2024年新高考数学题型全归纳讲义第十一讲解三角形压轴综合小题(原卷版+解析)

这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第十一讲解三角形压轴综合小题(原卷版+解析)，共59页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc9458" 题型01 边角互化求角 PAGEREF _Tc9458 \h 1
\l "_Tc23856" 题型02 判断三角型形状 PAGEREF _Tc23856 \h 2
\l "_Tc15754" 题型03 三角形几解判断 PAGEREF _Tc15754 \h 3
\l "_Tc748" 题型04 正余弦应用：求面积 PAGEREF _Tc748 \h 4
\l "_Tc14944" 题型05 正余弦应用：求长度 PAGEREF _Tc14944 \h 5
\l "_Tc3175" 题型06正余弦应用：比值型求值 PAGEREF _Tc3175 \h 6
\l "_Tc16284" 题型07 最值型：角与对边互化面积型 PAGEREF _Tc16284 \h 6
\l "_Tc13006" 题型08 最值型：周长、边长范围 PAGEREF _Tc13006 \h 7
\l "_Tc22711" 题型09 最值型：比值范围 PAGEREF _Tc22711 \h 8
\l "_Tc14000" 题型10 最值型：余弦定理齐次式 PAGEREF _Tc14000 \h 8
\l "_Tc786" 题型11 最值型：正切 PAGEREF _Tc786 \h 9
\l "_Tc10937" 题型12 三角形角平分线型 PAGEREF _Tc10937 \h 10
\l "_Tc3665" 题型13 三角形中线型 PAGEREF _Tc3665 \h 11
\l "_Tc4369" 题型14 三角形重心型 PAGEREF _Tc4369 \h 12
\l "_Tc2218" 题型15 三角形外接圆 PAGEREF _Tc2218 \h 13
\l "_Tc18690" 高考练场 PAGEREF _Tc18690 \h 14
热点题型归纳
题型01 边角互化求角
【解题攻略】
【典例1-1】（2022下·黑龙江哈尔滨·高三校联考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ）
A．B．C．D．或
【典例1-2】（2021下·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（ ）
A．B．C．D．或
【变式1-1】（2023上·河南焦作·高三石家庄市第九中学校考）在中，的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，，，且的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023上·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）在中，分别为角的对边，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
题型02 判断三角型形状
【解题攻略】
【典例1-1】在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（ ）
A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．以上都有可能．
【典例1-2】在中，已知，则是（ ）
A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等边三角形．
【变式1-1】在中，，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形D．等腰三角形

【变式1-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定

【变式1-3】在中，角的对边分别为，若，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
题型03 三角形几解判断
【解题攻略】
【典例1-1】在中，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解B．有一解C．有无数个解D．无解
【典例1-2】在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，则此三角形解的情况是（ ）
A．无解B．有一解C．有两解D．有无数解

【变式1-1】在ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解B．两解C．一解或两解D．无解

【变式1-2】在中，已知，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定

【变式1-3】在中，已知，，，这个三角形解的情况是
A．一解B．两解C．无解D．不确定
题型04 正余弦应用：求面积
【解题攻略】
【典例1-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．

【典例1-2】已知的内角所对的边分别为，则的面积为（ ）
A．B．C．27D．36

【变式1-1】（2022春·河南许昌·高三统考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，∠ADC＝45°，∠ACD＝105°，∠B＝60°，AB＋BC＝4，则三角形ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在△ABC中，若，，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为 .
【变式1-3】（2019·陕西宝鸡·统考二模）已知三角形的内角、、所对的边分别为、、，若，，则角最大时，三角形的面积等于 ．
题型05 正余弦应用：求长度
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·江西萍乡·高三统考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，，则 ．
【典例1-2】（2023下·江苏盐城·高三校联考）中，，在上，，，则 ．
【变式1-1】（2023下·广西钦州·高三统考）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则 .若，，则 .
【变式1-2】（2022下·高三校考单元测试）在中，、、所对的边分别为、、，又..，则 .
【变式1-3】（2023上·山东日照·高三统考开学考试）在中，，为中点，，，则边的长为 .
题型06正余弦应用：比值型求值
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）在中，斜边为，点在边上，若，，则 .
【典例1-2】（2023下·福建泉州·高三校联考阶段练习）记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时， ．
【变式1-1】（2022上·江苏南通·高三统考）在中(角A为最大内角，a，b，c为、、所对的边)和中，若，，，则 .
【变式1-2】（2020·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）在中，，，则 .
【变式1-3】．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
题型07 最值型：角与对边互化面积型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022秋·黑龙江·高三哈尔滨三中校考）在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023秋·辽宁铁岭·高三校考开学考试）在中，内角的对边分别为，若，且，则面积的最大值为 .
【变式1-2】（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为 .
【变式1-3】（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为 ．
题型08 最值型：周长、边长范围
【解题攻略】
【典例1-1】（2021上·河南濮阳·高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习）锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【变式1-1】（2023下·高三单元测试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·河北唐山·统考三模）的内角，，的对边分别为，，，角的内角平分线交于点，若，，则的取值范围是 ．
【变式1-3】（2023上·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）中，若，则周长最大值为 ．
题型9 最值型：比值范围
【典例1-1】（2022上·广西桂林·高三校考阶段练习）在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·江苏无锡·高三江苏省南菁高级中学校考阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023上·贵州黔东南·高三统考）在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 ．
【变式1-3】（2022下·重庆·高三重庆市彭水第一中学校校考）在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是 ．
题型10 最值型：余弦定理齐次式
【典例1-1】（2022·全国·高三课时练习）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(） B．(） C．[) D．[，1)
【典例1-2】（2020·全国·高三课时练习）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022·四川成都·二模（理））已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知中，角的对边分别为．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2020·河南·校联考二模）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是 ．
题型11 最值型：正切
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023下·云南保山·高三校考）已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）在锐角中，，则角的范围是 ，的取值范围为 .
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值为 ．
题型12 三角形角平分线型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16B．C．64D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．7
【变式1-1】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．16D．18
【变式1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，角A的平分线交BC于点D，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·陕西西安·三模（理））在中，，，的角平分线的长为，则（ ）
A．B．C．D．
题型13 三角形中线型
【解题攻略】
【典例1-1】在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（ ）
A．3B．C．1或2D．2或3
辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2021-2022学年高三下学期考试数学试题
【典例1-2】.在中，分别是的中点，且，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．

