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初中数学沪教版 (五四制)八年级下册第三节 无理方程同步训练题
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这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级下册第三节 无理方程同步训练题，共49页。
模块一：无理方程
知识精讲
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
2．解无理方程的一般步骤是去根号，方法是两边同时平方，注意要检验增根的情况．
检验方程的增根从两方面出发：
根号有意义的条件；
方程左右是否相等．
例题解析
例1.（金山2018期中2）下列方程中，无理方程是（ ）
A.； B.； C.； D..
例2.下列方程是哪些是无理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）； （5）； （6）．
例3.（松江2018期中15）下列关于x的方程中，有实数根的是（ ）
A.； B.； C.； D..
例4.（浦东四署2019期中3）下列关于x方程中，有实数根的是（ ）
A.； B.；
C.； D..
例5.判定下列方程是否有实数根：
（1）；
（2）（p为实数）．
例6..（浦东四署2019期中7）方程的根是 .
例7.. （松江2019期中13）方程的解是_____________.
例8.将下列无理方程化成有理方程：
①；②．
例9.解下列无理方程：；
（1）；（2）．
例10.解下列无理方程：
（1）；
（2）；
（3）．
例11.解下列方程：
（1）； （2）．
例12.若方程有一个根x=1，求m的值及方程的其他的根．
例13.解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
例14.解方程：；
例15.用换元法解无理方程：
【提示：】．
例16.解方程：．
例17.设实数、、z满足，求、、的值．
模块二：二元二次方程及方程组
知识精讲
仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2．像这样的方程组叫做二元二次方程组．
能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解．
3、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解．
例题解析
例1.下列方程是二元二次方程的有（）个
； ②； ③； ④．
A．1B．2C．3D．4
例2.下列方程组中，不是二元二次方程组的是（）
A．；B．
C．；D．
例3.（杨浦2019期中9）将方程组： 转化成两个二元一次方程组分别是 和 .
例4. （黄浦2018期中5）方程组有实数解，则k的取值范围是（ ）
A.； B.； C.； D..
例5. （浦东2018期中5）在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是（ ）
A.； B. ； C.； D.
例6.解下列方程组：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
例7.解下列方程组：
（1） ；（2）；
（3）．
例8.若方程组有实数解，求实数k的取值范围．
例9.若二元二次方程组有唯一解，求实数的值及方程组的解．
例10.解方程组：
（1）； （2）．
例11.解方程组：
（1）；（2）．
例12.设方程组的解是，，求和的值．
例13.解下列方程组：
（1）； （2）．
例14.解方程组：．
例15.解方程组：．
例16.已知方程组
（1）求证：不论为何值时，此方程组一定有实数解；
（2）设等腰△ABC的三边长分别为，，，其中，且，是该方程的两个解，求△ABC的周长．
例17.已知方程组只有一组实数解，求a的值．
随堂检测
1.下列方程是哪些是无理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
2.不解方程试说明下列方程为什么没有实数根？
（1）；（2）．
3.（1）若关于的方程有实数根，则的取值范围是__________；
（2）将化成整式方程是____________．
4.下列方程组中哪一个是二元二次方程组（）
A．B． C． D．
5.由方程组，消去后得到的方程是__________．
6.解下列方程：
（1）；（2）．
7.解下列方程：
（1）；（2）．
8.解下列方程组：
（1）； （2）．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
10.解下列方程组：
（1）；（2）．
11.解方程：．
12.解方程：．
13.已知方程组有两组实数解和，且，
设．
求m的取值范围；
试用关于m的代数式表示出n；
是否存在这样的值m，使n的值等于-2，若存在，求出这样的所有的m的值；
若不存在，请说明理由．
第5讲 无理方程和二元二次方程组
模块一：无理方程
知识精讲
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
2．解无理方程的一般步骤是去根号，方法是两边同时平方，注意要检验增根的情况．
检验方程的增根从两方面出发：
根号有意义的条件；
方程左右是否相等．
例题解析
例1.（金山2018期中2）下列方程中，无理方程是（ ）
A.； B.； C.； D..
【答案】C；
【解析】根式中被开方数中不含未知数，故A、B、D都不是无理方程；而C、含有根式且被开方数中含有未知数，这样的方程是无理方程；因此选C.
例2.下列方程是哪些是无理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★
【答案】（1），（2），（4）．
【解析】方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
根据无理方程的概念，（1），（2），（4）是无理方程．（3），（5），（6）中被开方数中没有未知数，不是无理方程．其中（3）是一元二次方程，是整式方程；（5），（6）都是分式方程．
【总结】考察无理方程的基本概念．
例3.（松江2018期中15）下列关于x的方程中，有实数根的是（ ）
A.； B.； C.； D..
【答案】B；
【解析】A、依题得，不可能，故方程无实数根；B、，故方程有实数根；C、解得x=1是增根，故方程无实数根；D、由易知无实数根. 因此答案选B.
例4.（浦东四署2019期中3）下列关于x方程中，有实数根的是（ ）
A.； B.；
C.； D..
【答案】C；
【解析】A、右边，不可能等于0，故无实数根；B、因为，故方程无实数根；C、原方程可化为，解得，经检验知方程的根；D、解之得是增根，故方程无实数根；因此答案选C.
