2022-2023学年天津市第二南开学校高三（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年天津市第二南开学校高三（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={−2,−1,1,4}，A={−2,1}，B={1,4}，则A∪(∁UB)=( )
A. {−2}B. {−2,1}C. {−1,1,4}D. {−2,−1,1}
2.已知a，b都是实数，那么“lg2a>lg2b”是“ a> b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数y=(x2−1)ex的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.某单位组织全体员工登录某网络培训平台进行学习并统计积分，得到频率分布直方图如图所示，已知学习积分在[1,1.5)(单位：万分)的人数是60人，并且学习积分超过2万分的员工可获得“学习达人”称号，则该单位可以获得该称号的员工人数为( )
A. 15B. 16C. 30D. 32
5.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=2，BC=2 3，则三棱锥P−ABC外接球的体积等于( )
A. 203 3πB. 203 5πC. 203πD. 20π
6.设a=lg0.42，b=1lg20.3，c=0.30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A. a7.已知双曲线x24−y2b2=1的(b>0)与抛物线y2=4x的一个交点为M.若抛物线的焦点为F，且|FM|=5，则双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A. 3B. 2C. 2 3D. 4 33
8.f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，给出下列结论：
①f(x)的图象关于直线x=7π12对称；
②f(0)= 3；
③该图象可由y=2sin2x的图象向左平移π6个单位得到；
④f(x)在[−5π12,π3]上单调递减．
其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②
B. ①②③
C. ②④
D. ①③④
9.已知函数f(x)=sinπx2,0≤x≤2− −x2+6x−8,2A. [−34,−14]B. (−34,−14]C. (−43,−14)D. (−43,−14]
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若复数z满足(1−i)z=6i，则z的虚部为______．
11.(x−1 x)6的二项展开式中的常数项为______．
12.过点M(3,2)作一条直线l截圆x2+y2−2x+4y−4=0所得弦长为2 5，则直线l的方程是______．
13.某质检员对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为______；检测3台设备，则至少2台合格的概率为______．
14.已知a>b>0，则a+4a+b+1a−b的最小值为 ．
15.在△ABC中，AB=AC= 3，2AD=3BD，2CF=AD，AF⋅CD=514，则BC=______，延长DF交AC于点E，点P在边BC上，则DP⋅EP的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2a−b)sinA+(2b−a)sinB=2csinC．
(1)求角C的大小；
(2)若tanA= 32，求sin(2A−C)的值．
17.(本小题15分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF/​/AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=CF=1，AE=BC=2．
(1)求证：BF/​/平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)求平面BDE与平面ADE夹角的余弦值．
18.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P(−1, 22)在椭圆C上，且|PF2|=3 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若椭圆C上存在点N，满足ON=3OM(O为坐标原点)，求直线l的方程．
19.(本小题15分)
已知等比数列{an}是递减数列，{an}的前n项和为Sn，且1a1，2S2，8a3成等差数列，3a2=a1+2a3.数列{bn}的前n项和为Tn，满足Tn=n2+n，n∈N*．
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)若cn=anbn′n是奇数,(3n+8)anbnbn+2,n是偶数,求i=12nci．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=alnx−x2+3x+3a．
