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苏科版八年级数学下学期专题07分式及分式的基本性质(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下学期专题07分式及分式的基本性质(原卷版+解析)，共31页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1286" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1286 \h 1
\l "_Tc24120" 【考点一 判断是否是分式】 PAGEREF _Tc24120 \h 1
\l "_Tc16957" 【考点二 分式有无意义】 PAGEREF _Tc16957 \h 2
\l "_Tc6798" 【考点三 分式的值为0】 PAGEREF _Tc6798 \h 3
\l "_Tc19181" 【考点四 求分式的值】 PAGEREF _Tc19181 \h 4
\l "_Tc31366" 【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】 PAGEREF _Tc31366 \h 6
\l "_Tc9098" 【考点六 最简分式】 PAGEREF _Tc9098 \h 7
\l "_Tc21315" 【考点七 判断分式变形是否正确】 PAGEREF _Tc21315 \h 8
\l "_Tc3387" 【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 PAGEREF _Tc3387 \h 9
\l "_Tc26516" 【考点九 求使分式变形成立的条件】 PAGEREF _Tc26516 \h 11
\l "_Tc21687" 【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 PAGEREF _Tc21687 \h 12
\l "_Tc6643" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6643 \h 13
【典型例题】
【考点一 判断是否是分式】
例题：（2022·吉林长春·八年级期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·福建泉州·八年级期末）下列代数式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川遂宁·八年级期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【考点二 分式有无意义】
例题：（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）要使分式有意义，x需满足的条件是________．
【变式训练】
1．（2022·江苏南京·八年级期末）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．
【考点三 分式的值为0】
例题：（2022·河南郑州·八年级期末）若分式的值为0，则x的取值为_______．
【变式训练】
1．（2022·江苏扬州·八年级期末）当x＝_________时，分式的值为零．
2．（2022·安徽滁州·七年级阶段练习）当x的值是________时，分式的值为零．
【考点四 求分式的值】
例题：（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）若，则＝________．
【变式训练】
1．（2021·江苏泰州·八年级期中）若，则的值为________．
2．（2022·江苏淮安·八年级期末）已知，则分式的值为_______．
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式训练】
1．（2022秋·山东日照·八年级校考期末）使分式的值为整数的所有整数x的和是（ ）
A．3B．2C．0D．-2
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.
【考点六 最简分式】
例题：（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广西贺州·七年级期末）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南平顶山·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【考点七 判断分式变形是否正确】
例题：（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）若把分式中和的值都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大9倍
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）把分式中的x，y均扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的5倍D．不变
2．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
【考点九 求使分式变形成立的条件】
例题：（2023春·八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若成立，则x的取值范围是_____．
2．（2023春·八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：．______
【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）把方程的分母化为整数的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）下列分式是最简分式的是( )
A．B．C．D．
2．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）若，且，则的值是（ ）
A．B．3C．D．2
3．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）式子，，，，中是分式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
4．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）对于分式，若将x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）．
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．不变D．无法确定
5．（2022秋·江苏·七年级期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零B．无论x为何值，的值总为正数
C．无论x为何值，可能得整数值D．当时，有意义
二、填空题
7．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）分式，的最简公分母是______．
8．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为______．
9．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）要使式子有意义，则的取值范围为________________．
10．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）当x的取值满足______时，分式有意义______时，分式无意义______时，式子的值为0．
11．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如果分式的值为正数，则的取值范围是__．
12．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）关于分式的说法：①当取时，这个分式有意义，则．②当时，分式的值一定为零．③若这个分式的值为零，则．④当取任何值时，分式有意义，则．其中正确的有________．（填序号）
三、解答题
13．（2022秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
(1) (2)．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，求x的值．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）约分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
16．（2023春·八年级课时练习）当x取什么值时，分式满足下列要求：
(1)无意义
(2)有意义；
(3)值为0．
17．（2023春·八年级单元测试）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？
(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
