初中数学沪教版 (五四制)八年级下册第三节 无理方程练习

这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级下册第三节 无理方程练习，共34页。试卷主要包含了无理方程，有理方程，代数方程，解无理方程的一般步骤，代数方程分类整式方程，二元二次方程，二元二次方程组，二元二次方程组的解法等内容，欢迎下载使用。
一、无理方程
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
要点：
简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程．
二、有理方程
整式方程和分式方程统称为有理方程.
三、代数方程
有理方程和无理方程统称为代数方程.
要点：
代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.
四、解无理方程的一般步骤
1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：
①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；
②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；
③解整式方程；
④验根；
⑤写答案.
要点：
解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：
2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：
①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；
②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；
以下与1步骤相同.
要点：
解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。
五、代数方程分类整式方程
有理方程
分式方程
代数方程
无理方程
六、二元二次方程
1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.
要点诠释：
（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项.
2.二元二次方程的解
能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.
要点：
二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.
七、二元二次方程组
1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.
要点：
不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.
2. 二元二次方程组的解:
方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.
八、二元二次方程组的解法
代入消元法
代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：
①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；
②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；
③解这个一元二次方程，求得未知数的值；
④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；
⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；
⑥写出原方程组的解.
要点：
（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；
（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.
2、因式分解法
(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.
(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.
九、方程（组）的应用
应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.
要点：
一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.
题型1：无理方程的概念
1．以下方程是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
题型2：解无理方程
2．下列说法正确的是（ ）
A．方程无实数根
B．方程变形所得有理方程为
C．方程的根是
D．关于x的方程有实数根，那么
3．解方程：．
4．解方程：2x1．
5．解方程：2x2﹣3x+2x1．
题型3：有无实数根的问题
6．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列关于的方程中，一定有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
9．在下列方程中，无实数根的方程有（ ）
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥．
A．2B．3C．4D．5
题型4：无理数的解（求参）
10．如果关于的方程有实数根，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
题型5：二元二次方程与二元二次方程组
11．请写出一个解是的二元二次方程，这个方程可以是_____．
12．下列方程组中是二元二次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
13．把二元二次方程化成两个一次方程，则这两个一次方程分别是：__________和__________．
题型6：二元二次方程（组）的解与解二元二次方程组
14．已知______（填“是”或“不是”）方程的解．
15．方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
16．由方程组消去y后化简得到的方程是（ ）
A．2x2﹣2x﹣6＝0B．2x2+2x+5＝0C．2x2+5＝0D．2x2﹣2x+5＝0
17．二元二次方程组的解的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
A．B．±C．D．±
19．解方程组：
20．解方程组：．
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．是二项方程B．是无理方程
C．是分式方程D．是二元二次方程
2．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列方程，有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列方程组中是二元二次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列二次方程中能化成两个一次方程的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
A．2B．3C．4D．5
6．解方程组的可行方法是（ ）
A．将①式分解因式B．将②式分解因式
C．将①②式分解因式D．加减消元
7．下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（ ）
A．B．C．D．
8．方程组的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．方程组在实数范围内（ ）
A．有1组解
B．有2组解
C．有4组解
D．有多于4组的解
10．方程有解但无不同的解时，a=（ ）
A．1B．0C．﹣D．﹣1
二、填空题
11．方程的根是______．
12．方程的解是____________．
13．下列方程：，，，无实数根的方程有________个．
14．若关于的方程在实数范围内有两解，则的取值范围是________．
15．方程＝0的解是 _____．
16．把方程组，化成两个二元二次方程组是______．
17．把二元二次方程x2﹣y2﹣2x+2y＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是__和__．
18．方程组的解为 ___．
19．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ___．
20．如果，那么的值为_________________．
三、解答题
21．解方程3﹣2﹣＝x．
22．解方程：
23．已知a＞1，解方程：＝x．
24．解方程组：．
25．解方程组：．
26．（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
27．解方程组：
28．解方程
(1)解无理方程：﹣＝1；
(2)已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值．
29．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
(3)已知关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值.
