2024年新高考数学题型全归纳讲义第八讲导数压轴大题归类(原卷版+解析)

这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第八讲导数压轴大题归类(原卷版+解析)，共94页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19665" 题型01 恒成立求参：常规型 PAGEREF _Tc19665 \h 1
\l "_Tc22121" 题型02 恒成立求参：三角函数型 PAGEREF _Tc22121 \h 2
\l "_Tc9714" 题型03恒成立求参：双变量型 PAGEREF _Tc9714 \h 2
\l "_Tc22936" 题型04 恒成立求参：整数型 PAGEREF _Tc22936 \h 3
\l "_Tc25173" 题型05恒成立求参：三角函数型整数 PAGEREF _Tc25173 \h 4
\l "_Tc32189" /题型06“能”成立求参：常规型 PAGEREF _Tc32189 \h 5
\l "_Tc26778" 题型07“能”成立求参：双变量型 PAGEREF _Tc26778 \h 5
\l "_Tc5880" 题型08 “能”成立求参：正余弦型 PAGEREF _Tc5880 \h 6
\l "_Tc3182" 题型09 零点型求参：常规型 PAGEREF _Tc3182 \h 7
\l "_Tc518" 题型10 零点型求参：双零点型 PAGEREF _Tc518 \h 8
\l "_Tc22594" 题型11 零点型求参：多零点综合型 PAGEREF _Tc22594 \h 8
\l "_Tc17844" 题型12 同构型求参：x1，x2双变量同构 PAGEREF _Tc17844 \h 9
\l "_Tc11613" 题型13 虚设零点型求参 PAGEREF _Tc11613 \h 10
\l "_Tc9490" 高考练场 PAGEREF _Tc9490 \h 10
热点题型归纳
题型01 恒成立求参：常规型
【解题攻略】
【典例1-1】（2024上·北京·高三阶段练习）设，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若，求a．

【典例1-2】（2024上·甘肃武威·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.

【变式1-1】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若对恒成立，求实数a的取值范围．

【变式1-2】（2024上·山西·高三期末）已知函数，.
(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

题型02 恒成立求参：三角函数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)求证：时，；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．

【典例1-2】（2023上·全国·高三期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数a使得对恒成立，求a的最大整数值.

【变式1-1】（2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【变式1-2】（2023上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知函数为其导函数．
(1)求在上极值点的个数；
(2)若对恒成立，求的值．

题型03恒成立求参：双变量型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数，当有两个极值点时，总有成立，求实数的值．

【典例1-2】（2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数，其中.
(1)讨论函数在上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.

【变式1-1】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数的极值点；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.

【变式1-2】（2023下·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围.

题型04 恒成立求参：整数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知．
(1)若恒成立，求实数的取值范同：
(2)设表示不超过的最大整数，已知的解集为，求．（参考数据：，，）

【典例1-2】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，，为自然对数底数．
(1)证明：当时，；
(2)若不等式对任意的恒成立，求整数的最小值．

【变式1-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知函数，.
(1)若，求函数值域；
(2)是否存在正整数a使得恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理由.

【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求k的值；
(2)若，且时，恒有，求k的最大值．
（参考数据：）

题型05恒成立求参：三角函数型整数
【典例1-1】（2020·云南昆明·统考三模）已知．
（1）证明：；
（2）对任意，，求整数 的最大值．
（参考数据：）

【典例1-2】（2020上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，.
（1）若，求函数在上的单调区间；
（2）若，不等式对任意恒成立，求满足条件的最大整数b.

【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，为的导函数．
(1)讨论在区间内极值点的个数；
(2)若，时，恒成立，求整数的最小值．

【变式1-2】（2023·云南保山·统考二模）设函数，
(1)求在区间上的极值点个数；
(2)若为的极值点，则，求整数的最大值.

题型06“能”成立求参：常规型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.
注：为自然对数的底数.

【典例1-2】（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知函数，是的导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若存在实数使成立，求的取值范围.

【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在，使得，求实数的最小值．

【变式1-2】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在，使得，求的取值范围.

题型07“能”成立求参：双变量型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数，其中a≠0.
(1)若，讨论函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

【典例1-2】（2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．

【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对任意，均存在，使得，求的取值范围．

【变式1-2】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．

题型08 “能”成立求参：正余弦型
【典例1-1】（2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习）函数.
（1）求证：函数在区间内至少有一个零点；
（2）若函数在处取极值，且，使得成立，求实数的取值范围.

【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x+2﹣2csx
（1）求函数f（x）在[，]上的最值：
（2）若存在x∈（0，）使不等式f（x）≤ax成立，求实数a的取值范围

【变式1-1】（2020·四川泸州·统考二模）已知函数.
求证：当x∈(0,π]时，f(x)<1；
求证：当m＞2时，对任意x0∈(0,π] ，存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.

【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）若在处的切线为，求的值；
（2）若存在，使得，求实数的取值范围．

题型09 零点型求参：常规型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．

【典例1-2】（2023上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若函数无零点，求的取值范围；
(3)设，（其中实数）．若函数有且只有一个零点，求的取值范围．

【变式1-1】（2023上·江苏南通·高三统考期中）已知．
(1)试判断函数的单调性；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

【变式1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数有且只有一个零点，求的取值范围．

题型10 零点型求参：双零点型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线过原点的切线的方程．
(2)若有两个零点，求实数的取值范围．

【典例1-2】（2023·四川泸州·统考一模）已知函数，且恒成立．
(1)求实数的最大值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．

【变式1-1】（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程;
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【变式1-2】（2023下·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.

题型11 零点型求参：多零点综合型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021下·重庆江北·高三校考阶段练习）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）已知函数，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.

【典例1-2】（2022上·广西钦州·高三校考阶段练习）已知在区间，上的值域，.
（1）求的值；
（2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围.

【变式1-1】（2020·浙江·模拟预测）已知函数.
（1）求函数的最值；
（2）已知函数，设函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.

【变式1-2】（2022上·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数.
(1)求函数的极值点；
(2)当时,当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.

题型12 同构型求参：x1，x2双变量同构
【解题攻略】
【典例1-1】（2019·河南郑州·统考二模）已知函数.
（1）曲线在点处的切线方程为，求，的值；
（2）若，时，，都有，求的取值范围.

【典例1-2】（2020上·河南三门峡·高二统考期末）已知函数.
（Ⅰ）若在处的切线方程为，求a的值；
（Ⅱ）若，，都有恒成立，求实数a的取值范围.

【变式1-1】（2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设，若对任意、，且，都有，求实数的取值范围.

【变式1-2】（2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)设，，若对任意，且，都有，求实数的取值范围.

题型13 虚设零点型求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·河南安阳·统考二模）已知函数，．
(1)若曲线有两条过点的切线，求实数m的取值范围；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值集合．

【典例1-2】（2023·天津河北·统考一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.

【变式1-1】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数.
(1)证明：曲线在处的切线经过坐标原点；
(2)记的导函数为，设，求使恒成立的的取值范围.

【变式1-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.

高考练场场
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．

2.（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设函数.
(1)讨论在区间上的单调性；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.

3.（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．

4.（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数
(1)若，讨论的单调性.
(2)当时，都有成立，求整数的最大值.

5.（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数．
(1)若，求证：；
(2)当时，对任意，都有，求整数的最大值．

6.（2023上·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）已知函数．
(1)试讨论的极值点的个数；
(2)若，且对任意的都有，求的取值范围．

7.（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知函数.
(1)若，设，讨论函数的单调性；
(2)令，若存在，使得，求的取值范围.

8.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对于任意的，都存在，使得成立，试求实数的取值范围.

9.（2020·江西·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增，函数．
（1）求的值；
（2）若存在，使得成立，求m的取值范围．

10.（2024·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围.

11.（2022上·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数是自然对数的底数，且．
(1)若是函数在上的唯一的极值点，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．

12.（2021上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知，.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若，且在上有三个零点，求实数的取值范围.

13.（2019·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）对任意的，，，恒有，求实数的取值范围.

