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初中数学沪教版 (五四制)八年级下册第二十一章 代数方程第三节 无理方程一课一练
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这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级下册第二十一章 代数方程第三节 无理方程一课一练，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）下列方程中是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）下列方程中,有实数解的方程的是( )
A．B．C．D．
3．（2019·上海市闵行区明星学校八年级月考）下列方程中，是二元二次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）方程组 的实数解的个数是 ( )
A．1B．2C．3D．4
5．（2019·上海浦东新区·八年级期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2019·上海闵行区·八年级期末）下列方程中，判断中错误的是（ ）
A．方程是分式方程B．方程是二元二次方程
C．方程是无理方程D．方程是一元二次方程
二、填空题
7．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）方程的解是_____________________
8．（2020·上海松江区·八年级期末）方程的解为_____．
9．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）如果要求写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，那么这个方程可以写为________
10．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）二元二次方程组解为_________
11．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）把二次方程化成两个一次方程，所得到的两个一次方程是________和________
12．（2019·上海松江区·八年级期中）已知是二元二次方程的一个解，那么的值是_____________．
三、解答题
13．（2019·上海浦东新区·八年级期末）解方程：.
14．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）
15．（2019·上海金山区·）解方程：x+=3．
16．（2019·上海静安区·八年级期末）解方程：.
17．（2019·上海浦东新区·八年级期中）解方程：x−1+2x=3
18．（2019·上海松江区·八年级期末）解方程
19．（2019·上海普陀区·八年级期末）解方程组：．
20．（2019·上海金山区·）解方程组：
21．（2019·上海浦东新区·八年级期末）解方程:
22．（2019·上海市民办新和中学）解方程组：
能力提升
一、填空题
1．（2019·上海八年级单元测试）若关于x的方程-2x+m+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为___________.
2．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）方程=-x的解是__________ ；
二、解答题
3．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）
4．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）
5．（2018·上海奉贤区·八年级期末）解方程组：x2−2y2=xyx−y=4
6．（2018·上海金山区·八年级期末）解方程组x2−4xy+4y2=4y=x+1
7.解下列方程：
（1）； （4）．
8.解方程：．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
10.解下列方程或方程组：
（1）； （2）．
11.若关于x、y的方程组恰有两个不同的实数解，求实数a的范围．
第5讲 无理方程和二元二次方程组（练习）
夯实基础
一、单选题
1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）下列方程中是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程，即可逐一判断．
【详解】解：A. 不是方程，故A错误；
B. 中被开方数不含有未知数，故B错误；
C. 中被开方数不含有未知数，故C错误；
D. 符合定义，故D正确，
故答案为：D．
【点睛】本题考查了无理方程的判断，解题的关键是熟悉无理方程的的概念．
2．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）下列方程中,有实数解的方程的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的非负性对A进行判断；利用根的判别式的意义对B进行判断；解无理方程对C进行判断；解分式方程对D进行判断．
【详解】解：A、移项得：，∵≥0，所以原方程没有实数解，所以A选项错误；
B、因为△＝22−4×3＝−8＜0，所以原方程没有实数解，所以B选项错误；
C、、移项得：，方程两边同时平方得：，化为一般形式为：，解得x1=1，x2=-3，经检验x1=1时不满足原方程，所以x=-3，所以C选项正确；
D、解方程得x=2，经检验当x=2时分母为零，所以原方程无实数解，所以D选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．也考查了一元二次方程和分式方程．
3．（2019·上海市闵行区明星学校八年级月考）下列方程中，是二元二次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二元二次方程组的定义判断即可．
【详解】解：A. 方程组中第一个方程不是整式方程，故不是二元二次方程组；
B. 方程组两个方程都不是整式方程，故不是二元二次方程组；
C. 方程组中第二个方程不是整式方程，故不是二元二次方程组；
D. 符合二元二次方程组的定义，是二元二次方程组，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元二次方程组的定义，即至少有一个二次项、最高次不超过二次且包含两个未知数的整式方程组．
4．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）方程组 的实数解的个数是 ( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据平方根的性质，正数的平方根有两个，互为相反数即可求解.
【详解】解：解得，解得，
∴方程组的解为：，
故选D.