变式1-1】在中，角的对边分别为，已知，点是的中点，若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．

【变式1-2】在中，若3sinC=2sinB,点,F分别是,的中点，则BECF的取值范围为
A．（14，78）B．（13，78）C．（14，67）D．（13，67)

【变式1-3】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
题型14 三角形重心型
【解题攻略】
【典例1-1】.在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【典例1-2】（2024秋·福建福州·高三福建省福清第一中学校考阶段练习）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2020春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知中，为的重心，则
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
题型15 三角形外接圆
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考开学考试）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考）若是外接圆圆心，是的内角，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设为锐角的外心（三角形外接圆圆心），．若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】．（2022春·北京·高三校考期末）已知三角形外接圆的半径为1为圆心，且，，则等于（ ）
A．B．C．D．

高考练场
1.（2021·安徽安庆·统考二模）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
2.在中，，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形
陕西省西安市长安区2022-2023学年高三上学期数学试题
3.在中，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解B．有一解
C．无解D．有无数个解

4.（2023春·广东东莞·高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（ ）
A．B．C．D．
5.（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在△ABC中，，且，则三角形ABC的面积为 .
6.（2023·四川成都·校联考二模）在中，角A，B，C的对边分别为，，则 .
7..△的内角，，的对边分别为，，.若，则（ ）
A．5B．4C．3D．2

8.．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）在中，，，当取最大值时，的面积为 .
9.（2023下·湖南长沙·高三校考开学考试）已知的三边长互不相等，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是 .
10.（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，，，则中线AD长的取值范围是 ;
（2024·河南鹤壁·鹤壁高中校考二模）在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为
12.（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知△ABC中，D为边BC的中点，若，则∠BAD的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
13..在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的最小值为（ ）
A．21B．24C．27D．36

