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沪教版八年级数学辅导讲义第7讲代数方程的复习(讲义)原卷版+解析
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这是一份沪教版八年级数学辅导讲义第7讲代数方程的复习(讲义)原卷版+解析，共45页。
第7讲 代数方程的复习本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及其解法，学习了列方程解应用题．到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大体完整．本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习．一、选择题例1.下列方程中，是二项方程的是（ ）A． B． C． D．例2.（2019·上海八年级单元测试）下列方程中，是关于x的分式方程的是（ ）A．12x2+25x−13=0 B．x+12+x−53=0C．x−13+x+22−1x=0 D．x−1m+x+2n−1nm=0例3．（2019·上海八年级单元测试）如果x≻0,y≻0，且3x−2y=xy，则yx的值可能是（ ）A．-94 B．1 C．94 D．以上都无可能例4．（2019·上海八年级单元测试）下列判断错误的是（ ）A．方程x+5=x−1没有负数根 B．方程x+2=xx+2的解的个数为2C．方程x+9=3−x没有正数根 D．方程x−2x+3x2−4=0的解为x1=2,x2=3例5．（2019·上海八年级单元测试）如果 是方程组的一组解，那么这个方程组的另一组解是（ ）A． B． C． D．例6.下列方程中，不是无理方程的是（ ） A． B． C． D．例7.已知方程：① ；②；③；④ . 这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4例8.用换元法解分式方程时，设，原方程可变形为（ ） A． B． C． D．例9.如果关于的方程无解，那么满足（ ）. A． B． C． D．任意实数.例10.下列方程中，没有实数解的是（ ） A． B． C． D．例11.方程组的解的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4例12.方程的根是（ ）． A．， B．， C． D．例13.等式（ ） A． B． C． D．例14.若解分式方程产生增根，则m的值（ ） A．-1或-2 B．-1或2 C．1或2 D．1或-2例15.分式方程中，若设，则原方程可化为（ ） A． B． C． D． ww.zk5u.com例16.甲队为小区安装60台热水器，乙队为A小区安装热水器66台，两队安装的天数相同，乙队比甲队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D．例17.某项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现甲乙合作5天，余下的再由甲独做3天完成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要x天，可列方程（ ）A． B． C． D．例18.若，则的值为（ ） A．6 B．-1 C．1 D．1或-1例19.已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则可能取值的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1填空题例1.（2018·上海市行知实验中学八年级期中）如果关于的方程有增根，则_______________.例2．（2019·上海八年级单元测试）若方程有实数根，则k的取值范围为___________例3．（2019·上海八年级单元测试）已知方程ax+by=8的两个解为和，则a+b=__________.例4．（2019·上海八年级单元测试）已知x=3是方程一个根，求k的值=_______.例5．（2019·上海八年级单元测试）若关于x的分式方程无解，则m=_________．例6.方程的解是______．例7.（1）方程的根是______________； （2）方程的根是______________．例8.方程有______个实数根．例9.学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共比赛21场，则参加比赛的选手有 ___________名．例10.（1）当m______时，方程有实数解； （2）方程无解，m的值为__________．例11.方程产生增根，则k=_________．例12.当a=______时，关于x的方程无解．例13.若，则的值为__________．例14.已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是__________．例15.一本书有a页，若每天看b页，则需要____天看完；若每天多看3页，则需要_____天看完；若要比原来提前3天看完，则每天需要比原来多看______页．例16.两个连续的正偶数的和的平方是196，这两个数是______．例17.方程的解中，、互为相反数的解是________．例18.若方程组有两组相等的实数解，则的值为______．例19.若是方程组的一个解，则这个方程组的另一个解是______．例20.方程组，由①+②得，则原方程组可化为 与__________两个方程组．例21.若飞机在无风时每小时飞行165千米，飞机依直线飞行了450千米后，依原来的路线飞回原处，已知飞机去时是逆风，回来时是顺风，回来时比去时少用了半个小时，求风速是多少，设风速是x千米每小时，根据题意可列方程 ______________．例22.若5，则=__________，=___________．例23.当时，方程组的实数解的个数是__________个．三、解答题1．（2019·上海八年级单元测试）k为何值时，方程组只有唯一解？2．（2019·上海八年级单元测试）已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.3．（2019·上海八年级单元测试）若解分式方程产生增根，则m的值是多少？4．（2019·上海八年级单元测试）解下列方程（1） （2）5．（2019·上海八年级单元测试）已知a是非零整数，且满足，解关于x的方程：6.解下列关于x的方程： （1）； （2）．7.解下列关于x的方程： （1）； （2）．8.解下列方程：（1）； （2）．9.解下列方程组： （1）； （2）； （3）．10.若x=2是方程的根，求m的值．11.k为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解?（2）有两组不相等的实数解?（3）没有实数解?12.A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道．13.将进货单价为35元的某种商品按照60元出售时，能卖出600个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就会减少20个，考虑带运输费、柜面费相等指出，每件商品还要追加5元成本，为了获得8000元利润，售价应为多少?这时该进货多少?14.分式方程有解，求m的取值范围．15.某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元．工程预算的施工费用为50万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用?若不够用，需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由．16.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由．17.已知有一个增根是4，求的值．18.已知A（-1，4）、B（2，3），点P在x轴上，且△ABP是直角三角形，求点P的坐标．19.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q同时从A、B出发，经过的时间是t秒，（1）S表示△BPQ的面积，写出S和t的函数关系式；（2）t为何值时，S等于8平方厘米?（3）t为何值时，五边形APQCD的面积最小?最小值是多少? 第7讲 代数方程的复习本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及其解法，学习了列方程解应用题．到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大体完整．本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习．一、选择题例1.下列方程中，是二项方程的是（ ）A． B． C． D．【难度】★【答案】C【解析】如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．