辽宁省协作校2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试题

这是一份辽宁省协作校2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试题，共12页。试卷主要包含了猜灯谜是中国元宵节特色活动之一，若，则等内容，欢迎下载使用。

数学
命题人：抚顺二中 孙振刚沈阳二中 牛大伟
时间：120分钟试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，且，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，（为虚数单位），则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知．则“且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线的下焦点和上焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的4倍，则（ ）
A．3B．C．D．
5．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数使得数列，为递减数列，则称函数为“数列保减函数”，已知函数为“数列保减函数”，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．或2B．或C．2D．
8．已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）
A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
10．已知函数，则在区间上为减函数的充分条件是（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．是奇函数D．的图象关于点对称
11．已知不相等的实数，满足，则下列四个数，，，经过适当排序后（ ）
A．可能是等差数列B．不可能是等差数列
C．可能是等比数列D．不可能是等比数列
12．设直线系（其中，，均为参数，，），则下列命题中是真命题的是（ ）
A．当，时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切
B．存在，，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限
C．当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1，最小值为
D．当，时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．抛物线上的一点到其准线的距离为______．
14．已知函数在处有极值8，则等于______．
15．杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为______．
16．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，求的最大值．
18．（12分）已知为数列的前项和，满足，且，，，，成等比数列，当时，．
（1）求证：当时，成等差数列；
（2）求的前项和．
19．（12分）某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下列联表（单位：人）：
（1）能否有的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？（计算结果精确到0.001）
（2）从该班的学生中任选一人，表示事件“选到的学生数学成绩良好”， 表示事件“选到的学生语文成绩良好”，与的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为．
（i）证明：；
（ii）利用该表中数据，给出，的估计值，并利用（i）的结果给出的估计值．
附：，
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，为中点，是上的点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求到平面的距离．
21．（12分）已知圆和椭圆，椭圆的四个顶点为，，，，如图．
（1）圆与平行四边形内切，求的最小值；
（2）已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当，满足什么条件时，对上任意一点，均存在以为顶点与外切，与内接的平行四边形？并证明你的结论．
22．（12分）已知函数，（其中，为实数，且）
（1）当时，恒成立，求；
（2）当时，函数有两个不同的零点，求的最大整数值．
（参考数据：）
2023-2024学年度下学期高三第一次模拟考试试题
数学参考答案
一、1．D 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．C
二、9．CD 10．BD 11．AD 12．ABD
三、13．5 14． 15． 16．
四、17．解：（1）
据余弦定理得
由正弦定理：
或（舍）
（2）为锐角三角形
由（1），，原式
令
则原式
，
当时，所求式子的最大值为．
18．解析（1），①，当时，，②
①②得．
又当时，，所以，
所以当时，成等差数列．
（2）由，解得或，又，，，，成等比数列，
所以由（1）得，进而，
而，所以，从而，
所以，
所以
19．解：（1）由已知，
又，而，
所以没有的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关．
（2）（i）因为．
所以，
所以，
（ii）由已知，，
又，，所以．
20．解：（1）侧面侧面于，于，平面
平面
又是正方形，，
平面，又平面
平面平面
（2）法1：作垂直于，作，连接，取中点，连接，
，，
，，
侧面底面于，底面，
，，
为二面角的平面角，
设，则，
在中，
在中，得，
，得，是的中点
设是的中点，由（1）可知平面．
平面平面于
到平面的距离为到直线的距离
在中，，
到的距离为
，是的中点，到平面的距离即是到平面距离的
到平面距离为
法2：以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
，，，
设，
得，，
设平面的一个法向量为，
则，
取得，，则．
平面的一个法向量为
设二面角的大小为，则，
解得，所以
设平面的一个法向量为，则，
取则．
到平面距离为．
21．解：（1）直线的方程为，由条件得，原点到直线的距离为，即，所以，当，时取“”
（1）
证明：由平面几何可知，若平行四边形有内切圆，则平行四边形是菱形，设菱形为，设直线，则直线
联立，消得，，
同理有，
设原点到直线的距离为，又则
，
又．
即
同理可得到直线，，的距离均为1，
所以该平行四边形与相切．
22．解：（1）设，则其定义域为，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，对于恒成立，
即恒成立，所以合理．
当时，令，即，
解得（舍），
当时，单调递增；
又有，所以当时，，不合题意．
当时，令，即，
解得（舍），
当时，，单调递减；
又有，所以当时，，不合题意．
综上所述，．
（2）由题意，方程有两个不同的解，
即关于的方程有两个不同的解，
设，则，
设，由可知，
所以在上单调递减，
又，，
所以存在使得，即，所以，
所以当时，，即，进而函数单调递增；
当时，，即，进而函数单调递减，
所以函数的极大值为
要使得关于的方程有两个不同的解，则，
当时，设，
则，可知在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以有两个不同的零点，符合题意，
所以的最大整数值为．数学成绩良好
数学成绩不够良好
语文成绩良好
12
10
语文成绩不够良好
8
5
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828