苏科版八年级数学下学期专题10分式方程(原卷版+解析)(6大考点)

这是一份苏科版八年级数学下学期专题10分式方程(原卷版+解析)(6大考点)，共30页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29904" 【典型例题】 PAGEREF _Tc29904 \h 1
\l "_Tc19599" 【考点一 分式方程的定义】 PAGEREF _Tc19599 \h 1
\l "_Tc2968" 【考点二 解分式方程】 PAGEREF _Tc2968 \h 2
\l "_Tc6365" 【考点三 根据分式方程解的情况求参数的值】 PAGEREF _Tc6365 \h 4
\l "_Tc31329" 【考点四 分式方程无解问题求参数的值】 PAGEREF _Tc31329 \h 6
\l "_Tc16526" 【考点五 列分式方程】 PAGEREF _Tc16526 \h 8
\l "_Tc22985" 【考点六 分式方程的实际应用】 PAGEREF _Tc22985 \h 9
\l "_Tc1794" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1794 \h 11
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）下列方程中，是分式方程是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022秋·河北衡水·八年级校考阶段练习）下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点二 解分式方程】
例题：（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）解方程：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）解下列方程．
(1) (2)
2．（2023春·八年级课时练习）解下列方程：
(1) (2) (3)
【考点三 根据分式方程解的情况求参数的值】
例题：（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为______．
2．（2023春·重庆江津·九年级重庆市江津中学校校考阶段练习）若整数a使关于x的分式方程有整数解，使关于y的不等式组有且仅有四个整数解，则符合条件的所有整数a之和为________．
【考点四 分式方程无解问题求参数的值】
例题：（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）已知关于x的方程有增根，那么__________．
【变式训练】
1．（2022·安徽·亳州市黉学英才中学七年级阶段练习）关于x的分式方程无解，则a=______．
2．（2022·河南·上蔡县第一初级中学八年级阶段练习）若分式方程有增根，则a的值是 _____．
【考点五 列分式方程】
例题：（2023·辽宁营口·校考一模）某工厂计划生产个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的倍，因此提前天完成任务，设原计划每天生产零件个，根据题意，列方程为______．
【变式训练】
1．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）预防新冠肺炎最好的办法是接种疫苗，截至2022年5月，我国完成新冠疫苗全程接种人数超12亿．某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种30人，甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同，设甲队每小时接种人，根据题意列方程得：________．
2．（2023春·八年级单元测试）某服装厂准备加工300套“庆三八”活动演出服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服？设服装厂原来每天加工x套演出服．则列方程为：___________．
【考点六 分式方程的实际应用】
例题：（2022·辽宁沈阳·八年级期末）为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与用300元单独购买乙种果树苗的数量相同，求甲种果树苗的单价为多少元．
【变式训练】
1．（2022·湖南·宁远县第三中学八年级期中）甲、乙两个小服装厂可加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量比乙厂多25套，甲厂加工900套防护服与乙厂加工600套防护服需要的天数相同
(1)求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？
(2)已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是1500元和1200元，疫情期间，某医院紧急需要1000套这种防护服，甲、乙两厂决定合作，请问需要多少天可以完成任务，医院共需要支付多少元？
2．（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）城市绿地是指城市专门用以改善生态，保护环境，为居民提供游憩场地和美化景观的绿化用地．为建设环保宜昌，美化市民生活环境，我市积极投入公用绿地建设．2021年公用绿地建设总费用（仅含新建绿地费用和旧绿地改造费用）共5000万元，其中新建绿地费用比旧绿地改造费用多50%，旧绿地改造的面积比新建绿地的面积多5000平方米．
(1)求2021年新建绿地费用；
(2)据测算，每改造1平方米旧绿地的平均费用为每新建1平方米绿地平均费用的一半．若每改造1平方米旧绿地的平均费用和每新建1平方米绿地平均费用不变，预计2022年旧绿地改造的面积比上一年减少3000平方米，新建绿地的面积比上一年增加6000平方米，求2022年公用绿地建设总费用．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·河南开封·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3B．0或3C．7D．
3．（2023·广西南宁·校考一模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·重庆南川·八年级统考期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2023·河南新乡·统考一模）分式方程的解为_________．
6．（2023春·八年级单元测试）当关于x的方程的解为时，m的值为______．
7．（2023·湖北荆州·统考一模）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_______．
8．（2023·山西晋城·统考一模）山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1．5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为__________．
三、解答题
9．（2023春·八年级课时练习）解方程：
(1) (2)
10．（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）解方程：
(1) (2)
11．（2023秋·陕西商洛·八年级统考期末）解下列分式方程：
(1) (2)
12．（2023春·八年级课时练习）2022年10月12日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奧秘的兴趣。某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入、两款物理实验套装，其中款套装单价是款套装单价的1.5倍，用12000元购买的款套装数量比用7500元购买的款套装数量多5套，求、两款套装的单价分别是多少元．
13．（2023春·八年级课时练习）已知关于的分式方程.