(Ⅰ)当a=2时，求f(x)的极值．
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅲ)若0答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵U={−2,−1,1,4}，B={1,4}，
∴∁UB={−2,−1}，
∴A∪(∁UB)={−2,−1,1}，
故选：D．
先求∁UB，再求并集即可．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.【答案】A
【解析】解：a，b都是实数，那么“lg2a>lg2b”⇒a>b>0⇒“ a> b”反之不成立，例如：a=2，b=0．
∴“lg2a>lg2b”是“ a> b”的充分不必要条件．
故选：A．
利用对数函数的单调性、幂函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．
本题考查了对数函数的单调性、幂函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：函数y=(x2−1)ex，
当x=±1时，y=0，故可排除A，B，
当x→−∞时，y=(x2−1)ex>0，故可排除D，
故选项C正确．
故选：C．
由函数值f(±1)=0的可排除选项A，B，再由x→∞排除D．
本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：学习积分在[1,1.5)的频率为0.8×0.5=0.4，学习积分在[2,2.5)的频率为0.2×0.5=0.1，
因为学习积分在[1,1.5)(单位：万分)的人数是60人，
所以全体员工的人数为600.4=150人，
所以该单位可以获得该称号的员工人数为150×0.1=15人．
故选：A．
根据学习积分在[1,1.5)的频率及人数，故可得全体员工的人数，再根据在[2,2.5)的频率即可求解．
本题考查样本单元数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等核心素养，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：将三棱锥P−ABC中补形为长方体ABCD−EFHP，
则三棱锥P−ABC的外接球即长方体ABCD−EFHP的外接球，
设长方体ABCD−EFHP的外接球半径为R，
则2R= AB2+BC2+AP2=2 5，
则R= 5，
即三棱锥P−ABC外接球的体积等于4π3×( 5)3=203 5π，
故选：B．
将三棱锥P−ABC中补形为长方体ABCD−EFHP，则三棱锥P−ABC的外接球即长方体ABCD−EFHP的外接球，然后结合球的体积公式求解即可．
本题考查了几何体的外接球问题，重点考查了球的体积公式，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：a=lg0.42=1lg20.4，
因为y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，所以lg20.3所以1lg20.4<1lg20.3<0，即a又0.30.4>0，所以a故选：A．
根据换底公式可得a=1lg20.4，由对数函数的性质可得a本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F，且FM=5，可得F(1,0)，则M(4,±4)，
点M是抛物线y2=4x与双曲线x24−y2b2=1(b>0)一个交点，b=4 33，
双曲线的焦点到渐近线的距离为b=4 33，
故选：D．
求出M的坐标，代入双曲线方程求出b，即可得到双曲线的焦点到渐近线的距离．
本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由图可知A=2，周期为T=4(π3−π12)=π，
所以ω=2πT=2；
因为图象经过点(π12,2)，
所以2×π12+φ=2kπ+π2,k∈Z，
所以φ=2kπ+π3，
又|φ|≤π2，
所以φ=π3，即f(x)=2sin(2x+π3)．
因为x=7π12时，2x+π3=32π，
所以f(x)的图象关于直线x=7π12对称，①正确；
f(0)=2sinπ3= 3，②正确；
把y=2sin2x的图象向左平移π6个单位得到的解析式为y=2sin2(x+π6)=2sin(2x+π3)，③正确；
当x∈[−5π12,π3]时，f(−5π12)=−2故选：B．
先根据图象求出函数解析式，结合三角函数的图象与性质，可求答案．
本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：当2整理得(x−3)2+y2=1，
所以曲线y=− −x2+6x−8(2由题意可知，函数y=g(x)有三个不同的零点，等价于直线y=kx+1与曲线y=f(x)的图象有三个不同交点，
直线y=kx+1过定点P(0,1)，