【点睛】本题考查解二元二次方程组，二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二•一”型和“二•二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型．“二•一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二•二”型是由两个二元二次方程组成的方程．
5．（2019·上海浦东新区·八年级期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元二次方程组的定义进行判断.
【详解】解：A、是二元一次方程组，错误；B、是分式方程，错误；
C、是三元二次方程组，错误；D、是二元二次方程组，正确；故选D．
【点睛】本题考查了二元二次方程组：有两个二元二次方程或一个二元二次方程，一个一元一次方程所组成的方程组称为二元二次方程组．
6．（2019·上海闵行区·八年级期末）下列方程中，判断中错误的是（ ）
A．方程是分式方程B．方程是二元二次方程
C．方程是无理方程D．方程是一元二次方程
【答案】C
【分析】逐一进行判断即可．
【详解】A. 方程是分式方程，正确，故该选项不符合题意；
B. 方程是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；
C. 方程是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；
D. 方程是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．
二、填空题
7．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）方程的解是_____________________
【答案】
【分析】因为可以得出x−2＝0，x−4＝0且x−4≥0，由此求得原方程的解即可．
【详解】解：
，且
解得且
故答案为
【点睛】此题考查解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．
8．（2020·上海松江区·八年级期末）方程的解为_____．
【答案】3
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可．
【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，
检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，
当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则
9．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）如果要求写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，那么这个方程可以写为________
【答案】
【分析】根据二元二次方程的定义和二元二次方程解的定义写出方程即可．
【详解】解：由可得，
∴这个二元二次方程可以写为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元二次方程的定义和二元二次方程解的定义，熟练掌握基础概念是解题的关键．
10．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）二元二次方程组解为_________
【答案】
【分析】把代入求出y即可．
【详解】解：把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键．
11．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）把二次方程化成两个一次方程，所得到的两个一次方程是________和________
【答案】
【分析】原式因式分解后可得两个一次方程.
【详解】解：原式因式分解后可得，
化为两个一次方程可得.
故答案为.
【点睛】此题主要考查了二元二次方程降次的方法，解题的关键是利用因式分解把原方程变为两个一次方程解决问题．
12．（2019·上海松江区·八年级期中）已知是二元二次方程的一个解，那么的值是_____________．
【答案】9
【分析】将代入方程得到关于a的一元一次方程，然后求解方程即可.
【详解】解：将代入方程得，a﹣8=1，
解得a=9.故答案为：9.
【点睛】本题主要考查方程的解，解此题的关键在于熟记方程的解满足方程两边相等.
三、解答题
13．（2019·上海浦东新区·八年级期末）解方程：.
【答案】
【分析】先移项，再两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：移项得：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验不是原方程的解，舍去，
∴是原方程的解.
【点睛】本题考查了解无理方程的应用，解此题的关键是能把无理方程转化成有理方程，注意：解无理方程一定要进行检验．
14．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）
【答案】
【分析】根据解无理方程的一般步骤求解即可.
【详解】解：
解得，
经检验是原方程的增根，
所以原方程的解为
【点睛】本题主要考查解无理方程，去掉根号把无理方程化成有理方程是解题的关键，注意无理方程需验根．需要同学们仔细掌握．
15．（2019·上海金山区·）解方程：x+=3．
【答案】x=2．
【分析】移项后两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x+=3，
移项得：=3-x，
两边平方得：2x-3=(3-x)2，
整理得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∵2x-3≥0，所以x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解，舍去，
∴原方程的解是x=2．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
16．（2019·上海静安区·八年级期末）解方程：.
【答案】12
【分析】首先将无理方程转化为有理方程,求得两根,经过检验无理方程，剔除增根即可.
【详解】解:移项，得
两边平方，得
化简，得
两边平方，得，
化简整理，得，
解这个方程，得
经检验：不是原方程的根舍去，是原方程的根.
所以原方程的根是
【点睛】此题考查无理方程，解题关键在于掌握运算法则以及检验方程是否存在增根.
17．（2019·上海浦东新区·八年级期中）解方程：x−1+2x=3
【答案】x=54
【分析】先移项，再两边平方可得关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式的双重非负性得出x的范围，从而确定x的值．
【详解】解：x−1=3−2x，
x−1=9−12x+4x2，
4x2−13x+10=0，
解得：x1=2，x2=54.
经检验，x1=2是增根，舍去.
x2=54是原方程的解.