21.4-21.6无理方程、二元二次方程（组）
一、无理方程
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
要点：
简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程．
二、有理方程
整式方程和分式方程统称为有理方程.
三、代数方程
有理方程和无理方程统称为代数方程.
要点：
代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.
四、解无理方程的一般步骤
1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：
①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；
②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；
③解整式方程；
④验根；
⑤写答案.
要点：
解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：
2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：
①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；
②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；
以下与1步骤相同.
要点：
解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。
五、代数方程分类整式方程
有理方程
分式方程
代数方程
无理方程
六、二元二次方程
1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.
要点诠释：
（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项.
2.二元二次方程的解
能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.
要点：
二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.
七、二元二次方程组
1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.
要点：
不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.
2. 二元二次方程组的解:
方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.
八、二元二次方程组的解法
代入消元法
代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：
①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；
②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；
③解这个一元二次方程，求得未知数的值；
④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；
⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；
⑥写出原方程组的解.
要点：
（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；
（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.
2、因式分解法
(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.
(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.
九、方程（组）的应用
应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.
要点：
一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.
题型1：无理方程的概念
1．以下方程是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】无理方程就是根号下含有未知数的方程．
【解析】解：根据无理方程的概念可知：选项D为无理方程，
故选：D．
【点睛】本题考查无理方程的概念，解题的关键是正确理解无理方程的概念，本题属于基础题型．
题型2：解无理方程
2．下列说法正确的是（ ）
A．方程无实数根
B．方程变形所得有理方程为
C．方程的根是
D．关于x的方程有实数根，那么
【答案】D
【分析】根据解各个选项中的方程，并判断是否符合题意，从而得出答案．
【解析】解：A、∵，两边平方得x+4=x2，
∴x2-x-4=0，解得：x=，经检验，x=是增根，x=是原方程的根，故此选不符合题意；
B、方程变形所得有理方程为，故此选不符合题意；
C、∵，两边平方得2x+3=x2，
∴x2-2x-3=0，解得：x1=3，x2=-1，经检验，x1=3是原方程的根，x2=-1不是原方程的根，是增根，故此选不符合题意；
D、把x=1代入，得，解得：m=-1，经检验，m=-1是方程的根，故此选符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查无理方程，解答本题的关键是明确无理方程的解法，注意无理方程要检验．