当直线y=kx+1过点A(4,0)时，则4k+1=0，可得k=−14；
当直线y=kx+1与圆(x−3)2+y2=1相切，且切点位于第三象限时，k<0，
此时|3k+1| k2+1=1，解得k=−34．
由图象可知，当−34因此，实数k取值范围是(−34,−14]．
故选：B．
作出函数y=f(x)的图象，则函数y=g(x)有三个不同的零点，等价于直线y=kx+1与曲线y=f(x)的图象有三个不同交点，考查直线y=kx+1与圆(x−3)2+y2=1相切，且切点位于第三象限时以及直线y=kx+1过点(4,0)时，对应的k值，数形结合可得出实数k的取值范围．
本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了直线与圆的位置关系以及正弦型函数图象的应用，考查数形结合思想的应用，属于难题．
10.【答案】3
【解析】解：∵(1−i)z=6i，
∴z=6i1−i=6i(1+i)(1−i)(1+i)=−3+3i，
∴z的虚部为3．
故答案为：3．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
11.【答案】15
【解析】解；设(x−1 x)6的二项展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅x6−32r，
由6−32r=0得：r=4．
∴(x−1 x)6的二项展开式中的常数项为C64⋅(−1)4=C62=15．
故答案为：15．
利用二项展开式的通项公式Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅x6−32r中x的幂指数为0即可求得答案．
本题考查二项式系数的性质，利用其二项展开式的通项公式求得r=4是关键，考查运算能力，属于中档题．
12.【答案】x=3或3x−4y−1=0
【解析】解：∵圆x2+y2−2x+4y−4=0，
∴(x−1)2+(y+2)2=9，表示圆心为(1,−2)，半径为3的圆，
由圆的弦长公式2 r2−d2=2 5，解得d=2，
当直线l的斜率不存在时，即直线l为x=3，此时圆心到直线x=3的距离为2，满足题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−2=k(x−3)，即kx−y−3k+2=0，
圆心(1,−2)到直线kx−y−3k−1=0的距离为2，则|k+2−3k+2| k2+(−1)2=2，解得k=34，
故直线l的方程为3x−4y−1=0，
综上所述，直线l的方程是x=3或3x−4y−1=0．
故答案为：x=3或3x−4y−1=0．
圆x2+y2−2x+4y−4=0，则(x−1)2+(y+2)2=9，表示圆心为(1,−2)，半径为3的圆，由圆的弦长公式2 r2−d2=2 5，解得d=2，再分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
13.【答案】0.1 0.972
【解析】解：每台设备报废的概率为：0.5×(1−0.8)=0.1；
一台设备合格的概率为：0.5+0.5×0.8=0.9，所以至少2台合格的概率为0.93+C32⋅0.92⋅0.1=0.972．
故答案为：0.1；0.972．
根据一台设备的检测第一次不合格且第二次也不合格去计算概率可得每台设备报废的概率；首先一台设备合格的概率，然后可计算至少2台合格的概率．
本题考查相互独立事件及积事件的概率求法，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．
14.【答案】3 2
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
利用基本不等式求出结果．
【解答】
解：由于a>b>0，
所以a+4a+b+1a−b=a+b2+4a+b+a−b2+1a−b
≥2 a+b2⋅4a+b+2 a−b2⋅1a−b=3 2，
当且仅当a+b=2 2a−b= 2，即a=3 22，b= 22时，等号成立．
故答案为：3 2．
15.【答案】 3 −316
【解析】解：由2AD=3BD，可得CD=CA+AD=CA+3AB
由2CF=AD，可得AF=AC+CF=AC+32AB，
AF⋅CD=(3AB−AC)⋅(32AB+AC)=92AB2+32AB⋅AC−AC2=92×3−3+32 3× 3×csA=514，
则csA=12.∴BC= 3．
如图建立平面直角坐标系，可得B(− 32,0)，C( 32,0)，A(0,32)，设P(x,0)，− 32≤x≤ 32．
∵2CF=AD，∴CF/​/AD，CF=12AD，∴C为AE中点，
∴ AE=2AC，
∴PD=PA+AD=PA+3AB=(−x,32)+3(− 32,−32)=(−x−3 32,−3)，
PE=PA+AE=PA+2AC=(−x,32)+2( 32,−32)=(−x+ 3,−32)，
DP⋅EP=PD⋅PE=(x+3 32)(x− 3)+3×(−32)=x2+ 32x，
∵− 32≤x≤ 32，∴x=− 34时，DP⋅EP最小，最小值为−316．
答案为： 3，−316．