例5.判定下列方程是否有实数根：
（1）；
（2）（p为实数）．
【难度】★
【答案】（1）有实数根；（2）没有实数根．
【解析】根据无理方程有意义的条件，要同时满足，得到：，
代入原方程，左边右边，方程成立，所以该方程有实数根．
（2）中，方程左边，而右边，所以，左边右边，故方程没有实数根．
【总结】考察无理方程有意义的前提条件与方程的实数解的关系．
例6..（浦东四署2019期中7）方程的根是 .
【答案】；
【解析】两边平方得，因此.
例7.. （松江2019期中13）方程的解是_____________.
【答案】x=2
【解析】解：∵，∴x﹣2=0或x﹣1=0，解得x=2或x=1，当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，则原方程的解为x=2.故答案为：x=2.
例8.将下列无理方程化成有理方程：
①；②．
【难度】★
【答案】；．
【解析】方程中只有一个根号，左右两边同时平方，得，整理得：；
方程中根号里面部分与根号外面部分有倍数关系，所以设
，则，所以原方程可转化为，
化简整理得：．
【总结】考察解无理方程的思想，即化无理方程为有理方程．
例9.解下列无理方程：；
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）方程是则得的形式，所以解（1）方程得
并且还要保证，解得：，又因为当时，没意义，
所以经检验是原方程的根．
（2）方程只含一个根号，所以整理为，等号两边同时平方去根号得：，整理得，，得，
经检验都是原方程的根．
【总结】考察无理方程的基本解法，注意不要忘了最后一步检验所得解是否是增根．
例10.解下列无理方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）方程含两个根号，要尽量分散在等号的两边，原方程整理为，
等号两边平方得，整理得，再等号两边平方得
，整理得：，从而，得：，
经检验是原方程的根，是原方程的增根；
原方程整理为，等号两边平方得，
整理得，等号两边再平方得，整理得，从而，得：．
经检验都是原方程的根；
方程含3个根号，通过观察方程先整理为，然后等号两边平方得，整理得：，等号两边平方得，整理得，从而，
经检验是原方程的根．
【总结】考察含有两个根号或者三个根号无理方程解法，注意最后要验根．
例11.解下列方程：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）x=3．
【解析】（1）整理得，等号两边平方得
，整理得，
等号两边平方得，整理得：，解得：．
经检验是原方程的根；
（2）方程整理得，为等号左边0，
所以右边0，当x=3时，方程成立，当x≠3时，可得，
等号两边平方得，整理得，
因为0，，所以而左边，所以方程无解．
综上，原方程的解为x=3．
【总结】考察含有多个根号的无理方程的解法，注意解完之后进行检验．
例12.若方程有一个根x=1，求m的值及方程的其他的根．
【难度】★★
【答案】为一切非负数．
【解析】把代入原方程，得，等号两边平方得，，
整理得，从而，解得：，
经检验是原方程的根．把代入原方程，
整理得，所以为一切非负数．
【总结】考察无理方程的根的意义，及解无理方程的方法．
例13.解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）设，则，原方程可转化为，
化简整理得：，从而，因为，解得：，
即，等号两边平方得，解得：，
经检验是原方程的根；
（2）原方程可转化为，设，
原方程可转化为，整理得，从而，
因为解得，即，等号两边得，解得：，
经检验是原方程的根；
（3）原方程可以转化为，
因式分解，
得：，
当时，解此无理方程得：
经检验是原方程的根；
当，解此无理方程得：，
经检验是原方程的根，
综上所述原方程的根是：．
【总结】考察利用换元法求无理方程的解，求解后注意进行验根．
例14.解方程：；
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为，所以原方程可以转化为
，可得，
从而因式分解可得，因为，
可得，即，
解此无理方程可得，
经检验是原方程的根．
【总结】考察整体换元法解无理方程，综合性较大，注意认真分析方程的特点．
例15.用换元法解无理方程：
【提示：】．
【难度】★★★
【答案】无实数根．
【解析】设，则有，
又，
所以有，得．
即，得，
解此方程可得：，
经检验不是原方程的根，故原方程无实数根．
【总结】考察利用换元法解特殊无理方程，注意对所求得的根进行检验．
例16.解方程：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】）设，则，
原方程可转化为，
化简整理得：，从而，
因为，解得：，即，
等号两边平方得，
因式分解得，解得：，
经检验是原方程的根．
【总结】考察利用换元法解无理方程，注意对方法的提炼．
例17.设实数、、z满足，求、、的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原方程可转化为，
即，
得，
解得：，
经检验满足原方程．
【总结】考察几个非负数的和为零的基本模型，注意根据题目中的条件先进行配方．
模块二：二元二次方程及方程组
知识精讲
仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2．像这样的方程组叫做二元二次方程组．
能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解．
3、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解．
例题解析
例1.下列方程是二元二次方程的有（）个
； ②； ③； ④．
A．1B．2C．3D．4
【难度】★
【答案】
【解析】是分式方程；②，③是二元二次方程．④是二元三次方程．
【总结】考察二元二次方程的基本概念．
例2.下列方程组中，不是二元二次方程组的是（）
A．；B．
C．；D．
【难度】★
【答案】
【解析】是无理方程，二元二次方程是有理方程．
【总结】考察二元二次方程组的基本概念．
例3.（杨浦2019期中9）将方程组： 转化成两个二元一次方程组分别是
和 .