14.（2020秋·辽宁营口·高三营口市第二高级中学校考阶段练习）已知函数，
（1）判断函数在区间上的单调性；
（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值．

利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
三角函数与导数应用求参：
正余弦的有界性
三角函数与函数的重要放缩公式：.
一般地，已知函数，
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
恒成立求参的一般规律
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
如果参数涉及到整数，要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号
形如的有解的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可.
一般地，已知函数，
（1）相等关系
记的值域为A, 的值域为B,
①若，，有成立，则有；
②若，，有成立，则有；
③若，，有成立，故；
（2）不等关系
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
零点常规型求参基础：
分类讨论思想与转化化归思想
数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处（极值点处）
3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。
利用导数解决有两个零点，求实数的取值范围问题，综合性强，难点在于要分类讨论参数的范围，进而判断函数的单调性，确定极值的正负问题，关键在于要多次构造函数，利用导数判断函数单调性.
三个以及三个以上零点，较复杂，综合度较大。
1、三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。
2、三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元三次函数”型。
3、如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。
双变量同构型，较多的是含有绝对值型。
1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。
2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。
不含绝对值型，可以直接调整构造函数求解
虚设零点转化技巧：
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。
第八讲 导数大题求参归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19665" 题型01 恒成立求参：常规型 PAGEREF _Tc19665 \h 1
\l "_Tc22121" 题型02 恒成立求参：三角函数型 PAGEREF _Tc22121 \h 5
\l "_Tc9714" 题型03恒成立求参：双变量型 PAGEREF _Tc9714 \h 10
\l "_Tc22936" 题型04 恒成立求参：整数型 PAGEREF _Tc22936 \h 13
\l "_Tc25173" 题型05恒成立求参：三角函数型整数 PAGEREF _Tc25173 \h 17
\l "_Tc32189" 题型06“能”成立求参：常规型 PAGEREF _Tc32189 \h 21
\l "_Tc26778" 题型07“能”成立求参：双变量型 PAGEREF _Tc26778 \h 24
\l "_Tc5880" 题型08 “能”成立求参：正余弦型 PAGEREF _Tc5880 \h 28
\l "_Tc3182" 题型09 零点型求参：常规型 PAGEREF _Tc3182 \h 31
\l "_Tc518" 题型10 零点型求参：双零点型 PAGEREF _Tc518 \h 35
\l "_Tc22594" 题型11 零点型求参：多零点综合型 PAGEREF _Tc22594 \h 40
\l "_Tc17844" 题型12 同构型求参：x1，x2双变量同构 PAGEREF _Tc17844 \h 44
\l "_Tc11613" 题型13 虚设零点型求参 PAGEREF _Tc11613 \h 47
\l "_Tc9490" 高考练场 PAGEREF _Tc9490 \h 50
热点题型归纳
题型01 恒成立求参：常规型
【解题攻略】
【典例1-1】（2024上·北京·高三阶段练习）设，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若，求a．
【答案】(1)在单调递减，在单调递增(2)(3)
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）构造函数，分类讨论与，结合（1）中结论即可得解；
（3）构造函数，利用导数分类讨论的取值范围，结合的单调性即可得解.
【详解】（1）因为的定义域为，，
则，令，得；令，得；
所以在单调递减，在单调递增.（2）因为，所以等价于，
记函数，当时，，不合题意；
当时，由（1）知，解得；
综上，的取值范围是.
（3）记函数，则，
若，令，得；令，得；
在单调递增，在单调递减，故，符合题意；
若，当时，，则在单调递减，
故，不合题意；若，当时，，则在单调递增，
故，不合题意；若，当时，，则在单调递增，
故，不合题意.综上，.
【典例1-2】（2024上·甘肃武威·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先求解出，然后根据的正负确定出的单调性，然后可求的最大值；
（2）先求解出，令的分子部分为，再根据与的关系进行分类讨论：当时，根据（1）的结果进行分析；当时，根据解析式各部分取值正负进行分析；当时，根据的正负再进行讨论，由此求解出结果.
【详解】（1）由题可知的定义域为，当时，，
因为，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
（2）因为，所以，
令，则，
当时，由（1）知，不满足题意；
当时，，所以恒成立，不满足题意；
当时，在上恒成立，
所以在上单调递减，所以.
①当时，因为，所以，
所以在上单调递减，所以，所以满足题意，
②当时，因为在上单调递减，且，
所以存在，使得，
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以当时，，不满足题意，
综上所述，.
【变式1-1】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若对恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先求，然后将问题转化为“对恒成立”，然后通过分离参数结合函数的单调性求解出的取值范围；
（2）将问题转化为“对恒成立”，然后构造函数，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出的取值范围.
【详解】（1）因为，又在上单调递增，
所以对恒成立，所以对恒成立，
所以对恒成立；令，且在上单调递增，
所以，所以，即的取值范围是；
（2）因为对恒成立，所以对恒成立，
设，所以，令，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以在上单调递减，所以，
当时，即，，所以在上单调递增，
所以，满足条件；当时，即，，且时，，
所以在上有唯一零点，记为，则，
即，单调递增，，单调递减，
故当时，，与题意矛盾，综上所述，的取值范围是.
【变式1-2】（2024上·山西·高三期末）已知函数，.
(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）先求，然后分析的根，由此完成证明；利用韦达定理表示出结合的范围求解出其范围；
（2）将问题转化为“在上恒成立”，建立函数，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出的取值范围.
【详解】（1），令，
因为，二次函数对称轴，，且恒成立，
所以恒有两个不相等的正实根，且这两个正实根分别为，，，
所以的单调递减区间是，所以单调递减区间的长度，
因为，所以的取值范围为；
（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，令，
则，令，则，令，
则，当时，，所以在上单调递减，，
所以在上单调递减，，
当，即时，，所以在上单调递减，，
所以在上单调递减，成立，所以；
当，即，单调递减函数在时，，且，
所以在上有根，记为，在上，，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，函数在时，，
因此在上有解，记为，在上，，单调递增，而，
因此在上，，从而在上不恒成立，
综上所述，的取值范围是.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）第一步：求函数的定义域与导函数，第二步：分，分别讨论的正负，得函数的单调区间.
（2）第一步：转化不等式，第二步：构造新函数并求导，第三步：分，分别讨论的单调性，求出其最值，第四步：总结，得的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，在区间上单调递增；
当时，由，得，由，得，
在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）当时恒成立，等价于当时，恒成立．
设，则当时，恒成立，
．
①当时，由可得，，，又，，
在上单调递增，而，当时．恒成立．
②当时，令，则．
，，，且，
因此，即在上单调递增，当时，．
当，即时，，当时，，在上单调递增．
，当时，恒成立．
当，即时，，．
，，而，因，故，
而在单调递增，当时，，
在上单调递减，从而当时，，不符合题意．
综上所述，，即实数的取值范围是．
题型02 恒成立求参：三角函数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)求证：时，；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见详解(2)(3)
【分析】（1）根据题意，转化为，令，利用导数求得的单调性，结合，即可得证；
（2）令，转化为在上恒成立，令在上恒成立， 求得，分、和，三种情况讨论，即可求解；
（3）由（1）（2），令，转化为在上恒成立，令在上恒成立． 分、和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）证明：时，求证等价于求证，
令，则，故在上单调递减，故，不等式成立．
（2）解：令，
因为，所以题设等价于在上恒成立，即在上恒成立，
可得，且，．
（i）当时，在上，，故，所以，符合题意；
（ii）当时，在上恒成立，故在上单调递增，故，所以，符合题意；
（iii）当时，，，
故必存在，使得，且当时，，
故在上单调递减，故在上，不符合题意．
综上所述：实数a的取值范围是．
（3）解：由（1）知：在上恒成立．
由（2）知：当时，，即在上恒成立．
令，
因为，所以题设等价于在上恒成立，
即：在上恒成立．
（i）当时，在上，，故，所以，符合题意；
（ii）当时，，
令，，
则
，
所以在上单调递增，所以，故，所以，
符合题意；
（iii）当时，，
当且时，，故，不符合题意．
综上所述：实数的取值范围为．
【典例1-2】（2023上·全国·高三期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数a使得对恒成立，求a的最大整数值.
【答案】(1)(2)(3)-2
【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；
（3）依题意，将不等式等价转化为在R恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值的范围，进而求解.
