河北省石家庄市赵县兴华学校2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄市赵县兴华学校2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共8 页.总分120分，考试时间120分钟.
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各选项中，是二次根式的是（ ）
A．10B．C．D．
2．如图，在中，，若，，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．
3．的化简结果是（ ）
A．B．C．5D．
4．如图，等腰三角形的腰的长为13，底边的长为10，则这个等腰三角形底边上的高的长为（ ）
A．12B．10C．8D．6
5．若 则，（ ）
A．B．C．D．
6．如图，若直角三角形的两条直角边长分别为 ，，则图中阴影部分(正方形)的面积为（ ）
A．B．C．5D．7
7．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定：，则的运算结果为（ ）
A．B．C．D．
9．若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 的结果是（ ）

A．B．C．1D．
10．如图，在4×3的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段与线段的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．无法确定
11．在□中的“□”内填入实数，使其结果为有理数．对于小英、小明的说法判断正确的是（ ）
小英说：“可以填入”；
小明说：“可以填入”．
A．小英的说法对，小明的说法不对B．小英的说法不对，小明的说法对
C．小英和小明的说法都对D．小英和小明的说法都不对
12．如图，在长方形中，，点分别在上，沿将此长方形折叠，使点与点重合，下列结论中正确的有（ ）
；
②的面积为30；
③的面积为18．
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．对于二次根式的除法运算，一般地，有 该运算法则成立的条件是：， .
14．如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为 ．
15．如图，在一个大长方形的内部可无重叠无缝隙地放置两个面积分别为 12，27的正方形，则大长方形的面积为 .
16．如图是由五个棱长均为2m的正方体箱子堆积而成的几何体，A 处有一只蚂蚁想吃到B处的食物，它以 2m/min的速度沿该几何体表面爬行，则最少需要 min，它就可以吃到食物．(结果保留小数点后两位，， ， )
三、解答题(本大题共8个小题，共 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算下列各小题
(1)
(2)
18．跳伞运动员跳离飞机，在未打开降落伞前，下降的高度d(m)与下降的时间t(s)之间的关系式为： ．
(1)请完成下表；
(2)如果跳伞运动员从 3800m的高空跳伞，为确保安全，必须在离地面600m之前打开降落伞．求运动员在空中不打开降落伞的时间至多有几秒?
19．已知分别求下列代数式的值.
(1)；
(2)
20．如图，风筝在点处，在两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为 10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）．
(1)求此时风筝离地面的高度；
(2)现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米?
21．已知．
(1)若，计算的值；
(2)若的值为整数，求正整数的最小值．
22．【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1 所示的方式摆放，连接的三边长分别为， 四边形的面积可以表示为 或 从而推导出．

图1 图2
【探究】淇淇将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点，下面是淇淇利用图2证明勾股定理的过程，请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接．
．
= + ．
由，可整理得到 ；
【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为200，的长为 12，求的长．
23．观察下列各式：
；
；
；

(1)第④个式子为: ;
(2)依题中规律，第ⓝ(n为正整数)个式子为： ；
(3)证明(2)中式子成立;
(4)根据上述规律，若 且a，b分别为三个连续自然数中最大数和最小数的平方，直接写出 a，b的值.
24．如图，解放广场的草坪上有五条小路，且 ，．