14.（2022下·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）如图所示，是边长为6的等边三角形，G是它的重心，过G的直线分别交线段AB，AC于E，F两点，，当在区间上变化时，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15.（2022·四川巴中·统考模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则 ，的取值范围为 ．
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；
（2）角化边：
①利用正弦定理：，，
②利用余弦定理：
辅助角公式
判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点
①sinA=sinB⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形
②sinA=csB⇒或⇒△ABC直角三角形或钝角三角形
③sin2A=sin2B⇒A=B或⇒△ABC为等腰三角形或钝角三角形
④cs2A=cs2B⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形
⑤⇒⇒△ABC为直角三角形
⑥⇒
或⇒ ⇒△ABC为钝角三角形
或⇒
⑦⇒
且⇒ ⇒△ABC为锐角三角形
且⇒
判断三角形解的个数有2种：
画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
公式法：运用正弦定理进行求解。
①a＝bsinA，△＝0，则一个解；
②a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解。
三角形面积 ：
①S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)
②S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；
第三步：求结果.
最值范围：分式比值型
化边为角型
通过正余弦定理，把边转化为角。
利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
对单变量（单角）求最值。
注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
正切：
1；
2.在三角形中，
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
三角形角平分线的处理方法：
中线的处理方法
1.向量法：
双余弦定理法（补角法）：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
中线的处理方法
1.向量法：
补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径
第十一讲 解三角形压轴综合小题
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc12683" 题型01 边角互化求角 PAGEREF _Tc12683 \h 1
\l "_Tc2105" 题型02 判断三角型形状 PAGEREF _Tc2105 \h 3
\l "_Tc626" 题型03 三角形几解判断 PAGEREF _Tc626 \h 5
\l "_Tc14508" 题型04 正余弦应用：求面积 PAGEREF _Tc14508 \h 6
\l "_Tc2115" 题型05 正余弦应用：求长度 PAGEREF _Tc2115 \h 8
\l "_Tc24539" 题型06正余弦应用：比值型求值 PAGEREF _Tc24539 \h 11
\l "_Tc28262" 题型07 最值型：角与对边互化面积型 PAGEREF _Tc28262 \h 13
\l "_Tc2430" 题型08 最值型：周长边长范围 PAGEREF _Tc2430 \h 15
\l "_Tc4089" 题型09 最值型：比值范围 PAGEREF _Tc4089 \h 18
\l "_Tc12661" 题型10 最值型：余弦定理齐次式 PAGEREF _Tc12661 \h 20
\l "_Tc14764" 题型11 最值型：正切 PAGEREF _Tc14764 \h 23
\l "_Tc30898" 题型12 三角形角平分线型 PAGEREF _Tc30898 \h 25
\l "_Tc7050" 题型13 三角形中线型 PAGEREF _Tc7050 \h 28
\l "_Tc7801" 题型14 三角形重心型 PAGEREF _Tc7801 \h 32
\l "_Tc29117" 题型15 三角形外接圆 PAGEREF _Tc29117 \h 36
\l "_Tc18540" 高考练场 PAGEREF _Tc18540 \h 39
热点题型归纳
题型01 边角互化求角
【解题攻略】
【典例1-1】（2022下·黑龙江哈尔滨·高三校联考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
又因为，所以．故选：B．
【典例1-2】（2021下·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【详解】由正弦定理和可得.
因为所以，所以，
因为，所以为.
故选：A
【变式1-1】（2023上·河南焦作·高三石家庄市第九中学校考）在中，的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正弦定理和正弦展开式再结合边化角计算得出.
【详解】由题意可得，
所以，
由正弦定理可得，即，
因为A为三角形内角，，
所以可得，即，
又，所以．故选：B．
【变式1-2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，，，且的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理角化边可得，再由三角形面积公式可得，最后根据余弦定理求解即可.
【详解】设中角所对的边分别为，
因为，所以由正弦定理可得，
又解得，
所以由余弦定理可得，
因为，所以，故选：D
【变式1-3】（2023上·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）在中，分别为角的对边，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到，再根据两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】由且，可得，
根据正弦定理得，
即，
因为，可得，所以.故选：A.
题型02 判断三角型形状
【解题攻略】
【典例1-1】在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（ ）
A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．以上都有可能．
【答案】B
【分析】方程有两个相等的实数根，则有，再利用正弦定理边角互化的应用可得，从而可得三角形的形状.
【详解】由题可知, 方程有两个相等的实数根，
，
，再由正弦定理可得，
是直角三角形.故选：B.
【典例1-2】在中，已知，则是（ ）
A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等边三角形．
【答案】A
【分析】由两角和的正弦公式化简已知式后确定角大小，判断三角形形状．
【详解】解：由已知，所以，
因为，所以，即三角形为直角三角形．故选：A
【变式1-1】在中，，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形D．等腰三角形

【答案】A
【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到的形状为直角三角形.
【详解】中，，
则，整理得，则，
则的形状为直角三角形，故选：A.
【变式1-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定

【答案】B
【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.
【详解】在中，，
，即，
则为直角三角形，故选：B.
【变式1-3】在中，角的对边分别为，若，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形

【答案】C
【分析】利用余弦定理求解.
【详解】解：因为，所以,则，
所以一定是钝角三角形，故选：C
题型03 三角形几解判断
【解题攻略】
【典例1-1】在中，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解B．有一解C．有无数个解D．无解

【答案】D
【分析】作出示意图，先确定边a和角B，然后算出C到AB的距离即可解得.
【详解】如图，
则，而，∴这样的三角形无解.故选:D.
【典例1-2】在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，则此三角形解的情况是（ ）
A．无解B．有一解C．有两解D．有无数解

【答案】C
【分析】由正弦定理求得的值，并结合大边对大角进行判定角的解的个数，即得三角形的解的个数.
【详解】由正弦定理可得，,
，
，由于为锐角，角可以为锐角，也可以为钝角,即三角形的解有2个.
故选：C.
【变式1-1】在ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解B．两解C．一解或两解D．无解

【答案】B
【分析】由正弦定理得，即得解.
【详解】由正弦定理得,
所以,所以可以是一个锐角，可以是一个钝角，
所以此三角形有两解.故选：B
【变式1-2】在中，已知，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定

【答案】B
【分析】利用余弦定理得到关于的方程解方程即可做出判断.
【详解】∵在中，，，，
∴由余弦定理得，
即，解得
，则此三角形有两个解.故选：B.
【变式1-3】在中，已知，，，这个三角形解的情况是
A．一解B．两解C．无解D．不确定

【答案】C
【分析】根据正弦定理：和三角形内角和定理，即可求得答案.
【详解】，，
根据正弦定理：由，可得故
违背了三角形内角和定理，故此三角形无解.故选：C.