【详解】（1），，
，，所求切线方程为，即，
所以切线方程为.
（2）令，则，当时，，在上单调递增.
又，，，使得.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，，
所以函数在区间上的最大值为.（3）不等式恒成立等价于恒成立,
令，当时，，恒成立,
当时，令，则,当时，，单调递减；
当时，，单调递增，，
当时，；当时，，的值域为,
，，，所以a的最大整数值为-2.
【变式1-1】（2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增(2)
【分析】（1）求导函数，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性；
（2）由题意，构造函数，利用导数研究函数的单调性，多次构造函数，通过导数研究单调性以及特殊点，即可求解.
【详解】（1），则，
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由题意得对任意恒成立，令，则.
若，当时，.令，则，
所以在区间上单调递增，且，
即，令，则，
所以在区间上单调递增，且，即，
所以当时，，则，
所以在区间上单调递增，且，即恒成立.
当时，，存在实数，使得，均有，
则在区间上单调递减，且，不符合题意.
综上，实数的取值范围是.
【变式1-2】（2023上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知函数为其导函数．
(1)求在上极值点的个数；
(2)若对恒成立，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用指数函数的单调性与三角函数有界性分段讨论 的符号，由此得函数的单调性与极值；
（2）先探求恒成立的必要条件，再证明其充分性.充分性的证明先构造函数，再利用导函数研究函数单调性，结合（1）结论可证.
【详解】（1）
①当时，，所以，，则，
所以在单调递增；
②当时，则，
设，则，
且，，则，所以在单调递减，
又，故存在，使得，即，
且在上，，在上，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，所以，又，
所以，故在上单调递减；
④当时，则，所以，又，
所以，当且仅当时取等号，所以在上单调递增；
⑤当时，则，，
所以，在上单调递增；
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以在上仅有个极值点.
（2）当时，恒成立，即.
令，若对恒成立，由，，
所以当时，取得最小值.由，
则为函数的极小值点，故，解得.
下面证明：当时，为函数的最小值点，，
令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，且，
所以当时，的最小值为，则恒成立，即在上恒成立，
所以即在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，即恒成立，符合题意.综上所述，.
题型03恒成立求参：双变量型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数，当有两个极值点时，总有成立，求实数的值．
【答案】(1)单调递增，单调递减(2)
【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）求出，由有两个不等实根，结合判别式韦达定理得且，所以．不等式中消去得关于的不等式，分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论．
【详解】（1）时，函数的定义域为由解得．
当时，在单调递减；
当时，在单调递增．
（2），则．
根据题意，得方程有两个不同的实根，
，即且，所以．
由，可得又
总有对恒成立．
①当时，恒成立，此时；
②当时，成立，即
令函数，则在恒成立
故在单调递增，所以．
③当时，成立，即
由函数，则，解得
当时，单调递增；当时，单调递减又，当时，所以．综上所述，．
【典例1-2】（2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数，其中.
(1)讨论函数在上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求出，分、讨论，可得答案；
（2）由零点存在定理可知，而题设，消去a可得，令，且，求出，，将其代入得，再利用导数分、讨论可得答案..
【详解】（1）由知，
1）当时，且有，，单调递增，故无极值；
2）当时，有，，单调递减，而，，单增，故，无极大值.综上，当时，无极值；
当时，极小值为，无极大值；
（2）由（1）可知当时，，，且，
由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得
，令，且，即，，
将其代入，整理可令得，而，
1)当时，且，有，单调递增，，满足题设；
2)当时，且，有，单调递减，，不满足题设；
综上，的取值范围为.
【变式1-1】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数的极值点；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.
【答案】(1)1(2)(3)
【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可求函数的极值点.
（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
（3）首先根据有个不同的极值点求得的一个范围，然后化简不等式，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
当时，，时，，所以函数在区间单调递增，在区间单调递减，
所以函数在处取得极大值，函数的极值点为1；
（2）函数的定义域为，不等式恒成立，即在上恒成立，
记，则，得到在区间上单调递减，
在上单调递增，则，即在区间上恒成立，
分离变量知：在上恒成立，则，
，由前面可知，当时，恒成立，即，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以，所以．
（3），设曲线图象上任意一点，
所以曲线在点处的切线方程为，
将代入得，故切点为，过的切线方程为，
所以直线和曲线相切，并且切点坐标为，
所以当且仅当时，方程有两个不相等的实根，，并且，
从而当时，有三个极值点，，，并且，，，
取对数知：，，即，，
则
．构造，
在时恒成立，
则在区间上单调递增，且，
从而的解为，
综上所述．
【变式1-2】（2023下·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）根据导数与单调性的关系可直接求解；
（2）先根据（1）的结论和韦达定理把化简为，然后通过比值代换构造新函数，再通过研究新函数求出结果.
【详解】（1）的定义域是，因为，
所以，令，则.
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增.
②当，即时，由，得或；
由，得，
在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上单调递减，所以，
，则
，
令，则，，所以在上单调递减，
又，且，
所以，由，
又在上单调递减，所以且，所以实数的取值范围为.
题型04 恒成立求参：整数型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知．
(1)若恒成立，求实数的取值范同：
(2)设表示不超过的最大整数，已知的解集为，求．（参考数据：，，）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得函数的最小值，进而可得参数范围；
（2）由，可得，分情况讨论该不等式是否有解，可得，进而可得.
【详解】（1）由，得，令得，当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，因为恒成立，所以，即，解得；
（2）由，得，则，
设函数，，令，可得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，即，则当时，即时，
由（1）得在单调递增，恒成立，且当时，；
当时，即时，由（1）知在单调递减，，不符合题意；
当时，易知有解；
因为的解集为，则，所以，即．
【典例1-2】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，，为自然对数底数．
(1)证明：当时，；
(2)若不等式对任意的恒成立，求整数的最小值．
答案】(1)证明见解析；(2)4.
【分析】（1）记，利用导数研究单调性，结合可证；
（2）构造函数，根据确定，再构造函数，利用导数求函数的最大值，结合（1）中结论即可确定a的最小值.
【详解】（1）记，则，
所以在上单调递增，又，
所以，当时，，即.
（2）令，由题可知，当时，恒成立.
因为，所以，因为，所以，即，
所以，因为，所以.
当时，，故.
当时，不等式等价于，
设，由（1）知，，
，记，
易知，在上单调递减，且，
所以，当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减.
故当时，取得最大值.
所以，在区间上恒成立，所以，整数的最小值为4.
【变式1-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知函数，.
(1)若，求函数值域；
(2)是否存在正整数a使得恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由题设，对其求导，利用导数研究单调性，再根据区间单调性求值域即可；
（2）问题化为在上恒成立，构造，讨论、、，并应用导数研究单调性，进而判断函数值符号，即可求参数取值.
【详解】（1）由题设，则，
若，则，，可得，递增；
若，则，，可得，递减；
又，综上，，值域为.
（2）由，，则，
令，，则，且，
当，，（舍）；
当，则，故，
令，则
，
又，对于，有，即递增，
所以，故恒成立，
所以，即在上递增，又，则，
所以在上递增，又，即，，符合题意；
当，令，则，，
所以（舍）；
综上，正整数a的取值集合.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求k的值；
(2)若，且时，恒有，求k的最大值．
（参考数据：）
【答案】(1)1或9(2)7
【分析】（1）求出在点处的切线方程为，从而设出，由，得到方程组，求出k的值；
（2）参变分离得到当时，恒成立．构造函数，求导得到其单调性，结合隐零点得到，结合，求出，从而求出k的最大值.
【详解】（1）∵，∴，，从而得到，
∴函数的图象在点处的切线方程为，即．
设直线与的图象相切于点，
从而可得，，又，∴，解得或，
∴k的值为1或9．
（2）由题意知，当时，恒成立，等价于当时，恒成立．
设，则，
记，则在上恒成立，
∴在上单调递增．又，
，
∴在上存在唯一的实数m，且，使得①，
∴当时，，即，则在上单调递减，
当时，，即，则在上单调递增，
∴当时，，
由①可得，∴，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
其中，
，
∴，又，∴k的最大值是7．
题型05恒成立求参：三角函数型整数
【典例1-1】（2020·云南昆明·统考三模）已知．
（1）证明：；
（2）对任意，，求整数 的最大值．
（参考数据：）
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解析】（1）求导得到单调区间，计算得到证明.
（2）令，则，计算得到，再证明恒成立即可，令，证明在上单调递增，计算得到答案.
【详解】（1），则，令，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以，所以．
（2）由恒成立，令，则，由，得整数，
因此．下面证明对任意，恒成立即可．
