河北省沧州市沧县第三中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数为（ ）
A. 24B. 120C. 48D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】将捆绑在一起，计算得到答案.
【详解】将捆绑在一起，共有种排法.
故选：C.
2. 若的展开式中的常数项为，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由二项式定理的通项公式求的展开式的常数项，由条件列方程求.
【详解】二项式的展开式的第项为，
令可得，
所以二项式的展开式的第项为常数项，常数项为，
所以，
所以，
故选：C.
3. 如图，要让电路从A处到B处接通，不同路径条数为（ ）
A. 5B. 7C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据分类计数原理与分步计数原理计算可得答案．
【详解】要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为．
故选：C．
4. 若的展开式中常数项的系数是15，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项化简整理再赋值即可得到关于的方程，解出即可.
【详解】二项展开式通项为
则时常数项为．
故选：C．
二、多项选择题（共20分）
5. 九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（ ）
A. 九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法
B. 九本书内容都不一样，分给三位同学有种不同的分法
C. 九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法
D. 九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有种不同的分法
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，利用挡板法可求解即可；对于B，每本书都有3种分配方法，求幂即可得到答案；对于C，根据题意，将9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，由组合数公式计算可得答案；对于D，可以分11类情况：①“1，2，6型”②“1，3，5型”③“1，4，4型”④“1，7，1型”⑤“1，8，0型”⑥“2，2，5型”⑦“2，3，4型”⑧“2，7，0型”⑨“3，3，3型”⑩“3，6，0型”⑪“4，5，0型”，分别计算再相加即可．
【详解】对于A，9本相同书分给三位同学，每人至少一本，利用挡板法分析，在9本书之间的8个空位中任选2个，插入挡板即可，有种不同的分法，故A正确；
对于B，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有种不同的分法，故B正确；
对于C，由9本书内容完全一样，则将这9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，则有种不同的分法，故C正确；
对于D，可以分11类情况：
①“1，2，6型”有；②“1，3，5型”；
③“1，4，4型”；④“1，7，1型”；⑤“1，8，0型”；
⑥“2，2，5型”；⑦“2，3，4型”；⑧“2，7，0型”；
⑨“3，3，3型”；⑩“3，6，0型”；
⑪“4，5，0型”，
所以有种不同的分法，故D错误．
故选：ABC．
6. 某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则（ ）
A. 若不选择政治，选法总数种
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为种
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为种
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12种
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：原题意等价于六门课程中选三门不作选修科目，结合组合数运算求解；对于B、C、D：根据题意利用间接法，结合组合数运算求解.
【详解】对于A：原题意等价于六门课程中选三门不作选修科目，
已知不选择政治，则再从剩余的五门课程中选择两门不作为选修科目，
可得选法总数为种，故A正确；
对于B：六门课程中选三门，选法总数为种，
若物理和化学均不选，选法总数为种，
若物理和化学至少选一门，选法总数为种，
但，故B错误；
对于C：若物理和历史同时选，选法总数为种，
若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对D：在物理和历史不同时选的前提下，排除物理和化学均不选，
结合选项B、C可知：选法总数为种，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题（共20分）
7. 新年音乐会安排了2个唱歌、2个乐器和2个舞蹈共6个节目，则2个唱歌节目不相邻且两个乐器节目相邻的节目单共有______种．（用数字表示）
【答案】144
【解析】
【分析】结合捆绑法和插空法求解即可.
【详解】将两个乐器节目排成一排，共有种排法，
将其视为一个整体和两个舞蹈节目排成一排，共有种排法，
再将两个唱歌节目插入所得排列的空隙中，有种排法，
由分步乘法计数原理可得满足要求的排法共有种排法，
故答案为：144.
8. 的展开式中的系数为___________.
【答案】840
【解析】
【分析】根据的展开式的通项公式可得的展开式中的系数.
【详解】的展开式中的系数为
故答案为：840
四、解答题（共40分）
9. 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端
（2）甲､乙必须相邻；
（3）甲､乙不相邻；
（4）甲､乙之间间隔两人；
【答案】（1）种
（2）种
（3）种
（4）种
【解析】
【分析】（1）在中间的4个位中选一个，排上甲，其余的人任意排可得答案；
（2）把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列可得答案；
（3）先把甲乙二人单独挑出来，把其余4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中排列可得答案；
（4）先把甲乙排好，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，先把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，根据分步计数原理，求得甲乙之间间隔两人的排法即可.
【小问1详解】
现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有种，故共有（种）.
【小问2详解】
把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列共有（种）站法.
【小问3详解】
先把甲乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中，方法共有（种）.
【小问4详解】
先把甲乙排好，有种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有种，
先把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有种,
根据分步计数原理，求得甲､乙之间间隔两人的排法共有种.
10. 现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．
（1）分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；
（2）分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；
（3）平均分成三个组每组两本．
【答案】（1）60； （2）360；
（3）15.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；
（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．
【小问1详解】
根据题意，第一组3本有种分法，第二组2本有种分法，第三组1本有1种分法，
所以共有种分法.
【小问2详解】
根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有种分法，
再将分好的三组分给3人，有种情况，
所以共有种分法
【小问3详解】
根据题意，将6本书平均分为3组，有15种不同的分法．