题型04 正余弦应用：求面积
【解题攻略】
【典例1-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．

【答案】A
【分析】根据题意和正弦定理可得，进而，利用诱导公式可得，结合三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】，由正弦定理，
得，又，所以，
所以，则，
所以，
所以的面积为.故选：A.
【典例1-2】已知的内角所对的边分别为，则的面积为（ ）
A．B．C．27D．36

【答案】C
【分析】根据余弦定理求出，再根据求出，再根据面积公式求解.
【详解】由余弦定理得：
即即，即
所以，又因为，所以
所以的面积为故选：C
【变式1-1】（2022春·河南许昌·高三统考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，∠ADC＝45°，∠ACD＝105°，∠B＝60°，AB＋BC＝4，则三角形ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在中，由正弦定理求出AC长，在中，由余弦定理求AB，BC，
再利用三角形的面积公式求三角形ABC面积.
【详解】在中，，
由正弦定理有： ，解得AC=2，
在中，设AB=x，则BC=4-x，
由余弦定理有：，
即 ，
解得：x=2，所以AB=BC=2，
由三角形的面积公式有： =.故B，C，D错误.故选：A.
【变式1-2】（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在△ABC中，若，，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理推出，从而求出，最后利用面积公式计算即可.
【详解】，及正弦定理可得，
即，舍去，因为，
所以，
从而的面积为.故答案为：.
【变式1-3】（2019·陕西宝鸡·统考二模）已知三角形的内角、、所对的边分别为、、，若，，则角最大时，三角形的面积等于 ．
【答案】
【分析】由题意得，根据余弦定理得到，然后利用换元法和二次函数的最值的求法得到，并求出此时，进而可得三角形的面积．
【详解】∵，
∴．
由余弦定理的推论得，
设，
则，
当且仅当，即时等号成立，∴当角最大时，，∴，
∴，即角最大时，三角形的面积等于．故答案为．
.
题型05 正余弦应用：求长度
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·江西萍乡·高三统考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，，则 ．
【答案】2
【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系可得，然后结合正弦定理可求得的外接圆半径，即可得到结果.
【详解】在中，，，所以，，且，所以，
设的外接圆半径为，则，，且，解得，因为
，所以.故答案为：.
【典例1-2】（2023下·江苏盐城·高三校联考）中，，在上，，，则 ．
【答案】
【分析】由结合三角形面积公式化简可得出的值.
【详解】如下图所示：
在中，，在上，，，则，
由，即，
即，等式两边同时除以可得，
所以，.故答案为：.
【变式1-1】（2023下·广西钦州·高三统考）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则 .若，，则 .
【答案】
【分析】设的外接圆半径为，由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值；利用二倍角的余弦公式求出的值，利用余弦定理可求得的值.
【详解】设的外接圆半径为，则
，
由二倍角的余弦公式可得，
由余弦定理可得，故.
故答案为：；.
【变式1-2】（2022下·高三校考单元测试）在中，、、所对的边分别为、、，又..，则 .
【答案】/
【分析】根据正弦定理或者余弦定理求解即可；
【详解】方法一：由正弦定理得：，
，∴或，又∵，∴，∴，，
∴.故答案为：.
方法二；，解得：
解得：或者（舍去），故答案为：.
【变式1-3】（2023上·山东日照·高三统考开学考试）在中，，为中点，，，则边的长为 .
【答案】
【分析】设，，由、，利用正余弦定理、倍角正弦公式得、求出所设参数，结合三角形性质确定的长度.
【详解】设，，

在和中，，，
又，得，
在中，，
由，有，
所以，整理得：，①
又，即，整理得：，②
联立①②得，，即，解得或，
三角形ADC中的三边关系知：，故，所以.
故答案为：
题型06正余弦应用：比值型求值
【解题攻略】
【典例1-1】（2022上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）在中，斜边为，点在边上，若，，则 .
【答案】
【分析】由，结合同角关系求出，，结合三角形面积公式证明，，再根据余弦定理列关系式求即可.
【详解】因为，所以，又，
，所以，，
的面积，
的面积，所以，
因为，所以，故，
所以，故，所以
由余弦定理可得，又，
所以，
所以，故答案为：.
【典例1-2】（2023下·福建泉州·高三校联考阶段练习）记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时， ．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式，再借助函数性质、均值不等式计算作答.
【详解】由题意得，因为，则，
由余弦定理，所以即，即，则，
而函数在上单调递增，即当a最小时，的周长最小，
显然，当且仅当时取“=”，此时，
所以当的周长取到最小值时，．故答案为：
【变式1-1】（2022上·江苏南通·高三统考）在中(角A为最大内角，a，b，c为、、所对的边)和中，若，，，则 .
【答案】
【分析】根据，可知B和互余，C和互余，于是根据三角形内角和为180°，可得到，再根据可求出，从而求出和A.根据余弦定理和三角形面积公式可将要求的式子化简为，根据A的大小即可求解．
【详解】∵A是最大内角，∴均为锐角，
∵，，∴，，
∴，
∴，即，
∵是三角形内角，∴，∴，∴．
在△ABC中，由余弦定理得，，故，
∴．故答案为：．
【变式1-2】（2020·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）在中，，，则 .
【答案】
【解析】利用降幂公式与辅助角公式化简,可得,再根据可得,化简可得.再化简,代入计算即可.
【详解】由有,又,故.故.
又,故,整理得
,因为,故解得.
故.
代入可得.故答案为：
【变式1-3】．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2