由（1）知，则有，由此可得：
，
令，则，
设，又，所以单调递增，
当时，，在上单调递增．
故当时，，所以恒成立，
综上所述：整数 的最大值为2．
【典例1-2】（2020上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，.
（1）若，求函数在上的单调区间；
（2）若，不等式对任意恒成立，求满足条件的最大整数b.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）3；
【解析】（1）利用导数研究函数的单调区间即可；
（2）根据分析知在上恒成立，分类讨论参数
，当时不等式恒成立，时，不能恒成立，时，上恒成立，在也要恒成立则必须要，有，结合基本不等式即可求的范围，进而得到最大整数值.
【详解】（1）当时，，
，而时，，∴时，在上单调递增，
时，在上单调递减；综上，在上单调递增，在上单调递减；
（2），，令由知：
，时，而知，
∴，使在上单调增，在上单调减；而，
∴在上恒成立.∴当时，有恒成立.
当时，有恒有，令即，
∴上，而在上，令，
，即单调减，又，
所以使，即上，单调增，上，单调减，
∴综上，，使在上单调增，上单调减；又，
1、时，在上单调减，上单调增，且，故此时不能保证恒成立；
2、时，上恒成立；在上要使恒成立，
令，有恒成立，
所以只要单调递增即可，有成立，
即
综上，知：时不等式对任意恒成立，故.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，为的导函数．
(1)讨论在区间内极值点的个数；
(2)若，时，恒成立，求整数的最小值．
【答案】(1)答案见解析；(2)1.
【分析】（1）对函数进行求导得出，令，求导得，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性和极值，从而求得在区间内极值点的个数；
（2）由，时，恒成立，求得，进而证明时，在，恒成立，利用放缩法得到，设，，，从而得出，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得，即恒成立，由此确定整数的最小值.
【详解】（1）解：由，得，
令，则，，，，
当时，，单调递增，即在区间内无极值点，
当时，，，故，
故在单调递增，又，，
故存在，使得，且时，，递减，
，时，，单调递增，故为的极小值点，
此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；
综上：当时，在区间内无极值点，当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点．
（2）解：若，时，恒成立，则，故，
下面证明时，在，恒成立，，时，，故时，，
令，，，故，
令，则，在区间，单调递增，
因为，，所以在上存在零点，
且时，；时，，故在上为减函数，在上为增函数，
又，，，
故存在，，使得，且，时，，递增，
，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，
，，，故单调递减，
故，时，即成立，综上，若，时，恒成立，则整数的最小值1
【变式1-2】（2023·云南保山·统考二模）设函数，
(1)求在区间上的极值点个数；
(2)若为的极值点，则，求整数的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求得，令，可得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性，结合极值点的概念，即可求解；
（2）由题意得到，化简，令，转化为，记，求得，当和，两种情况求得函数的单调性，结合和（1）中的极值点，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得，令，可得，①当时，，单调递增，无极值点；
②当时，，单调递减，又，，故存在唯一，使得，
当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，有极大值点，综上可得，在区间上有1个极值点.
（2）解：若为的极值点，则，即，
由，
令，，即.
记，即，则，
①当时，，故在上单调递增，所以，符合题意；
②当时，若，
则，故在上单调递减，
由（1）这在区间上存在极值点，记为，则，
故，不符题意，综上可得，整数的最大值为1.
/题型06“能”成立求参：常规型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.
注：为自然对数的底数.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求出函数的导数，对讨论，分为和两种情形，通过导数与0的关系可判断单调区间；
（2）依题转化为，设，即，，应用导数求最值，对对讨论，分为和，三种情形讨论即可求解.
【详解】（1）∵，定义域为，∴，
当时，∴，∴的递增区间是；
当时，由，得，∴的递增区间是，
，得，递减区间是；
（2）∵，∴，∴，
设，∴，
当，，在上单调递增，∴，，不符合题意，
当，则存在唯一的，使得.
当，使得，当，使得.
当，单调递减，当，单调递增，
∴，∴，这与矛盾.当，，在上单调递减，
∴，∴，综上，
【典例1-2】（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知函数，是的导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若存在实数使成立，求的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)
【分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）分类讨论求解函数的最大值，然后利用有解问题转化求解即可.
【详解】（1），所以，
令，得，令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），则，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
所以，所以在上单调递减，
所以，不符合题意；
当时，令得，令得，
所以在单调递减，在单调递增.
当时，，所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当时，，所以在单调递减，在单调递增，，所以，若，即，则在[0，1]上单调递减，
所以，不符合题意；
若，即，则存在，使，
所以在单调递减，在单调递增，
若存在使成立，则，
解得，所以.综上：的取值范围为.
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在，使得，求实数的最小值．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）根据题意，求导得，然后分类讨论，即可得到的单调区间；
（2）根据题意，分离参数可得，构造函数求其最小值，即可得到结果.
【详解】（1）因为，
所以的定义域为．
当时，；
当时，令，解得或（舍去），
所以当时，，当时，．
综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）若存在，使得，则存在，使得成立，
令，令，则，
当时，，即在单调递减，
当时，，则 在单调递增，
所以在取得极小值，即最小值，所以，即在上恒成立，
即存在，使得成立，即．
令，则，
令，所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，所以函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的最小值为．
【变式1-2】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)
【分析】（1）根据导数的性质进行求解即可；
（2）根据导数的性质，结合导函数零点之间的大小关系分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）时，，.
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）函数的定义域为，，由已知可知，
∴.
①当时，则，则当时，，∴函数在单调递增，
∴存在，使得的充要条件是，即，
解得；
②当时，则，则当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
∴存在，使得的充要条件是，
而，不符合题意，应舍去.
③当时，，函数在上单调递减，又，成立.
综上可得：的取值范围是.
题型07“能”成立求参：双变量型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数，其中a≠0.
(1)若，讨论函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)f(x)在单调递增，单调递减；(2)存在；a＝.
【分析】(1)求导讨论导数正负即可判断原函数单调性；
(2)根据a的范围分类讨论函数f(x)在[0，1]上的单调性并求最大值和最小值，判断是否满足已知条件即可.
【详解】（1）时，，当时，；当时，，
∴f(x)在单调递增，单调递减；
（2）存在满足条件的实数a，且实数a的值为．理由如下：，
(i)当时，，∴f(x)在[0，1]上单调递减，∴，
则，∴此时不满足题意；
(ii)当时，f(x)在单调递增，单调递减，
①当时，即，f(x)在[0，1]单调递减，同上，此时不满足题意；
②当时，即时，f(x)在单调递增，单调递减，
∴，
当时，对任意，，
∴此时不满足题意；
③当时，即，f(x)在[0，1]单调递增，，
令，易知g(x)在[0，1]单调递减，
∴，
若对任意总存在，使得，即使得，
∴，即，∴，∴，
综上所述，存在满足题意的实数a，且实数a的值为．
【典例1-2】（2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2).
【分析】（1）根据的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）根据已知等式构造函数，利用导数的性质，结合一元二次方程的求解根公式判断该函数的单调性，再通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）函数的定义域为，．
当时，，在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
又，则．
令，即方程在上有解．令，，
则，．，当时，，在上单调递减，
又，则在上恒成立，不合题意；
当时，，令，可知该方程有两个正根，
因为方程两根之积为1且，所以．
当时，，
当时，；
则时，，
而．
令，则，
令，，
则在上单调递减，，
则在上单调递减，，即，
故存在，使得，故满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)(2)答案见解析(3)
【分析】（1）由题意可得出，可求得实数的值；
（2）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（3）分析可知当时，有，分析两个函数的单调性，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：，则，其中，
由题意可得，即，解得．
（2）解：函数的定义域为，则.
①当时，对任意的，，
由，可得；由，可得，此时函数的增区间为，减区间为；
②当时，则，由可得；由可得或.
此时函数的减区间为，增区间为、；
③当时，对任意的，且不恒为零，此时函数的增区间为，无减区间；
④当时，则，由可得；由可得或.
此时函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（3）解：对任意，均存在，使得，
所以，当时，有．在的最大值．
由（2）知：①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，此时；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故，
