河南省周口市川汇区周口恒大中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

这是一份河南省周口市川汇区周口恒大中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了在中，，则可表示为，给出下列物理量，与垂直的单位向量是，向量满足，则的值可以是等内容，欢迎下载使用。
试卷考试时间：120分钟 满分：150

第I卷（选择题）
单项选择题（每小题5分，共40分）
1．在△ABC中，点D为边AC上靠近A的四等分点，，，，则（ ）
A．5B．3C．D．
2．在中，，则可表示为
A．B．
C．D．
3．在中，，，，则此三角形解的情况是
A．一解B．两解C．一解或两解D．无解
4．给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
5．已知O为原点，，，，若点P在y轴上，则实数
A．0B．1C．D．
6．与垂直的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．或
8．如图，在中，，点在边上，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
10．向量满足，则的值可以是（ ）
A．3B．2C．6D．3
11．已知向量，，与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
12．设点M是所在平面内一点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的形状为等边三角形
B．若，则点M是边BC的中点
C．过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若恒成立，则点M是的垂心
D．若，则点M在边BC的延长线上
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．在菱形中，，，则 .
14．简化 ．
15．已知向量满足 .
16．在中，所对的边为,,则面积的最大值为 ．
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17．在中，角的对边分别是，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
18．若△ABC中，角A，B，C所对的边分别记作a，b，c．若，，且．
(1)若，求；
(2)证明：；
(3)求的范围．
19．在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足，．
(1)求csC的值；
(2)若，D是AB的中点，求CD的长．
20．已知A(-1，2)，B(0，-2)，且，若点D在线段AB上，求点D的坐标.
21．（1）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）中，已知，，对角线，求对角线的长．
22．在中，角，，的对边分别是，，.若，，的平分线交于.
（1）求；
（2）若，求.
参考答案：
1．A
【分析】设，则，，由已知角相等得三角形相似，从而求得，并得出，由勾股定理求得，得，同时得出，由三角形面积公式求得，得值．
【详解】设，则，，
，公用，则，
所以，，解得，，
又，所以，，
，，
，
解得（负数舍去），．
故选：A．
2．C
【解析】利用向量的加减法法则运算即可
【详解】因为，所以
所以
故选：C
【点睛】本题考查的是向量加减法的运算，较简单.
3．A
【分析】由，及的值，利用正弦定理解得的值，结合，得出，即可判断.
【详解】由正弦定理得，即，解得，又，所以，即为锐角，所以只有一解，
故选A．
4．C
【分析】既有方向，又有大小的量为向量
【详解】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.
故选：C
5．B
【分析】根据向量坐标运算，用m表示出P点坐标，根据点P在y轴上即可求得m的值．
【详解】
点P在y轴上
故选B
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
6．D
【分析】根据给定条件，求出与垂直的一个向量，再求出其单位向量即可.
【详解】设与垂直的向量，
于是，令，得，即，
与共线的单位向量为，
所以与垂直的单位向量是.
故选：D
7．D
【分析】先利用同角之间的关系求得，再利用余弦定理可求得结果.
【详解】由，且，可知角A必为锐角，可得，
根据余弦定理可得，，即，解得或．
故选：D．
8．A
【分析】首先根据余弦定理求，再判断的内角，并在和中，分别用正弦定理表示，建立方程求的值.
【详解】
，
，
又因为角是三角形的内角，所以，
，
，，
，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
，解得：.
故选：A
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.
9．ABD
【分析】根据正弦定理的性质即可判断.
【详解】对于A，在，因为，由正弦定理得，，故A正确；
对于B，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角，所以，故B正确；
对于C，若，根据余弦函数的单调性，得，故C错误；
对于D，由正弦定理得，则，故D正确.
故选：ABD.
10．ABC
【分析】设，，，由题意可知，，即有,从而得四点共圆，然后结合正弦定理及余弦定理求解即可.
【详解】设，，，
由向量满足，，，
所以，，
所以.
①如图当时，，
即，
即四点共圆，
由余弦定理可得：，
设四边形的外接圆的半径为，
由正弦定理可得，
又点在优弧上（不含端点），
则，则有，则；
②如图当时，，
则在以为圆心的圆上运动，其中点在优弧上（不含端点），
则，
综合①②可得.
