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初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.2 平行四边形课时作业
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这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.2 平行四边形课时作业，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2020·山东临沂市·八年级期末）下列四个命题中不正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形B．有两边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．（2020·伊宁市第七中学八年级期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠C=∠AD．AB=AD，CB=CD
3．（2020·云南昭通市·八年级期末）如图，在四边形中，对角线相交于点下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（2020·河南东方二中八年级期中）在四边形中，，、相交于点O，若，则线段的长度等于__________．
5．（2019·湖南常德市·八年级期中）如图，是平行四边形的对角线，点在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形)．
6．（2019·厦门市湖里中学八年级月考）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，再增加一个条件可以得到□ABCD，你添加的条件是__________________.
7．（2020·全国八年级专题练习）在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x﹣4）和16，则这个四边形的周长是_____．
8．（2019·江苏南通市·南通第一初中八年级期中）若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
9．（2019·全国八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=8 cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动，__________秒后四边形ABQP是平行四边形．
三、解答题
10．（2020·四川泸州市·凤鸣初中八年级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
11．（2020·山东济南市·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．
12．（2020·固原市原州区三营中学八年级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F，G、H分别是OB、OD的中点．求证：
（1）OE＝OF；
（2）四边形GEHF是平行四边形．
13．（2019·重庆九龙坡区·八年级期末）已知在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF，点M、N在BA、DC延长线上，AM＝CN，连接ME、NF．试判断线段ME与NF的关系，并说明理由．
能力提升
一、填空题
1．（2019·上海八年级单元测试）如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,AC分别交BE、DF于点M、N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S△AMB=△ABC；其中正确的结论是______________(只填序号)。
2．（2019·上海八年级课时练习）如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是______.
3．（2018·上海浦东新区·）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8cm，AD＝10cm，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P，Q运动的速度都为每秒1cm，那么当运动时间t＝_____秒时，四边形ABPQ是直角梯形．
4．（2019·上海上外附中八年级期中）如图，在中，点为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为______.
5．（2019·上海杨浦区·八年级期中）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为______
6．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）在面积为的平行四边形中，过点作直线于点，作直线于点．若，，则的值为__________．
7．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．
8．（2019·上海上外附中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．
二、解答题
9．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）如图，在▱ABCD中，MN∥AC，分别交DA，DC的延长线于点M，N，交AB，BC于点P，Q，
求证：MP＝NQ.
10．（2017·上海八年级期末）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
第10讲 平行四边形判定及综合（练习）
夯实基础
一、单选题
1．（2020·山东临沂市·八年级期末）下列四个命题中不正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形B．有两边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对角线相等的菱形是正方形，正确；
B、邻边相等的平行四边形才是菱形，故错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
2．（2020·伊宁市第七中学八年级期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠C=∠AD．AB=AD，CB=CD
【答案】C
【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．
【详解】解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD=BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠C=∠A，∴∠B+∠A=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，此题基础题，比较简单．
3．（2020·云南昭通市·八年级期末）如图，在四边形中，对角线相交于点下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
二、填空题
4．（2020·河南东方二中八年级期中）在四边形中，，、相交于点O，若，则线段的长度等于__________．
【答案】
【分析】根据在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝7，∴AO＝AC＝×7＝．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出四边形ABCD是平行四边形是解题关键．
5．（2019·湖南常德市·八年级期中）如图，是平行四边形的对角线，点在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形)．
【答案】BE=DF（答案不唯一）
【分析】要使四边形AECF也是平行四边形，根据平行四边形的判定可增加一个条件为BE=DF．
【详解】解：使四边形AECF也是平行四边形，需要添加BE=DF，理由如下：
如图，连结AC交BD于点O，
∵四边形是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，
当BE=DF时，则BO−BE=DO−DF，即EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
故答案为：BE=DF（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，此题属于开放题，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
6．（2019·厦门市湖里中学八年级月考）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，再增加一个条件可以得到□ABCD，你添加的条件是__________________.