18．（2022秋·广东广州·八年级广州市南武中学校考期末）回答下列问题
(1)若，则________，________．
(2)若，则________；
(3)若，求的值．
专题07 分式及分式的基本性质
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1286" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1286 \h 1
\l "_Tc24120" 【考点一 判断是否是分式】 PAGEREF _Tc24120 \h 1
\l "_Tc16957" 【考点二 分式有无意义】 PAGEREF _Tc16957 \h 2
\l "_Tc6798" 【考点三 分式的值为0】 PAGEREF _Tc6798 \h 3
\l "_Tc19181" 【考点四 求分式的值】 PAGEREF _Tc19181 \h 4
\l "_Tc31366" 【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】 PAGEREF _Tc31366 \h 6
\l "_Tc9098" 【考点六 最简分式】 PAGEREF _Tc9098 \h 7
\l "_Tc21315" 【考点七 判断分式变形是否正确】 PAGEREF _Tc21315 \h 8
\l "_Tc3387" 【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 PAGEREF _Tc3387 \h 9
\l "_Tc26516" 【考点九 求使分式变形成立的条件】 PAGEREF _Tc26516 \h 11
\l "_Tc21687" 【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 PAGEREF _Tc21687 \h 12
\l "_Tc6643" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6643 \h 13
【典型例题】
【考点一 判断是否是分式】
例题：（2022·吉林长春·八年级期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的形式判断即可．
【详解】解： A、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
B、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
C、是分式，故此选项正确，符合题意；
D、是多项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式，解题关键是熟记分式是的形式， A、B都是整式，B中含有字母．
【变式训练】
1．（2022·福建泉州·八年级期末）下列代数式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的定义，即可求解．
【详解】解：A、是整式，故此选项不符合题意；
B、是分式，故此选项符合题意；
C、是整式，故此选项不符合题意；
D、是整式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如（其中 为整式，其中B中含有字母且）的式子，称为分式是解题的关键．
2．（2022·四川遂宁·八年级期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：分式有：，，，，共有4个．
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式的定义，解题的关键是掌握，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
【考点二 分式有无意义】
例题：（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）要使分式有意义，x需满足的条件是________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件解答．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，
解得x≠3，
故答案为：x≠3．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，熟记条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南京·八年级期末）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．
【答案】 -1 1
【分析】根据分式有意义的条件和分式值为0的条件列方程和不等式即可得答案．
【详解】解：由题意得使分式无意义时，
则
x=-1，
当分式的值为0时，
则，
，
∴x=1．
故答案为：-1；1
【点睛】本题考查分式的值为零的条件及分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0，分式的值为0，则分子为0，分母不为0．
【考点三 分式的值为0】
例题：（2022·河南郑州·八年级期末）若分式的值为0，则x的取值为_______．
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：由题意得，，，
由得或，
由得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0，这两个条件缺一不可．
【变式训练】
1．（2022·江苏扬州·八年级期末）当x＝_________时，分式的值为零．
【答案】
【分析】首先根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，得出，进而计算出x的值即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，熟练掌握“分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零”是解本题的关键．
2．（2022·安徽滁州·七年级阶段练习）当x的值是________时，分式的值为零．
【答案】-3
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解等式或不等式即可．
【详解】解：由题意得|x|-3=0，且2x-6≠0，
解得，x=±3，x≠3，
∴x=-3．
则x=-3时，分式 的值为零．
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【考点四 求分式的值】
例题：（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）若，则＝________．
【答案】##0.125
【分析】用含b的式子表示a，再代入即把a换成含b的式子，最后约分即可．
【详解】解法一：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
解法二：设，则，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的的基本性质，会利用“设k法”求解更简便，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2021·江苏泰州·八年级期中）若，则的值为________．
【答案】
【分析】先根据已知设出a=3k，b=2k，再把a，b的值代入即可求出答案．
【详解】解：，
∴设
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的求值．此题比较简单，解题的关键是注意掌握分式的求值方法．
2．（2022·江苏淮安·八年级期末）已知，则分式的值为_______．
【答案】3
【分析】根据，可求得，，据此即可求得．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，熟练掌握和运用代数式求值的方法是解决本题的关键．
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】由x是整数，也表示一个整数，可知x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，从而得出结果．
【详解】解：∵x是整数，也表示一个整数，
∴x+1为4的约数，
即x+1=±1，±2，±4，
∴x=-2，0，-3，1，-5，3．
则整数x可取值共有6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了此题首先要根据分式值是整数的条件，能够根据已知条件分析出x+1为4的约数，是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东日照·八年级校考期末）使分式的值为整数的所有整数x的和是（ ）
A．3B．2C．0D．-2
【答案】B
【分析】由整除的性质可知，是的约数，分别求得符合题意的x值，再求和即可．
【详解】解：∵，
∵是整数，
∴或，
解得或1或2或，
所以所有整数x的和为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.