(1)当时，求方程的解.
(2)若关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围.
14．（2023春·八年级课时练习）阅读材料：关于x的方程：的解为：，；的解为：，；（可变形为的解为：，；根据以上材料解答下列问题：
(1)①方程的解为____；
②方程的解为_______．
(2)解关于x的方程：．
15．（2023·福建漳州·统考一模）2022年7月19日亚奥理事会宜布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
16．（2022秋·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考开学考试）某书店为了迎接“读书节”决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
(1)已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
(2)经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书按照标价8折销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
种别
A种
B种
进价（元）
18
12
备注
①用不超过16800元购进A、B两种图书共1000本；
②A种图书不少于600本；
专题10 分式方程
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29904" 【典型例题】 PAGEREF _Tc29904 \h 1
\l "_Tc19599" 【考点一 分式方程的定义】 PAGEREF _Tc19599 \h 1
\l "_Tc2968" 【考点二 解分式方程】 PAGEREF _Tc2968 \h 2
\l "_Tc6365" 【考点三 根据分式方程解的情况求参数的值】 PAGEREF _Tc6365 \h 4
\l "_Tc31329" 【考点四 分式方程无解问题求参数的值】 PAGEREF _Tc31329 \h 6
\l "_Tc16526" 【考点五 列分式方程】 PAGEREF _Tc16526 \h 8
\l "_Tc22985" 【考点六 分式方程的实际应用】 PAGEREF _Tc22985 \h 9
\l "_Tc1794" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1794 \h 11
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．
【详解】解：A.该方程是一元一次方程，不符合；
B.该方程是分式方程，符合；
C.该方程是一元一次方程，不符合；
D.该方程是二元一次方程，不符合；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）下列方程中，是分式方程是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分式方程定义分析即可．
【详解】解：A.是分式方程，符合题意；
B.是一元二次方程，不是分式方程；
C. 是一元一次方程，不是分式方程；
D. 是二元一次方程，不是分式方程；
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫做分式方程），掌握分式方程的定义是解题的关键．
2．（2022秋·河北衡水·八年级校考阶段练习）下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】①的分母中含有未知数，是分式方程；
②是整式方程；
③是整式方程；
④的分母中含有未知数，是分式方程．
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
【考点二 解分式方程】
例题：（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】将两个分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：在方程两边乘以，得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
（2），
在方程两边乘以，得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴是分式方程的增根，
∴分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）解下列方程．
(1) (2)
【答案】(1)；
(2)无解．
【分析】（1）根据解分式方程步骤，即可解题．
（2）根据解分式方程步骤，即可解题．
【详解】（1）解：
方程两边同乘以得：，
化简得：，
解得：
经检验，是原方程的解．
（2）解：
方程两边同乘以得：，
化简得：，
解得：．
检验：当时，，故不是原方程得解，所以原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程得步骤是解题得关键．
2．（2023春·八年级课时练习）解下列方程：
(1) (2) (3)
【答案】(1)
(2)无解
(3)
【分析】（1）（2）（3）方程去分母化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
经检验，是原方程的解；
（2），
方程两边都乘，得，
解得：，
经检验，是原方程的增根，
故无解；
（3），
去分母，得，
去括号，得，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【考点三 根据分式方程解的情况求参数的值】
例题：（2023秋·河南许昌·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ______ ．
【答案】且
【分析】首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为负数，求出的取值范围即可．
【详解】
去分母得：，
去括号得：，
合并同类项得：，
解得：，
，
，
，即，
，
，
的取值范围：且．
故答案为：且
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为______．
【答案】且
【分析】先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于x的方程的解为正数，
∴，
∴且.