【答案】；
【解析】，由①得，所以，故原方程组可化为.
例4. （黄浦2018期中5）方程组有实数解，则k的取值范围是（ ）
A.； B.； C.； D..
【答案】D；
【解析】解：，由②得，y=2x-k③，把③代入①，得x2-（2x-k）=2，∴△=4-4（k-2）≥0，解得k≤3，故选：D．
例5. （浦东2018期中5）在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是（ ）
A.； B. ； C.； D.
【答案】C
【解析】解：A、第二个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； B、第一个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； C、两个解都是方程组的解，方程组也满足由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项符合题意； D、方程组不是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项不符合题意； 故选：C．
例6.解下列方程组：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）由，可得，代入式得，整理得
，解得：，分别代入得，
所以原方程组的解为．
（2）由可得，所以原方程组可分解为，
分别解这两个方程组可得原方程组的解为：；
（3）式可转化为，把整体代入，得，
所以原方程组可分解为两个方程组，
分别解这两个方程组可得原方程组的解为：；
（4）式可分解为，所以原方程组可转化为，
分别解这两个方程组可得原方程组的解为：．
例7.解下列方程组：
（1） ；（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）．
【解析】（1）由得，代入整理得，解得：，
代入，得：，所以原方程组的解为；
（2）由因式分解得，由得，可知，
所以原方程组可以转化为四个方程组，
分别解这四个方程组得原方程组的解为：；
（3）由可得，即，
所以原方程组可以转化为两个方程，
分别解这两个方程组得原方程组的解为：．
【总结】考察二元二次方程组的解法，注意代入法和因式分解法的灵活运用．
例8.若方程组有实数解，求实数k的取值范围．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由得，代入式得，整理得
，因为方程组有实数解，所以，即，
得，即．
【总结】考察二元二次方程组有实数解的应用，最终转化为一元二次方程有实数解的问题．
例9.若二元二次方程组有唯一解，求实数的值及方程组的解．
【难度】★★
【答案】．
【解析】把代入中，得，
整理得，因为方程组有唯一解，
故可分为两种情况：当时，即，此时方程为一元一次方程，有唯一解，
当时，代入，得：；
当时，代入，得：．
当时，方程有唯一解，即，即，
整理得，此方程无实数根．
综上．
【总结】考察二元二次方程组有唯一解的应用，注意从多个角度进行分类讨论．
例10.解方程组：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）由可因式分解得，
从而得，
所以原方程组可以转化为两个方程组，
分别解这两个方程组得原方程组的解为：；
（2）由可因式分解为，由得，
所以原方程组可以转化为
分别解这四个方程组可得原方程组解为：．
【总结】考察复杂二元二次方程组的解法，注意方法的灵活运用．
例11.解方程组：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）原方程组可以转化为，设，
则原方程组可转化为，由韦达定理，设以为两根的方程为，
因式分解得，解得：，
所以，即，
再分别解这两个方程组得原方程组的解为：；
（2）原方程组可以转化为，所以设以和为两个实数根的一元二次方程为，从而因式分解为，得：．
即或，用同样方法解方程组，得：，
同理解方程组，得，
综上，原方程组的解为：．
【总结】考察利用整体换元法求二元二次方程组的解，注意对方法的归纳总结．
例12.设方程组的解是，，求和的值．
【难度】★★
【答案】；．
【解析】把方程组中代入中，得，
整理得，，由韦达定理知，
所以，．
【总结】考察二元二次方程组的应用，利用方程组的解再结合韦达定理求出相应的值．
例13.解下列方程组：
（1）； （2）．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由×8-×5得，
整理得，因式分解得：，解得：；
当时，代入，得，解得：，
从而得方程组的解为：；
同理当时，解得方程组的解为：．
综上，原方程组的解为；
观察到方程组中前面三个二次项的系数成倍数关系，所以×3-×2，
得：，
整理得：，代入，得，
整理得：，解得：，所以，
综上原方程组的解为：．
【总结】考察特殊二元二次方程组的解法，注意对两种方法的总结以及所适应的方程的特征的归纳．
例14.解方程组：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】观察两个方程，+得，从而，
-得，即，
与联立相加得：，
解得，；把代入式中得，
整理得：，得，得，从而得原方程的解为；
同理把代入式中得，
解得：，代入，得，
故原方程组的解为：．
例15.解方程组：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】设，则，
原方程组可转化为，因为，
所以可得，又因为，联立得，即，
根据韦达定理设以为两实数解的一元二次方程为，
因式分解得，得．
所以方程组的解为．
即原方程组的解为．
【总结】考察利用整体换元法解二元二次方程组，综合性较强．
例16.已知方程组
（1）求证：不论为何值时，此方程组一定有实数解；
（2）设等腰△ABC的三边长分别为，，，其中，且，是该方程的两个解，求△ABC的周长．
【难度】★★★
【答案】（1）见解析；（2）10．
【解析】（1）将代入，得，
整理得，，
所以不论为何值时，此方程组一定有实数解；
（2）可分为两种情况，或者．
第一种情况，即方程组有两个相等的实数根，可知，从而，
由韦达定理得，此时不能构成三角形，舍去；
第二种情况，将代入，得，
由韦达定理得，可得：，此时能构成三角形，