3．解方程：．
【答案】
【分析】先把移到方程的右边，两边平方，化简后再次平方，然后解一元二次方程，最后检验即可.
【解析】解：
两边平方化简，
两边平方化简．
解之得，
检验：将代入原方程，左边右边，舍去．
所以原方程的解为．
【点睛】本题考查了解无理方程，以及解一元二次方程，通过平方把无理方程化为有理方程是解答本题的关键.
4．解方程：2x1．
【答案】x0
【分析】移项后两边平方，然后解关于x的一元二次方程，再检验即可．
【解析】解：移项，得，
两边平方，得，
解得：，，
经检验x＝0是原方程的解，x不是原方程的解，
所以原方程的解是x0．
【点睛】本题考查了解无理方程，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想−−转化，把未知转化为已知．
5．解方程：2x2﹣3x+2x1．
【答案】x＝1
【分析】根据完全平方公式，把原方程进行变形，然后化为整式方程，即可求出方程的解．
【解析】解：x2+2xx2﹣3x+3＝4，
∴（x）2＝4，
∴x2或x2，
当x2时，
则2﹣x，
化为整式方程得：，
解得：x＝1；
当x2，
则x﹣2，
化为整式方程得：
解得：x；
经检验，原方程的解为x＝1．
【点睛】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
题型3：有无实数根的问题
6．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别根据分式方程、无理方程的解法，判断、解答即可
【解析】A、解得x=2，而分式方程分母不为零才有意义，故舍去，本选项不符合题意
B、，所以一元二次方程无解，本选项不符合题意
C、两边平方后，解得x=0或x=1，经检验都是符合方程的根，本选项符合题意
D、根据算术平方根的非负性知此无理方程无意义，本选项不符合题意
故选：C．
【点睛】本题考查了无理方程、分式方程、一元二次方程的解法，在解答无理、分式方程时，x的取值必须使方程有意义，注意验根．
7．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】移项后得出，根据算术平方根的非负性即可判断选项A；方程两边都乘得出，再进行检验即可判断选项B；根据二次根式有意义的条件得出且，求出，再进行检验即可判断选项C；方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可判断选项D．
【解析】解：A：，
，
不论为何值，，不能为负数，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B：，
方程两边都乘，得，
检验：当时，是增根，
即原分式方程无实数根，故本选项不符合题意；
C：，
要使有意义，必须且，
解得：，
经检验不是原方程的解，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
D：，
方程两边平方，得，
解得：，
经检验都是原方程的解，
即原方程的解是，，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了解无理方程，解分式方程和二次根式有意义的条件等知识点，能把解无理方程转化成有理方程和能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
8．下列关于的方程中，一定有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先解答选项中的各个方程，即可判断那个选项中的方程一定有实数解，从而可以解答本题．
【解析】解：∵，
∴无解，故选项A错误；
∵，得，
∴，
则Δ＝，故此方程无解，故选项B错误；
∵，∴Δ＝，
∴一定有两个不相等的实数根，故选项C正确；
∵，解得，x＝1，而x＝1时，x−1＝0，故此分式方程无解，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查无理方程、根的判别式、分式方程的解，解题的关键是明确无理方程根号里面的数或式子大于等于0，根的判别式△0时，方程有实数根，分式方程的解要使得原分式方程有意义．
9．在下列方程中，无实数根的方程有（ ）
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】分别根据无理方程，一元二次方程，分式方程的求解方法求解判断即可．
【解析】解：①∵，
∴，
∴方程无解，即没有实数根，符合题意；
②∵，，
∴，
∴且，方程无解，即没有实数根，符合题意；
③∵，
∴，即，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
④∵，，
∴，
∴，
∴，
∴方程有实数根，不符合题意；
⑤∵，
∴，
∴，
∴方程没有实数根，符合题意；
⑥
两边同时乘以得：，
∴，
∴，
∴，
经检验当时，，
∴原方程无实数解，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了无理方程，一元二次方程，分式方程，熟知相关方程的解法是解题的关键．
题型4：无理数的解（求参）
10．如果关于的方程有实数根，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【解析】解：把代入方程，
得：，
两边平方得：，
解得：，
经检验是方程的解，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了解无理方程和方程的解，能把无理方程转化为有理方程是解此题的关键．