(1)求小路的长度；
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点 ，小狗奔跑的时间为；
①当小狗在小路上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时的值；
②当为等腰三角形时，求的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】
本题考查了二次根式的概念：形如的式子，根据此概念即可作出判断．
【解答】解：A、不是二次根式，不符合题意；
B、是立方根，不是二次根式，不符合题意；
C、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意；
D、是二次根式，符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【解答】解：由题意得：．
故选；B．
3．C
【分析】
本题考查了二次根式的性质；根据二次根式性质：即可求解．
【解答】解：，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，先根据等腰三角形三线合一的性质得出长度，再根据勾股定理求解即可．
【解答】∵底边的长为10，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了二次根式的加法运算，先化简再相加即可．
【解答】∵，
∴，
故选：B．
6．D
【分析】
本题考查了勾股定理，根据勾股定理计算出斜边的平方，即是阴影部分的面积．
【解答】解：由勾股定理得：直角三角形斜边的平方为：，而阴影部分（正方形）面积为斜边的平方，故阴影部分面积为7；
故选：D．
7．C
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，涉及二次根式的加减乘除等知识，根据二次根式加减乘除运算法则逐项验证即可得到答案，熟练掌握二次根式加减乘除运算是解决问题的关键．
【解答】解：A、由二次根式除法运算法则可得，该选项错误，不符合题意；
B、由于不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、由二次根式乘法运算法则可得，该选项正确，符合题意；
D、由二次根式减法运算法则可得，该选项错误，不符合题意；
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算的法则进行求解即可．
【解答】由题意得，，
故选：A．
9．B
【分析】
本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，整式的加减；根据a的数轴上对应点的位置可确定的符号，从而化简二次根式及绝对值，最后求得结果．
【解答】解：由数轴知，，
∴，
∴
，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理分别算出，再进行比较即可．
【解答】由图得：，
∵，
∴，
故选：A．
11．C
【分析】
本题考查二次根式的性质及二次根式混合运算，根据小英、小明的说法，代入值分别计算即可得到答案，熟练掌握二次根式的性质及混合运算法则是解决问题的关键．
【解答】解：小英说：“可以填入”，则
，为有理数，故小英说法正确；
小明说：“可以填入”，则
，为有理数，故小明说法正确；
综上所述，小英和小明的说法都对，
故选：C．
12．C
【分析】
本题考查矩形与折叠，涉及折叠性质、矩形性质、勾股定理、解方程、三角形面积公式、平行线性质及等腰三角形的判定与性质等知识，先由折叠性质和矩形性质，在运用勾股定理即可证得①；在①的基础上，利用勾股定理列方程求解即可得到的面积，确定③错误；利用矩形性质，结合等腰三角形的判定与性质求出即可得到的面积，确定③正确，即可得到答案，熟练运用折叠性质、矩形性质、勾股定理、解方程、三角形面积公式、平行线性质及等腰三角形的判定与性质，数形结合是解决问题的关键．
【解答】解：由折叠性质可知，
在长方形中，，则在中，由勾股定理可得，即，故①正确；
在中，，设，则，由得，解得，
的面积为，故③错误；
如图所示：
由折叠性质可知，
在长方形中，，则，
，即，
的面积为，故②正确；
综上所述，正确的结论是①②，
故选：C．
13．
【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据被开方数非负，分母不为零即可确定b的范围．
【解答】解： 中b为非负数，但它又在分母，则b不为零，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】
本题考查勾股定理的应用，涉及勾股定理、两点之间线段最短等知识，由题意，构造直角三角形，利用勾股定理求线段长即可得到答案，读懂题意，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键．
【解答】解：如图所示：
，，，
由两点之间线段最短可得无人机飞行最短距离为，
在中，，则，
故答案为：．
15．45
【分析】
本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算；根据两个正方形的面积可以求出这两个正方形的边长，从而可得长方形的长与宽，进而求得长方形的面积．