故答案为：且.
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程的解、解一元一次不等式组，解分式方程是解答的关键，注意不能产生增根所以要使．
2．（2023春·重庆江津·九年级重庆市江津中学校校考阶段练习）若整数a使关于x的分式方程有整数解，使关于y的不等式组有且仅有四个整数解，则符合条件的所有整数a之和为________．
【答案】
【分析】解不等式组得出，结合题意得出，解分式方程得出，结合题意得出或或2，进而得出所有满足条件的整数a的值之和，即可得出答案．
【详解】解：解不等式组，得：，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴，即，
∴，
解分式方程，得：，
∵x为整数，且，
∴为整数，且，即，
∴或或2，
∴所有满足条件的整数a的值之和是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
【考点四 分式方程无解问题求参数的值】
例题：（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）已知关于x的方程有增根，那么__________．
【答案】
【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得k值．
【详解】解：，
去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，
解得．
把代入整式方程
无解．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及增根问题，解题的关键是熟知分式方程的解法．
【变式训练】
1．（2022·安徽·亳州市黉学英才中学七年级阶段练习）关于x的分式方程无解，则a=______．
【答案】4或-3##-3或4
【分析】分两种情况分别计算，①当a-4=0时，该整式方程无解，②当a-4≠0时，由分式方程无解得到增根x=0或x=3，代入整式方程即可求解．
【详解】解：去分母并整理得（a-4）x=-21，
①当a-4=0时，该整式方程无解，
此时a=4；
②当a-4≠0时，要使原方程无解，
则x（x-3）=0，即x=0或x=3，
把x=0代入整式方程，a的值不存在，
把x=3代入整式方程，得a=-3．
综合①②得a=4或a=-3．
故答案为：4或-3．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
2．（2022·河南·上蔡县第一初级中学八年级阶段练习）若分式方程有增根，则a的值是 _____．
【答案】4
【分析】先去分母，解得，根据分式方程有增根，得，即可求出的值．
【详解】解：去分母，得，
解得，
分式方程有增根，
，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
【考点五 列分式方程】
例题：（2023·辽宁营口·校考一模）某工厂计划生产个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的倍，因此提前天完成任务，设原计划每天生产零件个，根据题意，列方程为______．
【答案】
【分析】设原计划每天生产零件个，则实际每天生产零件为个，根据提前天完成任务，列方程即可．
【详解】解：设原计划每天生产零件个，则实际每天生产零件为个，根据题意，得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）预防新冠肺炎最好的办法是接种疫苗，截至2022年5月，我国完成新冠疫苗全程接种人数超12亿．某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种30人，甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同，设甲队每小时接种人，根据题意列方程得：________．
【答案】
【分析】设甲队每小时接种人，则乙队每小时接种人，根据甲队接种2250人与乙队接种1800人用时相同，即可得出关于的分式方程．
【详解】设甲队每小时接种人，则乙队每小时接种人，
由题意可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）某服装厂准备加工300套“庆三八”活动演出服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服？设服装厂原来每天加工x套演出服．则列方程为：___________．
【答案】
【分析】设服装厂原来每天加工x套演出服，根据按原计划加工60套所用的天数采用新技术后用的天数，列出方程即可．
【详解】解：设服装厂原来每天加工x套演出服，根据题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．
【考点六 分式方程的实际应用】
例题：（2022·辽宁沈阳·八年级期末）为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与用300元单独购买乙种果树苗的数量相同，求甲种果树苗的单价为多少元．
【答案】甲种果树苗的单价为25元
【分析】设甲种果树苗的单价为元，则乙种果树苗的单价为元，根据“用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同”列出方程并详解即可．
【详解】解：设甲种果树苗的单价为元，则乙种果树苗的单价为元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲种果树苗的单价为25元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南·宁远县第三中学八年级期中）甲、乙两个小服装厂可加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量比乙厂多25套，甲厂加工900套防护服与乙厂加工600套防护服需要的天数相同
(1)求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？
(2)已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是1500元和1200元，疫情期间，某医院紧急需要1000套这种防护服，甲、乙两厂决定合作，请问需要多少天可以完成任务，医院共需要支付多少元？
【答案】(1)甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服
(2)需要8天可以完成任务，医院共需要支付元
【分析】（1）设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工套防护服，根据“甲厂加工900套防护服与乙厂加工600套防护服需要的天数相同”列出方程并解答；
（2）根据题意列出算式进行计算即可求解．
（1）
