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沪科技版（2020）必修第二册第五章 曲线运动第二节 平抛运动一课一练
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这是一份沪科技版（2020）必修第二册第五章 曲线运动第二节 平抛运动一课一练，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，实验题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图所示，小球1从O点正上方离地h高处的P点以v1的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方抛出一小球2，两小球恰在O、S连线的中点正上方相遇。若不计空气阻力，则两小球抛出后至相遇过程中，下列说法正确的是（ ）
A．斜抛球水平速度分量比平抛球水平速度分量小
B．两小球相遇点一定在距离地面h处
C．两小球相遇时，小球2恰好到达其运动轨迹的最高点
D．两小球初速度大小关系为
2．图中虚线为某同学投出的铅球的运动轨迹，若不计空气阻力，则铅球抛出后（ ）
A．做变加速曲线运动
B．做匀变速曲线运动
C．某段时间内速度方向可能相同
D．加速度方向不同
3．某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一目标O发射炮弹A、B，炮弹轨迹如图所示，已知炮口高度相同，忽略空气阻力，则（ ）
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的短
C．B在最高点的速度比A在最高点的小
D．B打到目标时的速度比A打到目标时的大
4．如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球。某次球拍击球后，球斜向上飞出，并以速度垂直撞击竖直墙壁，球反向弹回后，正好回到击球点。已知球拍击球点离墙壁的水平距离为x，不计空气阻力，则（ ）
A．乒乓球往返的时间为
B．乒乓球撞击墙壁前后速度变化量为0
C．球拍击球点与墙壁撞击点的高度差为
D．球离开球拍时速度方向与水平面的夹角满足
5．如图所示，安装在地面上的音乐喷泉可沿不同方向喷出相同速率的水，观察发现，当水的喷出方向从竖直逐渐转到水平的过程中，水平射程先增大后减小（不计空气阻力），A、B、C三径迹的水相比较（ ）
A．回到地面的水流速度相同B．沿B径迹运动的水，在空中时间最长
C．沿C径迹运动的水，在最高点的速度最大D．沿A径迹运动的水，在相同时间内速度变化量最大
二、多选题
6．如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，该同学某次使球拍与水平方向夹角在B点击球，球以速度垂直球拍离开B点，恰好与墙壁垂直在A点碰撞，忽略空气阻力。已知，。以下说法正确的是（ ）
A．球在A点与墙壁垂直碰撞时的速度大小
B．球在A点与墙壁垂直碰撞时的速度大小
C．球从B到A的运动时间是
D．球从B到A的运动时间是
7．如图所示，某同学在学校运动会的跳远比赛中，腾空离地面的最大高度为h，跳远成绩为L。假设该同学着地瞬间的速度方向与水平面夹角为，跳远过程中该同学可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．该同学在离地最高处的速度大小为
B．该同学着地前瞬间的速度大小为
C．
D．
8．如图甲所示，某篮球运动员正在进行超远三分球投篮。篮球的运动轨迹如图乙所示，A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为60°，在C点的速度大小为v0、与水平方向的夹角为45°，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．篮球在B点的速度B．从B点到C点，篮球的运动时间为
C．篮球在A点的速度为2v0D．A、C两点的高度差为
9．2022年北京冬奥会将在北京和张家口举行，北京将成为历史上第一个即举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度沿倾角、高倾斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角的斜面乙上，顺利完成飞越。把运动员视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度（，）。以下说法正确的是（ ）
A．运动员落至斜面乙时的速率为16m/s
B．斜面乙的高度为7.2m
