc157188568" 【题型5】遇到三角形的内切圆时
\l "_Tc157188569" 【题型6】遇到三角形的外接圆时
\l "_Tc157188570" 模块二 切线证明
\l "_Tc157188571" 类型1 有公共点：连半径，证垂直
\l "_Tc157188572" 【题型7】 特殊角计算证垂直
\l "_Tc157188573" 【题型8】 勾股定理逆定理证垂直
\l "_Tc157188574" 【题型9】 通过平行线代换证垂直
\l "_Tc157188575" 【题型10】利用等角代换法证明垂直
\l "_Tc157188576" 【题型11】利用三角形全等证明垂直
\l "_Tc157188577" 类型2 无公共点：作垂直，证半径
\l "_Tc157188578" 【题型12】角平分线的性质证半径
\l "_Tc157188579" 【题型13】特殊角计算证垂直
\l "_Tc157188580" 模块三 圆中求线段长度
\l "_Tc157188581" 【题型14】结合勾股定理求线段长
\l "_Tc157188582" 【题型15】结合三角函数求线段长
\l "_Tc157188583" 【题型16】结合相似求线段长
\l "_Tc157188584" 【题型17】利用旋转变换求线段长
\l "_Tc157188585" 模块四 以圆为背景的阴影部分面积问题
\l "_Tc157188586" 【题型18】和差法（割补）
\l "_Tc157188587" 【题型19】拼接法（等积变形）
\l "_Tc157188588" 模块五 其它类型
\l "_Tc157188589" 【题型20】与圆锥的相关计算
\l "_Tc157188590" 【题型21】圆内接四边形
\l "_Tc157188591" 【题型22】圆与相似综合1：等积式相关证明
\l "_Tc157188592" 【题型23】圆与相似综合2：线段积问题
\l "_Tc157188593" 【题型24】圆中线段间的数量关系（和差倍分）
\l "_Tc157188594" 【题型25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题
\l "_Tc157188595" 【题型26】求圆周角的三角函数值
\l "_Tc157188596" 【题型27】圆中的翻折
圆的综合问题常用的规律方法：
技法01：第一问常考考点——切线，对应规律
①切线的判定：常用方法
有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
技法02：考题常见结合考点
①知2得1：
②三角形相似：
③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；
特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△
④特殊角及其转化：
技法03：常见辅助线
①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径
②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3
——或做两条弦心距，构造矩形或正方形
③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题
技法04：圆中等积式证明（三角形相似）
圆中的等积式证明主要有下面几种形式：
（1）
（2）
（3）
（4）（证a为定值）
其中第（1）（2）的形式属最简单的形式，只需要将线段乘积写成比例的形式（）然后找到对应的两个三角形相似即可，稍复杂的题目还会有将等积式中的线段替换为其他相等的线段情况；
第（3）种形式和第（2）种类似，建议先写成线段比例的形式，然后再考虑数字的归属问题，将系数分配给某一线段；
第(4)种情况难度最大，题目中只给两条线段，另外两条需要自己找，建议写成的形式，括号内的一般填入的是题中可求值的线段，再根据题中条件具体分析即可。
【圆中的相似模型】
(1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为90°;同弧所对圆周角相等)
(2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似)
(3)已知线段比例关系,利用公共角及两边对应成比例证相似
技法05：求阴影部分面积
求阴影部分面积主要有2种形式：①割补法，②等级变形（拼接）
模块一 圆中常见辅助线
【题型1】遇到弦时
处理方式：常添加弦心距
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦AB所在直线的距离是2，则⊙O的半径长为 米．
如图，⊙O的半径为102，弦AB的长为162，P是弦AB上一动点，则线段OP长的最小值为（ ）
A．10B．82C．5D．62
（2022·安徽中考）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠APC=30°，点P是OA的中点，且AP=2，则CD= ．
已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是（ ）
A．7cmB．7cm或1cmC．5cm或2cmD．1cm
如图，已知⊙O的直径为26，弦AB=24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ=10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7
处理方式：常添加（画）直径所对的圆周角
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则的度数为 °．
如图，点A、B、C、D均在⊙O上，AB为直径，BC=CD．若∠A=50°，求∠B的度数．
如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径作⊙O，交线段BD于点C，过点C作CF⊥AD于点E．
(1)求证：CF是⊙O的切线．
(2)当∠D=30°，CE=3时，求AC的长．
【题型3】遇到有切线时
处理方式：添加过切点的半径（连结圆心和切点）
如图，CD切⊙O于B，若∠C=30°，则∠ABD的度数是 ．
如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C．过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=48°．则∠OCD为（ ）
A．21°B．24°C．25°D．30°
如图，半圆⊙O的圆心在BC上，AC、AB分别与⊙O相切于点C、D，半圆⊙O交BC于另一点E．连接DE、AO，求证：DE∥AO．
【题型4】遇到两相交切线时
处理方式：常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点（切线长定理）
如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接AB．若AB=PB，点C为圆上一点（异于A、B），则∠ACB= 度．
如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，作直径BC，连接AC，若∠P=60°，PB=2，则AC= ．
如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°．
(1)求∠APB的度数；
(2)当AP=3时，求⊙O的半径．
【题型5】遇到三角形的内切圆时
处理方式：连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段
作用：利用内心的性质，可得①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②内心到三角形三条边的距离相等。
（2023·湖北天门中考）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．
如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
A．19B．17C．22D．20
已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【题型6】遇到三角形的外接圆时
处理方式：连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等（角平分线交点）
如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，连接AO．
(1)求证：AO⊥BC；
(2)若OA=5，BC=8，求AB的长．
如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．
(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径：
(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？
(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离．
模块二 切线证明
解题模板：
类型1 有公共点：连半径，证垂直
【题型7】 特殊角计算证垂直
如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
求证：DE是⊙O的切线．
如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，
∠OAC＝60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=43，求证：PC为⊙O的切线；
已知：在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠D=60°，点P是AB延长线上一点，且CP=AC．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若PB=5，求⊙O的直径．
【题型8】 勾股定理逆定理证垂直
如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8． 求证：PC是⊙O的切线；
如图，C是⊙O上一点，点D在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，DB=4，DC=8．求证：DC是⊙O的切线．
如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.