【答案】7或9
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵的值为正整数，
∴或3，
∴整数的值为7或9，
故答案为：7或9．
【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解答此题的关键．
【考点六 最简分式】
例题：（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简分式的定义“分子分母没有公因式的分式为最简分式”分析判断即可．
【详解】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，是最简分式，符合题意；
D. ，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西贺州·七年级期末）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A、原式，故A不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、原式，故C不是最简分式，不符合题意；
D、原式，故D不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
2．（2022·河南平顶山·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断分式是否是最简分式，看分式的分子分母能否进行因式分解，是否能约分．
【详解】解：A项可化简为，故错误；
B项可化简为，故错误；
C项可化简为，故错误；
D项是最简分式，故正确．
故选D．
【点睛】此题考查了最简分式，掌握分式在化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式是解题的关键．
【考点七 判断分式变形是否正确】
例题：（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【变式训练】
1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误；
B． ，故原选项错误；
C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确；
D．，故原选项错误；
故选C
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
2．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用分式的基本性质计算后判断正误．
【详解】解：，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）若把分式中和的值都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大9倍
【答案】B
【分析】根据题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分别用和去代换原分式中的和得，
，
可见新分式与原分式相等，分式的值不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）把分式中的x，y均扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的5倍D．不变
【答案】A
【分析】根据分式的性质，变形计算即可．
【详解】分式中的x，y均扩大为原来的5倍，得
，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，
∴，
∴分式的值保持不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．
【考点九 求使分式变形成立的条件】
例题：（2023春·八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
【答案】##
【分析】依据，即可得到分式变形中的整式．
【详解】解：，
分式变形中的整式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若成立，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式的性质及成立的条件可直接进行求解．
【详解】解：若成立，则有，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式成立的条件及性质，熟练掌握分式的成立的条件及性质是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：．______
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．
【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）把方程的分母化为整数的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，将方程的分母化为整数即可．
【详解】解：，
整理，得：；
故选C
【点睛】本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的分子和分母同乘同一个不为0的数，分式的值不变，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
==，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______．
【答案】
【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案．
【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10，
即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）下列分式是最简分式的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
C、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
D、该分式的分母为，所以该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，关键是理解最简分式的定义．
2．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）若，且，则的值是（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】C
【分析】先设，再求出 最后代入分式求值．
【详解】解：设，
则，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查求分式的值，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
3．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）式子，，，，中是分式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】形如“，且中含有字母”这样的代数式叫分式，根据分式的定义逐一分析判断即可．
【详解】解：式子，，，，中是分式的有
∴分式有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的概念，掌握“分式的概念”是解本题的关键．
4．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）对于分式，若将x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）．
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．不变D．无法确定
【答案】A
【分析】x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和，用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：，
∴将x，y的值都扩大到原来的3倍，分式的值扩大到原来的3倍．
故选：A
【点睛】此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
5．（2022秋·江苏·七年级期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可．
【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3，