【答案】AD∥BC或AB=CD或∠A=∠C（任选其一）．
【分析】本题是开放题，可以根据平行四边形的判定添加条件，比较简单的是：AD∥BC，AB=CD等．
【详解】此题答案不唯一，可以添加：
①AD∥BC（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
②AB=CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
③∠A=∠C，理由：∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AD∥BC或AB=CD或∠A=∠C等（任选其一）．
【点睛】本题主要考查学生对平行四边形的判定这一知识点的理解和掌握，此题答案不唯一，可根据已知条件，选一个最简单的填入即可．
7．（2020·全国八年级专题练习）在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x﹣4）和16，则这个四边形的周长是_____．
【答案】50
【分析】根据平行四边形的对边相等可解出x的值，继而可得出四边的长度，也就得出了这个四边形的周长．
【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴x+3＝16，x＝13，
∴AB＝16，BC＝9，CD＝16，DA＝9，
这个四边形的周长是16+16+9+9＝50．
故答案为：50．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，属于基础题，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，从而解出x的值．
8．（2019·江苏南通市·南通第一初中八年级期中）若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
【答案】7
【分析】根据OB＝OD，当OA＝OC时，四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
【详解】由题意得：当OA＝7时，OC＝14﹣7＝7＝OA，∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：7．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，难度一般．
9．（2019·全国八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=8 cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动，__________秒后四边形ABQP是平行四边形．
【答案】.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，因此设x秒后四边形ABQP是平行四边形，进而表示出AP＝xcm，CQ＝2xcm，QB＝（8﹣2x）cm再列方程解出x的值即可．
【详解】解：设x秒后，四边形ABQP是平行四边形，
∵P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，
∴AP＝xcm，CQ＝2xcm，
∵BC＝8cm，
∴QB＝（8﹣2x）cm，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴x＝8﹣2x，
解得：x＝．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
三、解答题
10．（2020·四川泸州市·凤鸣初中八年级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
【分析】（1）由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO．
【详解】证明：（1）∵BF=DE，
∴，即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，,
∴（HL）；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵，∴，∴，
∵，∴四边形ABCD是平行四边形，∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
11．（2020·山东济南市·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．
【答案】四边形AECF是平行四边形，证明见解析.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，再证明，可得 同理可证： 从而可得结论.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，
∵BE＝DF，∴，∴AE＝CF，同理：CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.
12．（2020·固原市原州区三营中学八年级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F，G、H分别是OB、OD的中点．求证：
（1）OE＝OF；
（2）四边形GEHF是平行四边形．
【分析】（1）由“ASA”证明△AOE≌△COF，可得OE＝OF；
（2）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形GEHF是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD
∴∠DAC＝∠BCA，且OA＝OC，∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴OE＝OF
（2）∵OB＝OD，G、H分别是OB、OD的中点
∴GO＝OH，且OE＝OF
∴四边形GEHF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定和性质是解题的关键．
13．（2019·重庆九龙坡区·八年级期末）已知在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF，点M、N在BA、DC延长线上，AM＝CN，连接ME、NF．试判断线段ME与NF的关系，并说明理由．
【答案】ME＝NF且ME∥NF，理由见解析
【分析】利用SAS证得△BME≌△DNF后即可证得结论．
【详解】证明：ME＝NF且ME∥NF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EBM＝∠FDN，AB＝CD，
∵AM＝CN，
∴MB＝ND，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
∵在△BME和△DNF中
，
∴△BME≌△DNF（SAS），
∴ME＝NF，∠MEB＝∠NFD，
∴∠MEF＝∠BFN．
∴ME∥NF．
∴ME＝NF且ME∥NF．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
能力提升
一、填空题
1．（2019·上海八年级单元测试）如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,AC分别交BE、DF于点M、N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S△AMB=△ABC；其中正确的结论是______________(只填序号)。
【答案】①②③.
【分析】本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时S =S．
【详解】∵因为平行四边形ABCD，
∴AD=BC,AB=CD,且AD∥BC，AB∥CD∠BAE=∠DCF，
∵E、F分别是边AD、BC的中点，
∴AE=DE=BF=CF，
∴四边形BFDE是平行四边形
∴BE∥DF，
在△ABE和△CDF中
∵ ，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠ABM=∠CDN，
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABM和△CDN中
∵ ，
∴△ABM≌△CDN(ASA)，∴①正确；
∵E是AD的中点,BE∥DF，
∴M是AN的中点，
同理N是CM的中点，
∴AM=AC，故②正确；
∵F为BC的中点，
∴NF为三角形BCM的中位线，
∴BM=2NF
∴DN=2NF，故③正确；
∵CN=MN=AM，
∴S =S，故④不正确，
∴其中正确的结论是①②③.
故答案为：①②③.
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于掌握各性质定义.
2．（2019·上海八年级课时练习）如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是______.
【答案】432
【分析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．
计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．
【详解】
解：连接AC交BD于G，AE交DF于H．
∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，
∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，
∴AE=BD，AC=FD，
∴EH=BG．
平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432，故答案为432.