【答案】B
【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.
【详解】已知
由正弦定理可知：，
，
整理得：，
两边同除得：，
根据余弦定理得：，即，
，，，当且仅当，即时等号成立.
又，当且仅当时，等号成立.
综上所述：且，
故得：，此时且，
，.故选：B
题型07 最值型：角与对边互化面积型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】由余弦定理可得，即，
当且仅当时，等号成立，故.
因此，面积的最大值为.
故选：B.
【典例1-2】（2022秋·黑龙江·高三哈尔滨三中校考）在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得，进而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】由正弦定理得：，
，
，，，，，
，解得：；
由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
.故选：B.
【变式1-1】（2023秋·辽宁铁岭·高三校考开学考试）在中，内角的对边分别为，若，且，则面积的最大值为 .
【答案】
【分析】由，得到，利用余弦定理得到，再利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用三角形的面积求解.
【详解】解：因为，所以，由余弦定理得，
因为，所以，由余弦定理得，
则，当且仅当时，等号成立，所以，
所以面积的最大值为，故答案为：
【变式1-2】（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理进行边角互化可得，再结合余弦定理可得，利用基本不等式可得，进而可得面积的最大值.
【详解】由，得，
由正弦定理得，化简得，
故，所以.又因为，即，
所以，当且仅当时取等号.故，故答案为：.
【变式1-3】（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先利用余弦定理和基本不等式即可求出的最大值，最终代入三角形面积公式即可求解.
【详解】由题意，，由余弦定理得，即，对其利用基本不等式可得，所以当且仅当时，等号成立，此时有最大值4，代入三角形面积公式可得，所以面积的最大值为.
故答案为：.
题型08 最值型：周长、边长范围
【解题攻略】
【典例1-1】（2021上·河南濮阳·高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习）锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理对所给等式进行角化边，再利用余弦定理可求得从而求得角A，由正弦定理可得，则，利用两角和与差的正弦、余弦公式将等式化简为关于B的正弦型函数，由锐角三角形求出角B的范围即可利用正弦函数的值域求得的取值范围.
【详解】因为由正弦定理可得，即，所以，又，所以，由正弦定理可知，所以，
则
，因为为锐角三角形且，所以，解得，
当时，，，所以.故选：B
【典例1-2】（2023上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【答案】D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为，由正弦定理可得，
则有，由的内角为锐角，可得，
，
由余弦定理可得因此有

故选：D.
【变式1-1】（2023下·高三单元测试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】由题知，
即由正弦定理化简得
即故选：.
【变式1-2】（2021·河北唐山·统考三模）的内角，，的对边分别为，，，角的内角平分线交于点，若，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先由根据基本不等式可得，再根据等面积法得到，结合余弦定理确定角的范围即可得解.
【详解】，，当且仅当时取等号
角的内角平分线交于，设，
则，
所以，所以，
又，
设，易知函数单调递增，所以，
所以，.故答案为：.
【变式1-3】（2023上·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）中，若，则周长最大值为 ．
【答案】.
【详解】分析：根据正弦定理，将边长转化为角的表示形式，利用差角公式和辅助角公式，得到关于角A的表达式，然后根据角A的取值范围确定最值．
详解：由正弦定理 ，
所以 所以周长