用 AB，AC，AF，CD，求得csA，即可求得BC，建立平面直角坐标系，设P(x,0)，− 32≤x≤ 32.即可求得DP⋅EP的最小值．
本题考查了平面向量的线性、数量积的运算，考查了转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵(2a−b)sinA+(2b−a)sinB=2csinC，
∴由正弦定理可得：(2a−b)a+(2b−a)b=2c2，即a2+b2−c2=ab，
∴csC=a2+b2−c22ab=12，
∵0∴C=π3．
(2)由tanA= 32，A∈(0,π)，可得A为锐角，
可得csA= 11+tan2A= 11+34=2 77，sinA= 1−cs2A= 217，
∴sin2A=2sinAcsA=4 37，cs2A=2cs2A−1=17，
∴sin(2A−C)=sin2AcsC−cs2AsinC=4 37×12−17× 32=3 314．
【解析】(1)先利用正弦定理可得(2a−b)a+(2b−a)b=2c2，再利用余弦定理可得csC的值，结合C的范围即可求得C的值；
(2)利用同角三角函数基本关系式可得sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cs2A的值，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，二倍角公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：∵CF/​/AE，AD//BC，AD⊂平面ADE，
AE⊂平面ADE，AD∩AE=A，
BC⊂平面BCF，CF⊂平面BCF，BC∩CF=C，
∴平面ADE//平面BCF，BF⊂平面BCF，∴BF/​/平面ADE；
(2)解：依题意，AE⊥AD，AE⊥AB，AB⊥AD，以A为原点建立空间直角坐标系如图：

则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(−2,1,0)，D(−1,0,0)，E(0,0,2)，F(−2,1,1)，
CE=(2,−1,2)，BD=(−1,−1,0),BE=(0,−1,2)，
设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z)，
则有n⋅BD=0n⋅BE=0，−x−y=0−y+2z=0，令x=2，则y=−2，z=−1，n=(2,−2,−1)，
设CE与平面BDE的夹角为θ，
则有sinθ=cs(π2−θ)=|n⋅CE|n|⋅|CE||=2×2+(−1)×(−2)+2×(−1) 22+(−2)2+(−1)2× 22+(−1)2+22=49，
∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49．
(3)显然平面ADE的一个法向量为m=(0,1,0)，
设平面ADE与平面BDE的夹角为α，
则csα=n⋅m|n|⋅|m|=−23；
∴平面ADE与平面BDE的夹角的余弦值为23．
【解析】(1)先证明平面BCF平行于平面ADE，即可证明直线BF平行于平面ADE；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量，利用向量数量积即可求解；
(3)分别求出平面BDE和平面ADE的法向量，利用向量数量积即可．
本题主要考查线面平行的证明，线面角的计算，面面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
18.【答案】解：(1)因为点P(−1, 22)在椭圆C上，且|PF2|=3 22．
所以1a2+12b2=1，①
(−1−c)2+( 22−0)2=3 22，解得c=1，②
又因为c2=a2−b2③
由①②③组成方程组，解得a= 2，b=1，
所以椭圆C的方程为：x22+y2=1．
(2)由(1)可知F2(1,0)，
设直线l的方程为x=ky+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线l与椭圆C的方程得(k2+2)y2+2ky−1=0，
得y1+y2=−2kk2+2，则x1+x2=4k2+2，
所以线段AB中点M(2k2+2,−kk2+2)，
所以ON=3OM=3(2k2+2,−kk2+2)，
所以N点的坐标为(6k2+2,−3kk2+2)，
将N点坐标代入椭圆的方程(6k2+2)22+(−3kk2+2)2=1，
解得k2=7，k=± 7，
所以直线l的方程为：x+ 7y−1=0或x− 7y−1=0．
【解析】(1)根据题意得1a2+12b2=1①， (−1−c)2+( 22−0)2=3 22②，c2=a2−b2③，由①②③组成方程组，解得a，b，进而得椭圆C的方程．
(2)设直线l的方程为x=ky+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线l与椭圆C的方程得关于y的一元二次方程，结合韦达定理得y1+y2=−2kk2+2，x1+x2=4k2+2，从而得线段AB中点M坐标，点N的坐标，将其代入椭圆方程，可解得k，进而得出直线l的方程．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题．