【点睛】此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．
3．（2018·上海浦东新区·）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8cm，AD＝10cm，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P，Q运动的速度都为每秒1cm，那么当运动时间t＝_____秒时，四边形ABPQ是直角梯形．
【答案】7
【分析】过点A作AE⊥BC于E，因为AD∥BC，所以当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，利用已知条件和路程与速度的关系式即可求出时间t的值
【详解】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
过点A作AE⊥BC于E，
∴当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，
∵∠B＝60°，AB＝8cm，
∴BE＝4cm，
∵P，Q运动的速度都为每秒1cm，
∴AQ＝10﹣t，AP＝t，
∵BE＝4，
∴EP＝t﹣4，
∵AE⊥BC，AQ∥EP，AE∥QP，
∴QP⊥BC，AQ⊥AD，
∴四边形AEPQ是矩形，
∴AQ＝EP，
即10﹣t＝t﹣4，
解得t＝7，
故答案为：7．
【点睛】此题考查直角梯形，平行四边形的性质，解题关键在于作辅助线
4．（2019·上海上外附中八年级期中）如图，在中，点为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为______.
【答案】
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．
【详解】由平行四边形的对角相等，得，由三角形外角的性质，得．由三角形内角和定理，得．由折叠的性质，得，．
【点睛】本题考查平行四边形，解题关键在于熟练掌握平行四边形的性质
5．（2019·上海杨浦区·八年级期中）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为______
【答案】16或20
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB=AE；分两种情况：①AE=2，DE=4；②AE=4，DE=2进行求解即可.
【详解】如图所示：①当AE=2，DE=4时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=2，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=16；
②当AE=4，DE=2时，同理得：AB=AE=4，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=20，
故答案为16或20．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论思想的运用，避免漏解．
6．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）在面积为的平行四边形中，过点作直线于点，作直线于点．若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】如下图，过作，，
∴，解得：，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
．
故答案为．
7．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．
【答案】4
试题解析：∵在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点
∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD
∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上▱ABCD本身，共有4个平行四边形4．
故答案为4．
8．（2019·上海上外附中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．
【答案】24.
试题分析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.
考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形.
二、解答题
9．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）如图，在▱ABCD中，MN∥AC，分别交DA，DC的延长线于点M，N，交AB，BC于点P，Q，
求证：MP＝NQ.
【试题分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证四边形AMQC和四边形APNC都是平行四边形，得MQ＝AC，PN＝AC，∴MQ＝PN，∴MQ－PQ＝PN－PQ，即MP＝NQ
【试题解析】在▱ABCD中，AP//CN，AM//CQ，因为MN∥AC，所以四边形AMQC和四边形APNC都是平行四边形，得MQ＝AC，PN＝AC，∴MQ＝PN，∴MQ－PQ＝PN－PQ，
即MP＝NQ.
10．（2017·上海八年级期末）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
【解析】法1：由平行四边形对边平行，且CF与AD垂直，得到CF与BC垂直，根据AE与BC垂直，得到AE与CF平行，得到一对内错角相等，利用等角的补角相等得到∠AGB=∠DHC，根据AB与CD平行，得到一对内错角相等，再由AB=CD，利用AAS得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到AG=CH，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
法2：连接AC，与BD交于点O，利用平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，再由AB与CD平行，得到一对内错角相等，根据CF与AD垂直，AE与BC垂直，得一对直角相等，利用ASA得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=DH，根据等式的性质得到OG=OH，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证．
证明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，
∵CF⊥AD，∴CF⊥BC，
∵AE⊥BC，∴AE∥CF，即AG∥CH，∴∠AGH=∠CHG，
∵∠AGB=180°﹣∠AGH，∠DHC=180°﹣∠CHG，
∴∠AGB=∠DHC，
∵AB∥CD，∴∠ABG=∠CDH，∴△ABG≌CDH，
∴AG=CH，
∴四边形AGCH是平行四边形；
法2：连接AC，与BD相交于点O，
在□ABCD中，AO=CO，BO=DO，∠ABE=∠CDF，AB∥CD，
∴∠ABG=∠CDH，
∵CF⊥AD，AE⊥BC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠BAG=∠DCH，
∴△ABG≌CDH，
∴BG=DH，
∴BO﹣BG=DO﹣DH，
∴OG=OH，
∴四边形AGCH是平行四边形．
“点睛”此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平式子变形的判定与性质是解本题的关键.