题型5：二元二次方程与二元二次方程组
11．请写出一个解是的二元二次方程，这个方程可以是_____．
【答案】xy＝2（答案不唯一）
【分析】根据有两个未知数，且方程中最高次是二次的方程是二元二次方程解答．
【解析】解：∵x＝2，y＝1，
∴xy＝2，且xy＝2是二元二次方程，
故答案为：xy＝2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查高次方程的概念，掌握二元二次方程中未知数是两个，且最高次是二次这个知识点是解题的关键．
12．下列方程组中是二元二次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程组是二元二次方程组，根据定义逐一分析即可．
【解析】解：不符合整式方程组的条件，故A不符合题意；
不符合整式方程组的条件，故B不符合题意；
的最高次项的次数是1，故C不符合题意；
符合二元二次方程组的条件，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查二元二次方程组的识别，掌握该定义是求解本题的关键．
13．把二元二次方程化成两个一次方程，则这两个一次方程分别是：__________和__________．
【答案】
【分析】把方程则左边分解因式，根据两个式子的积是0，则至少有一个因式是0，即可转化成两个一次方程．
【解析】解：x2﹣2xy﹣3y2＝0
即（x﹣6y）（x＋y）＝0，
则这两个一次方程分别是：x﹣6y＝0和x＋y＝0．
故答案是：x﹣6y＝0和x＋y＝0．
【点睛】本题考查了高次方程通过分解因式的方法转化成两个一次方程，降次是高次方程的基本思想．
题型6：二元二次方程（组）的解与解二元二次方程组
14．已知______（填“是”或“不是”）方程的解．
【答案】不是
【分析】把代入验证即可．
【解析】把代入，
左=1-4+4+1-2-2=-2≠右，
∴不是方程的解．
故答案为：不是．
【点睛】本题考查了方程的解，熟练掌握能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解是解答本题的关键．
15．方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将分解因式，将x−y＝1代入可得x＋y＝3，据此可求出x，y．
【解析】解：由得：（x＋y）（x−y）＝3，
∵x−y＝1①，
∴x＋y＝3②，
由①＋②得2x＝4，
解得：x＝2，
把x＝2代入x−y＝1得y＝1，
∴方程组的解为，
故选：A．
【点睛】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是将二次方程通过因式分解和整体代换转化为解二元一次方程组．
16．由方程组消去y后化简得到的方程是（ ）
A．2x2﹣2x﹣6＝0B．2x2+2x+5＝0C．2x2+5＝0D．2x2﹣2x+5＝0
【答案】D
【分析】根据题目中方程组的特点，由x﹣y﹣1＝0，可以得到y＝x-1，然后将x-1看成一个整体，换为y代入第二方程，再化简即可解答本题．
【解析】解：，
由①，得y＝x-1③，
将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0，
化简，得2x2﹣2x+5＝0，
故选：D．
【点睛】本题考查二元二次方程组，解答本题的关键是明确消元法，利用方程的思想解答．
17．二元二次方程组的解的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出结论．
【解析】解：，
由①得x＝﹣1或y＝2，
当x＝﹣1时，代入②得∶y＝1，
当y＝2时， 代入②得∶x＝±，
所以方程组的解或或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解方程的能力，体现数学中化归思想，消元和降次是解此类问题的关键．
18．已知x，y满足方程组．则的值为（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】D
【分析】利用加减消元法化简原方程组，得出xy的值，再利用完全平方公式及开平方，得出x+2y的值，然后将要求的式子通分，最后将xy和x+2y的值代入即可得出答案．
【解析】解：
②×3﹣①×2得：3xy+4xy＝108﹣94
∴xy＝2③
将③代入②得：x2+4y2＝17
∴
＝x2+4y2+4xy
＝17+8
＝25
∴x+2y＝5或x+2y＝﹣5
∴＝＝±
故选：D．
【点睛】本题主要考查解方程组，巧妙地运用加减消元法化简得出的值，再利用完全平方公式得出的值是解题的关键．
19．解方程组：
【答案】方程组的解为：或．
【分析】先把方程①变形可得或，再把原方程组化为两个二元一次方程组，再解两个二元一次方程组即可．
【解析】解：，
由①得：，
∴或，
∴原方程组化为：或，
由可得：，
由可得：，
∴方程组的解为：或．
【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握“把二元二次方程组化为二元一次方程组的方法解题”是解本题的关键．
20．解方程组：．
【答案】
【分析】设，，解关于a、b的方程组求出的a、b值，再列出关于x和y的方程组求解即可.
【解析】解：设，，
则原方程组化为：，
解得：，
即，
解得：，
经检验是原方程组的解，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查换元法解分式方程组，以及二元一次方程组的解法，掌握换元法是解答本题的关键.