∴a＝0或2或﹣2或4，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键．
6．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零B．无论x为何值，的值总为正数
C．无论x为何值，可能得整数值D．当时，有意义
【答案】B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
【详解】解：A．当时，无意义，故该选项不符合题意；
B．无论x为何值，的值始终为正数，则分式的值总为正数，故该选项符合题意；
C．当时，则分式，故该选项不符合题意；
D．当时，则分式有意义，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式各种结果的判断标准：分式的值是正数的条件是分子、分母同号；值是负数的条件是分子、分母异号；分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
二、填空题
7．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）分式，的最简公分母是______．
【答案】##
【分析】根据最简公分母的确定方法，求最简公分母时，将各分母分解因式，将所有的表达式都化成积的形式，系数取最小公倍数，取各式所有分母因式的最高次幂的积，确定最简公分母；
【详解】∵3和2的最小公倍数是6，的最高次幂是2，的最高次幕是3，
∴是两者的最简公分母，
故答案为：
【点睛】本题考查了最简公分母，解决本题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法步骤．
8．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为______．
【答案】10
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：∵中的，都扩大到原来的5倍，
∴．
故答案为：10
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
9．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）要使式子有意义，则的取值范围为________________．
【答案】且
【分析】根据分母不等于0，指数幂的底数不等于0列式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和零指数幂，熟练掌握分式的分母不等于0，零指数幂的底数不等于0是解题的关键．
10．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）当x的取值满足______时，分式有意义______时，分式无意义______时，式子的值为0．
【答案】 ； ； ．
【分析】根据分母不为零时分式有意义，分母为零时分式无意义，分子且分母时分式的值为0，列方程或不等式可求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
由题意得：，
解得：，
由题意得：，且，
解得：；
故答案为：，，．
【点睛】此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如果分式的值为正数，则的取值范围是__．
【答案】且
【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得．
【详解】解：分式的值为正数，且，
且，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键．
12．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）关于分式的说法：①当取时，这个分式有意义，则．②当时，分式的值一定为零．③若这个分式的值为零，则．④当取任何值时，分式有意义，则．其中正确的有________．（填序号）
【答案】①③④
【分析】根据分式的定义，性质，化简方法即可求解．
【详解】解：①当取时，这个分式有意义，指的是分母不能为零，则，故符合题意；
②当时，分式的值一定为零，若，则分式无意义，故不符合题意；
③若这个分式的值为零，则，且分母不能为零，则，符合题意；
④当取任何值时，分式有意义，则，则，故符合题意；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查分式的基础知识，掌握分式的定义，分式的性质，方程的知识是解题的关键．
三、解答题
13．（2022秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
(1) (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答；
（2）根据分式的基本性质即可解答
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，求x的值．
【答案】
【分析】根据分式等于0，可得且，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：且，
∴且，
∴．
【点睛】本题主要考查分式等于0的条件，掌握分式的值等于0，则分子等于0，分母不等于0，即可求解．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）约分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）分子分母约去即可；
（2）分子分母约去即可；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可；
（4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
16．（2023春·八年级课时练习）当x取什么值时，分式满足下列要求：
(1)无意义
(2)有意义；
(3)值为0．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，分式的值为0
【分析】（1）根据分式无意义的条件：分母为零，即可列式求解；
（2）根据分式有意义的条件：分母不为零，即可列不等式求解；
（3）根据分式值为零的条件：分母不为零且分子为零，即可列式求解．
【详解】（1）解：当分式无意义，则根据分式无意义的条件得：
，即，解得，
当时，分式无意义；
（2）解：当分式有意义，则根据分式有意义的条件得：
，即，解得，
当时，分式有意义；
（3）解：当分式，则，
即，解得，
当时，分式值为零．
【点睛】本题考查分式的综合运用，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，根据题意得到相应的方程及不等式求解是解决问题的关键．
17．（2023春·八年级单元测试）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？
(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
【答案】(1)
(2)或0
【分析】（1）根据分母等于0计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：代数式的值为正整数，
或，
解得：或0．
【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键．
18．（2022秋·广东广州·八年级广州市南武中学校考期末）回答下列问题
(1)若，则________，________．
(2)若，则________；
(3)若，求的值．
【答案】(1)6；2
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可；
（2）根据完全平方公式的变形可知据此求解即可；
（3）先根据已知式子求出，同（2）求出的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：6；2；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1286" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1286 \h 1
\l "_Tc24120" 【考点一 判断是否是分式】 PAGEREF _Tc24120 \h 1
\l "_Tc16957" 【考点二 分式有无意义】 PAGEREF _Tc16957 \h 2
\l "_Tc6798" 【考点三 分式的值为0】 PAGEREF _Tc6798 \h 3
\l "_Tc19181" 【考点四 求分式的值】 PAGEREF _Tc19181 \h 4