因为
所以当 时， 所以周长最大值为
题型9 最值型：比值范围
【典例1-1】（2022上·广西桂林·高三校考阶段练习）在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.
【详解】，，
则设
所以，即
，故选：A.
【典例1-2】（2023上·江苏无锡·高三江苏省南菁高级中学校考阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到，，由正弦定理得到，且根据三角形为锐角三角形，得到，求出，利用对勾函数得到的最值，求出的取值范围.
【详解】由三角形面积公式可得：，故，
，故，因为，所以，
解得：或0，因为为锐角三角形，所以舍去，故，，
由正弦定理得：，其中，
因为为锐角三角形所以，故，所以，，
，，令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，则，又，
因为，所以，则.故选：C
【变式1-1】（2023上·贵州黔东南·高三统考）在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由三角形面积公式求出，然后引入参数，将所求表示为的函数，再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得，注意到在锐角中，有，从而可以求出的范围，由此即可得解
【详解】由三角形面积公式结合，可知，即，
又由平方关系，所以，即，
解得或（舍去），由余弦定理有，所以，
令，所以 ，故只需求出的范围即可，
由正弦定理边化角得，
注意到在锐角中，有，简单说明如下：
若，则，即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾，
所以在锐角中，有，所以在锐角中，有，
因为正切函数在上单调递增，所以，
从而，而函数在单调递减，在单调递增，
所以.
综上所述：的取值范围为.故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由正弦定理可知．，又，则，，从而，又，知，所以，则，换元可令，则，故本题应填．
【变式1-3】（2022下·重庆·高三重庆市彭水第一中学校校考）在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理，诱导公式及和差化积公式得到，从而A=2B，求出，根据锐角三角形得到的范围，从而求出的范围.
【详解】由正弦定理得：，由二倍角公式得： ，
，由和差化积公式可得：，
即，因为为锐角三角形，所以，，
所以，所以或（舍去），即A=2B，，
由正弦定理可得：，由题意得：，解得：，
，解得：又综上： ,所以，
则的取值范围是故答案为：
题型10 最值型：余弦定理齐次式
【典例1-1】（2022·全国·高三课时练习）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(）B．(）
C．[)D．[，1)
【答案】C
【解析】先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数值域的上限.
【详解】由题意得，（当且仅当时取等号），
由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，
因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以所以的取值范围是，故选：C．
【典例1-2】（2020·全国·高三课时练习）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由余弦定理，求得，再结合基本不等式和函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，因为，
所以，
又由，得，则所以，令，则，
所以函数在单调递减，在单调递增，
又，，所以.故选：D.
【变式1-1】（2022·四川成都·二模（理））已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值，进而得的最大值，再求即可得答案.
【详解】解：∵,\
∴，
∴由正弦定理得：，
即，
，则，
（当且仅当，即时取等号），的最小值为.∵，∴，∴的最大值为.故选：C.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知中，角的对边分别为．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值.
【详解】由正弦定理得：，
即，，则，
（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C.
【变式1-3】（2020·河南·校联考二模）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】由面积公式可得，再用余弦定理可得，即得出结果.
【详解】由题，三角形的面积： .
由余弦定理：，可得： .
所以，其中.
所以的最大值为.故答案为：.
题型11 最值型：正切
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理化简，求出，化简得，根据三角形为锐角三角形求出范围，进而求出范围即可.
【详解】由，根据正弦定理得，
因为，所以，
因为三角形为锐角三角形，所以，即，
，
由题，则，所以，故选：A
【典例1-2】（2023下·云南保山·高三校考）已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理及余弦定理化简表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得的取值范围，即可求解.
【详解】由题意，由正弦定理得：，化简得：，
由余弦定理得：，
当且仅当时等号成立，从而可得为锐角，
所以：，得：，则：，
所以：，
所以：的最大值为，故A项正确.故选：A.
【变式1-1】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【详解】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）在锐角中，，则角的范围是 ，的取值范围为 .
【答案】
【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得，的关系，结合锐角三角形条件可求，的范围，然后结合对勾函数的单调性可求．
【详解】解：因为及，所以，由正弦定理得，
所以，整理得，
即，所以，即，又为锐角三角形，所以，解得，
故，，则
，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，
又，，故，即．故答案为：；．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理及基本不等式可得，然后利用同角关系式，可得，即求．
【详解】∵，∴，
∴，
当且仅当时等号成立，
又，所以，
∴.故答案为：．
题型12 三角形角平分线型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16B．C．64D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理及诱导公式可得，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.
【详解】∵，∴，
即，又，，∴，即，又，
∴，由题可知，，所以，即，
又，即，当且仅当取等号，
所以.故选：B.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．7
【答案】B
【分析】根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，
即 ，得，
得 ，
当且仅当，即时，取等号，故选：B．
【变式1-1】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．16D．18
【答案】D
【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到A，再根据平分角A，利用，得到，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，所以，即，
由余弦定理易得，又平分角A，．
由，得，即，
即，，
当且仅当时等号成立，即的最小值为18．故选：D．
【变式1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，角A的平分线交BC于点D，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，，角A的角平分线交BC于点D，可得，由可得，，在，由余弦定理可得，在中，由正弦定理可知：，可求得，判断出为锐角，即可求得答案.
【详解】，角A的角平分线交BC于点D
又
，解得在中，由正弦定理可知：
即，
为锐角，故
.故选：B.
【变式1-3】（2022·陕西西安·三模（理））在中，，，的角平分线的长为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在中，利用正弦定理可求得，利用三角形内角和可求得，从而确定，在中利用正弦定理可得结果.
【详解】
在中，由正弦定理得：，即，
又，，，
，则，，，
在中，由正弦定理得：，.故选：C.
题型13 三角形中线型
【解题攻略】
【典例1-1】在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（ ）
A．3B．C．1或2D．2或3

【答案】C
【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式可得，在中由余弦定理可得，综上即可求解c
【详解】由得，∴，∵，∴，即.在中，由余弦定理可得，整理得，
在中，，∴，即 （*），
当时，（*）式可解得，；
当时，（*）式可解得，；故选：C
【典例1-2】.在中，分别是的中点，且，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】
根据题意画出相应的图形，要求的最小值，即要求出的最大值，由的关系，用表示出，由分别是的中点，在中，利用余弦定理表示出，在中，利用余弦定理表示出，并表示出，开方并分离出常数，由为三角形的内角，得到的范围，进而由三角函数的性质可得答案
解：因为，所以,因为分别是的中点，所以，
在中，由余弦定理得，
，在中，由余弦定理得，
所以
所以，因为当取得最小值时，比值最大，
所以当时，，此时达到最大值，为 ，
则若恒成立，的最小值为，故选：B【
【变式1-1】在中，角的对边分别为，已知，点是的中点，若，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．

【答案】A
【分析】
先由题意得到，结合余弦定理得到，且，再由余弦定理，得到，求出，根据三角形面积公式，得到，即可求出结果.
【详解】
因为点是的中点，，，
所以，即，
即，所以，
整理得：，因此，即，
当且仅当时，等号成立；且；
又，所以，
因此面积为
，当且仅当时，取得最大值.
故选A
【变式1-2】在中，若3sinC=2sinB,点,F分别是,的中点，则BECF的取值范围为
A．（14，78）B．（13，78）C．（14，67）D．（13，67)