A.左边没有非零常数；B.左边含有未知数的两项；D.右边不是零．【总结】考查二项方程的概念．例2.（2019·上海八年级单元测试）下列方程中，是关于x的分式方程的是（ ）A．12x2+25x−13=0 B．x+12+x−53=0C．x−13+x+22−1x=0 D．x−1m+x+2n−1nm=0【答案】C【分析】A、B选项分母上都没有未知数，所以不是分式方程；D选项是分式方程，但不是关于x的分式方程，只有C正确.【详解】根据分式方程的定义得：x−13+x+22−1x=0是分式方程，故选C．【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．例3．（2019·上海八年级单元测试）如果x≻0,y≻0，且3x−2y=xy，则yx的值可能是（ ）A．-94 B．1 C．94 D．以上都无可能【答案】B【分析】可将方程两边同时平方，从而将无理方程转化为整式方程，运用因式分解法即可得到y与x的关系，从而解决问题.【详解】将方程3x−2y=xy两边同时平方，并整理得，9x2−13xy+4y2=0（其中3x-2y＞0） 即（9x-4y）(x-y)=0，解得，y=94x，或y=x，当y=94x时，3x-2y=-32x，∵x＞0，∴ 3x-2y＜0，不符合要求，当y=x时，3x-2y=x＞0，符合要求. ∴yx=1， 故选B.【点睛】本题主要考查了解无理方程，运用因式分解法解方程，需要注意的是将无理方程转化为整式方程，可能会出现增根，本题需要挖掘出隐含条件3x-2y＞0.例4．（2019·上海八年级单元测试）下列判断错误的是（ ）A．方程x+5=x−1没有负数根 B．方程x+2=xx+2的解的个数为2C．方程x+9=3−x没有正数根 D．方程x−2x+3x2−4=0的解为x1=2,x2=3【答案】D【分析】解各个方程即可得到结论．【详解】A. ∵x+5=x−1，∴x+5=(x−1)2 解得，x1=4,x2=−1 经检验，x=-1，是增根，∴原方程的解为：x=4.故选项A判断正确.B. 方程x+2=xx+2两边同时平方得，x+2=x2(x+2)，∴x+2−x2(x+2)=0 ∴(x+2)(1−x2)=0解得，x1=−2，x2=1，x3=−1经检验，x=-1是增根.∴x1=−2，x2=1是原方程的解，故B判断正确；C. 方程x+9=3−x两边同时平方得，x+9=(3−x)2 解得，x=0，或x=7，经检验，x=7是增根，∴原方程的解为：x=0，故选项C判断正确；D.根据题意得，x−2=0x+3=0x2−4＞0 ，解得，x=-3.故选项D判断错误，故选D.【点睛】本题考查了无理方程，分式方程，一元二次方程的解法，熟练掌握解各种方程的方法是解题的关键．例5．（2019·上海八年级单元测试）如果 是方程组的一组解，那么这个方程组的另一组解是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入方程组求得，再解方程组即可得解.【详解】将代入方程组中得：，解得：，则方程组变形为：，由x+y=5得：x=5-y，将x=5-y代入方程xy=4中可得：y2-5y+4=0，解得y=4或y=1，将y=1代入xy=4中可得：x=4，所以方程的另一组解为：．故选A．【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解题的关键．例6.下列方程中，不是无理方程的是（ ） A． B． C． D．【难度】★【答案】B【解析】无理方程是根号下含有未知数的方程，B选项的根号下是常数，容易错选．【总结】考查无理方程的概念．例7.已知方程：① ；②；③；④ . 这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★【答案】C【解析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程． ①中分母是常数，②③④分母中都含有未知数，是分式方程【总结】考查分式方程的概念．例8.用换元法解分式方程时，设，原方程可变形为（ ） A． B． C． D．【难度】★【答案】A【解析】 ，∴原方程变形为即【总结】考查换元后方程的变形问题．例9.如果关于的方程无解，那么满足（ ）. A． B． C． D．任意实数.【难度】★【答案】B【解析】当时，，即【总结】考查方程无解的条件．例10.下列方程中，没有实数解的是（ ） A． B． C． D．【难度】★【答案】B【解析】B中，∵，∴无解【总结】考查无理方程的解的情况．例11.方程组的解的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★【答案】B【解析】由式知代入式得，，∴有两个解．【总结】考查方程的解法．例12.方程的根是（ ）． A．， B．， C． D．【难度】★★【答案】A【解析】两边同时平方得：， 即：，经检验，均是原方程的解．【总结】考查无理方程的解法，注意解完要验根．例13.等式（ ） A． B． C． D．【难度】★★【答案】D【解析】由，得，由得，由得，∴．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性的运用．例14.若解分式方程产生增根，则m的值（ ） A．-1或-2 B．-1或2 C．1或2 D．1或-2【难度】★★【答案】A【解析】最简公分母为：；去分母：；把代入方程，得：；把代入方程，得：方程无解；把代入方程，得：． 综上，．【总结】考查分式方程产生增根的条件．例15.分式方程中，若设，则原方程可化为（ ） A． B． C． D． ww.zk5u.com【难度】★★【答案】C【解析】，∴原方程可化为：．【总结】考查分式方程的变形，注意完全平方公式的运用．例16.甲队为小区安装60台热水器，乙队为A小区安装热水器66台，两队安装的天数相同，乙队比甲队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D．【难度】★★【答案】A【解析】乙比甲每天多2台，∴甲每天安装（x-2）台 甲安装的天数为，乙安装的天数为，由题意知可列方程：=．【总结】考查方程的应用，注意寻找题目中的等量关系．例17.某项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现甲乙合作5天，余下的再由甲独做3天完成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要x天，可列方程（ ）A． B． C． D．【难度】★★【答案】D【解析】由题意知甲单独做需要天，甲、乙的工作效率分别为； 由甲乙先合作5天，然后甲单独做3天，可知甲一共做了8天，乙一共做了5天， ∴可列方程．【总结】考查方程在工程问题中的应用，注意工作总量通常看作“1”．例18.若，则的值为（ ） A．6 B．-1 C．1 D．1或-1【难度】★★【答案】D【解析】由题意知， 所以，∴的值为1或-1．【总结】本题一方面考查了非负数的和为零的基本模型，另一方面考查了整体思想的运用．例19.已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则可能取值的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1【难度】★★★【答案】B【解析】由题意，显然满足条件的x，必然使得为整数，否则不可能为整数， 设（y为非负数），则原式化为：，即，因为y非负，所以要使得a为整数，则y=0、1、3；此时a=6、2、-3（舍），当a=0时，方程也有一个整数根，故a=6或2或0，故选B．【总结】考查无理方程的根的情况，对至少一个整数根要准确理解．填空题例1.（2018·上海市行知实验中学八年级期中）如果关于的方程有增根，则_______________.【答案】-1【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x−1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．【详解】方程两边都乘x−1得mx＋1-x＋1＝0，∵方程有增根，∴最简公分母x−1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．例2．（2019·上海八年级单元测试）若方程有实数根，则k的取值范围为___________【答案】k≥【分析】方程两边同时平方，再移项，根据x2≥0求解即可.【详解】∵，∴，即，∵x2≥0，∴，∴k≥或k≤-∵方程有实数根，∴k＞0，∴k≥.故答案为：k≥.【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．例3．（2019·上海八年级单元测试）已知方程ax+by=8的两个解为和，则a+b=__________.【答案】-4【分析】将两个解的值代入ax+by=8中，然后解出方程组即可求出a与b的值．【详解】将和代入ax+by=8，∴ 解得： ，∴a+b=-4，故答案为：-4.