如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．
【题型9】 通过平行线代换证垂直
已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
求证：CE为⊙O的切线；
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠CAB＝120°，⊙O的半径等于5，求线段DE的长．
【题型10】利用等角代换法证明垂直
如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．
求证：EF是⊙O的切线；
如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD=ED，求证：AD是⊙O的切线．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB=CE．求证：CE是⊙O的切线．
如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．
如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）求证：FD＝FG．
【题型11】利用三角形全等证明垂直
如图，AC是⊙O的直径，PA相切于⊙O，点B是圆上一点，且PA=PB，连接AB，∠BAC=30°，求证：PB是⊙O的切线．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC，过B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长，交AB延长线于E，求证：CE是⊙O的切线．
如图，AB为⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点，连接BC，DC，BC＝CD，CE⊥DA交DA的延长线于点E．
求证：CE是⊙O的切线；
如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
求证：CD是⊙O的切线；
如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．
类型2 无公共点：作垂直，证半径
【题型12】角平分线的性质证半径
如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F．求证：BC是⊙O的切线．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O，求证：AB是⊙O的切线．
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E，F．
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD=25，BF=2，求⊙O的半径．
【题型13】特殊角计算证垂直
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD+BC=CD，以AB为直径作⊙O，
求证：CD与⊙O相切．
模块三 圆中求线段长度
解题模板：
【题型14】结合勾股定理求线段长
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，过点A、D的圆的圆心O在边AB上，⊙O与边AB交于另一点E．
(1)证明：BC与⊙O相切；
(2)若AC=6，∠B=30°．则AD= ．
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)连接BD．若CF=4，BF=2，求BD的长．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在BA上，以点O为圆心，BO长为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10,CD=8，求EB的长．
如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）连接AC交⊙O于点P，若AP=3，BF＝1，求⊙O的半径．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E.
(1)求证：BC是⊙D的切线；
(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长．
如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．
如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径．
（3）连接BE，求BE的长．
（2023·辽宁大连中考）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．
(1)求的度数；
(2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长．
【题型15】结合三角函数求线段长
（2023·四川成都中考）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求和的长．
（2022·内蒙古鄂尔多斯中考）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝5，cs∠ABD＝，求OE的长．
（2023·四川乐山中考）如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．
(1)求证：直线是是的切线；
(2)若，的半径为3，求的长．
（2023·内蒙古赤峰中考）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．
(1)求证：是切线；
(2)若，，求的长．
（2023·甘肃武威中考）如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当的半径为，时，求的长．
（2023·湖南衡阳中考）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的半径．
如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O切线，C是⊙O上的点且AC∥OP．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AB=4，求PC长．
（2023·宁夏中考）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
（2023·辽宁沈阳中考）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，则的长为______ ．
（2023·浙江湖州中考）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．
(1)求证：．
(2)已知，，求的长．
（2023·湖南湘西中考）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，点E是AB的中点，且AB=10，BC=6．
(1)PC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
(2)求CE的长．
（2023·山东济南中考）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求直径的长．
（2023·辽宁锦州中考）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长．
（2023·辽宁丹东中考）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
（2023·辽宁丹东中考）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
（2023·辽宁鞍山中考）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．
(1)求证：为的切线．
(2)若，，求的半径．
（2023·四川内江中考）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)当时，判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长．
（2023·新疆中考）如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
（2023·山东中考）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)P是上一点，，求；
(3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长．
（2023·内蒙古呼和浩特中考）已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
①当时，求的长；
②求的最大值．
（2023·四川雅安中考）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
【题型16】结合相似求线段长
如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
（2023·四川泸州中考）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)为上一点，连接交于点，若，求的长．
（2023·四川眉山中考）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
（2023·青海西宁中考）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
（2023·江苏苏州中考）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（2023·河南中考）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ．
（2023·湖南常德中考）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
（2023·山东聊城中考）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
（2023·四川中考）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D，于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（2022·新疆中考）如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上，，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求DB的长．
（2022·湖北恩施中考）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
（2022·四川遂宁中考）如图，是的外接圆，点O在BC上，的角平分线交于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
(1)求证：PD是的切线；
(2)求证：∽；
(3)若，，求点O到AD的距离．
（2023·四川宜宾中考）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)如果是的中点，且，求的长．