【答案】A
本道题运用余弦定理，计算BECF的值，同时结合csA的范围，即可求得选项.
【详解】
∵3sinC=2sinB,可得3AB=2AC，即AC=32AB，∵点E,F分别是AC,AB的中点，
∴AE=12AC,AF=12AB，
在△ABD中，由余弦定理可得
BE2=AB2+AE2−2AB⋅AEcsA
=AB2+34AB2−2AB⋅34AB⋅csA
=2516AB2−32AB2csA，
在△ACF中，由余弦定理可得CF2=AF2+AC2−2AF⋅ACcsA=AB22+34AB2−2⋅12AB⋅32AB⋅csA
=52AB2−32AB2csA∴BECF=2516AB2−32AB2csA52AB2−32AB2csA=1−1540−24csA
∴csA∈(−1,1),可得1540−24csA∈1564,516，可得
BECF=1−1540−24csA∈14,78，故答案为14,78.
【变式1-3】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】设，，由于，
在和中应用余弦定理可得：
，整理可得：，结合勾股定理可得的面积：
，
当且仅当时等号成立．则面积的最大值为6．故选：A.
题型14 三角形重心型
【解题攻略】
【典例1-1】.在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【答案】C
【解析】
【分析】
延长交于，由重心性质和直角三角形特点可求得，由，利用余弦定理可构造等量关系得到，由此确定为锐角，则可假设为钝角，得到，，，由此可构造不等式组求得的取值范围，在利用余弦定理可得，利用的范围，结合为锐角可求得的取值范围.
【详解】
延长交于，如下图所示：
为的重心，为中点且，
，，；
在中，；
在中，；
，，
即，整理可得：，为锐角；
设为钝角，则，，，
，，解得：，
，，
由余弦定理得：，
又为锐角，，即的取值范围为.故选：C.
【典例1-2】（2024秋·福建福州·高三福建省福清第一中学校考阶段练习）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意，所以，
即，所以，所以，
又，，
则，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，，所以当取最大值时，.故选：A
【变式1-1】．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接并延长交于点，由重心的性质可得出，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出，推导出，再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】连接并延长交于点，则为的中点，
因为，则，由重心的性质可得，则，
因为，所以，，所以，，所以，，
所以，，则为锐角，由余弦定理可得，
所以，，
因为为锐角三角形，则，即，即，
所以，，构造函数，其中，
任取、且，则
.
当时，，，则，
当时，，，则，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，，故.故选：C.
【变式1-2】（2020春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知中，为的重心，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题，先用余弦定理求得，再用向量表示出，然后代入用向量的数量积公式进行计算即可求得结果.
【详解】因为中，为的重心，
所以 ，由余弦定理可得：
且
所以
=
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】设点在圆上，且，，设直线，的倾斜角分别为，.两角差正切公式得，再求出即可
【详解】设，是单位圆的直径的端点，在圆上，
设，点为的重心，.点在圆上.
是锐角三角形，点在圆上，且，，
设直线，的倾斜角分别为，.则，，.
.故选：.
题型15 三角形外接圆
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考开学考试）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理与勾股定理得是直角三角形，进而可以建立直角坐标系，根据点的坐标得向量的坐标，由向量的坐标运算可得的表达式，进而利用三角函数求最值即可.
【详解】因为在中，，，，
由余弦定理得，
所以，则，所以，
故以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，
易得，则，，
设的坐标为，则，
又，
所以，
则，得，，
所以，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为.故选：B.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，将平方整理得，设，则有，再设，则有==，求解即可.
【详解】解：如图所示：
由正弦定理可得：，所以，
在中，由余弦定理可得,
又因为,所以.又因为，
所以，即有：，即，
所以，设，可得，
又因为为锐角三角形，所以，所以，
设，则有，所以==，所以故选：A.
【变式1-1】（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考）若是外接圆圆心，是的内角，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形外心的性质、正弦定理、两角和的余弦公式，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】设的中点为，所对的边为，
因为是外接圆圆心，
所以，
于是有，
由
，故选：B
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设为锐角的外心（三角形外接圆圆心），．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取中点，根据外心性质知，根据向量线性运算可证得三点共线，从而得到，利用等腰三角形和三角形外心的性质可求得，结合余弦值可推导得到，进而构造方程求得结果.
【详解】取中点，连接，
为的外心，，
，，三点共线，，
，，
，，，
，即，，，
则，解得：.故选：A
【变式1-3】．（2022春·北京·高三校考期末）已知三角形外接圆的半径为1为圆心，且，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得三角形是以角为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边，利用数量积几何意义计算得答案．
【详解】因为三角形外接圆的半径为1为圆心，
为的中点，故是直角三角形，为直角．又，
,,故选:A.
高考练场
1.（2021·安徽安庆·统考二模）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.
【详解】因为，且，
所以，
所以 ，
因为 ，所以 ，故选：A
2.在中，，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形

【答案】D
【分析】由正弦定理结合两角差的正弦公式可得答案.
【详解】由正弦定理，因，
则，
又A，B为三角形内角，得B=A.
3.在中，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解B．有一解
C．无解D．有无数个解