【解答】解：面积分别为 12，27的正方形，其边长分别为，；
则长方形的长为：，宽为，长方形的面积为：；
故答案为：45．
16．
【分析】
本题考查了立体图形的展开—最短路径问题，根据题意画出侧面展开图，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图展开，此时A处到B处的路径是最短的，此时，
蚂蚁需要的时间为，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）先算除法，再算加法即可；
（2）先算乘法，再算减法即可．
【解答】（1）原式
；
（2）原式
．
18．(1)见解析
(2)运动员在空中不打开降落伞的时间至多有秒
【分析】
本题考查了根据函数关系式求自变量的值；
（1）由函数关系式，把d的值代入即可分别求得对应的t值，从而完成填表；
（2）由函数关系式，求出t的值即可．
【解答】（1）解：当时，，得；
当时，，得；
故答案从左至右为：；
（2）解：，
解得：，
∴运动员在空中不打开降落伞的时间至多有秒．
19．(1)
(2)
【分析】
本题考查代数式求值，涉及平方差公式、完全平方公式、二次根式性质及混合运算等知识，由题中所给代数式的结构特征，利用平方差公式及完全平方公式恒等变形后代值求解是解决问题的关键．
（1）利用平方差公式展开，然后代值，利用二次根式混合运算法则求解即可得到答案；
（2）先通分，再由配方法恒等变形，转化为，代值求解即可得到答案．
【解答】（1）解：，
当时，原式
；
（2）解：，
当时，原式
．
20．(1)米
(2)米
【分析】
本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，作出图形，数形结合即可得到答案．
（1）根据题意，由勾股定理求出线段长即可得到答案；
（2）根据题意，由勾股定理求出线段长，结合（1）中数据即可得到答案．
【解答】（1）解：如图所示：
在中，米，米，则米；
（2）解：如图所示：
在中，米，米，则米；
由（1）知，原线长为米，则引线的长度应加长多少米为米．
21．(1)
(2)
【分析】
本题考查二次根式的化简求值，涉及平方差公式、二次根式性质、二次根式混合运算等知识，熟练掌握二次根式性质及混合运算法则是解决问题的关键．
（1）根据平方差公式、二次根式性质及混合运算法则化简后，将代入即可得到答案；
（2）根据，由，为非整数时，的值为整数，即可得到正整数的最小值．
【解答】（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：由（1）知，
当，为非整数时，的值为整数，
正整数的最小值为，即．
22．【探究】；；；
【应用】
【分析】
本题考查勾股定理的证明及运用，涉及梯形面积公式、三角形面积公式、整式运算及勾股定理运用，读懂题意，数形结合，利用等面积法列式化简即可证明勾股定理，然后利用所证明的勾股定理及所给条件即可得到答案，数形结合，利用等面积法列式化简是解决问题的关键．
【解答】证明：连接．
，
由，可整理得到；
故答案为：；；；；
【应用】由上述求解过程可知，，，
四边形的面积为200，的长为 12，
，解得，即在中，，则由勾股定理可得．
23．(1)
(2)
(3)见解析
(4)，
【分析】
本题是规律探索题，考查了二次根式的规律探索，完全平方公式，由特殊到一般找到规律是解题的关键．
（1）根据规律即可完成；
（2）根据规律即可完成；
（3）把根号内的式子利用完全平方公式展开，再合并即可证明；
（4）根据规律知，，则可确定．
【解答】（1）解：根据规律：左边被开方数是相邻两个自然数的平方差，且前项从2开始，序号数与1的和的平方，后项从0开始，序号数与1的差的平方；右边是从1开始的算术平方根的2倍，被开方数是序号数；
第④个式子为；
故答案为：；
（2）解：依据规律，第ⓝ(n为正整数)个式子为：；
故答案为：；
（3）证明：
；
故式子成立；
（4）解：根据规律知，，则可确定．
24．(1)
(2)①；②或或
【分析】
（1）先根据勾股定理求出，再由勾股定理求出即可得到答案；
（2）①由点到直线距离垂线段最短，过作于，如图所示，利用等面积法即可得到，在中，由勾股定理求出，即可得到小狗奔跑的路程，从而得到小狗奔跑的时间为；②由①中求解过程，结合为等腰三角形分为三种情况：；；；分类讨论求解即可得到答案．
【解答】（1）解：在中，， ，则由勾股定理可得，
在中，， ，则由勾股定理可得，
小路的长度；
（2）解：①由点到直线距离垂线段最短，过作于，如图所示：

在中，，则，解得，
在中，，，则由勾股定理可得，
小狗跑的路程为，
小狗以的速度奔跑，
小狗奔跑的时间为；
②由①知，当时，，，
，
为等腰三角形分为三种情况：；；；
当时，如图所示：

由等腰三角形性质可知，
小狗跑的路程为，
小狗以的速度奔跑，
小狗奔跑的时间为；
当时，过点作于，如图所示：

由等腰三角形性质可知，
，
，
，
，则，
小狗跑的路程为，
小狗以的速度奔跑，
小狗奔跑的时间为；
当时，小狗跑的路程为，
小狗以的速度奔跑，
小狗奔跑的时间为；
当为等腰三角形时，的值为或或．
下降高度
200
500
下降时间

下降高度
200
500
下降时间

10