上海市普陀区长征中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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2024.03
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知角，则角的终边落在第__________象限．
【答案】三
【解析】
【分析】根据终边相同的角的表示，将化为，即可判断答案.
【详解】由题意得，
由于的终边在第三象限内，故角的终边落在第三象限内，
故答案为：三
2. 角的终边经过点，则=____________________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由三角函数定义可知
考点：三角函数定义
3. 设一扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形弧长公式可求得半径，代入扇形面积公式即可求得结果.
【详解】设该扇形的半径为，弧长为，圆心角为，则，
，，解得：，
该扇形的面积.
故答案为：.
4. 若，则值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】对平方后展开，结合同角三角函数基本关系及二倍角公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得.
故答案为：.
5. 已知，，则满足条件__________（用反三角记号表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据反三角函数求解即可.
【详解】因为，，所以.
故答案为：
6. 已知，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】将条件进行平方，然后将平方后的两式对应相加，即可得到的值．
【详解】解：，，
平方得①，②，
①②得，
即，
即，
故答案为：
7. 如下图，四边形中，且B在A的正东方向上，C在B的南偏东方向上，D在C的北偏东方向上，则________.
【答案】
【解析】
【分析】延长交于，△中应用余弦定理，即可求.
【详解】由题设，延长交于，易知△为等边三角形，
∴，
∴△中，.
故答案为：
8. 如图所示，矩形ABCD由两个正方形拼成，则∠CAE的正切值为____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先设出正方形的边长，然后结合两角和的正切公式解方程即可求得∠CAE的正切值.
【详解】因为矩形ABCD由两个正方形拼成，设正方形的边长为1，
则在Rt△CAD中，，
故，
解得.
故答案为．
【点睛】本题主要考查两角和的正切公式及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9. 已知，则=_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式，直接求解.
【详解】.
故答案为：
10. 方程的解集为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据辅助角公式和余弦型函数的图象及性质即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
又，
所以
所以或或
解得或或.
故解集为．
故答案为：．
11. 在三角形ABC中，已知，则三角形面积_________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用正弦定理求出，在利用求出，最后通过三角形的面积公式求解即可.
【详解】由正弦定理得，
，
，
.
故答案为：.
12. 已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解．
【详解】在中，，，
则，即，
，，，
则角为钝角或角为钝角，
若角是钝角，
则，即，
故，
若角是钝角，
则，即，解得．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
二、选择题（本大题共4题．满分20分）
13. 已知角满足且，则角是第（ ）象限角
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义，可确定y＜0，x＞0，进而可知在第四象限．
【详解】解：由题意，根据三角函数的定义sin0，cs0
∵r＞0，
∴y＜0，x＞0．
∴第四象限，
故选：D．
【点睛】本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题．
14. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值.
【详解】因为，则，所以，.
故选：D.
15. 在ABC中，如果满足，则ABC一定是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理和两角和与差的三角函数求解.
【详解】在ABC中，满足，
所以，
即，
所以，
，
所以ABC等腰三角形，
故选：C
16. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为，其中，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数定义得tan再利用同角三角函数基本关系求解即可
【详解】因为，所以由三角函数定义可得tan，
即，故3cs
解得或，又，
所以.
故选：A
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数关系可得，再利用正切的两角差公式求解即可.
【详解】因为且，所以， ，
所以
18. 已知角是第三象限角，，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数基本关系与诱导公式化简后求解
（2）化为齐次式后由同角三角函数基本关系化简求值
【小问1详解】
，而角是第三象限角，
故，．
则，
．
【小问2详解】
，
将代入，原式
19. 已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求角
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，为锐角，则，利用同角的三角函数关系求解即可；
（2）先求得，再由求解即可.
【小问1详解】
因为，为锐角，所以，则，
因为，所以.
【小问2详解】
因为为锐角，，所以，
所以，
因为为锐角，所以.
20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求B；
（2）求周长的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式求出即可求解作答.
（2）利用余弦定理，均值不等式求解作答.
【小问1详解】
在中，，即，解得，而，
所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得：，
当且仅当时取“=”，即有，
因此，当时，，而，即，，
所以周长的取值范围是.
21. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．
（1）求的值；
（2）已知，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；
（2）由题意可得，然后利用诱导公式求出，分别求出值，然后再利用两角和的正切公式即可得解.
【小问1详解】
由三角函数定义得，，
∴原式
【小问2详解】
由，得，
，，
所以，
∴．