\l "_Tc31366" 【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】 PAGEREF _Tc31366 \h 6
\l "_Tc9098" 【考点六 最简分式】 PAGEREF _Tc9098 \h 7
\l "_Tc21315" 【考点七 判断分式变形是否正确】 PAGEREF _Tc21315 \h 8
\l "_Tc3387" 【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 PAGEREF _Tc3387 \h 9
\l "_Tc26516" 【考点九 求使分式变形成立的条件】 PAGEREF _Tc26516 \h 11
\l "_Tc21687" 【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 PAGEREF _Tc21687 \h 12
\l "_Tc6643" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6643 \h 13
【典型例题】
【考点一 判断是否是分式】
例题：（2022·吉林长春·八年级期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·福建泉州·八年级期末）下列代数式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川遂宁·八年级期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【考点二 分式有无意义】
例题：（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）要使分式有意义，x需满足的条件是________．
【变式训练】
1．（2022·江苏南京·八年级期末）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．
【考点三 分式的值为0】
例题：（2022·河南郑州·八年级期末）若分式的值为0，则x的取值为_______．
【变式训练】
1．（2022·江苏扬州·八年级期末）当x＝_________时，分式的值为零．
2．（2022·安徽滁州·七年级阶段练习）当x的值是________时，分式的值为零．
【考点四 求分式的值】
例题：（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）若，则＝________．
【变式训练】
1．（2021·江苏泰州·八年级期中）若，则的值为________．
2．（2022·江苏淮安·八年级期末）已知，则分式的值为_______．
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式训练】
1．（2022秋·山东日照·八年级校考期末）使分式的值为整数的所有整数x的和是（ ）
A．3B．2C．0D．-2
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.
【考点六 最简分式】
例题：（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广西贺州·七年级期末）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南平顶山·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【考点七 判断分式变形是否正确】
例题：（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）若把分式中和的值都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大9倍
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）把分式中的x，y均扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的5倍D．不变
2．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
【考点九 求使分式变形成立的条件】
例题：（2023春·八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若成立，则x的取值范围是_____．
2．（2023春·八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：．______
【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）把方程的分母化为整数的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）下列分式是最简分式的是( )
A．B．C．D．
2．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）若，且，则的值是（ ）
A．B．3C．D．2
3．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）式子，，，，中是分式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
4．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）对于分式，若将x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）．
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．不变D．无法确定
5．（2022秋·江苏·七年级期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零B．无论x为何值，的值总为正数
C．无论x为何值，可能得整数值D．当时，有意义
二、填空题
7．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）分式，的最简公分母是______．
8．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为______．
9．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）要使式子有意义，则的取值范围为________________．
10．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）当x的取值满足______时，分式有意义______时，分式无意义______时，式子的值为0．
11．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如果分式的值为正数，则的取值范围是__．
12．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）关于分式的说法：①当取时，这个分式有意义，则．②当时，分式的值一定为零．③若这个分式的值为零，则．④当取任何值时，分式有意义，则．其中正确的有________．（填序号）
三、解答题
13．（2022秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
(1) (2)．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，求x的值．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）约分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
16．（2023春·八年级课时练习）当x取什么值时，分式满足下列要求：
(1)无意义
(2)有意义；
(3)值为0．
17．（2023春·八年级单元测试）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？
(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
18．（2022秋·广东广州·八年级广州市南武中学校考期末）回答下列问题
(1)若，则________，________．
(2)若，则________；
(3)若，求的值．
专题07 分式及分式的基本性质
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1286" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1286 \h 1
