专题10：直线与圆的方程（四大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义

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A. 是一个半径为的圆B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为D. 是两条平行直线
题型一：直线的方程
【典例例题】
例1.（2024春新高考）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.（2024春·广东·校联考一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
3.（2024春·陕西西安）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
4.（2024·四川成都）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型二：圆的方程
【典例例题】
例1.（2024春·广东省潮州市）（多选）设过点的直线与圆相交于A，B两点，若点，则的值可能为（ ）
A. 8B. C. 12D.
【变式训练】
1.（2024春·山东济南）已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（ ）
A．8B．9C．D．
2.（2024春·广东省）动点与两个定点，满足，则点到直线：的距离的最大值为______.
3.（2024春·重庆）在同一直角坐标平面内，已知点，点P满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
4.（2024春·北京海淀）已知是圆：的直径，、是圆上两点，且，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
题型三：直线与圆的位置关系
【典例例题】
例1.（2024春·广东汕头）（多选）如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥与河岸垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上；
③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.
经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（ ）
A．新桥的长为
B．圆心可以在点处
C．圆心到点的距离至多为
D．当长为时，圆形保护区的面积最大
【变式训练】
1.（2024春·广东省深圳市）过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
2.（2024春·河北衡水）是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3.（2024春·江西南昌）直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.（2024春·广州市华南师大附中第一次调研）在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4.（2024春·湖北十堰）（多选）已知点，，动点在圆：上，则（ ）
A．直线截圆所得的弦长为
B．的面积的最大值为15
C．满足到直线的距离为的点位置共有3个
D．的取值范围为
题型四：圆与圆的方程
【典例例题】
例1.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）（多选）已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（ ）
A.若圆与圆无公共点，则
B.当时，两圆公共弦所在直线方程为
C.当时，则斜率的最大值为
D.当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于
【变式训练】
1.（2024春·湖南衡阳）（多选）已知圆：，圆：，P，Q分别是，上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，四边形的面积可能为7
B. 当时，四边形的面积可能为8
C. 当直线PQ与和都相切时，的长可能为
D. 当直线PQ与和都相切时，的长可能为4
2．（2024春·黑龙江哈尔滨）已知圆，圆，直线．若直线与圆交于两点，与圆交于两点，分别为的中点，则 ．
3.（2024春·云南昆明）一动圆圆E与圆外切，同时与圆内切．
求动圆圆心E的轨迹方程；
一、单项选择
1.（2024春·山东聊城）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024春·山西运城）直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024春·云南昆明）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024春·江西）已知复数.且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024春·河南周口）鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质，如图是一个鞋匠刀形. 若，，点在以为直径的半圆弧上，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（在第一象限），则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
多项选择
6.（2024春·深圳市宝安区）直线与圆，则（ ）
A.圆的半径为2 B.直线过定点
C.直线与圆一定有公共点 D.圆的圆心到直线的距离的最大值是3
7.（2024春·湖南长沙）在平面直角坐标系中，点，动点，记到轴的距离为.将满足的的轨迹记为，且直线：与交于相异的两点，，则下列结论正确的为（ ）
A．曲线的方程为 B．直线过定点
C．的取值范围是 D．的取值范围是
8．（2024春·江苏南京）已知圆，圆分别是圆与圆上的动点，则（ ）
A．若圆与圆无公共点，则
B．当时，两圆公共弦所在直线方程为
C．当时，的取值范围为
D．当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则不可能等于
9．（2024春·福建龙岩）已知点与圆是圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为 B．过点的直线被圆截得的最短弦长为
C． D．的最小值为
10．（2024春·湖南邵阳）已知平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹为曲线，点到直线的距离的最小值为，下列结论正确的有（ ）
A．曲线的方程为B．
C．曲线的方程为D．
三、填空题
11．（2024春·广东佛山）在如图所示的长方形台球桌面示意图中，，桌面的六个网分别位于长方形的四个顶点及长边中点上．现有三个台球分别在三点所在的位置上，且三点共线．用球贴着桌面移动去击球（不能碰到球），使得球沿球运动的方向径直落入三个网中之一．若球和网近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角．则球击中球前，球移动的最短路径的路程为 ．
12．（2024春·河北廊坊）已知圆C满足以下两个条件：①圆C的半径为；②直线被圆C所截得的弦长为2．写出一个符合以上条件的圆C的标准方程为 ．