高三物理二轮复习(命题规律+知识荟萃+经典例题+精选习题)(江苏专用)专题11　磁场带电粒子在复合场中的运动(原卷版+解析)

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专题11 磁场带电粒子在复合场中的运动
【命题规律】
1、命题角度：
（1）安培定则，磁场的叠加，安培力的分析和计算；
（2）带电粒子在磁场中的运动；
（3）动态圆模型．
（4）带电粒子在组合场中的运动；
（5）带电粒子在叠加场中的运动；
（6）带电粒子在交变场中的运动.
2、常考题型：选择题、计算题
【知识荟萃】
★考向一、磁场的基本性质 安培力
1．磁场的产生与叠加
2．安培力的分析与计算
★考向二、 带电粒子在匀强磁场中的运动
分析带电粒子在磁场中运动的方法
【特别提醒】
1.带电粒子在有界匀强磁场中的运动
（1）粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角.粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角.（如图，θ1＝θ2＝θ3）
（2）圆形边界（进、出磁场具有对称性）
①沿径向射入必沿径向射出，如图所示.
②不沿径向射入时.
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示.
2.临界问题
（1）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系.
（2）粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切.
3.多解问题
题目描述的条件不具体，存在多解的可能性，常见的多解原因有：
（1）磁场方向不确定形成多解；
（2）带电粒子电性不确定形成多解；
（3）速度不确定形成多解；
（4）运动的周期性形成多解.
★考向三、动态圆模型
★考向四、带电粒子在组合场中的运动
带电粒子依次经过各场，运动过程由各阶段不同性质的运动（圆周、类平抛、变速直线、匀速直线等）组合而成。
（1）分析研究带电粒子在不同场区的运动。
（2）分析与计算各阶段运动间连接点的速度大小与方向是解题关键。
（3）画出全过程运动示意图很重要。
1．正确区分“电偏转”和“磁偏转”
带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较
2．基本思路
3．“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
4．带电粒子在组合场中运动的应用实例
（1）质谱仪（如图）
原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝eq \f(1,2)mv2。
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝meq \f(v2,r)。
由以上两式可得r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，m＝eq \f(qr2B2,2U)，eq \f(q,m)＝eq \f(2U,B2r2)。
（2）回旋加速器（如图）
原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝eq \f(mv2,r)，得Ekm＝eq \f(q2B2r2,2m)，可见同种粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形金属盒半径r决定，与加速电压无关。
★考向五、带电粒子在叠加场中的运动
明确粒子受几个力，结合运动情况，分析各力方向。
（1）电场与磁场叠加：常见模型有速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件等。
（2）电场、磁场、重力场叠加：无约束带电体在叠加场做直线运动时必为匀速直线运动；做圆周运动时必为匀速圆周运动，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力。
1．三种典型情况
（1）若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时．
（2）若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直．
（3）若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝meq \f(v2,r).