\l "_Tc24120" 【考点一 判断是否是分式】 PAGEREF _Tc24120 \h 1
\l "_Tc16957" 【考点二 分式有无意义】 PAGEREF _Tc16957 \h 2
\l "_Tc6798" 【考点三 分式的值为0】 PAGEREF _Tc6798 \h 3
\l "_Tc19181" 【考点四 求分式的值】 PAGEREF _Tc19181 \h 4
\l "_Tc31366" 【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】 PAGEREF _Tc31366 \h 6
\l "_Tc9098" 【考点六 最简分式】 PAGEREF _Tc9098 \h 7
\l "_Tc21315" 【考点七 判断分式变形是否正确】 PAGEREF _Tc21315 \h 8
\l "_Tc3387" 【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 PAGEREF _Tc3387 \h 9
\l "_Tc26516" 【考点九 求使分式变形成立的条件】 PAGEREF _Tc26516 \h 11
\l "_Tc21687" 【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 PAGEREF _Tc21687 \h 12
\l "_Tc6643" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6643 \h 13
【典型例题】
【考点一 判断是否是分式】
例题：（2022·吉林长春·八年级期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的形式判断即可．
【详解】解： A、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
B、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
C、是分式，故此选项正确，符合题意；
D、是多项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式，解题关键是熟记分式是的形式， A、B都是整式，B中含有字母．
【变式训练】
1．（2022·福建泉州·八年级期末）下列代数式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的定义，即可求解．
【详解】解：A、是整式，故此选项不符合题意；
B、是分式，故此选项符合题意；
C、是整式，故此选项不符合题意；
D、是整式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如（其中 为整式，其中B中含有字母且）的式子，称为分式是解题的关键．
2．（2022·四川遂宁·八年级期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：分式有：，，，，共有4个．
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式的定义，解题的关键是掌握，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
【考点二 分式有无意义】
例题：（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）要使分式有意义，x需满足的条件是________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件解答．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，
解得x≠3，
故答案为：x≠3．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，熟记条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏南京·八年级期末）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．
【答案】 -1 1
【分析】根据分式有意义的条件和分式值为0的条件列方程和不等式即可得答案．
【详解】解：由题意得使分式无意义时，
则
x=-1，
当分式的值为0时，
则，
，
∴x=1．
故答案为：-1；1
【点睛】本题考查分式的值为零的条件及分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0，分式的值为0，则分子为0，分母不为0．
【考点三 分式的值为0】
例题：（2022·河南郑州·八年级期末）若分式的值为0，则x的取值为_______．
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：由题意得，，，
由得或，
由得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0，这两个条件缺一不可．
【变式训练】
1．（2022·江苏扬州·八年级期末）当x＝_________时，分式的值为零．
【答案】
【分析】首先根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，得出，进而计算出x的值即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，熟练掌握“分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零”是解本题的关键．
2．（2022·安徽滁州·七年级阶段练习）当x的值是________时，分式的值为零．
【答案】-3
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解等式或不等式即可．
【详解】解：由题意得|x|-3=0，且2x-6≠0，
解得，x=±3，x≠3，
∴x=-3．
则x=-3时，分式 的值为零．
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【考点四 求分式的值】
例题：（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）若，则＝________．
【答案】##0.125
【分析】用含b的式子表示a，再代入即把a换成含b的式子，最后约分即可．
【详解】解法一：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
解法二：设，则，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的的基本性质，会利用“设k法”求解更简便，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2021·江苏泰州·八年级期中）若，则的值为________．
【答案】
【分析】先根据已知设出a=3k，b=2k，再把a，b的值代入即可求出答案．
【详解】解：，
∴设
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的求值．此题比较简单，解题的关键是注意掌握分式的求值方法．
2．（2022·江苏淮安·八年级期末）已知，则分式的值为_______．
【答案】3
【分析】根据，可求得，，据此即可求得．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，熟练掌握和运用代数式求值的方法是解决本题的关键．
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】由x是整数，也表示一个整数，可知x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，从而得出结果．
【详解】解：∵x是整数，也表示一个整数，
∴x+1为4的约数，
即x+1=±1，±2，±4，
∴x=-2，0，-3，1，-5，3．
则整数x可取值共有6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了此题首先要根据分式值是整数的条件，能够根据已知条件分析出x+1为4的约数，是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东日照·八年级校考期末）使分式的值为整数的所有整数x的和是（ ）
A．3B．2C．0D．-2
【答案】B
【分析】由整除的性质可知，是的约数，分别求得符合题意的x值，再求和即可．
【详解】解：∵，
∵是整数，
∴或，
解得或1或2或，
所以所有整数x的和为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.