由，知，所以，，则，则.
综上所述的取值范围是．
【变式1-2】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．
【答案】(1)最大值为，最小值为；(2).
【分析】（1）利用导数研究的区间单调性，进而确定端点值和极值，比较它们的大小，即可得最值；
（2）将问题转化为、上，利用二次函数性质及导数求函数最值，即可得结果.
【详解】（1）由题设，则，
所以在上，递增，在上，递减，
则，极大值，综上，最大值为，最小值为.
（2）由在上，
根据题意，只需即可，由且，
当时，，此时递增且值域为R，所以满足题设；
当时，上，递增；上，递减；
所以，此时，可得，
综上，a的取值范围.
.
题型08 “能”成立求参：正余弦型
【典例1-1】（2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习）函数.
（1）求证：函数在区间内至少有一个零点；
（2）若函数在处取极值，且，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由零点存在定理进行论证；
（2）先由极值定义得，再分离参变得，转化为求函数最大值，利用导数不难得为单调减函数，因此，即得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，从而，
，若，则，
所以函数在区间内至少有一个零点；若，则，
所以，又函数在区间上连续不断，
所以由零点存在定理可知函数在区间内至少有一个零点；
综上：函数在区间内至少有一个零点；
（2）因为，所以，又函数在处取极值，
所以，即，解得，
当时，，，
当时，，递增；
当时，，递减；
所以时，函数在处取的极大值，所以，，使得成立，
即等价于，
令，，则，，
，，
即（等号在和处取等），所以在上单调递减，，
所以，又，所以，所以实数的取值范围是
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x+2﹣2csx
（1）求函数f（x）在[，]上的最值：
（2）若存在x∈（0，）使不等式f（x）≤ax成立，求实数a的取值范围
【答案】（1）f（x）min＝2，f（x）max＝2；（2）（1，+∞）．
【分析】(1)求导后分析导数的正负再求得函数的单调性与最值即可.
(2)设,再代入,求导得的值域为,再根据的范围进行讨论,分析的最大值即可.
【详解】（1）f'（x）＝1+2sinx,当x时,由f'（x）＜0得,,由f'（x）＞0得,,
∴函数f（x）在[,）上单调递减,在（,]上单调递增,
∴f（x）min＝f（）＝2,f（x）max＝f（）＝2；
（2）存在x∈（0,）使不等式f（x）≤ax成立,即x+2﹣2csx＜ax成立,
设g（x）＝f（x）﹣ax＝x+2﹣2csx﹣ax,则g（0）＝0,g'（x）＝1+2sinx﹣a,
当x∈（0,）时,1+2sinx∈（1,3）,所以g'（x）∈（1﹣a,3﹣a）,
由于1﹣a≥0即a≤1时,g'（x）＞0,则g（x）＞g（0）＝0,即f（x）＞ax恒成立,不满足题意,
故1﹣a＜0,即a＞1,此时g'（0）＝1﹣a＜0,因为g'（x）＝1+2sinx﹣a在（0,）上单调递增,
所以存在区间（0,t）⊆（0,）,使x∈（0,t）时,g'（x）＜0,
所以g（x）在（0,t）上单调递增,则当x∈（0,t）时,g（x）＜g（0）＝0,即f（x）＜ax,
所以实数a的取值范围是（1,+∞）．
【变式1-1】（2020·四川泸州·统考二模）已知函数.
（1）求证：当x∈(0,π]时，f(x)<1；
（2）求证：当m＞2时，对任意x0∈(0,π] ，存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.
【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析
【分析】（1）变换得到，设，求导得到最值得到答案.
（2）只需要求出f（x）在（0，π]上的值域，然后研究g（x）的单调性是先增后减或先减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含f（x）的值域即可.
【详解】（1），，即，设，
则，函数单调递减，故，即，得证.
（2）f（π）＝0，当时，，故f（x）的值域为[0，1）.
又因为g′（x），x∈（0，π]，m＞2.
令∈（0，1）.显然y＝mx﹣2是增函数.
∴时，g′（x）＜0，g（x）递减；，g′（x）＞0，g（x）递增.
此时g（x）min，（m＞2）.将上式化简并令r（m）＝2lnm﹣m+2﹣2ln2，m＞2.
∵，∴r（m）在（2，+∞）上递减.所以r（m）＜r（2）＝0，故g（x）min＜0.
显然当x→0时，g（x）→+∞，即当时，g（x）递减，
且函数值取值集合包含f（x）的值域[0，1）；
而g（π）＝（π﹣1）m﹣2lnπ＞2（π﹣1）﹣2lnπ＝2（π﹣1﹣lnπ）＞2（3﹣1﹣lnπ），
∵，∴，即当x时，g（x）递增，且函数值取值集合包含f（x）的值域[0，1）.
所以当m＞2时，对任意x0∈（0，π]，存在x1∈（0，π]和x2∈（0，π]（x1≠x2）
使g（x1）＝g（x2）＝f（x0）成立.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）若在处的切线为，求的值；
（2）若存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）因为在处的切线为，即：，所以 .
（2）通过分离参数，转化为，进而求导，判断单调性，即可得出答案.
【详解】（1）由题意得： ，又因为在处的切线为
所以，所以 .
（2）存在，使得 ，又因为，所以.
所以在上有解.设 ，即：在上有解在上有解.
设
所以又因为，所以 ， .故
所以， ，所以在上单调递增.即在上单调递增.
又因为 ，所以，故
所以在上恒大于0.所以在上单调递增.
故所以
题型09 零点型求参：常规型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)，.(2)或.
【分析】（1）利用奇偶性求，通过解方程组法可得；
（2）利用对数函数性质化简方程（去对数号），再换元设，转化为关于的方程只有一个大于0的根，然后分类讨论可得参数范围．
【详解】（1）因为，①
所以，
又因为函数为上的偶函数，为上的奇函数，
所以，②
由①②得，.
（2）若函数在上只有一个零点，
则在上只有一个根，
则在上只有一个根，令，
则方程正根有且只有一个，
当，即或（舍）时，方程的根为，符合正根有且只有一个；
当且，即且，若正根有且只有一个，
则，解得：；当时，方程的根为，符合正根有且只有一个；
综上所述：或.
【典例1-2】（2023上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若函数无零点，求的取值范围；
(3)设，（其中实数）．若函数有且只有一个零点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义及对数的运算即可求解；
（2）先结合（1）得到，则函数无零点等价于与无交点，进而即可求出的取值范围；
（3）依题意可得，设，，则(*)，再分，，三种讨论问题等价于关于的（*）方程有唯一实根，进而即可求出的取值范围．
【详解】（1）由是偶函数，则对于，都有，
即，
即，即，即，所以，解得．
（2）结合（1）知，所以，即，
又，则，令，即，
因为无零点，即关于的方程无解，即与无交点，所以，
即当时，无零点，故满足条件的的取值范围是．
（3）由函数的零点即方程的根，
而，，
，设，，则(*)，
令，，又，则，
①当时，则，所以问题等价于关于的（*）方程在有唯一实根；
又因为，，则由二次函数图象可知只需且，得；
②当时，则，得，不合题设；
③当，则，所以问题等价于关于的（*）方程在时有唯一实根；
又因为，则由二次函数图象可知只需且，无解．综上，．
【变式1-1】（2023上·江苏南通·高三统考期中）已知．
(1)试判断函数的单调性；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)或
【分析】（1）求导，讨论，两种情况，由导数得出其单调性；
（2）将的零点问题化为函数零点问题，讨论、、、，由其单调性结合零点个数得出实数a的取值范围．
【详解】（1）解：，所以
当时，因为，所以函数在上为增函数
当时，函数在上为减函数，在上增函数
综上所述：①当时，函数为增函数；
②当时，函数在上为减函数，在上为增函数
（2）若函数有且只有一个零点，则函数有且只有一个零点，且，
由（1）知：当时，函数为增函数，此时只有一个零点，满足题意
当时，
①时，因为函数在上为减函数，所以，
因为，因为函数在上为增函数，
所以唯一，使，所以函数恰有两个零点，不满足题意
②时，因为函数在上为增函数，所以，
，
因为，函数在上为减函数，
所以唯一，使，所以函数恰有两个零点，不满足题意
③时，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，函数有且只有一个零点，满足题意．
综上所述：实数的取值范围为或
【变式1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求的最小值；
(2)若函数有且只有一个零点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）求导，根据函数在上单调递增，可得在恒成立，进而可得出答案；
（2）函数有且只有一个零点，令，则曲线与直线的图象只有一个交点，利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解.
【详解】（1），
函数在上单调递增，
在恒成立，故，得，的最小值为；
（2），函数有且只有一个零点，
即方程只有一个根，令曲线与直线的图象只有一个交点，
，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，上单调递减，
又，，当时，，当时，，
如图，作出函数的大致图象如下所示：
曲线与直线的图象只有一个交点，，
即的取值范围为．
题型10 零点型求参：双零点型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线过原点的切线的方程．
(2)若有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据函数解析式，求导，设出切点，写出切线方程，代入已知点，建立方程，可得答案；
（2）根据函数解析式，以分子的代数式构建新函数，求导利用分类讨论思想，结合隐零点的解题方法，可得答案.
【详解】（1）当时，．设切点为．
因为，所以，所以切线方程为．
将原点的坐标代入，可得，整理，得．
解得．故曲线过原点的切线的方程为．
（2）函数的定义域为．
令，则有两个零点等价于有两个零点．
易得．
当时，，
所以在上单调递增，则至多有一个零点，因此．
令，则，所以在上单调递增．
因为，，所以存在，使得，则．
所以当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增．
因此，．
由，得，则，
故．
当时，，则在上没有零点．
当时，，则在上只有一个零点．
当时，．
因为，所以，所以．
因为，
所以在上有且只有一个零点，即在上有且只有一个零点．
易得．
设，则．
易知在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，
所以，所以在上有且只有一个零点，即在上有且只有一个零点．
综上可知，实数的取值范围为．
【典例1-2】（2023·四川泸州·统考一模）已知函数，且恒成立．
(1)求实数的最大值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当时显然成立，当时利用导数说明函数的单调性，分和两种情况讨论，结合零点存在性定理说明不成立，即可求出的取值范围；
（2）求出函数的导函数，令，则，令，再分、两种情况讨论，当时令，解得，，再分、、三种情况讨论，结合函数的单调性与零点存在性定理计算可得.
【详解】（1）当时，因为，所以，则，
所以，符合题意；