【答案】C
【分析】通过作圆法可确定三角形解的情况.
【详解】作垂直于所在直线，垂足为，则，以为圆心，4为半径作圆，
可知与无交点，故三角形无解.
故选：C.
4.（2023春·广东东莞·高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由余弦定理与三角形面积公式，利用条件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圆直径.
【详解】由得，，
即：，可得.又因为，可得．又已知，，
由余弦定理得，解得.
则外接圆直径.故选：D.
5.（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在△ABC中，，且，则三角形ABC的面积为 .
【答案】
【分析】设，则，代入已知式化简可得，可视为关于的二次方程有解，由可求得，即，可判断是一个等边三角形，即可求出三角形ABC的面积.
【详解】设，则，且，于是，
所以，整理得，
可视为关于的二次方程有解，
那么，由于，所以，则，
因为，于是，满足，
所以，故是一个等边三角形，所以．故答案为：.
6.（2023·四川成都·校联考二模）在中，角A，B，C的对边分别为，，则 .
【答案】2
【分析】化简可得，再根据三角恒等变换结合正弦定理求解即可.
【详解】则，
故，
故.
由正弦定理有，因为，则.
故答案为：2
7..△的内角，，的对边分别为，，.若，则（ ）
A．5B．4C．3D．2

【答案】A
【分析】利用正弦定理进行角换边，再根据余弦定理即可得出答案.
【详解】，利用正弦定理可得:，又，
可得，整理可得：，故选：A.
8.．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）在中，，，当取最大值时，的面积为 .
【答案】
【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得，其中，，再根据正弦型函数的最值结合面积公式求解即可.
【详解】在中，利用正弦定理，
所以，，
有，
即，其中，，
取最大值，即时，有，，
所以，，
所以.故答案为：.
9.（2023下·湖南长沙·高三校考开学考试）已知的三边长互不相等，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用正弦边角关系及三角形内角性质、已知可得且，再由、，应用基本不等式求目标式的范围.
【详解】由题设，而，
所以或，又的三边长互不相等，即且，
由，故，仅当时等号成立，又，
所以，又，故的取值范围是.
故答案为：
10.（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，，，则中线AD长的取值范围是 ;
【答案】
【分析】本道题运用向量方法，计算AD的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc的范围，即可．
【详解】设，，对运用正弦定理，得到
，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组
，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，
所以
，结合bc的范围，代入，得到的范围为
11.（2024·河南鹤壁·鹤壁高中校考二模）在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为
【答案】
【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.
【详解】
（当且仅当时取等号）.令，故，
因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，
由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，
故可得， 又，故可得，
当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.
12.（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知△ABC中，D为边BC的中点，若，则∠BAD的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正弦定理，将条件转化为边长的比例关系，再延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，CE，则四边形ABEC是平行四边形，在△ABE中，使用余弦定理可求得∠BAD的余弦值.
【详解】因为，
所以在△ABC中，由正弦定理得，在△ADC中，由正弦定理得.
如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，CE，则四边形ABEC是平行四边形，
所以.设，则，BE=，在△ABE中，由余弦定理得
故选：B.
13..在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的最小值为（ ）
A．21B．24C．27D．36
广西柳州市2023届高三第二次模拟考试数学（理）试题
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，由余弦定理求出角A，再利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答.
【详解】在中，，由正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，则，
因角A的内角平分线的长为3，由得：，
即，因此，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值27.
故选：C
14.（2022下·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）如图所示，是边长为6的等边三角形，G是它的重心，过G的直线分别交线段AB，AC于E，F两点，，当在区间上变化时，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由正弦定理可求，，利用三角函数恒等变换化简可得，求得范围，利用正弦函数的性质即可计算得解．
【详解】解：在△AEG中，由正弦定理得，则，
又，同理可得，
可得
由，得，则即的取值范围是.故选：A
15.（2022·四川巴中·统考模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则 ，的取值范围为 ．
【答案】 /；
【分析】由正弦定理结合即可求出，进而求出；先切化弦将转化为，再由结合三角恒等变换得，结合的范围及正弦函数的性质求得的范围，即可求解.
【详解】由正弦定理得，又，
则，又，则，则，则；
，由可得，
又为锐角三角形，则，可得，
则，
又，则，则，即，
则.故答案为：；.
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；
（2）角化边：
①利用正弦定理：，，
②利用余弦定理：
辅助角公式
判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点
①sinA=sinB⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形
②sinA=csB⇒或⇒△ABC直角三角形或钝角三角形
③sin2A=sin2B⇒A=B或⇒△ABC为等腰三角形或钝角三角形
④cs2A=cs2B⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形
⑤⇒⇒△ABC为直角三角形
⑥⇒
或⇒ ⇒△ABC为钝角三角形
或⇒
⑦⇒
且⇒ ⇒△ABC为锐角三角形
且⇒
判断三角形解的个数有2种：
画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
公式法：运用正弦定理进行求解。
①a＝bsinA，△＝0，则一个解；
②a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解。
三角形面积 ：
①S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)
②S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；
第三步：求结果.
最值范围：分式比值型
化边为角型
通过正余弦定理，把边转化为角。
利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
对单变量（单角）求最值。
注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
正切：
1. ；
2.在三角形中，
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
三角形角平分线的处理方法：
中线的处理方法
1.向量法：
双余弦定理法（补角法）：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
中线的处理方法
1.向量法：
补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径