【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是正确理解二元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．例4．（2019·上海八年级单元测试）已知x=3是方程一个根，求k的值=_______.【答案】-3【分析】根据方程的解的定义，把x=3代入原方程，得关于k的一元一次方程，再求解可得k的值．【详解】把x=3代入方程，得，解得k=-3．故答案为：-3．【点睛】本题主要考查了分式方程的解的定义，属于基础题型．例5．（2019·上海八年级单元测试）若关于x的分式方程无解，则m=_________．【答案】2【分析】因为关于x的分式方程无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．【详解】两边同时乘以（x-3）去分母解得x=1+m，∵方程无解，∴说明有增根x=3，所以1+m=3，解得m=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的增根产生的原因是解题的关键．例6.方程的解是______．【难度】★★【答案】．【解析】令，则原方程变形为，当时，；当时，，解得：，经检验是原方程的解．【总结】考查换元法解分式方程，注意解完后要检验．例7.（1）方程的根是______________； （2）方程的根是______________．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先考虑，两边同时平方得：，，解得：，经检验是原方程的增根，所以原方程的根为：；由，得；对原方程两边同时平方得：即，∴，经检验是原方程的增根，所以原方程的解为：．【总结】考查无理方程的解法，注意解完后要检验．例8.方程有______个实数根．【难度】★★【答案】2个．【解析】首先用换元法，令，降次得，根据一元二次方程根的判别式，可知：， 则方程有两不相等的实数根，再由：根与系数的关系（韦达定理）可知方程两根之积为负，则舍掉负根，那么其中的一个正根必然会对应两个解，也就是x的值．【总结】考查高次方程的解的个数．例9.学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共比赛21场，则参加比赛的选手有 ___________名．【难度】★★【答案】7【解析】假设参赛选手有人，那么每个人都要和除了自己以外的个人去打比赛，则个人就要打场，又因为比赛单循环赛制，这样算下来有重复，所以再除以2，即可得最终比赛场次，那么根据题意可列出方程：，解得：n=7，即参赛选手有7名．【总结】考查学生的知识广度，本题涉及到一些小升初奥数知识，有条件的老师可略加拓展．例10.（1）当m______时，方程有实数解； （2）方程无解，m的值为__________．【难度】★★【答案】（1） ；（2）．【解析】（1）由，得；（2）由，得．【总结】考查二次根式的非负性的运用．例11.方程产生增根，则k=_________．【难度】★★【答案】k=或．【解析】两边同时乘以，可得：；当时，方程有增根，所以；当时，，综上所述k=或．【总结】考查方程有增根的情况，注意先化成整式方程再代值计算．例12.当a=______时，关于x的方程无解．【难度】★★【答案】a=或0．【解析】当a=时，方程可化为，无解；当a=0时，方程可化为，无解．【总结】考查方程无解的条件，注意进行分类讨论．例13.若，则的值为__________．【难度】★★【答案】5【解析】．【总结】考查完全平方公式的应用．例14.已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是__________．【难度】★★【答案】．【解析】由题意，先去分母，得：，解得：． 首先，因为方程解是非正数，那么：，解得：，其次，必须满足原分式方程分母不为零：即，，即，因此，．【总结】考查方程的解的应用及方程有意义的隐藏条件．例15.一本书有a页，若每天看b页，则需要____天看完；若每天多看3页，则需要_____天看完；若要比原来提前3天看完，则每天需要比原来多看______页．【难度】★★【答案】．【解析】每天看b页，需要天看完；每天多看3页，需要天看完； 若要比原来提前3天看完，即现在需要天看完，现在每天看， ∴现在每天比原来多看页【总结】考查分式方程的应用．例16.两个连续的正偶数的和的平方是196，这两个数是______．【难度】★★【答案】6、8．【解析】设这两个数分别为x、x+2，则，∴， ∴这两个数分别是6、8．【总结】考查方程在数字问题中的简单应用．例17.方程的解中，、互为相反数的解是________．【难度】★★【答案】或．【解析】由题意，、互为相反数，即，代入方程得： 化简得：，即：，， 解得：，所以 所以互为相反数的两个解是或．【总结】考查方程的解的应用．例18.若方程组有两组相等的实数解，则的值为______．【难度】★★【答案】．【解析】由，代入化简可得：，即，因为方程组有两组相等的实数解，所以△==，解得：．【总结】考查方程组有两组相等的实数解的问题，最终转化为一元二次方程的解进行求值．例19.若是方程组的一个解，则这个方程组的另一个解是______．【难度】★★【答案】．【解析】将方程组的解代入原方程组，可得， 可以发现，只要满足这样的关系，就可以是方程组的解，那么我们考虑把x、y互换位置 即方程组的另一个解可以是．【总结】考查方程的解的问题，以后碰到类似的情况仍然可以使用这个办法，因为x、y是不分先后的．例20.方程组，由①+②得，则原方程组可化为 与__________两个方程组．【难度】★★【答案】．【解析】由题意，我们将开方，得，故答案为．【总结】考查二元二次方程组的因式分解问题．例21.若飞机在无风时每小时飞行165千米，飞机依直线飞行了450千米后，依原来的路线飞回原处，已知飞机去时是逆风，回来时是顺风，回来时比去时少用了半个小时，求风速是多少，设风速是x千米每小时，根据题意可列方程 ______________．【难度】★★★【答案】．【解析】设风速是x，根据来回所用的时间差，可列方程：【总结】考查分式方程，先找准等量关系是关键，再依据题意列方程即可．例22.若5，则=__________，=___________．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意知：，∴， ∴，．【总结】考查绝对值与平方的非负性的运用．例23.当时，方程组的实数解的个数是__________个．【难度】★★★【答案】2．【解析】由题意，把代入，可得：， 根的判别式，因为，可知， 则x有两个不相等的实数解，所以方程组也有两个实数解．【总结】考查含参数的方程组的应用．三、解答题1．（2019·上海八年级单元测试）k为何值时，方程组只有唯一解？【答案】k=.【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.【详解】 由（2）得， y=x-k（3） 将（3）代入（1）得，，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即 ， 解得，k=.所以当k=时，方程组只有唯一解.【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．2．（2019·上海八年级单元测试）已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm、16cm、20cm.【分析】设两直角边为a、b，则斜边为，根据已知得：求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a、b，则斜边长为，根据题意得，解得或，经检验，和都是方程的解，所以斜边长为cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm.【点睛】此题运用三角形面积表示出，然后由勾股定理导出是关键．3．（2019·上海八年级单元测试）若解分式方程产生增根，则m的值是多少？【答案】m=1或m=-2.【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x+1）化分式方程为整式方程，然后把增根代入进行计算即可求出m的值．【详解】方程两边都乘以x（x+1）得，2x2-m-1=（x+1）2，若分式方程产生增根，则x（x+1）=0，解得x=0或x=-1，把代入整式方程，得解得；把代入整式方程，得解得∴m=1或m=-2.【点睛】本题考查了分式方程的增根的问题，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，把分式方程化为整式方程代入求解即可．4．（2019·上海八年级单元测试）解下列方程（1） （2）【答案】(1) x1=1;(2) x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4.【分析】（1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；（2）运用换元法求解即可.【详解】（1）方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)，即x2-3x+2=0，∴x1=1，x2=2．