故周长=4+4+2=10．
【总结】考察二元二次方程组的应用及对方程组有解的准确理解．
例17.已知方程组只有一组实数解，求a的值．
【难度】★★★
【答案】或．
【解析】由，知，
由可知，把代入，可得，
整理得，①当时，整理得，
因式分解得，解得：．
当时，，得，解得：，
经检验是原方程根；
当时，，得，解得：，
经检验是原方程增根．
当有两个异号实数根时，则△>0且2a+12<0，∴；
当有一负根另一根为零时，则△>0且a<0，2a+12=0，∴．
综上所述：或．
【总结】本题综合性较强，考察二元二次方程组的唯一解的应用，注意从多个角度去分类讨论．
随堂检测
1.下列方程是哪些是无理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【难度】★
【答案】（1）（2）（3）（4）（6）
【解析】无理方程的概念即被开方数是涵未知数的代数式，根据概念可知只有（5）不符合要求．
【总结】考察无理方程的基本概念．
2.不解方程试说明下列方程为什么没有实数根？
（1）；（2）．
【难度】★
【解析】（1）有题意知且，两不等式无交集，所以方程无实数根．
（2）由题意知，且，要，只有0+0=0，
此时且，不符合实际情况，所以无实数根．
【总结】考察无理方程中增根的理解，即要注意验根．
3.（1）若关于的方程有实数根，则的取值范围是__________；
（2）将化成整式方程是____________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题知，所以；
（2）由题知，原方程可转化为，
即
【总结】（1）考察无理方程中增根的产生过程，解无理方程中一定要验根．（2）考察解无理方程的一般方法．
4.下列方程组中哪一个是二元二次方程组（）
A．B． C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】二元二次方程组是含两个未知数，且最高次为两次的整式方程组．A中最高次为1次;C中含，是无理方程；D中分母中含未知数，为分式方程．所以答案是B.
【总结】考察二元二次方程组的基本概念
5.由方程组，消去后得到的方程是__________．
【难度】★
【答案】．
【解析】由得代入中得，整理得．
【总结】考察代入消元法解二元二次方程组的方法．
6.解下列方程：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题得，两边同时平方得，整理得，
因式分解得，从而得，
经检验，是原方程的解；
（2）由题得，两边同时平方得，整理得，
因式分解得，从而得：
经检验是原方程的解，是增根．
【总结】考察无理方程的基本解法，注意最后要验根．
7.解下列方程：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由得，代入中得，整理得，
因式分解得，解得：，
代入，得，所以原方程组的解为；
（2）由得，代入中得，整理得，
因式分解得，得，故得：，
所以原方程组的解为．
【总结】考察二元二次方程组的方法，注意对代入法的正确理解及运用．
8.解下列方程组：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由得，代入得，整理得，
因式分解得：，解得：，代入中得．
综上原方程组的解为：；
（2）由得，所以原方程组可转化为和两个方程组，
分别解上述两个方程组得方程组的解为：．
【总结】考察利用因式分解法求二元二次方程组的解．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原方程可以转化为，，
设，则，原方程可以转化为，
整理为，因式分解为，因为，所以，
即，整理得，因式分解为，得，
经检验是原方程的解；
（2）原方程可以转化为，
整理得，
从而因式分解为，
所以原方程可以转化为或者两个方程．
解得，；
解，即，解得，
经检验是方程的增根，
综上是原方程的根．
【总结】考察利用整体换元法解无理方程，注意解完后要验根．
10.解下列方程组：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）由因式分解得，得．
把代入式整理得，解得：，
所以原方程组的解为；
把代入式整理得，解得：，
所以原方程组的解为；
综上原方程组的解为；
（2）由可整理为，因式分解为；
由因式分解为，
所以原方程组可转化为，，，，
分别解这四个方程组得原方程组的解为：．
【总结】考察二元二次方程组的解法，能因式分解的尽量因式分解来降次，从而转化为次数低些的方程组来求解．
11.解方程：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】观察方程，可以转化为，
从而得，
因式分解为，因为，
所以只有，解这个无理方程得，
经检验是原方程的解．
【总结】考察复杂方程的解法，注意整体变形，解完后要检验．
12.解方程：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由得，由得，则，
解得：，所以原方程组的解为；
当，得，代入整理得，
解得：，代入得，
综上原方程组的解为．
【总结】考察复杂二元二次方程组的解法，注意进行方法的归纳总结．
13.已知方程组有两组实数解和，且，
设．
求m的取值范围；
试用关于m的代数式表示出n；
是否存在这样的值m，使n的值等于-2，若存在，求出这样的所有的m的值；
若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）把代入得，整理得，
此一元二次方程有两个实数根，所以，即，得，
因为，即两个解都不为0，所以可得，综上；
（2），由韦达定理知，
代入，整理得．
（3）因为，即，整理得，
解得：，因为，所以．
【总结】考察二元二次方程组的解的应用，综合性较强，注意韦达定理的熟练用．
模块一：无理方程
知识精讲
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
2．解无理方程的一般步骤是去根号，方法是两边同时平方，注意要检验增根的情况．
检验方程的增根从两方面出发：
根号有意义的条件；
方程左右是否相等．
例题解析
例1.（金山2018期中2）下列方程中，无理方程是（ ）
A.； B.； C.； D..