当时，令，，
则，所以在上单调递减，所以，
当时，则在上单调递减，所以，符合题意，
当时，，
所以存在使得，所以当时，
则在上单调递增，所以，不符合题意，
综上可得的取值范围为，故的最大值为.
（2）因为，，
则，
令，则，令，
当时则当时，当时，即当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，所以在上至多有一个零点，不合题意；
当时令，解得，，
当，即时在上恒成立，所以当时恒成立，
即在上单调递增，所以，不合题意；
当，即时，时，时，
所以，，即时，
当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以，（其取不到），因为，，
所以当，即时，，则在上没有零点，不符合题意；
当，即时，，，
所以在和上各有一个零点，符合题意；
当，即时，当时，当时，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，所以在上至多有一个零点，不合题意；
综上可得实数的取值范围为
【变式1-1】（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程;
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）根据切线的几何意义得到，根据点斜式可得到方程;
（2）对进行求导，然后分，和且三种情况研究其单调性，判断最值的符号，结合零点存在定理即可
【详解】（1）因为，其定义域为，
因为，所以，所以，所以
又，所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）由题意知，且其定义域为，易知，且，当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，不可能有2个不同零点，不合题意;
当时，令，则，故在上单调递减，
当时，，且，
所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，且，此时函数仅有一个零点，不合题意.
当且时，，
所以存在唯一的，使得，即，所以，
当时，，即;当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
又，所以.
设，则，
当时，;当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
于是，所以(当且仅当时等号成立)，
因为，所以，所以，
又在上单调递增，在上单调递减.
①当时，由，令，显然在上单调递增，
因为，所以，又，
所以，且由可得，
令，则，可得，
所以在上，单调递减，从而，即.
所以，从而在内必有另一个零点，故此时有两个零点.符合题意.
②当时，所以，
因为在定义域内是单调递增函数，且当时，，
所以，此时时，时，，
设，可得.
令，
所以在上单调递减，从而，故，
从而，且当时，存在，使得，
也即当有两个零点.综上，所求实数的取值范围是.
【变式1-2】（2023下·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.(2).
【分析】（1）求出函数的导数，分和两种情况进行讨论，当时，根据导数等于0，求得根，从而再讨论根的大小，判断函数的单调性；
（2）分和，三种情况进行讨论函数的单调性，判断零点情况，当时，结合函数单调性，求得函数最小值，根据题意列出不等式求得参数范围；当时，函数只有一个零点，时，结合函数单调性，判断极值情况，说明至多只有一个零点，不符合题意，综合可得答案.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，
则，
（i）当时，恒成立，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在单调递增，
（ii）当时，令，解得，或， (舍去），
当，即时，，函数在上单调递减，
当时，即，
当,或时，，函数在，上单调递减，
当时，，函数在单调递增，
当时，即，
当时，，函数在递减，
当时，，函数在单调递增，
综上所述：当时，函数在上单调递减，在单调递增，
时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在，上单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递减，在单调递增，而，
令，则在成立，故在单调递减，
所以，且趋向于时，趋向于，即趋向于，
又在上恒负，且趋向于时，趋向于0，
综上，在趋向于时，趋向于，
∴函数有两个零点等价于，结合，解得 ；
当时，只有一个零点，不符合题意；
当时，函数在上单调递减，至多只有一个零点，不符合题意；
当且时，由（1）知有两个极值点，而，
又，下研究其符号：令，则，
令，则，当，，在递减，
当时，，在上单调递增，故，即在上单调递减，
当趋向于0时，趋向于0，即g(x)恒负，故，
此时，至多只有一个零点，不符合题意，综合上述，实数m的取值范围为.
题型11 零点型求参：多零点综合型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021下·重庆江北·高三校考阶段练习）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）已知函数，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，函数在R上单调递减；
当时，函数在，上递减，在上递增；
当时函数在，上递减，在上递增．
（2）.
【分析】求出导函数，得到函数的两个极值点，根据大小关系分类确定单调区间以及单调性；
分类确定和的大小，由导数求得的单调性和极值，结合函数图象，由极值的符号解不等式求得t的范围．
【详解】解：（1），
，令，得，
当时，，，故函数在R上单调递减；
当时，，故函数在，上递减，在上递增；
当时，，故函数在，上递减，在上递增．
由已知，在有且仅有一个零点，
当时，，由得，
此时有三个零点．
当时，，得，，
故函数在上递减，在上递增；，，
当时，，故在上仅有一个零点；
若函数有有三个零点，则需满足，解得；
当时，
若，则为单调函数，所以函数至多有2个零点，不合题意，舍；
若，，，故在至多有1一个零点，所以函数至多有2个零点，不合题意，舍；
，，，
当，即时，函数至多有2个零点，不合题意，舍；
当，即时，，函数恰有3个零点，符合题意；
当，即时，；
令，则，
故在单调递减，，即，
此时函数有4个零点，不合题意，舍；
综上，实数的取值范围是
【典例1-2】（2022上·广西钦州·高三校考阶段练习）已知在区间，上的值域，.
（1）求的值；
（2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）对配方，求出对称轴，讨论若时，若时，若，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求的值；
（2）由题意可得，化为，令，求出的范围，求得右边函数的最小值即可得到的范围；
（3）令，可化为有3个不同的实根，令，讨论的范围和单调性，有两个不同的实数解，，已知函数有3个零点等价为，或，，记，由二次函数图象可得不等式组，解不等式可得的范围.
【详解】（1）在区间，上的值域，.
若时，的最小值为(a)，
由，可得舍去)，满足在区间，上的值域，；
若时，在，递减，的最小值为（3），
由（3），解得(舍去)；
若，则在，递增，的最小值为（1），
由（1），解得.综上可得，；
（2）由即，
化为，令，由可得，则，，
记，，由单调递减，可得的最小值为，
则的取值范围是；
（3）令，可化为有3个不同的实根.
令，则，由，当时，，，且递减，
当时，，且递增，
当时，.当时，，且递增，
有两个不同的实数解，，
已知函数有3个零点等价为，或，，记，则或，解得或无实数解，综上可得，的取值范围是.
【变式1-1】（2020·浙江·模拟预测）已知函数.
（1）求函数的最值；
（2）已知函数，设函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）最大值为，无最小值；（2）或.
【分析】（1）求出函数导数，判断单调性，即可求出最值；
（2）利用导数讨论的范围即可求解.
【详解】（1）∵，∴，当时，，当 时，
∴在上为增函数，在上为减函数，
所以，函数在处取得最大值为，无最小值.
（2）.
①当时，须满足，∴；
②当时，，∵，，所以方程的两根，
此时函数有三个零点，符合题意；
③当时，在上递减，上递增，上递减，∴一定不符合；
（i）若，则，此时，
所以，函数有三个零点，符合题意；
（ⅱ）若，则，
此时.
（三部分都为正），所以，函数有四个零点，不符合题意；
④当时，单调减函数，故函数最多两个零点，不合题意；
⑤当时，函数的极大值，
所以，函数不可能有三个零点，不合题意.
综上所述，实数的取值范围是或.
【变式1-2】（2022上·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数.
(1)求函数的极值点；
(2)当时,当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见详解(2)
【分析】（1）求导，分情况讨论原函数的单调性，进而可得极值；
（2）求导，分情况讨论原函数的单调性，注意到，并结合零点存在性定理判断在上的零点，进而求在上的零点，即可得结果.
【详解】（1）由题意可得：，且的定义域为，
当时，则当时恒成立，故在内单调递增，即无极值点
当时，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，则有极大值点，无极小值点；综上所述：当时，无极值点；
当时，有极大值点，无极小值点.
（2）由题意可得： ，且的定义域为，
则，∵，构建，则的开口向下，对称轴，
当，即时，则当时恒成立，故在内单调递减，
则在定义域内至多有一个零点，不合题意；
当，即时，设的两个零点为，不妨设，
则有：，可得，
令，则，故在上单调递增，在上单调递减，
可得分别在内至多只有一个零点，即至多只有三个零点，
∵，故在内的零点为2，得，
对于，
构建，则当时恒成立，
则在上单调递增，且，
故，即，∴在内存在零点，即，
注意到，可得，且，
故在内存在零点，可得有三个零点，符合题意；
综上所述：当函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为.
题型12 同构型求参：x1，x2双变量同构
【解题攻略】
【典例1-1】（2019·河南郑州·统考二模）已知函数.
（1）曲线在点处的切线方程为，求，的值；
（2）若，时，，都有，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】(1)对f(x)求导，由给定的切点、切线方程列出关于a，b的方程而得解；
(2)将给定不等式等价转化，构建新函数，利用函数单调性即可求得.
【详解】（1）由题意，，切线斜率为-1，切点，
即，得，又，，即，；
（2）当，，时，，在上单调递减，
不妨令，则，原不等式即为，
即，即，
令，则在上为单调增函数，
∴有在上恒成立，
即，，令，，，
令，，∴在上单调递减，，则，在上为单调增函数，
∴，即，综上，.
【典例1-2】（2020上·河南三门峡·高二统考期末）已知函数.
（Ⅰ）若在处的切线方程为，求a的值；
（Ⅱ）若，，都有恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，依题意可知，即可求出参数的值.
（Ⅱ）由已知在区间上是增函数，函数是减函数，不妨设，由已知得，，所以，构造函数，参变分离即可求出参数的取值范围.
【详解】（Ⅰ）求导，
在处的切线方程为，即斜率为，
，即，解得.
（Ⅱ）若，，，在区间上是增函数，函数是减函数，
不妨设，由已知，，所以，
设，，
则在区间是减函数，
在上恒成立，，
令，求导在上恒成立，
单调递减，，
所以，故.
【变式1-1】（2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设，若对任意、，且，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在的符号，可得出函数的单调区间；