2．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
3．分析
4．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量，区别见下表。
★考向六、带电粒子在交变场中的运动
带电粒子进入周期性变化的电场或磁场，其运动随之做周期性变化。
（1）分析清楚复合场一个周期内的粒子运动过程，找到粒子运动时间、位移、速度等的周期性变化规律。
（2）画出运动过程的示意图，有助于分析。
1．此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性．这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图．
2．解题思路
【经典例题】
【例题1】如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ=30°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，则（ ）
A．两板间电压的最大值
B．能打到N板上的粒子的最大动能为
C．粒子在磁场中运动的最长时间
D．CD板上可能被粒子打中区域的长度
【例题2】回旋加速器工作原理示意图如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，两盒间的狭缝很小，粒子穿过的时间可忽略，它们接在电压为U、频率为f的交流电源上．若A处粒子源产生的质子在加速器中被加速，下列说法正确的是（ ）
A．若只增大交流电压U，则质子获得的最大动能增大
B．若只增大交流电压U，则质子在回旋加速器中运行时间会变长
C．若磁感应强度B增大，交流电频率f必须适当增大才能正常工作
D．不改变磁感应强度B和交流电频率f，该回旋加速器也能用于加速α粒子
【例题3】如图所示，竖直平面内的直角坐标系xOy中，在第一、第二象限内分别有方向垂直于坐标平面向里和向外的匀强磁场，在y>0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，磁感应强度和电场强度大小均未知。在第四象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。一个带电小球从图中y轴上的M点，沿与x轴成角度斜向上做直线运动，由x轴上的N点进入第一象限并立即做匀速圆周运动，已知O、N点间的距离为L，重力加速度大小为g。求：
（1）小球的比荷和第一象限内匀强电场场强E1的大小；
（2）要使小球能够进入第二象限，求第一象限内磁感应强度B1的大小范围；
（3）若第一象限内磁感应强度大小为，第二象限内磁感应强度大小为，求小球穿过y轴的位置和时间的可能取值（从小球进入第一象限开始计时）。
【例题4】如图甲所示，MN、PQ为间距足够大的水平极板，紧靠极板右侧放置竖直的荧光屏，在MN、PQ间加上如图乙所示的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向里，时刻，比荷的正粒子以一定的速度从O1点沿O1O2射入极板间恰好做直线运动，不计粒子的重力，、、k为已知量。求：
（1）粒子从点射入时的速度；
（2）若粒子恰好不能打到荧光屏上，粒子偏离距离最大的时刻；
（3）若粒子在时刻以后打到荧光屏上，粒子打在荧光屏上时，速度方向与水平极板长度的关系（可以用速度与水平方向之间夹角的正弦值表示）。
【精选习题】
一、单选题
1．如图所示，一个带正电的物体从粗糙斜面顶端滑到斜面底端时的速度为若加上一个垂直于纸面指向纸外的方向的磁场，则物体滑到底端时（ ）
A．v变大B．v变小C．v不变D．不能确定
2．如图甲、乙所示的电路中，两光滑平行导轨之间的距离均为L，在两导轨之间的平面内都有垂直导轨平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场，两金属杆完全相同、阻值均为r，均与导轨接触良好。图甲中导轨的左端接有阻值为R的定值电阻，金属杆在水平拉力的作用下以速度v水平向右做匀速运动；图乙中导轨的左端接有内阻不计的电源，金属杆通过跨过定滑轮的绝缘轻绳与一重物相连，杆正以速度v水平向右做匀速运动，电路中的电流为I。若导轨电阻不计，忽略所有摩擦，则下列说法正确的是（ ）
A．两杆所受安培力的方向相同
B．图甲、乙中两杆所受安培力大小之比为
C．在时间Δt内图甲中金属杆产生的电能为
D．在时间Δt内图乙中电源输出的能量为BILvΔt
3．如图所示，水平面的abc区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界的夹角为30°，距顶点b为L的S点有一粒子源，粒子在水平面内垂直bc边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子、粒子质量为m、电量大小为q，下列说法正确的是（ ）