检验：x=1时，(x+2)(x-2)≠0，知x=1是原方程的解；x=2时，(x+2)(x-2)=0，知x=2是原方程的增根. 故原方程的根是x=1．（2）设x2－2x＝y，则原方程变形为 （y＋2）（y＋1）＋25（y－2）（y＋1）＝24（y2－4）整理后，得y2－11y＋24＝0.解得 y1＝3，y2＝8.①当y＝3时，x2－2x＝3,解得 x1＝－1，x2＝3， ②当y＝8时，x2－2x＝8.解得x3＝－2，x4＝4.经检验：x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4都是原方程的解.【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握运用分式方程的解法.5．（2019·上海八年级单元测试）已知a是非零整数，且满足，解关于x的方程：【答案】x1=，x2=【分析】首先解不等式组求得a的范围，然后根据a是非零整数，即可求得a的值，然后利用平方的方法即可求得．【详解】解：，解①得：a＞-，解②得：a＜， 则不等式组的解集是：-＜a＜．∵a是非零整数，∴a=1或-1． 当a=-1时，方程无解． 当a=1时，则方程是：，设=y,则原方程变形为：y²+3y=10,解得：(舍去), ,x²-3x=4，解得：x=和，经检验 x=和都是方程的解．故方程的解是：x1=，x2=．【点睛】本题考查了无理方程．在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．6.解下列关于x的方程： （1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）；（2），．【解析】（1）原方程可分解为：，∴， 解得原方程的解为：； （2）原方程可化为，即 ， 解得原方程的解为：，．【总结】考查简单的整式方程的求解，注意含字母参数时要讨论．7.解下列关于x的方程： （1）； （2）．【难度】★★【解析】（1）移项得：；分类讨论：当时，方程左边=0，右边=0，有无数个解；当时，方程左边=0，右边0，无解；当时，方程有唯一解：；观察方程每一项都含有，故而考虑消去，而题中没有说明不等于零，那么要分类讨论：当时，方程左边=右边=0，有无数个解；当时，方程左边右边可同时约掉，方程化为：，即，得．【总结】考查含参数的整式方程的解法，注意要分类讨论．8.解下列方程：（1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）73．【解析】（1）两边平方得：，， 两边再平方得：，解得：，经检验是原方程的解；，两边平方，整理得， 两边再平方，整理得：，解得：， 经检验，x=1是原方程的增根，所以是原方程的解为．【总结】考查无理方程的解法，通常整理后两边平方即可，注意解完后要检验．9.解下列方程组： （1）； （2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由可得，代入得，， 即，再与原方程组②式子联立，即可解得原方程组的解为：；原方程组化为，两式相除，得： 再把代入任一式，即得．所以原方程组的解为：；原方程组化为，所以， 当时，解得；当时，解得； 故原方程组的解为．【总结】考查二元二次方程组的解法，通常采用因式分解的方法，然后代入解出方程的解．10.若x=2是方程的根，求m的值．【难度】★★【答案】．【解析】由题意，把x=2代入原方程，得，两边平方得：，整理得：，再两边平方得：，整理得：，解得：．【总结】考查对无理方程的解得理解及简单应用． 11.k为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解?（2）有两组不相等的实数解?（3）没有实数解?【难度】★★【答案】（1）=1；（2）；（3）．【解析】把②式代入①式得：，整理得：，（1）当且时，有两个相等的值，解得：=1；当且时，有两个不相等的值，解得：；（3）当且时，方程无实数解，解得：．【总结】考查含字母系数的方程组的解法，注意分类讨论．12.A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道．【难度】★★【答案】甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里．【解析】设甲工程每周铺设管道公里，则乙工程队每周铺设管道公里． 根据题意得：，方程两边同时乘以，得：， 化简得：，解得：， 经检验均是原方程的解，但不符合题意，故舍去， 故甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里．【总结】考查分式方程在实际问题中的应用，注意要检验．13.将进货单价为35元的某种商品按照60元出售时，能卖出600个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就会减少20个，考虑带运输费、柜面费相等指出，每件商品还要追加5元成本，为了获得8000元利润，售价应为多少?这时该进货多少?【难度】★★【答案】80元或50元，进货为200个或800个．【解析】设涨价x元，根据题意可列方程：， 解得：，∴售价为80元或50元，此时进货为200个或800个．【总结】考查方程在利润问题中的应用．14.分式方程有解，求m的取值范围．【难度】★★★【答案】且．【解析】方程两边同乘以：，得：，即：， 因为方程的增根是，那么：当时，；当时，； 所以当或时，方程有增根，故要使原方程有解，则且．【总结】考查对分式方程有解的理解，最终转化为求增根的问题．15.某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元．工程预算的施工费用为50万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用?若不够用，需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由．【难度】★★★【答案】（1）60、90；（2）够用．【解析】（1）设乙队单独完成这项工程需要天，则甲对单独完成这项工程需要天， 则：，解得：；经检验：是原方程的解且符合题意． 故甲、乙两队单独完成这项工程各需60天、90天．设甲乙两队合作，完成这项工程需天，则：，解得： 需要施工费用（0.84+0.56）36=50.4>50， 所以预算的施工费用不够用，需加预算0.4万元．【总结】考查分式方程在实际问题中的应用，注意要检验．16.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）能；（2）甲组．【解析】设规定时间为天，则，解得：，经检验都是原方程的解．但x=2不符合题意，舍去．由24<28，可知甲乙两组合作可在规定时间内完成．（2）设甲乙两组合作完成这项工程的，用去天，则，解得：，由（1）得，甲单独完成需60天，乙单独完成需40天，则剩余的工作量，甲单独做剩下的工程所需时间：10天；因为20+10=30>28，所以甲单独做剩下工程不能在规定时间内完成；乙单独做剩下工程所需时间：天．因为20+=<28，所以乙单独做剩下工程能在规定时间内完成．所以我认为抽调甲组最好．【总结】考查分式方程的综合应用，找到题目中的等量关系从而列出方程是关键．17.已知有一个增根是4，求的值．【难度】★★★【答案】5．【解析】原方程变形得：， 两边同时平方得：，两边再同时平方得：，将x=4代入得：，解得：，当x =5时，符合要求，增根 x=4；当时，不符合要求． 综上可得．【总结】本题考查无理方程产生增根的条件．18.已知A（-1，4）、B（2，3），点P在x轴上，且△ABP是直角三角形，求点P的坐标．【难度】★★★【答案】点P的坐标为或．【解析】由题意：因为点P在x轴上，所以设该点坐标为：若是直角，则根据勾股定理，，根据两点间距离公式：，该方程无解；若是直角，则根据勾股定理，，根据两点间距离公式：，解得：，所以点P的坐标为若是直角，则根据勾股定理，根据两点间距离公式：解得：，所以点P的坐标为， 综上所述：点P的坐标为或．【总结】本题综合性较强，涉及到方程的解法以及勾股定理，和两点间的距离公式，考查代数与几何综合应用，另一方面，扎实的计算能力也是准确算出本题结果必不可少的条件．19.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q同时从A、B出发，经过的时间是t秒，（1）S表示△BPQ的面积，写出S和t的函数关系式；（2）t为何值时，S等于8平方厘米?（3）t为何值时，五边形APQCD的面积最小?最小值是多少?【难度】★★★【答案】（1）；（2）2或4；（3）t = 3时，S = 63．【解析】（1）由题意，设运动时间为，则， 则； （2），解得：， 故经过2秒或4秒时，面积等于8； （3）由题意可知，矩形面积不变，那么当三角形的面积最大时，五边形的面积则最小．根据，观察式子易知，当时，函数关系式中完全平方式为零，此时S最大，即．所以五边形面积为：．【总结】本题综合性较强，考查代数与几何的综合应用，涉及到动点的问题的解法以及以及函数的最值问题，虽然现阶段大部分学生可能不了解二次函数的最值求法，但是老师仍然可以引导学生换一个角度，从完全平方式的角度去考虑，注意帮学生总结方法，一样可以轻松的解决这种问题．