故选：ABC.
11．CD
【分析】求出，来判断CD，通过求出来判断AB.
【详解】由已知得，，，
，CD正确；
与垂直，
，
解得，AB错误.
故选：CD.
12．AB
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.
【详解】对于选线A，如图作的中点，连接，
由，得，
即，结合三角形性质易知，，
同理，，故的形状为等边三角形，故A正确；
对于选项B，由，得，即，
因此点M是边BC的中点，故B正确；
对于选项C，如图当过点时，，
由，得，则直线经过的中点，
同理直线经过的中点，直线经过的中点，因此点M是的重心，故C错误；
对于选项D，由，得，即，因此点M在边的延长线上，故D错.
故选：AB.
13．1
【分析】根据计算可得结果.
【详解】在菱形中，，，所以，
.
故答案为：1
14．
【分析】根据向量加减法法则运算即可.
【详解】，
故答案为：
15．
【详解】试题分析：由题意得，，．
考点：向量的数量积.
16．3
【分析】由已知利用正弦定理可得，由余弦定理可解得，利用同角三角函数基本关系式可求得，进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【详解】∵
∴由正弦定理可得
∵
∴由余弦定理可得.
∴
∴，
当且仅当时取等号.
∴面积的最大值为
故答案为:
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题设条件求得，即得，在三角形中即可求得角；
（2）由（1）和可利用正弦定理将边分别用的三角函数表示，运用三角形面积公式，经三角恒等变换将面积表示成正弦型函数，最后结合角的范围和三角函数的图象即得.
【详解】（1）由可得：，则.
由，又因，故得：.
（2）由（1）知，又，由正弦定理可得：，则：，
记的面积为，则
，
因，则，故，所以，面积的最大值为.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求解即可；
（2）由余弦定理及均值不等式，利于余弦函数的单调性即可证明；
（3）由B的范围求出范围，再结合，确定的范围.
【详解】（1）由题，可得，由正弦定理得，即．
由于，且由余弦定理，
化简可得，解得．
（2）由（1）得，代入，则有，
化简可得，
即，
当且仅当即时，等号可以取到．
因此，．
（3）由（2），可得及，解得．
又因为，，有，及，
解得．
综上，．
19．(1)
或；
(2)
或.
【分析】(1)讨论，结合同角三角函数基本关系求，再由两角和差余弦公式求的值；
(2)讨论，利用正弦定理解可求，再由余弦定理解即可求得CD的长.
【详解】（1）在中，，，
当时，，；
当时，，
（2）由(1) 当时，，因为，所以，
在中，由正弦定理可得，
又，，，所以，
在中，由余弦定理可得
又，，，
所以，所以，
由(1) 当时，，因为，所以，
在中，由正弦定理可得，
又，，，所以，
在中，由余弦定理可得
又，，，所以
20．
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】设D(x，y)，由题意知，2||=3||，
且点D在线段AB上，所以2=，
即2(x+1，y-2)=3(-x，-2-y).
所以解得
故D点坐标为.
21．（1）与水流方向成60°角，8km/h；（2）
【分析】（1）作出示意图，再根据向量加法与减法的三角形法则和三角函数的定义即可得出答案；（2）利用平面向量基本定理，得，然后利用数量积运算法则求解即可.
【详解】（1）如图，设此人在静水中游泳的速度为，水流的速度为，
以、为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为，
由题意，且，，所以，
在中，，所以∠AOC=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8km/h；
如图，取为基底，设，，则，，
从而，所以，即，
所以，又，所以，
所以，即对角线的长为.
22．（1）；（2）.
【分析】（1）利用所给等式及正弦定理用b表示a、c，再利用余弦定理求出即可得解；
（2）求出各边长度进而利用余弦定理求出，再由求出，在中利用正弦定理即可求得AD.
【详解】（1）∵，
由正弦定理得，即，
代入已知，整理可得，
∴，
结合，可得.
（2）因为，于是由（1）得，.
根据余弦定理得，
进而可得，
又，
∴，
在中，由正弦定理得，即，
解得.
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.