一、单选题
1．（2020·山东临沂市·八年级期末）下列四个命题中不正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形B．有两边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．（2020·伊宁市第七中学八年级期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠C=∠AD．AB=AD，CB=CD
3．（2020·云南昭通市·八年级期末）如图，在四边形中，对角线相交于点下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（2020·河南东方二中八年级期中）在四边形中，，、相交于点O，若，则线段的长度等于__________．
5．（2019·湖南常德市·八年级期中）如图，是平行四边形的对角线，点在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形)．
6．（2019·厦门市湖里中学八年级月考）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，再增加一个条件可以得到□ABCD，你添加的条件是__________________.
7．（2020·全国八年级专题练习）在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x﹣4）和16，则这个四边形的周长是_____．
8．（2019·江苏南通市·南通第一初中八年级期中）若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
9．（2019·全国八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=8 cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动，__________秒后四边形ABQP是平行四边形．
三、解答题
10．（2020·四川泸州市·凤鸣初中八年级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
11．（2020·山东济南市·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．
12．（2020·固原市原州区三营中学八年级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F，G、H分别是OB、OD的中点．求证：
（1）OE＝OF；
（2）四边形GEHF是平行四边形．
13．（2019·重庆九龙坡区·八年级期末）已知在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF，点M、N在BA、DC延长线上，AM＝CN，连接ME、NF．试判断线段ME与NF的关系，并说明理由．
能力提升
一、填空题
1．（2019·上海八年级单元测试）如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,AC分别交BE、DF于点M、N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S△AMB=△ABC；其中正确的结论是______________(只填序号)。
2．（2019·上海八年级课时练习）如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是______.
3．（2018·上海浦东新区·）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8cm，AD＝10cm，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P，Q运动的速度都为每秒1cm，那么当运动时间t＝_____秒时，四边形ABPQ是直角梯形．
4．（2019·上海上外附中八年级期中）如图，在中，点为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为______.
5．（2019·上海杨浦区·八年级期中）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为______
6．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）在面积为的平行四边形中，过点作直线于点，作直线于点．若，，则的值为__________．
7．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．
8．（2019·上海上外附中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．
二、解答题
9．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）如图，在▱ABCD中，MN∥AC，分别交DA，DC的延长线于点M，N，交AB，BC于点P，Q，
求证：MP＝NQ.
10．（2017·上海八年级期末）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
第10讲 平行四边形判定及综合（练习）
夯实基础
一、单选题
1．（2020·山东临沂市·八年级期末）下列四个命题中不正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形B．有两边相等的平行四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对角线相等的菱形是正方形，正确；
B、邻边相等的平行四边形才是菱形，故错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
2．（2020·伊宁市第七中学八年级期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠C=∠AD．AB=AD，CB=CD
【答案】C
【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．
【详解】解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD=BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠C=∠A，∴∠B+∠A=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，此题基础题，比较简单．
3．（2020·云南昭通市·八年级期末）如图，在四边形中，对角线相交于点下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
二、填空题
4．（2020·河南东方二中八年级期中）在四边形中，，、相交于点O，若，则线段的长度等于__________．
【答案】
【分析】根据在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝7，∴AO＝AC＝×7＝．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出四边形ABCD是平行四边形是解题关键．
5．（2019·湖南常德市·八年级期中）如图，是平行四边形的对角线，点在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形)．
【答案】BE=DF（答案不唯一）
【分析】要使四边形AECF也是平行四边形，根据平行四边形的判定可增加一个条件为BE=DF．
【详解】解：使四边形AECF也是平行四边形，需要添加BE=DF，理由如下：
如图，连结AC交BD于点O，
∵四边形是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，
当BE=DF时，则BO−BE=DO−DF，即EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
故答案为：BE=DF（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，此题属于开放题，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
6．（2019·厦门市湖里中学八年级月考）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，再增加一个条件可以得到□ABCD，你添加的条件是__________________.