（2）设，由函数和在上的单调性，将不等式等价转化为，并构造函数，将问题转化为函数在上是减函数，然后由在上恒成立，结合参变量分离法可求出实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，.
当时，恒成立，此时，函数在上单调递增；
当时，由得；由得.
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）时，函数在上递增，在上递减，
不妨设，则，，
等价于，
即，令，
等价于函数在上是减函数，
，即在恒成立，
分离参数，得，
令，，在上单调递减，
，，又，故实数的取值范围为.
【变式1-2】（2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)设，，若对任意，且，都有，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案不唯一，见解析；(Ⅱ) (0，2]
【分析】（1）先求出，然后讨论在定义域内导函数符号问题. 即得函数的单调区间，
（2）先根据的单调性，以及 的单调性将转化为，进一步转化为，从而得新函数在(0，1]上是减函数，即恒成立，求出参数的范围.
【详解】(Ⅰ)
当时，函数定义域为(0，+∞)，恒成立，此时，函数在(0，+∞)单调递增；
当时，函数定义域为(一∞，0)，恒成立，此时，函数在(一∞，0)单调递增.
(Ⅱ)时，函数定义域为(0，+∞)，在(0，1]上递增，在(0，1]上递减，
不妨设，则
∴等价于即
令等价于函数在(0，1]上是减函数，
∴令即在(0，1]恒成立，分离参数，
得令，.∴在(0，1]递减，
∴，又t∈[3，4]，∴，又，故实数的取值范围为(0，2].
.题型13 虚设零点型求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·河南安阳·统考二模）已知函数，．
(1)若曲线有两条过点的切线，求实数m的取值范围；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值集合．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设切点坐标，对函数求导，写出切线方程将点代入后根据已知条件建立不等式求解即可；
（2）构造函数对函数求导，再由不等式恒成立等价出问题，利用函数导数的单调性进行分析求解即可.
【详解】（1）设切点坐标为．因为，所以切线方程为，
将代入，可得．因为曲线有两条过点的切线，
所以，解得或，故实数的取值范围是．
（2）设，则．
当时，，单调递增，又,因为当时，，
当时，，所以不恒成立．
当时，设，则，所以在上单调递增，
又当且时，，当时，，故，使得，
当时，，，当时，，．
因为，所以．故
．因为，所以只需．
设，则．当时，，当时，，
所以，所以．所以，故，
所以，，所以，故实数a的取值集合为．
【典例1-2】（2023·天津河北·统考一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.
【答案】(1)；(2)递减区间是，递增区间是；(3)3.
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）利用导数求出的单调区间作答.
（3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是.
（2）函数的定义域是，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3），，
令，求导得，
由（2）知，在上单调递增，，，
因此存在唯一，使得，即，
当时，，即，当时，，即，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，则，
所以整数的最大值是3.
【变式1-1】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数.
(1)证明：曲线在处的切线经过坐标原点；
(2)记的导函数为，设，求使恒成立的的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在处的切线方程即可证明；
（2）把不等式恒成立转化为求函数的最大值小于等于零恒成立，然后利用导数求出函数的最大值即可得结果.
【详解】（1）由已知得，所以，又，
所以在处的切线方程为，即，恒过坐标原点.
（2），定义域为，.
当时，在上单调递增，且，故不恒成立.
当时，设，则，则当时，在上单调递减，
又，因为，所以，即，
由零点存在定理知在内存在唯一零点，即，即.
当时，，于是在上单调递增，
当时，，于是在上单调递减，
所以在处取得极大值也是最大值，要使恒成立，只需.
因为，
由，解得，故所求的的取值范围是.
【变式1-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值(2)
【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；
（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.
【详解】（1）定义域为，，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，无极小值.
（2）由得：，在上恒成立；
令，则；
令，则，在上单调递增，又，，
，使得，则，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
由得：，，，，
则实数的取值范围为.
高考练场
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)
【分析】（1）已知由得，由得函数的单调性
（2）由题意可得如果在上恒成立在上恒成立，由的单调性当时，，单调递增，当时，，单调递减的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，由得，
由得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）解法一 ： 当时，，故由在上恒成立，得在上恒成立．
令，则，．
设，则．
设，则，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，
所以存在，使得，且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以，即的取值范围为．
解法二 ： 由在上恒成立，得，即．
下面证明当时，在上恒成立．
，令，
要证在上恒成立，只需证在上恒成立．
，设，则，
令，得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到极小值也是最小值，
所以，
又，，故存在，使得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，．综上，的取值范围为．
2.（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设函数.
(1)讨论在区间上的单调性；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减(2)
【分析】（1）求导得到，结合三角函数的性质与指数函数的性质得到，从而得解；
（2）构造函数，再求导得，从而利用导数得到在上单调递增且，分类讨论和即可得解.
【详解】（1）因为，，所以，
因为，所以，，则，，
即在恒成立，即在上单调递减.
（2）由题意，得当时，，即，即.
令，，则，
设，则，
当时，，，所以，
所以在上单调递增，则，
①当时，，则，所以在上单调递增，所以恒成立，符合题意.
②当时，则，且由指数函数爆炸增长性质可知，当时，，
则由零点存在定理可知，必存在正实数满足，
则当时，，在上单调递减，
此时，不符合题意.综上，的取值范围是.
3.（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．
【答案】(1)(2)答案见解析(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求导后，分类讨论，根据导数的符号可得结果；
（3）根据存在两个极值点可得，且，根据单调性可得，将化为，利用比值代换可求出结果.
【详解】（1）当时，，定义域为，所以，
所以，又，所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域是，，，
令，则．
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．
②当，即时，由，得或；
由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；
当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上是减函数．所以，
因为，所以
，令，则，
，所以在上单调递减，
又，且，
所以，由，又在上单调递减，
所以且，所以实数的取值范围为．
4.（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数
(1)若，讨论的单调性.
(2)当时，都有成立，求整数的最大值.
【答案】(1)答案见解析(2)1
【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，得到的单调性；
（2）变形得到，令，，只需，求导，结合隐零点得到的单调性和极值，最值情况，得到，从而求出整数的最大值.
【详解】（1），定义域为R，
且，
当时，恒成立，故在R上单调递增，
当时，令得，，此时单调递增，
令得，，此时单调递减，
综上：当时，在R上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题意得，在上恒成立，
因为，所以，故，令，，只需，
，令，，
则在上恒成立，故在上单调递增，
又，故存在，使得，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，
所以，故整数的最大值为1.
5.（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数．
(1)若，求证：；
(2)当时，对任意，都有，求整数的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)3
【分析】（1）将恒成立问题转化为最值问题，利用导数判断函数单调性进而即得；
（2）选特值，时，举反例验证结论不成立，从而得出，赋值，通过参数放缩与导数，来证明结论成立，即找到了整数的最大值.
【详解】（1）时，设，则，，
即在上恒成立，
在上单调增， 又，
即；
（2）时，当时，，所以．
下证符合．
时，当时，，所以当时，．
记，则只需证对恒成立．
，令，则在递减，
又，所以存在，使得，
则在递增，在递减；
又，所以存在使得，且，
所以在递增，在递减，又，所以对恒成立，
因为，所以符合．
综上，整数的最大值为3．
6.（2023上·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）已知函数．
(1)试讨论的极值点的个数；
(2)若，且对任意的都有，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）根据题意，求得，令，单调，令，求得，得到函数的单调性与最大值，进而得出答案.
（2）解法一：令，求得，得到函数的单调性，且，进而得在上单调递减，进而求得的取值范围；
解法二：由，当时，，不符合题意；当时，取得，得到有两个异号实根，分和，两种情况讨论，即可求解.
解法三：根据题意，把不等式的恒成立，转化为恒成立，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，得出在上单调递增，进而求得的取值范围.
【详解】（1）解：由函数的定义域为，可得，
令，即，令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，又当时，且；且当时，，