∴原方程的解为x=54.
【点睛】本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法.常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
18．（2019·上海松江区·八年级期末）解方程
【答案】，．
【分析】先把化为，得到或，再分别联立求出x,y即可．
【详解】可以化为：，
所以：或
原方程组可以化为：（Ⅰ）与（Ⅱ）
解（Ⅰ）得，解（Ⅱ）得
答：原方程组的解为与．
【点睛】此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．
19．（2019·上海普陀区·八年级期末）解方程组：．
【答案】．
【分析】将①分解因式可得，再将将②代入③后得，然后与②组成可得
【详解】解：由①得．③
将②代入③，得．④
得方程组，
解得，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．
20．（2019·上海金山区·）解方程组：
【答案】，
【分析】先将第1个方程变形为x＋2y＝3，x＋2y＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．
【详解】解：
方程①可变形为
得：，
它们与方程②分别组成方程组，得；
或
解得，
所以，原方程组的解是，
【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．
21．（2019·上海浦东新区·八年级期末）解方程:
【答案】
【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y，代入方程1，得到一个关于y的一元二次方程，求出y值，进而求x．
【详解】解：
由（2）得：（3）
把（3）代入（1）：
∴
∴
原方程组的解是
【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．
22．（2019·上海市民办新和中学）解方程组：
【答案】：
【分析】把(2)变形后代入(1)便可解得答案
【详解】
由②得:x=y-1
代入①得:,
分别代入②得:，
故原方程组的解为：
【点睛】此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则
能力提升
一、填空题
1．（2019·上海八年级单元测试）若关于x的方程-2x+m+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为___________.
【答案】18
【分析】将原方程变形为m=2x-4020，由m为正整数、被开方数非负，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再将是正整数的m的值相加即可得出结论．
【详解】
原题可得：m=2x-4020，
∵m为正整数，
∴m≥0，
∴2x-4020≥0，
∴x≥2010．
∵2018-x≥0，
∴x≤2018，
∴2010≤x≤2018．
当x=2010时，2m=0，m=0，不符合题意；
当x=2011时，m=2，m=，不符合题意；
当x=2012时，m=4，m=，不符合题意；
当x=2013时，m=6，m=，不符合题意；
当x=2014时，2m=8，m=4；
当x=2015时，m=10，m=，不符合题意；
当x=2016时，m=12，m=6，不符合题意；
当x=2017时，m=14；
当x=2018时，0=16，不成立．
∴正整数m的所有取值的和为4+14=18．
故答案为18．
【点睛】本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键．
2．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）方程=-x的解是__________ ；
【答案】x=0
【解析】两边平方，得，
分解因式，得，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，所以原方程的解为x=0.故答案为x=0.
二、解答题
3．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）
【答案】或，
【分析】此方程可用换元法解方程．设，则．
【详解】解：设，则，原方程可化为，
两边同时乘以得，
，
解得或，
①当时，，
两边平方得，，
解得：；
②当时，，
两边平方得，，
解得．
检验：把，，分别代入，均不为0，都是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程，在解复杂结构方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子，如本题中设换元法解方程．设，则，需要注意的是用来换元的式子为，．
4．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）
【答案】，
【分析】先变形为，两边平方、整理得，再两边平方、整理成一元二次方程，解之可得．
【详解】解：，
，
则，
整理，得：，
两边平方，整理，得：，
解得，，
经检验和均符合题意，
则原无理方程的解为，．
【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
5．（2018·上海奉贤区·八年级期末）解方程组：x2−2y2=xyx−y=4
【答案】y1=4x1=8，y2=−2x2=2．
【分析】先由①得x=4+y，将x=4+y代入②，得到关于y的一元二次方程，解出y的值，再将y的值代入x=4+y求出x的值即可.
【详解】
解：x2−2y2=xy……②.x−y=4……①,
由①得：x=4+y③，
把③代入②得：（4+y）2-2y2=（4+y）y，
解得：y1=4，y2=-2，
代入③得：当y1=4时，x1=8，
当y2=-2时，x2=2，
所以原方程组的解为：y1=4x1=8，y2=−2x2=2．
故答案为：y1=4x1=8，y2=−2x2=2.
【点睛】本题考查了解高次方程.