【答案】7或9
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵的值为正整数，
∴或3，
∴整数的值为7或9，
故答案为：7或9．
【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解答此题的关键．
【考点六 最简分式】
例题：（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简分式的定义“分子分母没有公因式的分式为最简分式”分析判断即可．
【详解】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，是最简分式，符合题意；
D. ，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西贺州·七年级期末）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A、原式，故A不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、原式，故C不是最简分式，不符合题意；
D、原式，故D不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
2．（2022·河南平顶山·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断分式是否是最简分式，看分式的分子分母能否进行因式分解，是否能约分．
【详解】解：A项可化简为，故错误；
B项可化简为，故错误；
C项可化简为，故错误；
D项是最简分式，故正确．
故选D．
【点睛】此题考查了最简分式，掌握分式在化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式是解题的关键．
【考点七 判断分式变形是否正确】
例题：（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【变式训练】
1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误；
B． ，故原选项错误；
C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确；
D．，故原选项错误；
故选C
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
2．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用分式的基本性质计算后判断正误．
【详解】解：，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023秋·江苏南通·八年级如皋市实验初中校考期末）若把分式中和的值都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大9倍
【答案】B
【分析】根据题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分别用和去代换原分式中的和得，
，
可见新分式与原分式相等，分式的值不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）把分式中的x，y均扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的5倍D．不变
【答案】A
【分析】根据分式的性质，变形计算即可．
【详解】分式中的x，y均扩大为原来的5倍，得
，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，
∴，
∴分式的值保持不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．
【考点九 求使分式变形成立的条件】
例题：（2023春·八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
【答案】##
【分析】依据，即可得到分式变形中的整式．
【详解】解：，
分式变形中的整式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若成立，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式的性质及成立的条件可直接进行求解．
【详解】解：若成立，则有，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式成立的条件及性质，熟练掌握分式的成立的条件及性质是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：．______
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．
【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）把方程的分母化为整数的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，将方程的分母化为整数即可．
【详解】解：，
整理，得：；
故选C
【点睛】本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的分子和分母同乘同一个不为0的数，分式的值不变，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
==，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______．
【答案】
【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案．
【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10，
即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）下列分式是最简分式的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
C、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
D、该分式的分母为，所以该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，关键是理解最简分式的定义．
2．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）若，且，则的值是（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】C
【分析】先设，再求出 最后代入分式求值．
【详解】解：设，
则，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查求分式的值，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
3．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）式子，，，，中是分式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】形如“，且中含有字母”这样的代数式叫分式，根据分式的定义逐一分析判断即可．
【详解】解：式子，，，，中是分式的有
∴分式有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的概念，掌握“分式的概念”是解本题的关键．
4．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）对于分式，若将x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）．
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．不变D．无法确定
【答案】A
【分析】x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和，用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：，
∴将x，y的值都扩大到原来的3倍，分式的值扩大到原来的3倍．
故选：A
【点睛】此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