例2.下列方程是哪些是无理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）； （5）； （6）．
例3.（松江2018期中15）下列关于x的方程中，有实数根的是（ ）
A.； B.； C.； D..
例4.（浦东四署2019期中3）下列关于x方程中，有实数根的是（ ）
A.； B.；
C.； D..
例5.判定下列方程是否有实数根：
（1）；
（2）（p为实数）．
例6..（浦东四署2019期中7）方程的根是 .
例7.. （松江2019期中13）方程的解是_____________.
例8.将下列无理方程化成有理方程：
①；②．
例9.解下列无理方程：；
（1）；（2）．
例10.解下列无理方程：
（1）；
（2）；
（3）．
例11.解下列方程：
（1）； （2）．
例12.若方程有一个根x=1，求m的值及方程的其他的根．
例13.解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
例14.解方程：；
例15.用换元法解无理方程：
【提示：】．
例16.解方程：．
例17.设实数、、z满足，求、、的值．
模块二：二元二次方程及方程组
知识精讲
仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2．像这样的方程组叫做二元二次方程组．
能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解．
3、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解．
例题解析
例1.下列方程是二元二次方程的有（）个
； ②； ③； ④．
A．1B．2C．3D．4
例2.下列方程组中，不是二元二次方程组的是（）
A．；B．
C．；D．
例3.（杨浦2019期中9）将方程组： 转化成两个二元一次方程组分别是 和 .
例4. （黄浦2018期中5）方程组有实数解，则k的取值范围是（ ）
A.； B.； C.； D..
例5. （浦东2018期中5）在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是（ ）
A.； B. ； C.； D.
例6.解下列方程组：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
例7.解下列方程组：
（1） ；（2）；
（3）．
例8.若方程组有实数解，求实数k的取值范围．
例9.若二元二次方程组有唯一解，求实数的值及方程组的解．
例10.解方程组：
（1）； （2）．
例11.解方程组：
（1）；（2）．
例12.设方程组的解是，，求和的值．
例13.解下列方程组：
（1）； （2）．
例14.解方程组：．
例15.解方程组：．
例16.已知方程组
（1）求证：不论为何值时，此方程组一定有实数解；
（2）设等腰△ABC的三边长分别为，，，其中，且，是该方程的两个解，求△ABC的周长．
例17.已知方程组只有一组实数解，求a的值．
随堂检测
1.下列方程是哪些是无理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
2.不解方程试说明下列方程为什么没有实数根？
（1）；（2）．
3.（1）若关于的方程有实数根，则的取值范围是__________；
（2）将化成整式方程是____________．
4.下列方程组中哪一个是二元二次方程组（）
A．B． C． D．
5.由方程组，消去后得到的方程是__________．
6.解下列方程：
（1）；（2）．
7.解下列方程：
（1）；（2）．
8.解下列方程组：
（1）； （2）．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
10.解下列方程组：
（1）；（2）．
11.解方程：．
12.解方程：．
13.已知方程组有两组实数解和，且，
设．
求m的取值范围；
试用关于m的代数式表示出n；
是否存在这样的值m，使n的值等于-2，若存在，求出这样的所有的m的值；
若不存在，请说明理由．
第5讲 无理方程和二元二次方程组
模块一：无理方程
知识精讲
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
2．解无理方程的一般步骤是去根号，方法是两边同时平方，注意要检验增根的情况．
检验方程的增根从两方面出发：
根号有意义的条件；
方程左右是否相等．
例题解析
例1.（金山2018期中2）下列方程中，无理方程是（ ）
A.； B.； C.； D..
【答案】C；
【解析】根式中被开方数中不含未知数，故A、B、D都不是无理方程；而C、含有根式且被开方数中含有未知数，这样的方程是无理方程；因此选C.
例2.下列方程是哪些是无理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）； （5）； （6）．
【难度】★
【答案】（1），（2），（4）．
【解析】方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
根据无理方程的概念，（1），（2），（4）是无理方程．（3），（5），（6）中被开方数中没有未知数，不是无理方程．其中（3）是一元二次方程，是整式方程；（5），（6）都是分式方程．
【总结】考察无理方程的基本概念．
例3.（松江2018期中15）下列关于x的方程中，有实数根的是（ ）
A.； B.； C.； D..
【答案】B；
【解析】A、依题得，不可能，故方程无实数根；B、，故方程有实数根；C、解得x=1是增根，故方程无实数根；D、由易知无实数根. 因此答案选B.
例4.（浦东四署2019期中3）下列关于x方程中，有实数根的是（ ）
A.； B.；
C.； D..
【答案】C；
【解析】A、右边，不可能等于0，故无实数根；B、因为，故方程无实数根；C、原方程可化为，解得，经检验知方程的根；D、解之得是增根，故方程无实数根；因此答案选C.