解：设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工套防护服，根据题意得，
解得
经检验：x=50是所列方程的解．
则1.5x=75．
答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；
（2）
解：需要（天），
医院共需要支付（元）
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
2．（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）城市绿地是指城市专门用以改善生态，保护环境，为居民提供游憩场地和美化景观的绿化用地．为建设环保宜昌，美化市民生活环境，我市积极投入公用绿地建设．2021年公用绿地建设总费用（仅含新建绿地费用和旧绿地改造费用）共5000万元，其中新建绿地费用比旧绿地改造费用多50%，旧绿地改造的面积比新建绿地的面积多5000平方米．
(1)求2021年新建绿地费用；
(2)据测算，每改造1平方米旧绿地的平均费用为每新建1平方米绿地平均费用的一半．若每改造1平方米旧绿地的平均费用和每新建1平方米绿地平均费用不变，预计2022年旧绿地改造的面积比上一年减少3000平方米，新建绿地的面积比上一年增加6000平方米，求2022年公用绿地建设总费用．
【答案】(1)3000万元
(2)5900万元
【分析】（1）设2021年旧绿地改造费用为万元，则新建绿地费用为万元，根据“2021年公用绿地建设总费用（仅含新建绿地费用和旧绿地改造费用）共5000万元”建立一元一次方程即可求解；
（2）设新建绿地的面积为平方米，则旧绿地改造的面积为平方米，根据（1）中的结论，以及每改造1平方米旧绿地的平均费用为每新建1平方米绿地平均费用的一半，列出分式方程，求得面积，进而求得每1平方米平均费用，进而根据面积乘以每1平方米平均费用即可求解．
（1）
解：设2021年旧绿地改造费用为万元，则新建绿地费用为万元，根据题意得，
，
解得，
∴新建绿地费用为（万元），
答：2021年新建绿地费用为3000万元；
（2）
解：设新建绿地的面积为平方米，则旧绿地改造的面积为平方米，根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解，
则2021年新建绿地面积为平方米，改造旧绿地的面积为平方米，
∵2022年旧绿地改造的面积比上一年减少3000平方米，新建绿地的面积比上一年增加6000平方米，
∴2022年旧绿地改造的面积为平方米，
新建绿地的面积为平方米，
每新建1平方米绿地平均费用为（元），则每改造1平方米旧绿地的平均费用为（元），
∴2022年公用绿地建设总费用为万元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·河南开封·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意；
C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
2．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3B．0或3C．7D．
【答案】D
【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可．
【详解】解：
去分母，得，
∵关于x的方程有增根，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
3．（2023·广西南宁·校考一模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，
依题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．（2023秋·重庆南川·八年级统考期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据不等式组有解，得m的取值，利用分式方程有非负整数解，找出符合条件的m值，并相加得出结果．
【详解】解：由，解得：，
，
不等式组有解，
，
，
，
解得：，
关于的分式方程有非负整数解，，
且，
且，
且，
所有的值为，的和为，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
二、填空题
5．（2023·河南新乡·统考一模）分式方程的解为_________．
【答案】
【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
6．（2023春·八年级单元测试）当关于x的方程的解为时，m的值为______．
【答案】3
【分析】把代入方程中，即可求出m值．
【详解】解：把代入中，得：
，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是理解方程的解能使方程左右两边相等．
7．（2023·湖北荆州·统考一模）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合求出答案．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是负数，
∴且，
即且，
解得：且．
故答案为：且
【点睛】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．
8．（2023·山西晋城·统考一模）山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1．5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为__________．
【答案】
【分析】根据改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，列出方程即可．
【详解】解：设改良前平均每亩的产量为，则，改良后平均每亩的产量为，
由题意，得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
三、解答题
9．（2023春·八年级课时练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)此方程无解
【分析】（1）两边同乘，去括号，移项合并同类项，进行计算即可得；
（2）方程两边同乘以得，进行计算即可得．
【详解】（1）解：
两边同乘得，，
移项合并同类项得，，
解得，，
检验：当时，，
∴方程的解为：；
（2）解：
方程两边同乘以得，，
整理得，，
系数化为1得，，
检验：当时，，
则是原方程的增根，
∴方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法，解分式方程注意检验．
10．（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)原方程无解