6．（2018·上海金山区·八年级期末）解方程组x2−4xy+4y2=4y=x+1
【答案】原方程组的解为：y1=−3x1=−4，y2=1x2=0
【分析】把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x的一元二次方程，解方程求出x，把x代入第一个方程，求出y即可.
【详解】解：x2−4xy+4y2=4……②.y=x+1……①,
把①代入②得：x2-4x（x+1）+4（x+1）2=4，
x2+4x=0，
解得：x=-4或x=0，
当x=-4时，y=-3，
当x=0时，y=1，
所以原方程组的解为：y1=−3x1=−4，y2=1x2=0．
故答案为：y1=−3x1=−4，y2=1x2=0．
【点睛】本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
7.解下列方程：
（1）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）整理得，两边平方并整理得：，
解得：，经检验，都是原方程的两个根；
（2）整理得，即，
因式分解得，因为，所以，
解得：，经检验都是原方程的根．
【总结】考察无理方程的解法，注意解完后要验根．
8.解方程：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】观察方程，先分母有理化，
化简得，整理得，
两边平方得并整理得：，解得：，经检验是原方程的根．
【总结】考察无理方程的解法，注意验根．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】(1)由因式分解得，由因式分解得，
所以原方程组可转化为或或或，
分别解这四个方程组得原方程组的解为；
（2）由因式分解得，由整理得，
因式分解得，
所以原方程组可转化为或或或，
分别解这四个方程组得原方程组的解为：．
【总结】考察利用因式分解法解二元二次方程组．
10.解下列方程或方程组：
（1）； （2）．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设,则，所以原方程可转化为
，整理为，因式分解为，因为，
所以．代入中，，两边平方得，
整理得，因式分解为，得，
经检验都是原方程的解；
（2）－得，整理得，
因式分解为，从而得或者．
所以原方程组可以转化为和两个方程，
分别解这两个方程组得原方程组的解为：．
【总结】考察方程(组)的解法，注意无理方程解完后要检验．
11.若关于x、y的方程组恰有两个不同的实数解，求实数a的范围．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由得代入，得，整理得，
当方程有两个相等的正实数根时，则两解，∴∴
当方程有两个不相等的实数根，且两根异号，则，
∴-1【总结】考察二元二次方程组的应用．
一、单选题
1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）下列方程中是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）下列方程中,有实数解的方程的是( )
A．B．C．D．
3．（2019·上海市闵行区明星学校八年级月考）下列方程中，是二元二次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）方程组 的实数解的个数是 ( )
A．1B．2C．3D．4
5．（2019·上海浦东新区·八年级期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2019·上海闵行区·八年级期末）下列方程中，判断中错误的是（ ）
A．方程是分式方程B．方程是二元二次方程
C．方程是无理方程D．方程是一元二次方程
二、填空题
7．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）方程的解是_____________________
8．（2020·上海松江区·八年级期末）方程的解为_____．
9．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）如果要求写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，那么这个方程可以写为________
10．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）二元二次方程组解为_________
11．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）把二次方程化成两个一次方程，所得到的两个一次方程是________和________
12．（2019·上海松江区·八年级期中）已知是二元二次方程的一个解，那么的值是_____________．
三、解答题
13．（2019·上海浦东新区·八年级期末）解方程：.
14．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）
15．（2019·上海金山区·）解方程：x+=3．
16．（2019·上海静安区·八年级期末）解方程：.
17．（2019·上海浦东新区·八年级期中）解方程：x−1+2x=3
18．（2019·上海松江区·八年级期末）解方程
19．（2019·上海普陀区·八年级期末）解方程组：．
20．（2019·上海金山区·）解方程组：
21．（2019·上海浦东新区·八年级期末）解方程:
22．（2019·上海市民办新和中学）解方程组：
能力提升
一、填空题
1．（2019·上海八年级单元测试）若关于x的方程-2x+m+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为___________.