例5.判定下列方程是否有实数根：
（1）；
（2）（p为实数）．
【难度】★
【答案】（1）有实数根；（2）没有实数根．
【解析】根据无理方程有意义的条件，要同时满足，得到：，
代入原方程，左边右边，方程成立，所以该方程有实数根．
（2）中，方程左边，而右边，所以，左边右边，故方程没有实数根．
【总结】考察无理方程有意义的前提条件与方程的实数解的关系．
例6..（浦东四署2019期中7）方程的根是 .
【答案】；
【解析】两边平方得，因此.
例7.. （松江2019期中13）方程的解是_____________.
【答案】x=2
【解析】解：∵，∴x﹣2=0或x﹣1=0，解得x=2或x=1，当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，则原方程的解为x=2.故答案为：x=2.
例8.将下列无理方程化成有理方程：
①；②．
【难度】★
【答案】；．
【解析】方程中只有一个根号，左右两边同时平方，得，整理得：；
方程中根号里面部分与根号外面部分有倍数关系，所以设
，则，所以原方程可转化为，
化简整理得：．
【总结】考察解无理方程的思想，即化无理方程为有理方程．
例9.解下列无理方程：；
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）方程是则得的形式，所以解（1）方程得
并且还要保证，解得：，又因为当时，没意义，
所以经检验是原方程的根．
（2）方程只含一个根号，所以整理为，等号两边同时平方去根号得：，整理得，，得，
经检验都是原方程的根．
【总结】考察无理方程的基本解法，注意不要忘了最后一步检验所得解是否是增根．
例10.解下列无理方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）方程含两个根号，要尽量分散在等号的两边，原方程整理为，
等号两边平方得，整理得，再等号两边平方得
，整理得：，从而，得：，
经检验是原方程的根，是原方程的增根；
原方程整理为，等号两边平方得，
整理得，等号两边再平方得，整理得，从而，得：．
经检验都是原方程的根；
方程含3个根号，通过观察方程先整理为，然后等号两边平方得，整理得：，等号两边平方得，整理得，从而，
经检验是原方程的根．
【总结】考察含有两个根号或者三个根号无理方程解法，注意最后要验根．
例11.解下列方程：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）x=3．
【解析】（1）整理得，等号两边平方得
，整理得，
等号两边平方得，整理得：，解得：．
经检验是原方程的根；
（2）方程整理得，为等号左边0，
所以右边0，当x=3时，方程成立，当x≠3时，可得，
等号两边平方得，整理得，
因为0，，所以而左边，所以方程无解．
综上，原方程的解为x=3．
【总结】考察含有多个根号的无理方程的解法，注意解完之后进行检验．
例12.若方程有一个根x=1，求m的值及方程的其他的根．
【难度】★★
【答案】为一切非负数．
【解析】把代入原方程，得，等号两边平方得，，
整理得，从而，解得：，
经检验是原方程的根．把代入原方程，
整理得，所以为一切非负数．
【总结】考察无理方程的根的意义，及解无理方程的方法．
例13.解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）设，则，原方程可转化为，
化简整理得：，从而，因为，解得：，
即，等号两边平方得，解得：，
经检验是原方程的根；
（2）原方程可转化为，设，
原方程可转化为，整理得，从而，
因为解得，即，等号两边得，解得：，
经检验是原方程的根；
（3）原方程可以转化为，
因式分解，
得：，
当时，解此无理方程得：
经检验是原方程的根；
当，解此无理方程得：，
经检验是原方程的根，
综上所述原方程的根是：．
【总结】考察利用换元法求无理方程的解，求解后注意进行验根．
例14.解方程：；
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为，所以原方程可以转化为
，可得，
从而因式分解可得，因为，
可得，即，
解此无理方程可得，
经检验是原方程的根．
【总结】考察整体换元法解无理方程，综合性较大，注意认真分析方程的特点．
例15.用换元法解无理方程：
【提示：】．
【难度】★★★
【答案】无实数根．
【解析】设，则有，
又，
所以有，得．
即，得，
解此方程可得：，
经检验不是原方程的根，故原方程无实数根．
【总结】考察利用换元法解特殊无理方程，注意对所求得的根进行检验．
例16.解方程：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】）设，则，
原方程可转化为，
化简整理得：，从而，
因为，解得：，即，
等号两边平方得，
因式分解得，解得：，
经检验是原方程的根．
【总结】考察利用换元法解无理方程，注意对方法的提炼．
例17.设实数、、z满足，求、、的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原方程可转化为，
即，
得，
解得：，
经检验满足原方程．
【总结】考察几个非负数的和为零的基本模型，注意根据题目中的条件先进行配方．
模块二：二元二次方程及方程组
知识精讲
仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2．像这样的方程组叫做二元二次方程组．
能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解．
3、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解．
例题解析
例1.下列方程是二元二次方程的有（）个
； ②； ③； ④．
A．1B．2C．3D．4
【难度】★
【答案】
【解析】是分式方程；②，③是二元二次方程．④是二元三次方程．
【总结】考察二元二次方程的基本概念．
例2.下列方程组中，不是二元二次方程组的是（）
A．；B．
C．；D．
【难度】★
【答案】
【解析】是无理方程，二元二次方程是有理方程．
【总结】考察二元二次方程组的基本概念．
例3.（杨浦2019期中9）将方程组： 转化成两个二元一次方程组分别是
和 .