C．运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20m
D．两斜面间的水平距离约为11.1m
10．2020年2月，在国际单板滑雪U型场地赛中，我国运动员蔡雪桐勇夺冠军。如图，滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员以速度v0从PQ上的O点沿PQ的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后从PQ上的A点进入滑道。已知=90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．O、A两点间的距离为
B．运动员腾空中离PQ的最大距离为
C．若仅减小夹角，则运动员腾空时间可能保持不变
D．若仅增大v0的大小，则运动员再滑入轨道的速度方向不变
三、实验题
11．三个同学根据不同的实验条件，进行了探究平抛运动规律的实验：
（1）甲同学采用如图甲所示的装置。用小锤击打弹性金属片，金属片把A球沿水平方向弹出，同时B球被松开自由下落，观察到两球同时落地。改变小锤击打的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明平抛运动的物体在竖直方向上做_________运动。
（2）乙同学采用如图乙所示的装置，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，其中N的末端可看做与光滑的水平板相切，两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度使AC=BD，从而保证小铁球P、Q在轨道末端的水平初速度v0相等。现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出。实验可观察到的现象应是P球击中Q球。仅仅改变弧形轨道M的高度，重复上述实验，仍能观察到相同的现象，这说明平抛运动的物体在水平方向上做______________运动。
（3）丙同学采用频闪照相法拍摄到如图丙所示的小球做平抛运动的照片，图中每个小方格的边长为L=1.6cm，该小球做平抛运动的初速度大小为____m/s。（g取10m/s2，保留两位有效数字）
（4）下列哪个因素不会使“研究平抛物体的运动”实验误差增大( )
A．小球与斜槽之间有摩擦
B．安装斜槽时其末端切线不水平
C．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点
D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较近
四、解答题
12．如图甲所示是一个滑雪赛道的示意图，运动员沿倾斜雪道从A点由静止滑下，经过一段时间后从C点沿水平方向飞出，落在雪道上的D点。已知C点是第二段雪道CD的起点，第二段雪道与水平面的夹角θ=37°，C、D间的距离s=25m，运动员的质量m=60kg，可视为质点，第二段雪道足够长，不计空气阻力，sin37°=0.60，cs37°=0.80，求：
（1）运动员从C点水平飞出到落在D点所用的时间t；
（2）运动员从C点水平飞出时的速度大小v0
（3）运动员飞行过程中，离雪道斜面最远时的速度大小v；
（4）如图乙，若在C点安装一斜向上θ=37°光滑直轨道（长度忽略），以相同速率v0在C点滑出并落至等高平台MN上的E点，求落点E与C点之间的距离s，。
13．在篮球比赛中，投篮的角度太大或太小，都会影响投篮的命中率．在某次投篮中，运动员恰好将篮球以45°的倾角准确投入篮筐，设运动员起跳投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，如图甲所示，设从抛出篮球到篮球入筐的时间为s，不考虑空气阻力，g取10m/s2。求：
（1）篮球到达最高点时相对篮筐的竖直高度h；
（2）篮球进入篮筐时速度v的大小；
（3）所有曲线运动，都能把曲线分割成许多很短的小段，每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分。这个圆的半径就是最接近该点处的曲线的圆弧的半径，即曲率半径，用字母ρ表示。如果我们把篮球运动到最高点附近的一小段距离看做圆的一部分，如图乙所示，求篮球在最高点处的曲率半径ρ的大小。
14．如图所示，某同学将篮球从O点斜向上抛出，篮球经过最高点M后落入P点处的篮框，N、Q与O点位于同一水平线上，且分别在M、P的正下方，已知O、N两点距离，N、Q两点距离，M、N两点距离，不计空气阻力，重力加速度，求：
（1）篮球从O到P的时间；
（2）篮球落入篮框时的速度。