A．从边界bc射出的粒子速度方向各不相同
B．粒子离开磁场时到b点的最短距离为
C．垂直边界ab射出的粒子的速度大小为
D．垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为
4．如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，、、、是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是（ ）
A．沿径迹运动的粒子在磁场中运动时间最短B．沿径迹、运动的粒子均为正电子
C．沿径迹、运动的粒子速率比值为D．沿径迹、运动的时间之比为9：8
5．如图，足够长的绝缘竖直杆处于正交的匀强电磁场中，电场方向水平向左、场强大小为E，磁场方向水平向里，磁感应强度大小为B。一质量为m，电荷量为-q（q>0）的小圆环套在杆上（环内径略大于杆的直径）无初速下滑。若重力加速度大小为g，圆环与杆之间的动摩擦因数为（qE0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，磁感应强度和电场强度大小均未知。在第四象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。一个带电小球从图中y轴上的M点，沿与x轴成角度斜向上做直线运动，由x轴上的N点进入第一象限并立即做匀速圆周运动，已知O、N点间的距离为L，重力加速度大小为g。求：
（1）小球的比荷和第一象限内匀强电场场强E1的大小；
（2）要使小球能够进入第二象限，求第一象限内磁感应强度B1的大小范围；
（3）若第一象限内磁感应强度大小为，第二象限内磁感应强度大小为，求小球穿过y轴的位置和时间的可能取值（从小球进入第一象限开始计时）。
【答案】 （1）E；（2）；（3）见解析
【解析】
（1）设小球质量为m，电荷量为q，速度为v，球在MN段受力如图，因为在MN段做匀速直线运动，所以球受力平衡，由平衡条件得
要使小球进入第一象限后能立即在矩形磁场区域内做匀速圆周运动，则球受的重力必须与电场力平衡
联立解得
（2）由（1）可知
即
在第一象限圆周运动，设磁感应强度为B1时，小球轨迹恰与y轴相切，洛伦兹力提供向心力
可知
由几何关系
L0）的小圆环套在杆上（环内径略大于杆的直径）无初速下滑。若重力加速度大小为g，圆环与杆之间的动摩擦因数为（qEφM；（2）；（3）其中n＝1、2、3…，K＝2、3、4…（n、k独立取对应值）
【解析】
（1）粒子能沿直线通过两板，有
Eq＝qv0B0
又
E＝
可得
U＝B0v0d
且
φN>φM
（2）粒子至少与筒壁碰撞两次，设第一次与筒壁在C点相碰（轨迹如图所示）
由几何知识可得
θ＝
r＝Rtan＝R
又
qv0B＝m
解得
B＝
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期
T＝
偏转一次的时间
t1＝T
设粒子在圆筒内转动了n圈，和筒壁碰撞了K次后返回A处
则
K＋1＝
全过程所用时间
t＝t1（K＋1）＝××（K＋1）＝
其中n＝1、2、3…，K＝2、3、4…（n、k独立取对应值）
9．如图所示，在长方形abcd虚线框区域内，存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面水平向里的匀强磁场，电场强度，磁感应强度为B。O1为ab边中点，O1O2为长方形水平中心线，照相底片与虚线O1O2垂直且离cd边。现有一质量为m电荷量为q的带正电粒子从O1点以速度v（未知）水平射入时，带电粒子沿虚线O1O2做匀速直线运动。保持带电粒子从O1点水平射入的速度v不变，若撤去电场，带电粒子恰好经过d点后打在照相底片上的P点；若撤去磁场，带电粒子打在照相底片上的点。已知，，（不计粒子重力和空气阻力）。求：
（1）从O1点水平射入的速度v；
（2）带电粒子由O1点运动至P点的时间t；
（3）带电粒子打在照相底片上P、两点间的距离。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】
（1）粒子沿虚线O1O2做匀速直线运动，根据平衡
解得
（2）撤去电场后，设带电粒子在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，如图
由牛顿第二定律
得
根据几何知识
粒子在磁场中运动的周期
粒子在磁场中运动的时间
粒子离开磁场做匀速直线运动至P，点过程的位移
该过程的运动时间
则带电粒子由O1点运动至P点的时间t
（3）撤去磁场后，如图所示
粒子在电场中偏转
联立解得
根据几何知识
P、两点间的距离