【答案】；
【解析】，由①得，所以，故原方程组可化为.
例4. （黄浦2018期中5）方程组有实数解，则k的取值范围是（ ）
A.； B.； C.； D..
【答案】D；
【解析】解：，由②得，y=2x-k③，把③代入①，得x2-（2x-k）=2，∴△=4-4（k-2）≥0，解得k≤3，故选：D．
例5. （浦东2018期中5）在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是（ ）
A.； B. ； C.； D.
【答案】C
【解析】解：A、第二个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； B、第一个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； C、两个解都是方程组的解，方程组也满足由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项符合题意； D、方程组不是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项不符合题意； 故选：C．
例6.解下列方程组：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【解析】（1）由，可得，代入式得，整理得
，解得：，分别代入得，
所以原方程组的解为．
（2）由可得，所以原方程组可分解为，
分别解这两个方程组可得原方程组的解为：；
（3）式可转化为，把整体代入，得，
所以原方程组可分解为两个方程组，
分别解这两个方程组可得原方程组的解为：；
（4）式可分解为，所以原方程组可转化为，
分别解这两个方程组可得原方程组的解为：．
例7.解下列方程组：
（1） ；（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）．
【解析】（1）由得，代入整理得，解得：，
代入，得：，所以原方程组的解为；
（2）由因式分解得，由得，可知，
所以原方程组可以转化为四个方程组，
分别解这四个方程组得原方程组的解为：；
（3）由可得，即，
所以原方程组可以转化为两个方程，
分别解这两个方程组得原方程组的解为：．
【总结】考察二元二次方程组的解法，注意代入法和因式分解法的灵活运用．
例8.若方程组有实数解，求实数k的取值范围．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由得，代入式得，整理得
，因为方程组有实数解，所以，即，
得，即．
【总结】考察二元二次方程组有实数解的应用，最终转化为一元二次方程有实数解的问题．
例9.若二元二次方程组有唯一解，求实数的值及方程组的解．
【难度】★★
【答案】．
【解析】把代入中，得，
整理得，因为方程组有唯一解，
故可分为两种情况：当时，即，此时方程为一元一次方程，有唯一解，
当时，代入，得：；
当时，代入，得：．
当时，方程有唯一解，即，即，
整理得，此方程无实数根．
综上．
【总结】考察二元二次方程组有唯一解的应用，注意从多个角度进行分类讨论．
例10.解方程组：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）由可因式分解得，
从而得，
所以原方程组可以转化为两个方程组，
分别解这两个方程组得原方程组的解为：；
（2）由可因式分解为，由得，
所以原方程组可以转化为
分别解这四个方程组可得原方程组解为：．
【总结】考察复杂二元二次方程组的解法，注意方法的灵活运用．
例11.解方程组：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）原方程组可以转化为，设，
则原方程组可转化为，由韦达定理，设以为两根的方程为，
因式分解得，解得：，
所以，即，
再分别解这两个方程组得原方程组的解为：；
（2）原方程组可以转化为，所以设以和为两个实数根的一元二次方程为，从而因式分解为，得：．
即或，用同样方法解方程组，得：，
同理解方程组，得，
综上，原方程组的解为：．
【总结】考察利用整体换元法求二元二次方程组的解，注意对方法的归纳总结．
例12.设方程组的解是，，求和的值．
【难度】★★
【答案】；．
【解析】把方程组中代入中，得，
整理得，，由韦达定理知，
所以，．
【总结】考察二元二次方程组的应用，利用方程组的解再结合韦达定理求出相应的值．
例13.解下列方程组：
（1）； （2）．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由×8-×5得，
整理得，因式分解得：，解得：；
当时，代入，得，解得：，
从而得方程组的解为：；
同理当时，解得方程组的解为：．
综上，原方程组的解为；
观察到方程组中前面三个二次项的系数成倍数关系，所以×3-×2，
得：，
整理得：，代入，得，
整理得：，解得：，所以，
综上原方程组的解为：．
【总结】考察特殊二元二次方程组的解法，注意对两种方法的总结以及所适应的方程的特征的归纳．
例14.解方程组：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】观察两个方程，+得，从而，
-得，即，
与联立相加得：，
解得，；把代入式中得，
整理得：，得，得，从而得原方程的解为；
同理把代入式中得，
解得：，代入，得，
故原方程组的解为：．
例15.解方程组：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】设，则，
原方程组可转化为，因为，
所以可得，又因为，联立得，即，
根据韦达定理设以为两实数解的一元二次方程为，
因式分解得，得．
所以方程组的解为．
即原方程组的解为．
【总结】考察利用整体换元法解二元二次方程组，综合性较强．
例16.已知方程组
（1）求证：不论为何值时，此方程组一定有实数解；
（2）设等腰△ABC的三边长分别为，，，其中，且，是该方程的两个解，求△ABC的周长．
【难度】★★★
【答案】（1）见解析；（2）10．
【解析】（1）将代入，得，
整理得，，
所以不论为何值时，此方程组一定有实数解；
（2）可分为两种情况，或者．
第一种情况，即方程组有两个相等的实数根，可知，从而，
由韦达定理得，此时不能构成三角形，舍去；
第二种情况，将代入，得，
由韦达定理得，可得：，此时能构成三角形，
故周长=4+4+2=10．
【总结】考察二元二次方程组的应用及对方程组有解的准确理解．
例17.已知方程组只有一组实数解，求a的值．
【难度】★★★
【答案】或．
【解析】由，知，
由可知，把代入，可得，
整理得，①当时，整理得，
因式分解得，解得：．
当时，，得，解得：，
经检验是原方程根；
当时，，得，解得：，
经检验是原方程增根．
当有两个异号实数根时，则△>0且2a+12<0，∴；
当有一负根另一根为零时，则△>0且a<0，2a+12=0，∴．
综上所述：或．
【总结】本题综合性较强，考察二元二次方程组的唯一解的应用，注意从多个角度去分类讨论．
随堂检测
1.下列方程是哪些是无理方程?