2．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）方程=-x的解是__________ ；
二、解答题
3．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）
4．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）
5．（2018·上海奉贤区·八年级期末）解方程组：x2−2y2=xyx−y=4
6．（2018·上海金山区·八年级期末）解方程组x2−4xy+4y2=4y=x+1
7.解下列方程：
（1）； （4）．
8.解方程：．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
10.解下列方程或方程组：
（1）； （2）．
11.若关于x、y的方程组恰有两个不同的实数解，求实数a的范围．
第5讲 无理方程和二元二次方程组（练习）
夯实基础
一、单选题
1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）下列方程中是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程，即可逐一判断．
【详解】解：A. 不是方程，故A错误；
B. 中被开方数不含有未知数，故B错误；
C. 中被开方数不含有未知数，故C错误；
D. 符合定义，故D正确，
故答案为：D．
【点睛】本题考查了无理方程的判断，解题的关键是熟悉无理方程的的概念．
2．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）下列方程中,有实数解的方程的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的非负性对A进行判断；利用根的判别式的意义对B进行判断；解无理方程对C进行判断；解分式方程对D进行判断．
【详解】解：A、移项得：，∵≥0，所以原方程没有实数解，所以A选项错误；
B、因为△＝22−4×3＝−8＜0，所以原方程没有实数解，所以B选项错误；
C、、移项得：，方程两边同时平方得：，化为一般形式为：，解得x1=1，x2=-3，经检验x1=1时不满足原方程，所以x=-3，所以C选项正确；
D、解方程得x=2，经检验当x=2时分母为零，所以原方程无实数解，所以D选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．也考查了一元二次方程和分式方程．
3．（2019·上海市闵行区明星学校八年级月考）下列方程中，是二元二次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二元二次方程组的定义判断即可．
【详解】解：A. 方程组中第一个方程不是整式方程，故不是二元二次方程组；
B. 方程组两个方程都不是整式方程，故不是二元二次方程组；
C. 方程组中第二个方程不是整式方程，故不是二元二次方程组；
D. 符合二元二次方程组的定义，是二元二次方程组，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元二次方程组的定义，即至少有一个二次项、最高次不超过二次且包含两个未知数的整式方程组．
4．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）方程组 的实数解的个数是 ( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据平方根的性质，正数的平方根有两个，互为相反数即可求解.
【详解】解：解得，解得，
∴方程组的解为：，
故选D.
【点睛】本题考查解二元二次方程组，二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二•一”型和“二•二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型．“二•一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二•二”型是由两个二元二次方程组成的方程．
5．（2019·上海浦东新区·八年级期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元二次方程组的定义进行判断.
【详解】解：A、是二元一次方程组，错误；B、是分式方程，错误；
C、是三元二次方程组，错误；D、是二元二次方程组，正确；故选D．
【点睛】本题考查了二元二次方程组：有两个二元二次方程或一个二元二次方程，一个一元一次方程所组成的方程组称为二元二次方程组．
6．（2019·上海闵行区·八年级期末）下列方程中，判断中错误的是（ ）
A．方程是分式方程B．方程是二元二次方程
C．方程是无理方程D．方程是一元二次方程
【答案】C
【分析】逐一进行判断即可．
【详解】A. 方程是分式方程，正确，故该选项不符合题意；
B. 方程是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；
C. 方程是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；
D. 方程是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．
二、填空题
7．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）方程的解是_____________________
【答案】
【分析】因为可以得出x−2＝0，x−4＝0且x−4≥0，由此求得原方程的解即可．
【详解】解：
，且
解得且
故答案为
【点睛】此题考查解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．
8．（2020·上海松江区·八年级期末）方程的解为_____．
【答案】3
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可．
【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，
检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，
当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则
9．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）如果要求写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，那么这个方程可以写为________
【答案】
【分析】根据二元二次方程的定义和二元二次方程解的定义写出方程即可．
【详解】解：由可得，
∴这个二元二次方程可以写为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元二次方程的定义和二元二次方程解的定义，熟练掌握基础概念是解题的关键．
10．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）二元二次方程组解为_________
【答案】
【分析】把代入求出y即可．
【详解】解：把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键．
11．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）把二次方程化成两个一次方程，所得到的两个一次方程是________和________
【答案】
【分析】原式因式分解后可得两个一次方程.
【详解】解：原式因式分解后可得，
化为两个一次方程可得.
故答案为.
【点睛】此题主要考查了二元二次方程降次的方法，解题的关键是利用因式分解把原方程变为两个一次方程解决问题．
12．（2019·上海松江区·八年级期中）已知是二元二次方程的一个解，那么的值是_____________．
【答案】9
【分析】将代入方程得到关于a的一元一次方程，然后求解方程即可.