第7讲 代数方程的复习本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及其解法，学习了列方程解应用题．到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大体完整．本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习．一、选择题例1.下列方程中，是二项方程的是（ ）A． B． C． D．例2.（2019·上海八年级单元测试）下列方程中，是关于x的分式方程的是（ ）A．12x2+25x−13=0 B．x+12+x−53=0C．x−13+x+22−1x=0 D．x−1m+x+2n−1nm=0例3．（2019·上海八年级单元测试）如果x≻0,y≻0，且3x−2y=xy，则yx的值可能是（ ）A．-94 B．1 C．94 D．以上都无可能例4．（2019·上海八年级单元测试）下列判断错误的是（ ）A．方程x+5=x−1没有负数根 B．方程x+2=xx+2的解的个数为2C．方程x+9=3−x没有正数根 D．方程x−2x+3x2−4=0的解为x1=2,x2=3例5．（2019·上海八年级单元测试）如果 是方程组的一组解，那么这个方程组的另一组解是（ ）A． B． C． D．例6.下列方程中，不是无理方程的是（ ） A． B． C． D．例7.已知方程：① ；②；③；④ . 这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4例8.用换元法解分式方程时，设，原方程可变形为（ ） A． B． C． D．例9.如果关于的方程无解，那么满足（ ）. A． B． C． D．任意实数.例10.下列方程中，没有实数解的是（ ） A． B． C． D．例11.方程组的解的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4例12.方程的根是（ ）． A．， B．， C． D．例13.等式（ ） A． B． C． D．例14.若解分式方程产生增根，则m的值（ ） A．-1或-2 B．-1或2 C．1或2 D．1或-2例15.分式方程中，若设，则原方程可化为（ ） A． B． C． D． ww.zk5u.com例16.甲队为小区安装60台热水器，乙队为A小区安装热水器66台，两队安装的天数相同，乙队比甲队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D．例17.某项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现甲乙合作5天，余下的再由甲独做3天完成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要x天，可列方程（ ）A． B． C． D．例18.若，则的值为（ ） A．6 B．-1 C．1 D．1或-1例19.已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则可能取值的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1填空题例1.（2018·上海市行知实验中学八年级期中）如果关于的方程有增根，则_______________.例2．（2019·上海八年级单元测试）若方程有实数根，则k的取值范围为___________例3．（2019·上海八年级单元测试）已知方程ax+by=8的两个解为和，则a+b=__________.例4．（2019·上海八年级单元测试）已知x=3是方程一个根，求k的值=_______.例5．（2019·上海八年级单元测试）若关于x的分式方程无解，则m=_________．例6.方程的解是______．例7.（1）方程的根是______________； （2）方程的根是______________．例8.方程有______个实数根．例9.学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共比赛21场，则参加比赛的选手有 ___________名．例10.（1）当m______时，方程有实数解； （2）方程无解，m的值为__________．例11.方程产生增根，则k=_________．例12.当a=______时，关于x的方程无解．例13.若，则的值为__________．例14.已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是__________．例15.一本书有a页，若每天看b页，则需要____天看完；若每天多看3页，则需要_____天看完；若要比原来提前3天看完，则每天需要比原来多看______页．例16.两个连续的正偶数的和的平方是196，这两个数是______．例17.方程的解中，、互为相反数的解是________．例18.若方程组有两组相等的实数解，则的值为______．例19.若是方程组的一个解，则这个方程组的另一个解是______．例20.方程组，由①+②得，则原方程组可化为 与__________两个方程组．例21.若飞机在无风时每小时飞行165千米，飞机依直线飞行了450千米后，依原来的路线飞回原处，已知飞机去时是逆风，回来时是顺风，回来时比去时少用了半个小时，求风速是多少，设风速是x千米每小时，根据题意可列方程 ______________．例22.若5，则=__________，=___________．例23.当时，方程组的实数解的个数是__________个．三、解答题1．（2019·上海八年级单元测试）k为何值时，方程组只有唯一解？2．（2019·上海八年级单元测试）已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.3．（2019·上海八年级单元测试）若解分式方程产生增根，则m的值是多少？4．（2019·上海八年级单元测试）解下列方程（1） （2）5．（2019·上海八年级单元测试）已知a是非零整数，且满足，解关于x的方程：6.解下列关于x的方程： （1）； （2）．7.解下列关于x的方程： （1）； （2）．8.解下列方程：（1）； （2）．9.解下列方程组： （1）； （2）； （3）．10.若x=2是方程的根，求m的值．11.k为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解?（2）有两组不相等的实数解?（3）没有实数解?12.A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道．13.将进货单价为35元的某种商品按照60元出售时，能卖出600个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就会减少20个，考虑带运输费、柜面费相等指出，每件商品还要追加5元成本，为了获得8000元利润，售价应为多少?这时该进货多少?14.分式方程有解，求m的取值范围．15.某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元．工程预算的施工费用为50万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用?若不够用，需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由．16.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由．17.已知有一个增根是4，求的值．18.已知A（-1，4）、B（2，3），点P在x轴上，且△ABP是直角三角形，求点P的坐标．19.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q同时从A、B出发，经过的时间是t秒，（1）S表示△BPQ的面积，写出S和t的函数关系式；（2）t为何值时，S等于8平方厘米?（3）t为何值时，五边形APQCD的面积最小?最小值是多少? 第7讲 代数方程的复习本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及其解法，学习了列方程解应用题．到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大体完整．本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习．一、选择题例1.下列方程中，是二项方程的是（ ）A． B． C． D．【难度】★【答案】C【解析】如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．A.左边没有非零常数；B.左边含有未知数的两项；D.右边不是零．【总结】考查二项方程的概念．例2.（2019·上海八年级单元测试）下列方程中，是关于x的分式方程的是（ ）A．