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【难度】★
【答案】（1）（2）（3）（4）（6）
【解析】无理方程的概念即被开方数是涵未知数的代数式，根据概念可知只有（5）不符合要求．
【总结】考察无理方程的基本概念．
2.不解方程试说明下列方程为什么没有实数根？
（1）；（2）．
【难度】★
【解析】（1）有题意知且，两不等式无交集，所以方程无实数根．
（2）由题意知，且，要，只有0+0=0，
此时且，不符合实际情况，所以无实数根．
【总结】考察无理方程中增根的理解，即要注意验根．
3.（1）若关于的方程有实数根，则的取值范围是__________；
（2）将化成整式方程是____________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题知，所以；
（2）由题知，原方程可转化为，
即
【总结】（1）考察无理方程中增根的产生过程，解无理方程中一定要验根．（2）考察解无理方程的一般方法．
4.下列方程组中哪一个是二元二次方程组（）
A．B． C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】二元二次方程组是含两个未知数，且最高次为两次的整式方程组．A中最高次为1次;C中含，是无理方程；D中分母中含未知数，为分式方程．所以答案是B.
【总结】考察二元二次方程组的基本概念
5.由方程组，消去后得到的方程是__________．
【难度】★
【答案】．
【解析】由得代入中得，整理得．
【总结】考察代入消元法解二元二次方程组的方法．
6.解下列方程：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题得，两边同时平方得，整理得，
因式分解得，从而得，
经检验，是原方程的解；
（2）由题得，两边同时平方得，整理得，
因式分解得，从而得：
经检验是原方程的解，是增根．
【总结】考察无理方程的基本解法，注意最后要验根．
7.解下列方程：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由得，代入中得，整理得，
因式分解得，解得：，
代入，得，所以原方程组的解为；
（2）由得，代入中得，整理得，
因式分解得，得，故得：，
所以原方程组的解为．
【总结】考察二元二次方程组的方法，注意对代入法的正确理解及运用．
8.解下列方程组：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由得，代入得，整理得，
因式分解得：，解得：，代入中得．
综上原方程组的解为：；
（2）由得，所以原方程组可转化为和两个方程组，
分别解上述两个方程组得方程组的解为：．
【总结】考察利用因式分解法求二元二次方程组的解．
9.解下列方程：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原方程可以转化为，，
设，则，原方程可以转化为，
整理为，因式分解为，因为，所以，
即，整理得，因式分解为，得，
经检验是原方程的解；
（2）原方程可以转化为，
整理得，
从而因式分解为，
所以原方程可以转化为或者两个方程．
解得，；
解，即，解得，
经检验是方程的增根，
综上是原方程的根．
【总结】考察利用整体换元法解无理方程，注意解完后要验根．
10.解下列方程组：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）由因式分解得，得．
把代入式整理得，解得：，
所以原方程组的解为；
把代入式整理得，解得：，
所以原方程组的解为；
综上原方程组的解为；
（2）由可整理为，因式分解为；
由因式分解为，
所以原方程组可转化为，，，，
分别解这四个方程组得原方程组的解为：．
【总结】考察二元二次方程组的解法，能因式分解的尽量因式分解来降次，从而转化为次数低些的方程组来求解．
11.解方程：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】观察方程，可以转化为，
从而得，
因式分解为，因为，
所以只有，解这个无理方程得，
经检验是原方程的解．
【总结】考察复杂方程的解法，注意整体变形，解完后要检验．
12.解方程：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由得，由得，则，
解得：，所以原方程组的解为；
当，得，代入整理得，
解得：，代入得，
综上原方程组的解为．
【总结】考察复杂二元二次方程组的解法，注意进行方法的归纳总结．
13.已知方程组有两组实数解和，且，
设．
求m的取值范围；
试用关于m的代数式表示出n；
是否存在这样的值m，使n的值等于-2，若存在，求出这样的所有的m的值；
若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）把代入得，整理得，
此一元二次方程有两个实数根，所以，即，得，
因为，即两个解都不为0，所以可得，综上；
（2），由韦达定理知，
代入，整理得．
（3）因为，即，整理得，
解得：，因为，所以．
【总结】考察二元二次方程组的解的应用，综合性较强，注意韦达定理的熟练用．