10．在一边长为a的等边三角形OPQ内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，PQ是刚性绝缘板，带电微粒垂直撞上后会反向弹回，碰撞为弹性碰撞。现以O点为坐标原点，OP为x轴正方向，建立直角坐标系，在第一象限内加一方向竖直向上的匀强电场，在y轴的左侧加一加速电场，假设A、B两极板之间的加速电压为U，在B板的中间有一小孔。现将一带电荷量为-q、质量为m的带负电的微粒在A板中间由静止释放，带电微粒从B板的小孔处飞出，接着从y轴上的M点垂直y轴进入电场，随后从x轴上的C点进入磁场，且速度方向与OQ边平行。经过一段时间带电微粒恰好垂直打到绝缘板的中点并被弹回。最后带电微粒打在y轴负半轴上的N点处（C点、N点图中均未画出），不计带电微粒重力影响。求：
（1）第一象限内的匀强电场的电场强度大小；
（2）三角形OPQ区域内匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）带电微粒从M点运动到N点所用的总时间。
【答案】 （1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）带电微粒运动的轨迹如图所示
设带电微粒从B板射出的速度为v0，由动能定理有
设带电微粒进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，圆心为O1，由几何知识有
解得带电微粒在磁场中的轨迹半径
带电微粒在偏转电场中做类平抛运动，经过C点时的竖直分速度
由牛顿第二定律有
带电微粒在电场中运动的时间为
速度偏向角为60°，则
联立解得
（2）带电微粒进入匀强磁场时的速度
由洛伦兹力提供向心力有
解得
（3）带电微粒在偏转电场中运动的时间为
带电微粒在磁场中运动的总时间为
射出磁场时速度方向水平向左，从离开磁场到N点所用的时间为
故带电微粒从M点运动到N点的总时间为
11．空心立方体（甲图）边长为2L，内壁六个表面涂有荧光粉。位于中间的某电学器件如乙图，中间阴极是一根长为2L的细直圆柱形导体，阳极是环绕阴极半径为r（r远小于L）的金属网罩，单位时间从阴极均匀发射N个电子（初速度不计），经加速后从阳极小孔水平射出，撞到内壁被吸收，可使内壁发光。已知阴阳两极之间所加电压恒为U，电子质量m，电量e，电子重力、电子间相互作用力与其他阻力均不计。
（1）若只加竖直向下的磁场，要使内壁不发光，求磁感应强度的最小值；
（2）若只加竖直向下的电场，要使内壁的上表面全部发光，求电场强度的最大值；
（3）现同时加竖直向下的磁场和竖直向下的电场，求内壁所受力的大小。（提示：）
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】
（1）由动能定理得
可得
俯视图如图所示，有
洛伦兹力提供向心力
解得
（2）由运动学公式可得
则
（3）由于竖直方向的电场获得的速度与竖直磁场平行，所以粒子水平面内一边做匀速圆周运动，竖直面内做匀加速直线运动，互不影响；水平可知
所有粒子均不会碰到侧面台壁，由于水平的速度的动量变化是对称的，不用考虑，仅考虑竖直的速度的动量变化即可，不同竖直位置的飞出到达上台面动量
整个发射管取段，有
，且i为整数
某位置飞出到达上台面有
单位时间某位置飞出到达上台面时产生的作用力为
对所有粒子求和
解得
12．如图1所示，在直角坐标系第一象限内，以x轴和y轴为边界存在足够大匀强磁场。磁感应强度B随时间t作周期性变化的图像如图2所示，B0已知，垂直纸面向外为B的正方向，一粒子源可持续均匀发射速度为v0的粒子，粒子质量和电荷量分别为m和+q，不计重力；t=0时刻，打开粒子源，粒子从坐标原点O沿y轴正方向发射，在t=时刻进入磁场的粒子恰好在t=时刻离开磁场，求：
（1）磁场变化的周期T0；
（2）粒子从x轴射出的区域宽度d以及从第一象限射出的粒子在磁场中运动的最长时间；
（3）若在时刻关闭粒子源，求从x轴和y轴射出的粒子数之比。
【答案】 （1）；（2），；（3）
【解析】
（1）粒子在磁场中圆周运动的周期为
在到时间内磁场不变，如图1所示，粒子做匀速圆周运动从x轴离开磁场，则
解得
（2）粒子在磁场中圆周运动的半径为
如图2所示，某时刻进入磁场的粒子恰好从x轴上F点离开磁场区域，为粒子从x轴射出区域范围
解得
因为
所以粒子在磁场变化的半个周期内圆周运动的圆心角为。比较图2和图3可知：从第一象限射出的粒子在磁场中运动时间最长的应该是从y轴上D点射出的粒子，解得
（3）若磁场无限大且不变，时间内射出的粒子在时刻均匀分布在圆心角为的圆周上。
由于磁场变化，范围内的粒子从x轴射出。范围内的粒子从y轴射出，所以从x轴和y轴射出的粒子数之比为。
另解：
图2中，恰从F点射出的粒子，其射入磁场的时刻为
此时刻之前发射的粒子从x轴射出，时长
图3中，拾从D点射出的粒子，其射入磁场的时刻为
此时刻至时刻发射的粒子从y轴射出，时长
所以从x轴和y轴射出的粒子数之比为
方向
左手定则
大小
直导线
F＝BILsin θ
θ＝0时F＝0，θ＝90°时F＝BIL
导线为曲线时
等效为ac直线电流