12x2+25x−13=0 B．x+12+x−53=0C．x−13+x+22−1x=0 D．x−1m+x+2n−1nm=0【答案】C【分析】A、B选项分母上都没有未知数，所以不是分式方程；D选项是分式方程，但不是关于x的分式方程，只有C正确.【详解】根据分式方程的定义得：x−13+x+22−1x=0是分式方程，故选C．【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．例3．（2019·上海八年级单元测试）如果x≻0,y≻0，且3x−2y=xy，则yx的值可能是（ ）A．-94 B．1 C．94 D．以上都无可能【答案】B【分析】可将方程两边同时平方，从而将无理方程转化为整式方程，运用因式分解法即可得到y与x的关系，从而解决问题.【详解】将方程3x−2y=xy两边同时平方，并整理得，9x2−13xy+4y2=0（其中3x-2y＞0） 即（9x-4y）(x-y)=0，解得，y=94x，或y=x，当y=94x时，3x-2y=-32x，∵x＞0，∴ 3x-2y＜0，不符合要求，当y=x时，3x-2y=x＞0，符合要求. ∴yx=1， 故选B.【点睛】本题主要考查了解无理方程，运用因式分解法解方程，需要注意的是将无理方程转化为整式方程，可能会出现增根，本题需要挖掘出隐含条件3x-2y＞0.例4．（2019·上海八年级单元测试）下列判断错误的是（ ）A．方程x+5=x−1没有负数根 B．方程x+2=xx+2的解的个数为2C．方程x+9=3−x没有正数根 D．方程x−2x+3x2−4=0的解为x1=2,x2=3【答案】D【分析】解各个方程即可得到结论．【详解】A. ∵x+5=x−1，∴x+5=(x−1)2 解得，x1=4,x2=−1 经检验，x=-1，是增根，∴原方程的解为：x=4.故选项A判断正确.B. 方程x+2=xx+2两边同时平方得，x+2=x2(x+2)，∴x+2−x2(x+2)=0 ∴(x+2)(1−x2)=0解得，x1=−2，x2=1，x3=−1经检验，x=-1是增根.∴x1=−2，x2=1是原方程的解，故B判断正确；C. 方程x+9=3−x两边同时平方得，x+9=(3−x)2 解得，x=0，或x=7，经检验，x=7是增根，∴原方程的解为：x=0，故选项C判断正确；D.根据题意得，x−2=0x+3=0x2−4＞0 ，解得，x=-3.故选项D判断错误，故选D.【点睛】本题考查了无理方程，分式方程，一元二次方程的解法，熟练掌握解各种方程的方法是解题的关键．例5．（2019·上海八年级单元测试）如果 是方程组的一组解，那么这个方程组的另一组解是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入方程组求得，再解方程组即可得解.【详解】将代入方程组中得：，解得：，则方程组变形为：，由x+y=5得：x=5-y，将x=5-y代入方程xy=4中可得：y2-5y+4=0，解得y=4或y=1，将y=1代入xy=4中可得：x=4，所以方程的另一组解为：．故选A．【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解题的关键．例6.下列方程中，不是无理方程的是（ ） A． B． C． D．【难度】★【答案】B【解析】无理方程是根号下含有未知数的方程，B选项的根号下是常数，容易错选．【总结】考查无理方程的概念．例7.已知方程：① ；②；③；④ . 这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★【答案】C【解析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程． ①中分母是常数，②③④分母中都含有未知数，是分式方程【总结】考查分式方程的概念．例8.用换元法解分式方程时，设，原方程可变形为（ ） A． B． C． D．【难度】★【答案】A【解析】 ，∴原方程变形为即【总结】考查换元后方程的变形问题．例9.如果关于的方程无解，那么满足（ ）. A． B． C． D．任意实数.【难度】★【答案】B【解析】当时，，即【总结】考查方程无解的条件．例10.下列方程中，没有实数解的是（ ） A． B． C． D．【难度】★【答案】B【解析】B中，∵，∴无解【总结】考查无理方程的解的情况．例11.方程组的解的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★【答案】B【解析】由式知代入式得，，∴有两个解．【总结】考查方程的解法．例12.方程的根是（ ）． A．， B．， C． D．【难度】★★【答案】A【解析】两边同时平方得：， 即：，经检验，均是原方程的解．【总结】考查无理方程的解法，注意解完要验根．例13.等式（ ） A． B． C． D．【难度】★★【答案】D【解析】由，得，由得，由得，∴．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性的运用．例14.若解分式方程产生增根，则m的值（ ） A．-1或-2 B．-1或2 C．1或2 D．1或-2【难度】★★【答案】A【解析】最简公分母为：；去分母：；把代入方程，得：；把代入方程，得：方程无解；把代入方程，得：． 综上，．【总结】考查分式方程产生增根的条件．例15.分式方程中，若设，则原方程可化为（ ） A． B． C． D． ww.zk5u.com【难度】★★【答案】C【解析】，∴原方程可化为：．【总结】考查分式方程的变形，注意完全平方公式的运用．例16.甲队为小区安装60台热水器，乙队为A小区安装热水器66台，两队安装的天数相同，乙队比甲队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D．【难度】★★【答案】A【解析】乙比甲每天多2台，∴甲每天安装（x-2）台 甲安装的天数为，乙安装的天数为，由题意知可列方程：=．【总结】考查方程的应用，注意寻找题目中的等量关系．例17.某项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现甲乙合作5天，余下的再由甲独做3天完成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要x天，可列方程（ ）A． B． C． D．【难度】★★【答案】D【解析】由题意知甲单独做需要天，甲、乙的工作效率分别为； 由甲乙先合作5天，然后甲单独做3天，可知甲一共做了8天，乙一共做了5天， ∴可列方程．【总结】考查方程在工程问题中的应用，注意工作总量通常看作“1”．例18.若，则的值为（ ） A．6 B．-1 C．1 D．1或-1【难度】★★【答案】D【解析】由题意知， 所以，∴的值为1或-1．【总结】本题一方面考查了非负数的和为零的基本模型，另一方面考查了整体思想的运用．例19.已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则可能取值的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1【难度】★★★【答案】B【解析】由题意，显然满足条件的x，必然使得为整数，否则不可能为整数， 设（y为非负数），则原式化为：，即，因为y非负，所以要使得a为整数，则y=0、1、3；此时a=6、2、-3（舍），当a=0时，方程也有一个整数根，故a=6或2或0，故选B．【总结】考查无理方程的根的情况，对至少一个整数根要准确理解．填空题例1.（2018·上海市行知实验中学八年级期中）如果关于的方程有增根，则_______________.【答案】-1【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x−1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．【详解】方程两边都乘x−1得mx＋1-x＋1＝0，∵方程有增根，∴最简公分母x−1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．例2．（2019·上海八年级单元测试）若方程有实数根，则k的取值范围为___________【答案】k≥【分析】方程两边同时平方，再移项，根据x2≥0求解即可.【详解】∵，∴，即，∵x2≥0，∴，∴k≥或k≤-∵方程有实数根，∴k＞0，∴k≥.故答案为：k≥.【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．例3．（2019·上海八年级单元测试）已知方程ax+by=8的两个解为和，则a+b=__________.【答案】-4【分析】将两个解的值代入ax+by=8中，然后解出方程组即可求出a与b的值．【详解】将和代入ax+by=8，∴ 解得： ，∴a+b=-4，故答案为：-4.【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是正确理解二元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．例4．（2019·上海八年级单元测试）已知x=3是方程一个根，求k的值=_______.