【详解】解：将代入方程得，a﹣8=1，
解得a=9.故答案为：9.
【点睛】本题主要考查方程的解，解此题的关键在于熟记方程的解满足方程两边相等.
三、解答题
13．（2019·上海浦东新区·八年级期末）解方程：.
【答案】
【分析】先移项，再两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：移项得：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验不是原方程的解，舍去，
∴是原方程的解.
【点睛】本题考查了解无理方程的应用，解此题的关键是能把无理方程转化成有理方程，注意：解无理方程一定要进行检验．
14．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）
【答案】
【分析】根据解无理方程的一般步骤求解即可.
【详解】解：
解得，
经检验是原方程的增根，
所以原方程的解为
【点睛】本题主要考查解无理方程，去掉根号把无理方程化成有理方程是解题的关键，注意无理方程需验根．需要同学们仔细掌握．
15．（2019·上海金山区·）解方程：x+=3．
【答案】x=2．
【分析】移项后两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x+=3，
移项得：=3-x，
两边平方得：2x-3=(3-x)2，
整理得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∵2x-3≥0，所以x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解，舍去，
∴原方程的解是x=2．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
16．（2019·上海静安区·八年级期末）解方程：.
【答案】12
【分析】首先将无理方程转化为有理方程,求得两根,经过检验无理方程，剔除增根即可.
【详解】解:移项，得
两边平方，得
化简，得
两边平方，得，
化简整理，得，
解这个方程，得
经检验：不是原方程的根舍去，是原方程的根.
所以原方程的根是
【点睛】此题考查无理方程，解题关键在于掌握运算法则以及检验方程是否存在增根.
17．（2019·上海浦东新区·八年级期中）解方程：x−1+2x=3
【答案】x=54
【分析】先移项，再两边平方可得关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式的双重非负性得出x的范围，从而确定x的值．
【详解】解：x−1=3−2x，
x−1=9−12x+4x2，
4x2−13x+10=0，
解得：x1=2，x2=54.
经检验，x1=2是增根，舍去.
x2=54是原方程的解.
∴原方程的解为x=54.
【点睛】本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法.常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
18．（2019·上海松江区·八年级期末）解方程
【答案】，．
【分析】先把化为，得到或，再分别联立求出x,y即可．
【详解】可以化为：，
所以：或
原方程组可以化为：（Ⅰ）与（Ⅱ）
解（Ⅰ）得，解（Ⅱ）得
答：原方程组的解为与．
【点睛】此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．
19．（2019·上海普陀区·八年级期末）解方程组：．
【答案】．
【分析】将①分解因式可得，再将将②代入③后得，然后与②组成可得
【详解】解：由①得．③
将②代入③，得．④
得方程组，
解得，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．
20．（2019·上海金山区·）解方程组：
【答案】，
【分析】先将第1个方程变形为x＋2y＝3，x＋2y＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．
【详解】解：
方程①可变形为
得：，
它们与方程②分别组成方程组，得；
或
解得，
所以，原方程组的解是，
【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．
21．（2019·上海浦东新区·八年级期末）解方程:
【答案】
【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y，代入方程1，得到一个关于y的一元二次方程，求出y值，进而求x．
【详解】解：
由（2）得：（3）
把（3）代入（1）：
∴
∴
原方程组的解是
【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．
22．（2019·上海市民办新和中学）解方程组：
【答案】：
【分析】把(2)变形后代入(1)便可解得答案
【详解】
由②得:x=y-1
代入①得:,
分别代入②得:，
故原方程组的解为：
【点睛】此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则
能力提升
一、填空题
1．（2019·上海八年级单元测试）若关于x的方程-2x+m+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为___________.
【答案】18
【分析】将原方程变形为m=2x-4020，由m为正整数、被开方数非负，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再将是正整数的m的值相加即可得出结论．
【详解】
原题可得：m=2x-4020，
∵m为正整数，
∴m≥0，
∴2x-4020≥0，
∴x≥2010．
∵2018-x≥0，
∴x≤2018，
∴2010≤x≤2018．
当x=2010时，2m=0，m=0，不符合题意；
当x=2011时，m=2，m=，不符合题意；
当x=2012时，m=4，m=，不符合题意；
当x=2013时，m=6，m=，不符合题意；
当x=2014时，2m=8，m=4；
当x=2015时，m=10，m=，不符合题意；
当x=2016时，m=12，m=6，不符合题意；
当x=2017时，m=14；
当x=2018时，0=16，不成立．
∴正整数m的所有取值的和为4+14=18．
故答案为18．
【点睛】本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键．
2．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）方程=-x的解是__________ ；
【答案】x=0
【解析】两边平方，得，
分解因式，得，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，所以原方程的解为x=0.故答案为x=0.