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．是二项方程B．是无理方程
C．是分式方程D．是二元二次方程
【答案】B
【分析】利用无理方程及二项方程以及高次方程的定义进行判断即可得到答案；
【解析】解：是一元二次方程，不是二项方程，故A不符合题意；
是无理方程，故B符合题意；
是一元一次方程，故C不符合题意；
是分式方程，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了无理方程及二项方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定义．
2．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】移项后得出，根据算术平方根的非负性即可判断选项A；方程两边都乘得出，再进行检验即可判断选项B；根据二次根式有意义的条件得出且，求出，再进行检验即可判断选项C；方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可判断选项D．
【解析】解：A：，
，
不论为何值，，不能为负数，
此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B：，
方程两边都乘，得，
检验：当时，是增根，
即原分式方程无实数根，故本选项不符合题意；
C：，
要使有意义，必须且，
解得：，
经检验不是原方程的解，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
D：，
方程两边平方，得，
解得：，
经检验都是原方程的解，
即原方程的解是，，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了解无理方程，解分式方程和二次根式有意义的条件等知识点，能把解无理方程转化成有理方程和能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
3．下列方程，有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先移项，再根据算术平方根的非负性即可判断A；方程两边都乘以x-2，求出x=2，再进行检验，即可判断B；移项后开四次方，即可判断C；根据算术平方根的非负性得出x-4=0且x-3=0，即可判断D．
【解析】解：A、∵，
∴，
∵是非负数，
∴原方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，
方程两边都乘以x-2，得x=2，
检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2是增根，
即原方程无实数解，故本选项不符合题意；
C、∵（x+2）4-1=0，
∴（x+2）4=1，
∴x+2=，
∴x1=-2+1=-1，x2=-2-1=-3，即方程有实数解，故本选项符合题意；
D、∵，
∴x-4=0且x-3=0，
∴x不存在，
即原方程无实数解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解无理方程，算术平方根，四次方根，解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
4．下列方程组中是二元二次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元二次方程组的定义进行判断即可．
【解析】解：A是二元二次方程组，故选项符合题意；
B是三元二次方程组，故选项不合题意；
C是二元一次方程组，故选项不合题意；
D中含有无理方程，不是二元二次方程组，故选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了高次方程，掌握二元二次方程组的定义是解决本题的关键．
5．下列二次方程中能化成两个一次方程的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据因式分解法逐一判断即可．
【解析】解：（1），∴或；
（2），不能化成两个一次方程
（3），∴或；
（4）方程可化为，即，∴或；
（5），∴或，
∴能化成两个一次方程的有（1）、（3）、（4）、（5）
故答案为：C．
【点睛】本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握因式分解法．
6．解方程组的可行方法是（ ）
A．将①式分解因式B．将②式分解因式
C．将①②式分解因式D．加减消元
【答案】C
【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先因式分解组中的两个二元二次方程，再解答即可．
【解析】解：∵因式分解①得： ，
因式分解②得：
∴或，
将或代入中得到或，
得到方程组或，
解得：，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是根据二元二次方程组的特点，进行因式分解．