15． 2020年2月，在国际单板滑雪U型场地赛中，我国运动员蔡雪桐勇夺冠军。如图，滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员以速度v0从PQ上的O点沿PQ的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后从PQ上的A点进入滑道。已知α+θ=90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力。求∶
（1）O、A两点间的距离；
（2）运动员腾空中离PQ的最大距离。
5.2.2 平抛运动的综合应用（解析版）（备作业）
姓名：___________班级：___________错题号：___________
一、单选题
1．如图所示，小球1从O点正上方离地h高处的P点以v1的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方抛出一小球2，两小球恰在O、S连线的中点正上方相遇。若不计空气阻力，则两小球抛出后至相遇过程中，下列说法正确的是（ ）
A．斜抛球水平速度分量比平抛球水平速度分量小
B．两小球相遇点一定在距离地面h处
C．两小球相遇时，小球2恰好到达其运动轨迹的最高点
D．两小球初速度大小关系为
【答案】D
【详解】
AD．由于两小球恰在O、S连线的中点正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又由于运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度大小相等，设与水平方向的夹角为，则
可得
故A错误D正确；
B．根据题意，只能求出两小球运动时间相同，但不知道斜抛球竖直方向初速度的大小，所以不能判断两小球相遇点距离地面的高度，故B错误；
C．根据题意，两小球的运动时间相等，只能得到它们竖直方向的速度变化量相等，不能得出小球2的末速度状态，故C错误。
故选D。
2．图中虚线为某同学投出的铅球的运动轨迹，若不计空气阻力，则铅球抛出后（ ）
A．做变加速曲线运动
B．做匀变速曲线运动
C．某段时间内速度方向可能相同
D．加速度方向不同
【答案】B
【详解】
AB．铅球抛出后，仅受重力，加速度为g，方向竖直向下，水平方向做匀速直线运动，整体为匀变速曲线运动，A错误，B正确；
C．速度方向始终在改变，不可能在某段时间相同，C错误；
D．加速度方向相同，始终竖直向下，D错误。
故选B。
3．某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一目标O发射炮弹A、B，炮弹轨迹如图所示，已知炮口高度相同，忽略空气阻力，则（ ）
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的短
C．B在最高点的速度比A在最高点的小
D．B打到目标时的速度比A打到目标时的大
【答案】C
【详解】
A．炮弹在空中运动忽略空气阻力，即做斜上抛运动，只受重力，加速度相同都为重力加速度，故A错误；
B．斜上抛运动在竖直方向为竖直上抛运动，水平方向为匀速直线运动，设上升的高度为，上升运动的时间为，下降的高度为，下降的时间为，根据竖直上抛运动的规律可知
，
由图可知，B上升的高度和下降的高度都比A大，故B运动时间比A运动时间长，故B错误；
C．根据斜上抛运动的规律可知，在运动的最高点只有水平方向的速度，两炮弹从最高点开始做平抛运动，由图可知，A的水平位移更大，A运动的时间更短，故A水平方向的速度更大，即B在最高点的速度比A的小，故C正确；
D．两炮弹从最高点平抛，则打到目标时的速度为
B的水平速度小，但其竖直高度比A大，则打到目标时的速度两者无法比较大小，故D错误。
故选C。
4．如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球。某次球拍击球后，球斜向上飞出，并以速度垂直撞击竖直墙壁，球反向弹回后，正好回到击球点。已知球拍击球点离墙壁的水平距离为x，不计空气阻力，则（ ）
A．乒乓球往返的时间为
B．乒乓球撞击墙壁前后速度变化量为0
C．球拍击球点与墙壁撞击点的高度差为
D．球离开球拍时速度方向与水平面的夹角满足
【答案】D
【详解】
A．球反向弹回到击球点的运动是平抛运动，则水平方向有
则乒乓球往返的时间为
故A错误；
B．速度垂直撞击竖直墙壁，球反向弹回后，正好回到击球点，说明反向弹回时速度大小还是，但方向与撞前相反，故乒乓球撞击墙壁前后速度变化量为，故B错误；
C．由平抛运动规律可知
故C错误；
D．球离开球拍时，速度方向与水平面的夹角等于球弹回到球拍时速度方向与水平面的夹角，由平抛运动规律
联立可得
故D正确。
故选D。