（2022·广西柳州中考）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求sin∠FHG的值；
(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径．
（2022·贵州安顺中考）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)延长，交于点，若，求的半径．
（2023·湖北中考）如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
（2023·内蒙古通辽中考）如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径．
（2023·内蒙古中考）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：为⊙的切线；
(2)若，，求的长．
（2023·陕西中考）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径，，求线段的长．
（2023·辽宁盘锦中考）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．
(1)求证：与相切．
(2)若，，求的长．
【题型17】利用旋转变换求线段长
（2023·内蒙古呼和浩特中考）如图，内接于且，弦平分，连接，．若，，则 ， ．
模块四 以圆为背景的阴影部分面积问题
【题型18】和差法（割补）
如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3-π4B．23-πC．(6-π)33D．3-π2
如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣4D．π2-1
（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作BC，AC，AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）
A．2π﹣23B．2π-3C．2πD．π-3
（2023·湖北鄂州中考）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
∴．
如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝32，则图中阴影部分的面积是 ．
如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．
在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 ．
（2023·浙江衢州中考）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．
(1)求证：；
(2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积．
（2023·山东潍坊中考）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
（2022·内蒙古通辽中考）如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
(1)求证：是圆的切线；
(2)已知，，求长度及阴影部分面积．
（2023·湖南怀化中考）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．
(1)求证：为的切线；
(2)延长与的延长线交于点D，求证：；
(3)若，求阴影部分的面积．
（2022·湖南益阳中考）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【题型19】拼接法（等积变形）
如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是23，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2πB．6πC．33πD．3π
如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．6C．3D．12
如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝23，则图中阴影部分的面积是 ．
如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为 ．
如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
（2023·山东枣庄中考）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．
(1)求证：是切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
（2022·四川绵阳中考）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
模块五 其它类型
【题型20】与圆锥的相关计算
（2023·内蒙古赤峰中考）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A．B．C．D．
一个圆锥的侧面积为36π，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3B．4C．9D．12
如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形ADE剪下来做成圆锥，若AB=BE=22，则该圆锥底面半径为（ ）
A．12B．14C．1D．2
如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为30πcm，侧面积为360πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A．150°B．165°C．135°D．225°
【题型21】圆内接四边形
（2023·山东泰安中考）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
（2023·江苏中考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
（2023·山东青岛中考）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A．B．C．D．
（2023·北京中考）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
【题型22】圆与相似综合1：等积式相关证明
（2022·山东滨州中考）如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证：
(1)PD是的切线；
(2)
（2023·四川广安中考）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
(3)求证：．
（2023·湖北黄石中考）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，求的值．
（2023·湖南永州中考）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)若，求证：．
（2023·四川遂宁中考）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求的长．
（2023·黑龙江大庆中考）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
（2023·山东滨州中考）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：；
(4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
【题型23】圆与相似综合2：线段积问题
（2023·江苏无锡中考）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
（2022·湖南株洲中考）如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知．
(1)求证：直线是⊙的切线；
(2)若线段与线段相交于点，连接．
①求证：；
②若，求⊙的半径的长度．
（2022·湖北黄石中考）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．
【题型24】圆中线段间的数量关系（和差倍分）
（2022·贵州黔西中考）如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：DH是⊙的切线；
(2)若E为AH的中点，求的值．
（2022·广西桂林中考）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cs∠DAB的值；
(3)在（2）的条件下，求的值．
（2022·黑龙江绥化中考）如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在点C运动过程中，当时，求的值．
（2023·湖北宜昌中考）如图1，已知是的直径，是的切线，交于点，．
(1)填空：的度数是_________，的长为_________；
(2)求的面积；
(3)如图2，，垂足为．是上一点，．延长，与，的延长线分别交于点，求的值．
【题型25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题
如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
（2022·湖北武汉中考）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是 ．
【题型26】求圆周角的三角函数值
（2023·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，．
(1)求点的坐标；
(2)求的值．
（2023·江苏苏州中考）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
(1)求证：直线CD与⊙O相切；
(2)如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧AE上一点，AD=1，BC=2．求tan∠APE的值．
（2022·广西梧州中考）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且．连接AD，分别交于点E，F，与交于点G，若．
(1)求证：①；
②CD是的切线．
(2)求的值．
【题型27】圆中的翻折
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于( )．
A．B．C．D．
如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为( )
A．B．C．5D．
如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．8D．10
如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
如图，在扇形中，，点C，D分别是和上的点，且，将扇形沿翻折，翻折后的恰好经过点O．若，则图中阴影部分的面积是 ．
如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
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