【答案】-3【分析】根据方程的解的定义，把x=3代入原方程，得关于k的一元一次方程，再求解可得k的值．【详解】把x=3代入方程，得，解得k=-3．故答案为：-3．【点睛】本题主要考查了分式方程的解的定义，属于基础题型．例5．（2019·上海八年级单元测试）若关于x的分式方程无解，则m=_________．【答案】2【分析】因为关于x的分式方程无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．【详解】两边同时乘以（x-3）去分母解得x=1+m，∵方程无解，∴说明有增根x=3，所以1+m=3，解得m=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的增根产生的原因是解题的关键．例6.方程的解是______．【难度】★★【答案】．【解析】令，则原方程变形为，当时，；当时，，解得：，经检验是原方程的解．【总结】考查换元法解分式方程，注意解完后要检验．例7.（1）方程的根是______________； （2）方程的根是______________．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先考虑，两边同时平方得：，，解得：，经检验是原方程的增根，所以原方程的根为：；由，得；对原方程两边同时平方得：即，∴，经检验是原方程的增根，所以原方程的解为：．【总结】考查无理方程的解法，注意解完后要检验．例8.方程有______个实数根．【难度】★★【答案】2个．【解析】首先用换元法，令，降次得，根据一元二次方程根的判别式，可知：， 则方程有两不相等的实数根，再由：根与系数的关系（韦达定理）可知方程两根之积为负，则舍掉负根，那么其中的一个正根必然会对应两个解，也就是x的值．【总结】考查高次方程的解的个数．例9.学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共比赛21场，则参加比赛的选手有 ___________名．【难度】★★【答案】7【解析】假设参赛选手有人，那么每个人都要和除了自己以外的个人去打比赛，则个人就要打场，又因为比赛单循环赛制，这样算下来有重复，所以再除以2，即可得最终比赛场次，那么根据题意可列出方程：，解得：n=7，即参赛选手有7名．【总结】考查学生的知识广度，本题涉及到一些小升初奥数知识，有条件的老师可略加拓展．例10.（1）当m______时，方程有实数解； （2）方程无解，m的值为__________．【难度】★★【答案】（1） ；（2）．【解析】（1）由，得；（2）由，得．【总结】考查二次根式的非负性的运用．例11.方程产生增根，则k=_________．【难度】★★【答案】k=或．【解析】两边同时乘以，可得：；当时，方程有增根，所以；当时，，综上所述k=或．【总结】考查方程有增根的情况，注意先化成整式方程再代值计算．例12.当a=______时，关于x的方程无解．【难度】★★【答案】a=或0．【解析】当a=时，方程可化为，无解；当a=0时，方程可化为，无解．【总结】考查方程无解的条件，注意进行分类讨论．例13.若，则的值为__________．【难度】★★【答案】5【解析】．【总结】考查完全平方公式的应用．例14.已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是__________．【难度】★★【答案】．【解析】由题意，先去分母，得：，解得：． 首先，因为方程解是非正数，那么：，解得：，其次，必须满足原分式方程分母不为零：即，，即，因此，．【总结】考查方程的解的应用及方程有意义的隐藏条件．例15.一本书有a页，若每天看b页，则需要____天看完；若每天多看3页，则需要_____天看完；若要比原来提前3天看完，则每天需要比原来多看______页．【难度】★★【答案】．【解析】每天看b页，需要天看完；每天多看3页，需要天看完； 若要比原来提前3天看完，即现在需要天看完，现在每天看， ∴现在每天比原来多看页【总结】考查分式方程的应用．例16.两个连续的正偶数的和的平方是196，这两个数是______．【难度】★★【答案】6、8．【解析】设这两个数分别为x、x+2，则，∴， ∴这两个数分别是6、8．【总结】考查方程在数字问题中的简单应用．例17.方程的解中，、互为相反数的解是________．【难度】★★【答案】或．【解析】由题意，、互为相反数，即，代入方程得： 化简得：，即：，， 解得：，所以 所以互为相反数的两个解是或．【总结】考查方程的解的应用．例18.若方程组有两组相等的实数解，则的值为______．【难度】★★【答案】．【解析】由，代入化简可得：，即，因为方程组有两组相等的实数解，所以△==，解得：．【总结】考查方程组有两组相等的实数解的问题，最终转化为一元二次方程的解进行求值．例19.若是方程组的一个解，则这个方程组的另一个解是______．【难度】★★【答案】．【解析】将方程组的解代入原方程组，可得， 可以发现，只要满足这样的关系，就可以是方程组的解，那么我们考虑把x、y互换位置 即方程组的另一个解可以是．【总结】考查方程的解的问题，以后碰到类似的情况仍然可以使用这个办法，因为x、y是不分先后的．例20.方程组，由①+②得，则原方程组可化为 与__________两个方程组．【难度】★★【答案】．【解析】由题意，我们将开方，得，故答案为．【总结】考查二元二次方程组的因式分解问题．例21.若飞机在无风时每小时飞行165千米，飞机依直线飞行了450千米后，依原来的路线飞回原处，已知飞机去时是逆风，回来时是顺风，回来时比去时少用了半个小时，求风速是多少，设风速是x千米每小时，根据题意可列方程 ______________．【难度】★★★【答案】．【解析】设风速是x，根据来回所用的时间差，可列方程：【总结】考查分式方程，先找准等量关系是关键，再依据题意列方程即可．例22.若5，则=__________，=___________．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意知：，∴， ∴，．【总结】考查绝对值与平方的非负性的运用．例23.当时，方程组的实数解的个数是__________个．【难度】★★★【答案】2．【解析】由题意，把代入，可得：， 根的判别式，因为，可知， 则x有两个不相等的实数解，所以方程组也有两个实数解．【总结】考查含参数的方程组的应用．三、解答题1．（2019·上海八年级单元测试）k为何值时，方程组只有唯一解？【答案】k=.【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.【详解】 由（2）得， y=x-k（3） 将（3）代入（1）得，，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即 ， 解得，k=.所以当k=时，方程组只有唯一解.【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．2．（2019·上海八年级单元测试）已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm、16cm、20cm.【分析】设两直角边为a、b，则斜边为，根据已知得：求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a、b，则斜边长为，根据题意得，解得或，经检验，和都是方程的解，所以斜边长为cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm.【点睛】此题运用三角形面积表示出，然后由勾股定理导出是关键．3．（2019·上海八年级单元测试）若解分式方程产生增根，则m的值是多少？【答案】m=1或m=-2.【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x+1）化分式方程为整式方程，然后把增根代入进行计算即可求出m的值．【详解】方程两边都乘以x（x+1）得，2x2-m-1=（x+1）2，若分式方程产生增根，则x（x+1）=0，解得x=0或x=-1，把代入整式方程，得解得；把代入整式方程，得解得∴m=1或m=-2.【点睛】本题考查了分式方程的增根的问题，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，把分式方程化为整式方程代入求解即可．4．（2019·上海八年级单元测试）解下列方程（1） （2）【答案】(1) x1=1;(2) x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4.【分析】（1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；（2）运用换元法求解即可.【详解】（1）方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)，即x2-3x+2=0，∴x1=1，x2=2．检验：x=1时，(x+2)(x-2)≠0，知x=1是原方程的解；x=2时，(x+2)(x-2)=0，知x=2是原方程的增根. 故原方程的根是x=1．