7．下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题根据方程组的解的定义，运用代入排除法即可作出选择．
【解析】把四个选项的答案分别代入方程组，发现只有A中的答案适合两个方程．
故选A．
【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义．
8．方程组的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】用代入法解答，把x+2y=0化为x=﹣2y，代入（x﹣3）2+y2=9，整理得5y2+12y=0即可求解．
解：由x+2y=0可得x=﹣2y ①，将①代入（x﹣3）2+y2=9，整理得5y2+12y=0，解之得y1=0，y2=，
分别代入①可得x1=0，x2=．∴方程组的解是
故选A．
9．方程组在实数范围内（ ）
A．有1组解
B．有2组解
C．有4组解
D．有多于4组的解
【答案】D
【解析】根据题意，分析分别就a、当x≥0、y≥0时；b、当x≥0、y≤0时；c、当x≤0、y≥0时；当x≤0、y≤0时四种情况，去掉决定值符号，分解因式联立方程，利用根据与系数的关系即是否符号题意，来判断方程组的解．
解：
a、当x≥0、y≥0时，⇒
由①﹣②得 x2﹣y2﹣5（x+y）=0⇒（x+y）（x﹣y﹣5）=0，即x=﹣y或 x=y+5 ③
当x=﹣y时，解得x=0，y=0，
当x=y+5时，②③联立得 y2﹣3y+5=0
∵△=9﹣20=﹣11＜0，
∴无解．
b、当x≥0、y≤0时，⇒
由①﹣②得 x2﹣y2﹣5（x+y）=0⇒（x+y）（x﹣y﹣5）=0，即x=﹣y或x=y+5 ③
当x=﹣y时，②③联立得 y2+3y="0"
解得或
当x=y+5时，②③联立得 y2﹣3y+5="0"
∵△=9﹣20=﹣11＜0，
∴无解．
c、当x≤0、y≥0时，⇒由①﹣②得 x2﹣y2+5（x+y）=0⇒（x+y）（x﹣y+5）=0，即x=﹣y或x=y﹣5 ③
当x=﹣y时，②③联立得 y2﹣3y="0"
解得或，
当x=y﹣5时，②③联立得 y2﹣5y+5="0"
∵△=25﹣20=5＞0，
∴方程有两解．
d、当x≤0、y≤0时，⇒
由①﹣②得 x2﹣y2+5（x﹣y）=0⇒（x﹣y）（x+y﹣5）=0，即x=y或x=﹣y+5 ③
当x=y时，②③联立得 y2+3y="0"
解得或（不合题意，舍去）
当x=﹣y+5时，②③联立得 y2+5y﹣5="0"
∵△=25+20=45＞0，
∴方程有两解．
综上所述，方程有7个解．
故选D．
10．方程有解但无不同的解时，a=（ ）
A．1B．0C．﹣D．﹣1
【答案】D
【解析】由题意知，原方程组有解，并且有相同的解，由一元二次方程根的判别式可以知道△=0，将原方程组转化成一元二次方程就利用△=0就可以求出a=的值．
解：
由①﹣②，得4xy=2x
4xy﹣2x=0
2x（2y﹣1）=0
∴x=0或y=（与条件不符合，∵y=时方程①、②不相等）
∴当x=0时
y2=a+2y
∴y2﹣2y﹣a=0
∴△=（﹣2）2﹣4（﹣a）=0
∴4+4a=0
∴a=﹣1．
故D答案正确．
故选D．
二、填空题
11．方程的根是______．
【答案】
【分析】首先把方程两边同时平方，去掉根号，然后解一元二次方程，最后检验即可求解．
【解析】解：两边平方得，，
移项得：，
即，
解得，，
经检验，是增根，
∴方程的解为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解无理方程的方法，解题的关键是利用平方把方程的根号去掉，化无理方程为有理方程．
12．方程的解是____________．
【答案】
【分析】方程移项后两边平方，化无理方程为整式方程，求解并检验即可．
【解析】解：移项，得，
两边平方，得，
整理，得，
所以．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
【点评】本题考查了无理方程，解题的关键是掌握解无理方程的一般步骤，同时注意验根．
13．下列方程：，，，无实数根的方程有________个．
【答案】3
【分析】根据二次根式有意义的条件判断；移项后得出方程，根据算术平方根的非负性即可判断；两边平方，求出方程的解，再进行检验即可判断；
【解析】解：，
由二次根式有意义条件得：，
解得：不等式组无解，
∴此方程无实数根；
，
移项得：，
∵不论x为何值，
的值不能为负数，
∴此方程无实数根；
，
方程两边平方，得，
解得：x=1，
经检验x=1不是原方程的解，
∴此方程无实数根；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解无理方等知识点，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
14．若关于的方程在实数范围内有两解，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】先变形得，再化为整式方程得，利用判别式的意义得到，然后解不等式得到满足条件的k的取值范围．
【解析】解：，
两边平方得，