所以当时，无极值点；
当时，有两个极值点；
当时，有1个极值点．
（2）解法一：由，可得，且，
若，即，则，使得时，，
所以在上单调递增，所以，此时与题意不符，故，可得，
下证当时，对恒成立．
证明：令，则．
因为，所以对恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，对恒成立，
所以在上单调递减，所以，所以对恒成立．
综上所述，实数的取值范围为．
解法二：由．①当时，，不符合题意；
②当时，，令，即，可得，且两根之积为，
所以有两个异号实根，设两根为，且，
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，此时不符合题意．
若，则，即，此时在上单调递减，
所以，符合题意．综上所述，实数的取值范围为．
解法三：由．若，则，满足题意；
若，则，令，则，
令，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，所以，则在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围为．
7.（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知函数.
(1)若，设，讨论函数的单调性；
(2)令，若存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)在和上单调递减(2)
【分析】（1）先写出，求，二次求导判断的单调性，得出，从而得出在和上单调递减，需注意单调性在各个区间上分开描述；
（2）先写出，求，讨论在上的最小值，使，解出的取值范围，最后取并集即可.
【详解】（1）.∴.
令，则，令，解得，
令，解得，在上单调递增，在上单调递减.
∴，即∴在和上单调递减.
（2）函数的定义域为，，
∴.
①当时，则，则当时，，∴函数在单调递增，
∴存在，使得的充要条件是，即，
解得；
②当时，则，则当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
∴存在，使得的充要条件是，
而，不符合题意，应舍去.
③若时，，成立.综上可得：的取值范围是.
8.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对于任意的，都存在，使得成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)
【分析】（1）求出导函数，由导数的正负确定单调性；
（2）利用导数求出的最小值，问题转化为不等式恒成立，再用分离参数法分离参数后转化为求函数的最大值．
【详解】（1）由题可知函数的定义域为.
因为，则.当时，.
所以当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以的单调递增区间为的单调递减区间为.
（2）因为，所以，
又，所以，故函数在上单调递增，所以.
所以对任意的恒成立，即恒成立.所以恒成立.
令，则.
令，则，解得.
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减.
所以.所以.所以实数的取值范围是.
9.（2020·江西·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增，函数．
（1）求的值；
（2）若存在，使得成立，求m的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据函数单调性可知导函数不小于0恒成立，转化为恒成立即可求解；
（2）构造函数，求函数导数，分类讨论，得出函数的单调性，求即可求解.
【详解】（1）∵∵在上恒成立．∴恒成立，即∵，，∴，∴．
（2）令
∵，∴当时，即；
在上单调递增，∴∴
当时，即，在上单调递减，∴
∴
当时，存在使得在上单调递减，在上单调递增
∴∴，解得
综合上述：m的取值范围是
10.（2024·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性推理作答.
（2）由函数零点的意义，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的值域作答.
【详解】（1）函数，不等式，
令函数，求导得，
当时，函数单调递减，即有函数单调递增，，
当时，，则有，因此，成立，
于是函数在上单调递增，则，即，
所以当时，不等式成立.
（2）当时，由得，令，，
求导得，令，，
求导得，即函数在上单调递减，，
于是，函数在上单调递减，，
而当时，，函数在上单调递减，其值域为，
因此函数在上的值域为，则函数在上只有一个零点，当且仅当，即，
所以a的取值范围为.
11.（2022上·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数是自然对数的底数，且．
(1)若是函数在上的唯一的极值点，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】(1);(2).
【分析】（1）求出函数的导数，得到在内无变号根或无根；设，讨论的范围，求出函数的最小值，得到关于的不等式，解出即可；
（2） ，，令，讨论的范围，去掉绝对值，结合函数的零点个数，确定出的取值范围．
【详解】（1）因为， ，
所以 ，由题意是函数在上的唯一的极值点，
所以在上无变号根或无根，设，则 ，
①当，且时，，，
所以在单调递增，，符合题意，
②当时，令，得，
时，，递减，时，，递增，
所以，令 ，解得，
综上所述，实数的取值范围是；
（2）由题意， ，，
令，，时，，时，，
所以在上单调递增，在单调递减，（i）当时，， ，
所以 ，因为 ，，故，
因此在上单调递增；（ii）当时, ,,
故，
因为，，所以，即，
又，所以，因此在上单调递减；
综上，当时，，
要使函数有两个不同的零点，则 ，
所以且，
而当且时，当时， ，
又 ， ，所以 ，即在有一个零点；
当时，，
，即在内有一个零点，
综合上述可知且时，函数有两个不同的零点，
综上，实数的取值范围是．
12.（2021上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知，.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若，且在上有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1），单调递增；，单调递减，单调递增；，单调递减；（2）.
【分析】(1)求出函数的导数，按a的取值分类讨论值的符号即可得解；
(2)根据给定条件化简，并求出数a与b的关系式，再确定出在内有唯一零点，然后借助导数探讨即得.
【详解】(1)由求导得：，因时，，
当，即时，，当且仅当，且时取“=”，则在上单调递增，
当，即时，，当且仅当，且时取“=”，则在上单调递减，
当，即时，由得，
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减；
(2)依题意，，，
因，则有，
显然，即0，1是函数在上的两个零点，
又，而，当时，由(1)知在上单调递减，
，，则有存在唯一，使得，
当时，，当时，，因此，在是递增，在上递减，
函数在上的图象在x轴上方，即函数在上只有两个零点，与在上有三个零点矛盾，
于是得，此时，在上单调递减，在上单调递增，则，
令，，，
可得在递增，递减，，
即，
因在上有三个零点，则在上必有一个零点，
必存在，使得，
当或时，，当时，，
则在，上都递增，在上递减，
有，于是得在区间上存在唯一零点，即在上有三个零点，
从而得函数在内必有两个零点，则，解得，
所以实数的取值范围是
13.（2019·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）对任意的，，，恒有，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)对参数讨论使之能确定导函数的正负，从而能确定原函数的单调性；
(2)设定两个变量的大小关系，能判断绝对值符号内的式子的正负，可以清除绝对值符号带来的障碍，
再构造新函数使所要证明的不等式为两个变量的函数值的不等关系，则利用其单调性可得解.
【详解】解：（1）由题意，得.
当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为，，减区间为；
当时，函数的增区间为，，减区间为；
当时，函数的增区间为，没有减区间.
（2）不妨设，则.
又，由（1）知，函数在上单调递减，所以.
故，即.
令，则函数在上单调递增，，
即，对任意的，成立.
记，则，函数在上单调递增，
所以函数.
记，则.
注意到，，由二次函数性质知，，
即函数在上单调递增，所以，即为所求.
14.（2020秋·辽宁营口·高三营口市第二高级中学校考阶段练习）已知函数，
（1）判断函数在区间上的单调性；
（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值．
【答案】（1）减函数；（2）3.
【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；
（2）不等式，变形为，因此令，利用导数求出的最小值，即可得的取值范围，从而得到最大的正整数．
【详解】（1），
∵，∴，∴，
∴在上是减函数；
（2）当时，恒成立，即对恒成立，
，记，
则，∴在上单调递增，
又，∴存在唯一实数根，且满足
，，
由时，，时，，知的最小值是，
∴，正整数k的最大值是3．
利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
三角函数与导数应用求参：
正余弦的有界性
三角函数与函数的重要放缩公式：.
一般地，已知函数，
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
恒成立求参的一般规律
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
如果参数涉及到整数，要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号
形如的有解的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可.
一般地，已知函数，
（1）相等关系
记的值域为A, 的值域为B,
①若，，有成立，则有；
②若，，有成立，则有；
③若，，有成立，故；
（2）不等关系
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
零点常规型求参基础：
分类讨论思想与转化化归思想
数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处（极值点处）
3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。
利用导数解决有两个零点，求实数的取值范围问题，综合性强，难点在于要分类讨论参数的范围，进而判断函数的单调性，确定极值的正负问题，关键在于要多次构造函数，利用导数判断函数单调性.
三个以及三个以上零点，较复杂，综合度较大。
1、三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。
2、三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元三次函数”型。
3、如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。
双变量同构型，较多的是含有绝对值型。
1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。
2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。
不含绝对值型，可以直接调整构造函数求解
虚设零点转化技巧：
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。