19.【答案】解：(I)设等比数列{an}的公比为q，∵1a1，2S2，8a3成等差数列，3a2=a1+2a3．
∴1a1+8a3=4S2，即1a1+8a1q2=4a1(1+q)，3a1q=a1+2a1q2．
解得：a1=12，q=12．
∴an=(12)n．
由Tn=n2+n，n∈N*，n=1时，b1=T1=2．
n≥2时，bn=Tn−Tn−1=n2+n−[(n−1)2+(n−1)]=2n．
n=1时上式也成立．
∴bn=2n．
(Ⅱ)cn=anbn′n是奇数,(3n+8)anbnbn+2,n是偶数,
①n=2k−1(k∈N*)为奇数时，cn=anbn=2n⋅(12)n=n⋅(12)n−1，
c2n−1=(2n−1)⋅(12)2n−2，
设数列{c2n−1}的前n项和为M，
则M=1+3×(12)2+5×(12)4+……+(2n−1)⋅(12)2n−2，
∴14M=14+3×(12)4+……+(2n−3)⋅(12)2n−2+(2n−1)×(12)2n，
∴34M=1+2×[(12)2+(12)4+……+(12)2n−2]−(2n−1)×(12)2n，
可得M=209−24n+209×(14)n．
②n=2k(k∈N*)为偶数时，cn=(3n+8)anbnbn+2=(3n+8)⋅(12)n2n×2(n+2)=(12)nn−(12)n+2n+2，
c2k=(12)2k2k−(12)2k+22k+2，
设数列{c2n}的前n项和为N=(12)22−(12)42+2+(12)42+2−(12)64+2+……+(12)2n2n−(12)2n+22n+2=18−(12)2n+22n+2．
∴i=12nci=M+N=209−24n+209×(14)n+18−(12)2n+22n+2=16972−24n+209×(14)n−(12)2n+22n+2．
【解析】(I)设等比数列{an}的公比为q，根据1a1，2S2，8a3成等差数列，3a2=a1+2a3.可得1a1+8a3=4S2，即1a1+8a1q2=4a1(1+q)，3a1q=a1+2a1q2.解得a1，q.即可得出an.由Tn=n2+n，n∈N*，n=1时，b1=T1=2.n≥2时，bn=Tn−Tn−1，即可得出bn．
(Ⅱ)cn=anbn′n是奇数,(3n+8)anbnbn+2,n是偶数,①n=2k−1(k∈N*)为奇数时，c2n−1=(2n−1)⋅(12)2n−2，设数列{c2n−1}的前n项和为M，利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．
②n=2k(k∈N*)为偶数时，cn=(3n+8)⋅(12)n2n×2(n+2)=(12)nn−(12)n+2n+2，c2k=(12)2k2k−(12)2k+22k+2，利用裂项求和方法即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、裂项求和方法、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=2lnx−x2+3x+6，则f′(x)=2x−2x+3(x>0)．
令f(x)=0，则x=2，当x>2时，f′(x)<0；当00，
所以f(x)极大值=f(2)=2ln2+8，无极小值．
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax−2x+3=−2x2+3x+ax，
对于二次方程−2x2+3x+a=0，有Δ=9+8a．
当a≤−98时，f′(x)≤0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递减．
当a>−98时，方程−2x2+3x+a=0有两根x1=3− 9+8a4，x2=3+ 9+8a4，
若a≥0，x1≤0，x2>0，f(x)在(0,3+ 9+8a4)上单调递增，在(3+ 9+8a4,+∞)上单调递减；
若−98(Ⅲ)证明：要证f(x)因为a>0，x>0，所以exx>0．
当lnx+3≤0时，不等式a(lnx+3)当lnx+3>0时，因为a(lnx+3)<14(lnx+3)，所以只需证14(lnx+3)即证lnx+3x<4exx2.令g(x)=lnx+3x，则g′(x)=−lnx−2x2，
由g′(x)>0得01e2.所以g(x)在(0,1e2)上为增函数，在(1e2,+∞)上为减函数，所以g(x)≤g(1e2)=e2．
h(x)=4exx2，则h′(x)=4ex(x−2)x3，易知h(x)在(0,2)上为减函数，在(2,+∞)上为增函数，所以h(x)≥h(2)=e2，
所以g(x)【解析】(Ⅰ)将a=2代入f(x)中，对f(x)求导，然后判断导函数在各区间上的符号，再求出极值即可；
(Ⅱ)先求定义域，求导后导函数是含参的二次函数，利用根的判别式与两根的分布情况进行分类讨论；
(Ⅲ)结合条件0本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等式的证明，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．