受力分析
根据力的平衡条件或牛顿运动定律列方程
二级结论
同向电流相互吸引，反向电流相互排斥
基本思路
（1）画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹．
（2）找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系．
（3）用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式．
基本公式
qvB＝meq \f(v2,r)
重要结论
r＝eq \f(mv,qB)，T＝eq \f(2πm,qB)，T＝eq \f(2πr,v)
圆心的确定
（1）轨迹上的入射点和出射点的速度垂线的交点为圆心，如图（a）；
（2）轨迹上入射点速度垂线和两点连线中垂线的交点为圆心，如图（b）；
（3）沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图（c）（当r已知或可算）
半径的确定
方法一：由物理公式求．由于Bqv＝eq \f(mv2,r)，所以半径r＝eq \f(mv,qB)；
方法二：由几何关系求．一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）通过计算来确定．
时间的求解
方法一：由圆心角求．t＝eq \f(θ,2π)·T；
方法二：由弧长求．t＝eq \f(s,v).
轨迹圆的几个基本特点
（1）粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角．（如图甲，θ1＝θ2＝θ3）
（2）粒子速度方向的偏转角等于其轨迹的对应圆心角．（如图甲，α1＝α2）
（3）沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向，如图乙．（两侧关于两圆心连线对称）
临界问题
（1）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系．
（2）粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切．
多解成因
（1）磁场方向不确定形成多解；
（2）带电粒子电性不确定形成多解；
（3）速度不确定形成多解；
（4）运动的周期性形成多解.
放
缩圆
适用条件
粒子速度方向一定，速度大小不同
应用方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件．
（轨迹圆的圆心在P1P2直线上）
旋
转圆
适用条件
粒子的速度大小一定，半径一定，速度方向不同
应用方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，
（轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq \f(mv0,qB)的圆上）
平移
圆
适用条件
粒子的速度大小、方向均一定，入射点位置不同
应用方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，
（轨迹圆的所有圆心在一条直线上）
磁聚焦与磁发
散
成立条件：区域圆的半径等于轨迹圆半径R＝eq \f(mv,qB)
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行
磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
磁发散
垂直进入磁场（磁偏转）
垂直进入电场（电偏转）
情景图
受力
FB＝qv0B，FB大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力
FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
运动规律
匀速圆周运动
r＝eq \f(mv0,Bq)，T＝eq \f(2πm,Bq)
类平抛运动
vx＝v0，vy＝eq \f(Eq,m)t
x＝v0t，y＝eq \f(Eq,2m)t2
装置
原理图
规律
速度选择器
若qv0B＝Eq，即v0＝eq \f(E,B)，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机
等离子体射入匀强磁场区，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极板电压为U时稳定，
qeq \f(U,d)＝qv0B，U＝v0Bd
电磁流量计
qeq \f(U,D)＝qvB，所以v＝eq \f(U,DB)，所以Q＝vS＝eq \f(πDU,4B)
霍尔元件
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差