根据题意得，
整理得，解得或，
而，
所以k的取值范围为．
故答案为．
【点睛】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．用乘方法解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
15．方程＝0的解是 _____．
【答案】x＝2
【分析】根据已知得出＝0或＝0，则x−2＝0或x＋3＝0，求出x的值，再进行检验即可．
【解析】解：∵＝0，
∴＝0或＝0，
∴x−2＝0或x＋3＝0，
解得：x＝2或x＝−3，
经检验：x＝2是原方程的解，x＝−3不是原方程的解，
所以原方程的解是x＝2，
故答案为：x＝2．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意别忘了检验．
16．把方程组，化成两个二元二次方程组是______．
【答案】，（答案不唯一）
【分析】可以把①×2得到③，用③和②组成一个新的二元二次方程组，把②×2得到④，用①和④组成一个新的二元二次方程组即可
【解析】解：
用①×2得：，②×2得，
∴②③组成新方程组为： ；
∴①④组成新的方程组为：，
故答案为：，（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了二元二次方程组，熟知相关知识是解题的关键．
17．把二元二次方程x2﹣y2﹣2x+2y＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是__和__．
【答案】 x+y-2=0 x-y=0
【分析】把二元二次方程x2﹣y2﹣2x+2y＝0的左边分解成几个因式的积，可以变为（x+y﹣2）（x﹣y）＝0，进而即可解决问题．
【解析】解：∵x2﹣y2﹣2x+2y＝0，
∴（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝0，
∴（x+y﹣2）（x﹣y）＝0，
∴x+y﹣2＝0或x﹣y＝0．
故答案为：x+y﹣2＝0或x﹣y＝0．
【点睛】本题主要考查二元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
18．方程组的解为 ___．
【答案】，，，
【分析】先求出方程组中每个一元二次方程的解，再得出原方程组的解即可．
【解析】解：，
解方程①，得或1，
解方程②，得或，
所以原方程组的解是，，，，
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了解高次方程组和解一元二次方程，能求出一元二次方程的解是解此题的关键．
19．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ___．
【答案】
【分析】由①得出x=m+y③，把③代入②得出y2-2（m+y）+3y+4=0，整理后得出y2+y+（4-2m）=0，根据已知方程组有实数根和根的判别式得出12-4×1×（4-2m）≥0，求出不等式的解集即可．
【解析】解：，
由①，得③，
把③代入②，得，
整理得：，
关于、的方程组有实数解，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根的判别式，解一元一次不等式等知识点，能把方程组转化成一元二次方程是解此题的关键．
20．如果，那么的值为_________________．
【答案】
【分析】方程组的三个方程轮循环对称，可把组中的三个方程相加，利用完全平方公式和非负数的和先求出、、的值，再计算．
【解析】解：
①②③，得，
整理，得
所以
即
因为，，，
所以，，
所以，，，
所以．
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的和等知识点．观察题目，发现三个方程的特点是解决本题的关键．
三、解答题
21．解方程3﹣2﹣＝x．
【答案】x＝2﹣
【分析】整理后得出1﹣x＝，方程两边平方得出1﹣2x+x2＝2x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解析】解：3﹣2﹣＝x，
即1﹣x＝，
方程两边平方，得1﹣2x+x2＝2x﹣1，
即x2﹣4x+2＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
∴x＝＝2±，
经检验x＝2+不是原方程的解，x＝2﹣是原方程的解，
所以原方程的解是x＝2﹣．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
22．解方程：
【答案】无解
【分析】首先两个二次根式要有意义，则可得满足条件的x不存在，因而方程无解．
【解析】由题意知：，即，此不等式组无解，
所以原方程无解．
【点睛】本题考查了解无理方程，解含二次根式的无理方程时，先考虑被开方数非负，确定x的取值范围，再通过两边平方，化无理方程为有理方程．
23．已知a＞1，解方程：＝x．
【答案】x＝（a＞1）
【分析】设，代入原方程可得，两式平方后相减可得，分解因式可得或，分情况计算可得方程的解；