(2)
【分析】根据解分式方程的一般步骤进行求解，方程两边同时乘以最简公分母去分母，将分式方程化为整式方程．不要忘了检验．
【详解】（1）解：方程两边同乘以得
．
解这个整式方程，得．
检验：把代入，
∴是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：方程两边同乘以得
．
解这个整式方程，得．
检验：把代入，
∴是原方程的解
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于把分式方程首先转化为整式方程，要注意最后要验根．
11．（2023秋·陕西商洛·八年级统考期末）解下列分式方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据解分式方程的基本步骤求解即可．
(2)根据解分式方程的基本步骤求解即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘，得
化简，得
解得：
经检验，是原分式方程的解
故是原方程的解．
（2）方程两边同乘以，得：，
解得：．
检验：当时，，
故是分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
12．（2023春·八年级课时练习）2022年10月12日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奧秘的兴趣。某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入、两款物理实验套装，其中款套装单价是款套装单价的1.5倍，用12000元购买的款套装数量比用7500元购买的款套装数量多5套，求、两款套装的单价分别是多少元．
【答案】款套装的单价是150元，款套装的单价是100元
【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，根据题意列出关于x的分式方程，解方程后检验即可得出结论．
【详解】设款套装的单价是元，则款套装的单价是元．
依题意得：
解得：
经检验：是原方程的解且符合题意．
∴．
答：款套装的单价是150元，款套装的单价是100元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
13．（2023春·八年级课时练习）已知关于的分式方程.
(1)当时，求方程的解.
(2)若关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)且．
【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程的即可求解；
（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：当时，
，
，
，
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
（2）
，
，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，
且，
即：且
即：且
【点睛】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键．
14．（2023春·八年级课时练习）阅读材料：关于x的方程：的解为：，；的解为：，；（可变形为的解为：，；根据以上材料解答下列问题：
(1)①方程的解为____；
②方程的解为_______．
(2)解关于x的方程：．
【答案】(1)①；②
(2)，
【分析】（1）按照题目材料找到规律即可求解；
（2）按照题目材料找到规律对方程进行变形求解．
【详解】（1）①的解为：，，
方程的解为，，
故答案为：，；
②的解为：，，
时，
或，
解得，，
故答案为：，；
（2）原方程变形为，，
由题意可得或，
解得，，
即原方程的解为，，
【点睛】此题考查了通过新定义求解分式方程的能力，关键是能准确理解并运用定义进行求解．
15．（2023·福建漳州·统考一模）2022年7月19日亚奥理事会宜布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
(2)乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【分析】（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可；
（2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解．
【详解】（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式及一次函数的应用，根据实际意义找出所含的等量关系，并正确列出分式方程及一次函数是解题的关键．
16．（2022秋·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考开学考试）某书店为了迎接“读书节”决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
(1)已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
(2)经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书按照标价8折销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元
(2)A类图书600本，B类图书400本
【分析】（1）先设出两种图书的标价，再根据购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，建立分式方程，解方程并检验即可；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，先根据总利润=A类图书的利润+B类图书的利润，表示出，再根据备注内容建立一元一次不等式组，求解即可．
【详解】（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为元，
根据题意可：，解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为元，
由题意得，，
根据题意得：，解得：，
∵，∴w随着t的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为4560元，
此时购进A类图书600本，B类图书400本．
【点睛】本题考查了列分式方程解决问题，求一次函数解析式及列一元一次不等式组解决问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
种别
A种
B种
进价（元）
18
12
备注
①用不超过16800元购进A、B两种图书共1000本；
②A种图书不少于600本；