（2）设x2－2x＝y，则原方程变形为 （y＋2）（y＋1）＋25（y－2）（y＋1）＝24（y2－4）整理后，得y2－11y＋24＝0.解得 y1＝3，y2＝8.①当y＝3时，x2－2x＝3,解得 x1＝－1，x2＝3， ②当y＝8时，x2－2x＝8.解得x3＝－2，x4＝4.经检验：x1＝－1，x2＝3，x3＝－2，x4＝4都是原方程的解.【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握运用分式方程的解法.5．（2019·上海八年级单元测试）已知a是非零整数，且满足，解关于x的方程：【答案】x1=，x2=【分析】首先解不等式组求得a的范围，然后根据a是非零整数，即可求得a的值，然后利用平方的方法即可求得．【详解】解：，解①得：a＞-，解②得：a＜， 则不等式组的解集是：-＜a＜．∵a是非零整数，∴a=1或-1． 当a=-1时，方程无解． 当a=1时，则方程是：，设=y,则原方程变形为：y²+3y=10,解得：(舍去), ,x²-3x=4，解得：x=和，经检验 x=和都是方程的解．故方程的解是：x1=，x2=．【点睛】本题考查了无理方程．在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．6.解下列关于x的方程： （1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）；（2），．【解析】（1）原方程可分解为：，∴， 解得原方程的解为：； （2）原方程可化为，即 ， 解得原方程的解为：，．【总结】考查简单的整式方程的求解，注意含字母参数时要讨论．7.解下列关于x的方程： （1）； （2）．【难度】★★【解析】（1）移项得：；分类讨论：当时，方程左边=0，右边=0，有无数个解；当时，方程左边=0，右边0，无解；当时，方程有唯一解：；观察方程每一项都含有，故而考虑消去，而题中没有说明不等于零，那么要分类讨论：当时，方程左边=右边=0，有无数个解；当时，方程左边右边可同时约掉，方程化为：，即，得．【总结】考查含参数的整式方程的解法，注意要分类讨论．8.解下列方程：（1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）73．【解析】（1）两边平方得：，， 两边再平方得：，解得：，经检验是原方程的解；，两边平方，整理得， 两边再平方，整理得：，解得：， 经检验，x=1是原方程的增根，所以是原方程的解为．【总结】考查无理方程的解法，通常整理后两边平方即可，注意解完后要检验．9.解下列方程组： （1）； （2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由可得，代入得，， 即，再与原方程组②式子联立，即可解得原方程组的解为：；原方程组化为，两式相除，得： 再把代入任一式，即得．所以原方程组的解为：；原方程组化为，所以， 当时，解得；当时，解得； 故原方程组的解为．【总结】考查二元二次方程组的解法，通常采用因式分解的方法，然后代入解出方程的解．10.若x=2是方程的根，求m的值．【难度】★★【答案】．【解析】由题意，把x=2代入原方程，得，两边平方得：，整理得：，再两边平方得：，整理得：，解得：．【总结】考查对无理方程的解得理解及简单应用． 11.k为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解?（2）有两组不相等的实数解?（3）没有实数解?【难度】★★【答案】（1）=1；（2）；（3）．【解析】把②式代入①式得：，整理得：，（1）当且时，有两个相等的值，解得：=1；当且时，有两个不相等的值，解得：；（3）当且时，方程无实数解，解得：．【总结】考查含字母系数的方程组的解法，注意分类讨论．12.A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道．【难度】★★【答案】甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里．【解析】设甲工程每周铺设管道公里，则乙工程队每周铺设管道公里． 根据题意得：，方程两边同时乘以，得：， 化简得：，解得：， 经检验均是原方程的解，但不符合题意，故舍去， 故甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里．【总结】考查分式方程在实际问题中的应用，注意要检验．13.将进货单价为35元的某种商品按照60元出售时，能卖出600个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就会减少20个，考虑带运输费、柜面费相等指出，每件商品还要追加5元成本，为了获得8000元利润，售价应为多少?这时该进货多少?【难度】★★【答案】80元或50元，进货为200个或800个．【解析】设涨价x元，根据题意可列方程：， 解得：，∴售价为80元或50元，此时进货为200个或800个．【总结】考查方程在利润问题中的应用．14.分式方程有解，求m的取值范围．【难度】★★★【答案】且．【解析】方程两边同乘以：，得：，即：， 因为方程的增根是，那么：当时，；当时，； 所以当或时，方程有增根，故要使原方程有解，则且．【总结】考查对分式方程有解的理解，最终转化为求增根的问题．15.某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元．工程预算的施工费用为50万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用?若不够用，需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由．【难度】★★★【答案】（1）60、90；（2）够用．【解析】（1）设乙队单独完成这项工程需要天，则甲对单独完成这项工程需要天， 则：，解得：；经检验：是原方程的解且符合题意． 故甲、乙两队单独完成这项工程各需60天、90天．设甲乙两队合作，完成这项工程需天，则：，解得： 需要施工费用（0.84+0.56）36=50.4>50， 所以预算的施工费用不够用，需加预算0.4万元．【总结】考查分式方程在实际问题中的应用，注意要检验．16.今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）能；（2）甲组．【解析】设规定时间为天，则，解得：，经检验都是原方程的解．但x=2不符合题意，舍去．由24<28，可知甲乙两组合作可在规定时间内完成．（2）设甲乙两组合作完成这项工程的，用去天，则，解得：，由（1）得，甲单独完成需60天，乙单独完成需40天，则剩余的工作量，甲单独做剩下的工程所需时间：10天；因为20+10=30>28，所以甲单独做剩下工程不能在规定时间内完成；乙单独做剩下工程所需时间：天．因为20+=<28，所以乙单独做剩下工程能在规定时间内完成．所以我认为抽调甲组最好．【总结】考查分式方程的综合应用，找到题目中的等量关系从而列出方程是关键．17.已知有一个增根是4，求的值．【难度】★★★【答案】5．【解析】原方程变形得：， 两边同时平方得：，两边再同时平方得：，将x=4代入得：，解得：，当x =5时，符合要求，增根 x=4；当时，不符合要求． 综上可得．【总结】本题考查无理方程产生增根的条件．18.已知A（-1，4）、B（2，3），点P在x轴上，且△ABP是直角三角形，求点P的坐标．【难度】★★★【答案】点P的坐标为或．【解析】由题意：因为点P在x轴上，所以设该点坐标为：若是直角，则根据勾股定理，，根据两点间距离公式：，该方程无解；若是直角，则根据勾股定理，，根据两点间距离公式：，解得：，所以点P的坐标为若是直角，则根据勾股定理，根据两点间距离公式：解得：，所以点P的坐标为， 综上所述：点P的坐标为或．【总结】本题综合性较强，涉及到方程的解法以及勾股定理，和两点间的距离公式，考查代数与几何综合应用，另一方面，扎实的计算能力也是准确算出本题结果必不可少的条件．19.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q同时从A、B出发，经过的时间是t秒，（1）S表示△BPQ的面积，写出S和t的函数关系式；（2）t为何值时，S等于8平方厘米?（3）t为何值时，五边形APQCD的面积最小?最小值是多少?【难度】★★★【答案】（1）；（2）2或4；（3）t = 3时，S = 63．【解析】（1）由题意，设运动时间为，则， 则； （2），解得：， 故经过2秒或4秒时，面积等于8； （3）由题意可知，矩形面积不变，那么当三角形的面积最大时，五边形的面积则最小．根据，观察式子易知，当时，函数关系式中完全平方式为零，此时S最大，即．所以五边形面积为：．【总结】本题综合性较强，考查代数与几何的综合应用，涉及到动点的问题的解法以及以及函数的最值问题，虽然现阶段大部分学生可能不了解二次函数的最值求法，但是老师仍然可以引导学生换一个角度，从完全平方式的角度去考虑，注意帮学生总结方法，一样可以轻松的解决这种问题．
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