二、解答题
3．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）
【答案】或，
【分析】此方程可用换元法解方程．设，则．
【详解】解：设，则，原方程可化为，
两边同时乘以得，
，
解得或，
①当时，，
两边平方得，，
解得：；
②当时，，
两边平方得，，
解得．
检验：把，，分别代入，均不为0，都是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程，在解复杂结构方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子，如本题中设换元法解方程．设，则，需要注意的是用来换元的式子为，．
4．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）
【答案】，
【分析】先变形为，两边平方、整理得，再两边平方、整理成一元二次方程，解之可得．
【详解】解：，
，
则，
整理，得：，
两边平方，整理，得：，
解得，，
经检验和均符合题意，
则原无理方程的解为，．
【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
5．（2018·上海奉贤区·八年级期末）解方程组：x2−2y2=xyx−y=4
【答案】y1=4x1=8，y2=−2x2=2．
【分析】先由①得x=4+y，将x=4+y代入②，得到关于y的一元二次方程，解出y的值，再将y的值代入x=4+y求出x的值即可.
【详解】
解：x2−2y2=xy……②.x−y=4……①,
由①得：x=4+y③，
把③代入②得：（4+y）2-2y2=（4+y）y，
解得：y1=4，y2=-2，
代入③得：当y1=4时，x1=8，
当y2=-2时，x2=2，
所以原方程组的解为：y1=4x1=8，y2=−2x2=2．
故答案为：y1=4x1=8，y2=−2x2=2.
【点睛】本题考查了解高次方程.
6．（2018·上海金山区·八年级期末）解方程组x2−4xy+4y2=4y=x+1
【答案】原方程组的解为：y1=−3x1=−4，y2=1x2=0
【分析】把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x的一元二次方程，解方程求出x，把x代入第一个方程，求出y即可.
【详解】解：x2−4xy+4y2=4……②.y=x+1……①,
把①代入②得：x2-4x（x+1）+4（x+1）2=4，
x2+4x=0，
解得：x=-4或x=0，
当x=-4时，y=-3，
当x=0时，y=1，
所以原方程组的解为：y1=−3x1=−4，y2=1x2=0．
故答案为：y1=−3x1=−4，y2=1x2=0．
【点睛】本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
7.解下列方程：
（1）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）整理得，两边平方并整理得：，
解得：，经检验，都是原方程的两个根；
（2）整理得，即，
因式分解得，因为，所以，
解得：，经检验都是原方程的根．
【总结】考察无理方程的解法，注意解完后要验根．
8.解方程：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】观察方程，先分母有理化，
化简得，整理得，
两边平方得并整理得：，解得：，经检验是原方程的根．
【总结】考察无理方程的解法，注意验根．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】(1)由因式分解得，由因式分解得，
所以原方程组可转化为或或或，
分别解这四个方程组得原方程组的解为；
（2）由因式分解得，由整理得，
因式分解得，
所以原方程组可转化为或或或，
分别解这四个方程组得原方程组的解为：．
【总结】考察利用因式分解法解二元二次方程组．
10.解下列方程或方程组：
（1）； （2）．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设,则，所以原方程可转化为
，整理为，因式分解为，因为，
所以．代入中，，两边平方得，
整理得，因式分解为，得，
经检验都是原方程的解；
（2）－得，整理得，
因式分解为，从而得或者．
所以原方程组可以转化为和两个方程，
分别解这两个方程组得原方程组的解为：．
【总结】考察方程(组)的解法，注意无理方程解完后要检验．
11.若关于x、y的方程组恰有两个不同的实数解，求实数a的范围．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由得代入，得，整理得，
当方程有两个相等的正实数根时，则两解，∴∴
当方程有两个不相等的实数根，且两根异号，则，
∴-1
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