【答案】AD∥BC或AB=CD或∠A=∠C（任选其一）．
【分析】本题是开放题，可以根据平行四边形的判定添加条件，比较简单的是：AD∥BC，AB=CD等．
【详解】此题答案不唯一，可以添加：
①AD∥BC（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
②AB=CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
③∠A=∠C，理由：∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AD∥BC或AB=CD或∠A=∠C等（任选其一）．
【点睛】本题主要考查学生对平行四边形的判定这一知识点的理解和掌握，此题答案不唯一，可根据已知条件，选一个最简单的填入即可．
7．（2020·全国八年级专题练习）在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x﹣4）和16，则这个四边形的周长是_____．
【答案】50
【分析】根据平行四边形的对边相等可解出x的值，继而可得出四边的长度，也就得出了这个四边形的周长．
【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴x+3＝16，x＝13，
∴AB＝16，BC＝9，CD＝16，DA＝9，
这个四边形的周长是16+16+9+9＝50．
故答案为：50．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，属于基础题，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，从而解出x的值．
8．（2019·江苏南通市·南通第一初中八年级期中）若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
【答案】7
【分析】根据OB＝OD，当OA＝OC时，四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
【详解】由题意得：当OA＝7时，OC＝14﹣7＝7＝OA，∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：7．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，难度一般．
9．（2019·全国八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=8 cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动，__________秒后四边形ABQP是平行四边形．
【答案】.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，因此设x秒后四边形ABQP是平行四边形，进而表示出AP＝xcm，CQ＝2xcm，QB＝（8﹣2x）cm再列方程解出x的值即可．
【详解】解：设x秒后，四边形ABQP是平行四边形，
∵P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，
∴AP＝xcm，CQ＝2xcm，
∵BC＝8cm，
∴QB＝（8﹣2x）cm，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴x＝8﹣2x，
解得：x＝．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
三、解答题
10．（2020·四川泸州市·凤鸣初中八年级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
【分析】（1）由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO．
【详解】证明：（1）∵BF=DE，
∴，即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，,
∴（HL）；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵，∴，∴，
∵，∴四边形ABCD是平行四边形，∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
11．（2020·山东济南市·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．
【答案】四边形AECF是平行四边形，证明见解析.
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，再证明，可得 同理可证： 从而可得结论.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，
∵BE＝DF，∴，∴AE＝CF，同理：CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.
12．（2020·固原市原州区三营中学八年级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交BC、AD于点E、F，G、H分别是OB、OD的中点．求证：
（1）OE＝OF；
（2）四边形GEHF是平行四边形．
【分析】（1）由“ASA”证明△AOE≌△COF，可得OE＝OF；
（2）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形GEHF是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD
∴∠DAC＝∠BCA，且OA＝OC，∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴OE＝OF
（2）∵OB＝OD，G、H分别是OB、OD的中点
∴GO＝OH，且OE＝OF
∴四边形GEHF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定和性质是解题的关键．
13．（2019·重庆九龙坡区·八年级期末）已知在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE＝DF，点M、N在BA、DC延长线上，AM＝CN，连接ME、NF．试判断线段ME与NF的关系，并说明理由．
【答案】ME＝NF且ME∥NF，理由见解析
【分析】利用SAS证得△BME≌△DNF后即可证得结论．
【详解】证明：ME＝NF且ME∥NF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EBM＝∠FDN，AB＝CD，
∵AM＝CN，
∴MB＝ND，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
∵在△BME和△DNF中
，
∴△BME≌△DNF（SAS），
∴ME＝NF，∠MEB＝∠NFD，
∴∠MEF＝∠BFN．
∴ME∥NF．
∴ME＝NF且ME∥NF．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
能力提升
一、填空题
1．（2019·上海八年级单元测试）如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,AC分别交BE、DF于点M、N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S△AMB=△ABC；其中正确的结论是______________(只填序号)。
【答案】①②③.
【分析】本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时S =S．
【详解】∵因为平行四边形ABCD，
∴AD=BC,AB=CD,且AD∥BC，AB∥CD∠BAE=∠DCF，
∵E、F分别是边AD、BC的中点，
∴AE=DE=BF=CF，
∴四边形BFDE是平行四边形
∴BE∥DF，
在△ABE和△CDF中
∵ ，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠ABM=∠CDN，
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABM和△CDN中
∵ ，
∴△ABM≌△CDN(ASA)，∴①正确；
∵E是AD的中点,BE∥DF，
∴M是AN的中点，
同理N是CM的中点，
∴AM=AC，故②正确；
∵F为BC的中点，
∴NF为三角形BCM的中位线，
∴BM=2NF
∴DN=2NF，故③正确；
∵CN=MN=AM，
∴S =S，故④不正确，
∴其中正确的结论是①②③.
故答案为：①②③.
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于掌握各性质定义.
2．（2019·上海八年级课时练习）如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．则六边形ABCDEF的面积是______.
【答案】432
【分析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．
计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．
【详解】
解：连接AC交BD于G，AE交DF于H．
∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，
∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，
∴AE=BD，AC=FD，
∴EH=BG．
平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432，故答案为432.