5．（2022秋·江苏·七年级期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可．
【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3，
∴a＝0或2或﹣2或4，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键．
6．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零B．无论x为何值，的值总为正数
C．无论x为何值，可能得整数值D．当时，有意义
【答案】B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
【详解】解：A．当时，无意义，故该选项不符合题意；
B．无论x为何值，的值始终为正数，则分式的值总为正数，故该选项符合题意；
C．当时，则分式，故该选项不符合题意；
D．当时，则分式有意义，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式各种结果的判断标准：分式的值是正数的条件是分子、分母同号；值是负数的条件是分子、分母异号；分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
二、填空题
7．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）分式，的最简公分母是______．
【答案】##
【分析】根据最简公分母的确定方法，求最简公分母时，将各分母分解因式，将所有的表达式都化成积的形式，系数取最小公倍数，取各式所有分母因式的最高次幂的积，确定最简公分母；
【详解】∵3和2的最小公倍数是6，的最高次幂是2，的最高次幕是3，
∴是两者的最简公分母，
故答案为：
【点睛】本题考查了最简公分母，解决本题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法步骤．
8．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如果把中的，都扩大到原来的5倍，那么分式的值变为______．
【答案】10
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：∵中的，都扩大到原来的5倍，
∴．
故答案为：10
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
9．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）要使式子有意义，则的取值范围为________________．
【答案】且
【分析】根据分母不等于0，指数幂的底数不等于0列式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和零指数幂，熟练掌握分式的分母不等于0，零指数幂的底数不等于0是解题的关键．
10．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）当x的取值满足______时，分式有意义______时，分式无意义______时，式子的值为0．
【答案】 ； ； ．
【分析】根据分母不为零时分式有意义，分母为零时分式无意义，分子且分母时分式的值为0，列方程或不等式可求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
由题意得：，
解得：，
由题意得：，且，
解得：；
故答案为：，，．
【点睛】此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如果分式的值为正数，则的取值范围是__．
【答案】且
【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得．
【详解】解：分式的值为正数，且，
且，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键．
12．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）关于分式的说法：①当取时，这个分式有意义，则．②当时，分式的值一定为零．③若这个分式的值为零，则．④当取任何值时，分式有意义，则．其中正确的有________．（填序号）
【答案】①③④
【分析】根据分式的定义，性质，化简方法即可求解．
【详解】解：①当取时，这个分式有意义，指的是分母不能为零，则，故符合题意；
②当时，分式的值一定为零，若，则分式无意义，故不符合题意；
③若这个分式的值为零，则，且分母不能为零，则，符合题意；
④当取任何值时，分式有意义，则，则，故符合题意；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查分式的基础知识，掌握分式的定义，分式的性质，方程的知识是解题的关键．
三、解答题
13．（2022秋·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
(1) (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答；
（2）根据分式的基本性质即可解答
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）若分式的值为零，求x的值．
【答案】
【分析】根据分式等于0，可得且，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：且，
∴且，
∴．
【点睛】本题主要考查分式等于0的条件，掌握分式的值等于0，则分子等于0，分母不等于0，即可求解．
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）约分：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）分子分母约去即可；
（2）分子分母约去即可；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可；
（4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
16．（2023春·八年级课时练习）当x取什么值时，分式满足下列要求：
(1)无意义
(2)有意义；
(3)值为0．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，分式的值为0
【分析】（1）根据分式无意义的条件：分母为零，即可列式求解；
（2）根据分式有意义的条件：分母不为零，即可列不等式求解；
（3）根据分式值为零的条件：分母不为零且分子为零，即可列式求解．
【详解】（1）解：当分式无意义，则根据分式无意义的条件得：
，即，解得，
当时，分式无意义；
（2）解：当分式有意义，则根据分式有意义的条件得：
，即，解得，
当时，分式有意义；
（3）解：当分式，则，
即，解得，
当时，分式值为零．
【点睛】本题考查分式的综合运用，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，根据题意得到相应的方程及不等式求解是解决问题的关键．
17．（2023春·八年级单元测试）已知：代数式．
(1)当为何值时，该式无意义？
(2)当为何整数时，该式的值为正整数？
【答案】(1)
(2)或0
【分析】（1）根据分母等于0计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：代数式的值为正整数，
或，
解得：或0．
【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键．
18．（2022秋·广东广州·八年级广州市南武中学校考期末）回答下列问题
(1)若，则________，________．
(2)若，则________；
(3)若，求的值．
【答案】(1)6；2
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可；
（2）根据完全平方公式的变形可知据此求解即可；
（3）先根据已知式子求出，同（2）求出的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：6；2；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
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