【解析】解：设，则①，
则原式变形为：，
∴②，
②﹣①得：，
∴，
∴或，
当时，
∵，
∴，
∴，此种情况不符合题意；
当时，代入①得：，
解得：，
∵，
∴，
∴原方程的解为：．
【点睛】本题考查解无理方程，利用换元法将方程变形后进行因式分解可解答．
24．解方程组：．
【答案】；
【分析】先将第二个方程变形为x﹣y＝1或x﹣y＝﹣1，再和第一个方程组合得到两个二元一次方程组，再分别解这两个二元一次方程组即可．
【解析】解：，
由②得（x﹣y）2＝1，
∴x﹣y＝1或x﹣y＝﹣1，
与方程①组成新的方程组得：；
解这两个新方程组，得原方程组的解为：
；．
【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，通过因式分解，将原方程组转化为两个二元一次方程组，从而求解．
25．解方程组：．
【答案】、、或
【分析】首先把方程组的每个方程降次，然后根据二元一次方程的求解方法，求出原方程组的解即可．
【解析】解：
由①可得，则：2x＋y＝±3，
由②可得，则：x＝﹣6y或x＝y，
（1）把x＝﹣6y代入2x＋y＝±3，
解得或．
（2）把x＝y代入2x＋y＝±3，
解得或．
∴原方程组的解是、、或．
【点睛】此题主要考查了高次方程的求解方法，要熟练掌握，解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
26．（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）先将方程②因式分解为或，再组成两个二元一次方程组求解；
（2）设，，将原方程组化为求出m、n的值，再计算，并进行检验．
【解析】.解：（1）
由②得，或，
∴或，
解得或，
∴原方程组的解是或；
（2）设，，
∴原方程组可化为，
解得，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程组的解，
∴原方程组的解为．
【点睛】此题考查解二元一次方程组及特殊法解分式方程，正确掌握各自的解法并应用是解题的关键．
27．解方程组：
【答案】和
【分析】当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．
【解析】（用因式分解法）
方程（1）可化为（x-2y）2+（x-2y）-2=0
即（x-2y+2）（x-2y-1）=0
∴x-2y+2=0 或x-2y-1=0
原方程组可化为：
分别解得：和
【点睛】此题主要考查因式分解和二元二次方程组的综合题，掌握使用因式分解法和代入法是解题的关键．
28．解方程
(1)解无理方程：﹣＝1；
(2)已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值．
【答案】(1)x＝4
(2)m＝2
【分析】（1）将移项到方程右边，方程两边平方，求出x的值，检验即可；
（2）把x＝1代入方程，方程两边平方，转化为整式方程，解整式方程，最后检验即可．
(1)
解：方程变形为：，
方程两边平方得：，
∴，
解得：x＝4．
检验：当x＝4时，左边＝1，右边＝1，
∴原方程的根为x＝4；
(2)
解：把x＝1代入方程化简得：，
方程两边平方得：m﹣2＝4﹣4m+m2，
解得：m＝2或3，
检验：当m＝2时，左边＝右边；
当m＝3时，左边≠右边．
∴m＝2．
【点评】本题考查了无理方程，把无理方程转化为整式方程是解题的关键，解无理方程最后要检验．
29．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
(3)已知关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值.
【答案】(1)分式方程与无理方程是“相似方程”，理由见解析；
(2)和，它们是“相似方程”，公共解为
(3)或或
【分析】（1）分别求出分式方程和无理方程的解，然后根据“相似方程”的定义进行判断即可；
（2）联立两个两个方程，求出它们的公共解，如果只有唯一解，即说明两个方程是“相似方程”，如果没有唯一解则说明两个方程不是“相似方程”；
（3）联立两个方程得到，再分当时， 当时，两种情况讨论求解即可．
(1)
解：分式方程与无理方程是“相似方程”，理由如下：
两边用时乘以得：，
∴，
∴，
∴或，
经检验和都是原方程的解；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴分式方程与无理方程有一个相同的解，
∴分式方程与无理方程是“相似方程”；
(2)
解：联立得：，
∴，
∴，
∴，
∴原方程组的解为，
∴方程和方程有一个公共解，
∴和，它们是“相似方程”，公共解为
(3)
解：∵关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，
∴，
∴，
当时，即不符合题意；
当时，则，
∵x、y都是整数，
∴或或
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解无理方程，解二元二次方程，解二元一次方程组等等，正确理解题意是解题的关键．