【点睛】此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．
3．（2018·上海浦东新区·）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8cm，AD＝10cm，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P，Q运动的速度都为每秒1cm，那么当运动时间t＝_____秒时，四边形ABPQ是直角梯形．
【答案】7
【分析】过点A作AE⊥BC于E，因为AD∥BC，所以当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，利用已知条件和路程与速度的关系式即可求出时间t的值
【详解】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
过点A作AE⊥BC于E，
∴当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，
∵∠B＝60°，AB＝8cm，
∴BE＝4cm，
∵P，Q运动的速度都为每秒1cm，
∴AQ＝10﹣t，AP＝t，
∵BE＝4，
∴EP＝t﹣4，
∵AE⊥BC，AQ∥EP，AE∥QP，
∴QP⊥BC，AQ⊥AD，
∴四边形AEPQ是矩形，
∴AQ＝EP，
即10﹣t＝t﹣4，
解得t＝7，
故答案为：7．
【点睛】此题考查直角梯形，平行四边形的性质，解题关键在于作辅助线
4．（2019·上海上外附中八年级期中）如图，在中，点为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为______.
【答案】
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．
【详解】由平行四边形的对角相等，得，由三角形外角的性质，得．由三角形内角和定理，得．由折叠的性质，得，．
【点睛】本题考查平行四边形，解题关键在于熟练掌握平行四边形的性质
5．（2019·上海杨浦区·八年级期中）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为______
【答案】16或20
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB=AE；分两种情况：①AE=2，DE=4；②AE=4，DE=2进行求解即可.
【详解】如图所示：①当AE=2，DE=4时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=2，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=16；
②当AE=4，DE=2时，同理得：AB=AE=4，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=20，
故答案为16或20．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论思想的运用，避免漏解．
6．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）在面积为的平行四边形中，过点作直线于点，作直线于点．若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】如下图，过作，，
∴，解得：，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
．
故答案为．
7．（2019·上海市娄山中学八年级月考）如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．
【答案】4
试题解析：∵在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点
∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD
∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上▱ABCD本身，共有4个平行四边形4．
故答案为4．
8．（2019·上海上外附中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．
【答案】24.
试题分析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.
考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形.
二、解答题
9．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）如图，在▱ABCD中，MN∥AC，分别交DA，DC的延长线于点M，N，交AB，BC于点P，Q，
求证：MP＝NQ.
【试题分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证四边形AMQC和四边形APNC都是平行四边形，得MQ＝AC，PN＝AC，∴MQ＝PN，∴MQ－PQ＝PN－PQ，即MP＝NQ
【试题解析】在▱ABCD中，AP//CN，AM//CQ，因为MN∥AC，所以四边形AMQC和四边形APNC都是平行四边形，得MQ＝AC，PN＝AC，∴MQ＝PN，∴MQ－PQ＝PN－PQ，
即MP＝NQ.
10．（2017·上海八年级期末）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
【解析】法1：由平行四边形对边平行，且CF与AD垂直，得到CF与BC垂直，根据AE与BC垂直，得到AE与CF平行，得到一对内错角相等，利用等角的补角相等得到∠AGB=∠DHC，根据AB与CD平行，得到一对内错角相等，再由AB=CD，利用AAS得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到AG=CH，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
法2：连接AC，与BD交于点O，利用平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，再由AB与CD平行，得到一对内错角相等，根据CF与AD垂直，AE与BC垂直，得一对直角相等，利用ASA得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=DH，根据等式的性质得到OG=OH，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证．
证明：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，
∵CF⊥AD，∴CF⊥BC，
∵AE⊥BC，∴AE∥CF，即AG∥CH，∴∠AGH=∠CHG，
∵∠AGB=180°﹣∠AGH，∠DHC=180°﹣∠CHG，
∴∠AGB=∠DHC，
∵AB∥CD，∴∠ABG=∠CDH，∴△ABG≌CDH，
∴AG=CH，
∴四边形AGCH是平行四边形；
法2：连接AC，与BD相交于点O，
在□ABCD中，AO=CO，BO=DO，∠ABE=∠CDF，AB∥CD，
∴∠ABG=∠CDH，
∵CF⊥AD，AE⊥BC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠BAG=∠DCH，
∴△ABG≌CDH，
∴BG=DH，
∴BO﹣BG=DO﹣DH，
∴OG=OH，
∴四边形AGCH是平行四边形．
“点睛”此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平式子变形的判定与性质是解本题的关键.
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