5．如图所示，安装在地面上的音乐喷泉可沿不同方向喷出相同速率的水，观察发现，当水的喷出方向从竖直逐渐转到水平的过程中，水平射程先增大后减小（不计空气阻力），A、B、C三径迹的水相比较（ ）
A．回到地面的水流速度相同B．沿B径迹运动的水，在空中时间最长
C．沿C径迹运动的水，在最高点的速度最大D．沿A径迹运动的水，在相同时间内速度变化量最大
【答案】C
【详解】
A．整个过程为斜抛运动，看成两个平抛运动，落回地面时速度方向与初速度不一样，选项A错误；
B．竖直分速度越大，则运动时间越长，则沿A轨迹运动时时间最长，选项B错误；
C．因最高点时只剩水平方向速度，C轨迹竖直分速度最小，水平分速度最大，则沿C径迹运动的水，在最高点的速度最大，选项C正确；
D．三个轨迹都是匀变速曲线运动，所以相同时间速度变化量相同，选项D错误。
故选C。
二、多选题
6．如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，该同学某次使球拍与水平方向夹角在B点击球，球以速度垂直球拍离开B点，恰好与墙壁垂直在A点碰撞，忽略空气阻力。已知，。以下说法正确的是（ ）
A．球在A点与墙壁垂直碰撞时的速度大小
B．球在A点与墙壁垂直碰撞时的速度大小
C．球从B到A的运动时间是
D．球从B到A的运动时间是
【答案】AC
【详解】
AB．小球由B点到A点所做的抛体运动可以反向看成小球由A点到B点做平抛运动，对小球在B点的速度进行分解，可得
故A正确B错误；
CD．由几何关系知，球速度竖直分速度为
球从B到A的运动时间
解得
故C正确D错误。
故选AC。
7．如图所示，某同学在学校运动会的跳远比赛中，腾空离地面的最大高度为h，跳远成绩为L。假设该同学着地瞬间的速度方向与水平面夹角为，跳远过程中该同学可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．该同学在离地最高处的速度大小为
B．该同学着地前瞬间的速度大小为
C．
D．
【答案】AC
【详解】
AB．由最高点落地过程，竖直方向，根据
可得落地时，竖直速度
落地用时
则水平速度
该同学在离地最高处的速度大小为水平速度大小，即为，故A正确，B错误；
CD．根据速度的合成与分解有
故C正确，D错误。
故选AC。
8．如图甲所示，某篮球运动员正在进行超远三分球投篮。篮球的运动轨迹如图乙所示，A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为60°，在C点的速度大小为v0、与水平方向的夹角为45°，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．篮球在B点的速度B．从B点到C点，篮球的运动时间为
C．篮球在A点的速度为2v0D．A、C两点的高度差为
【答案】AD
【详解】
A．篮球的运动轨迹如图乙所示，篮球做的是斜抛运动，由斜抛运动的规律可知，在水平方向为匀速直线运动，在竖直方向为竖直上抛运动，已知在C点的速度大小为v0、与水平方向的夹角为45°，则有在水平方向的速度为
vx=v0cs45°=
B点是最高点，在竖直方向的速度是零，只有水平方向的速度，所以篮球在B点的速度，A正确；
B．篮球在C点时，竖直方向的速度为
篮球从B点到C点，竖直方向为自由落体运动，则有
vy=gt
篮球从B点到C点，篮球的运动时间为
B错误；
C．篮球在A点的水平方向速度为
vx=
篮球在A点的速度为
C错误；
D．设篮球由A到C的高度差为h，由机械能守恒定律可得
解得
D正确。
故选AD。
9．2022年北京冬奥会将在北京和张家口举行，北京将成为历史上第一个即举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度沿倾角、高倾斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角的斜面乙上，顺利完成飞越。把运动员视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度（，）。以下说法正确的是（ ）
A．运动员落至斜面乙时的速率为16m/s
B．斜面乙的高度为7.2m
C．运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20m
D．两斜面间的水平距离约为11.1m
【答案】AB
【详解】
A．运动员水平方向做匀速直线运动，水平方向速度为
落到乙斜面时，设速度大小为，则满足
解得
故A正确；
B．设乙斜面高度为，从甲斜面到乙斜面过程中，由机械能守恒定律得
解得
故B正确；
C．从甲斜面飞出时，运动员竖直方向的速度
则运动员在空中飞行时离地面的最大高度为
故C错误；
D．运动员到达乙斜面的竖直方向速度为
则在空中运动的时间
则水平距离为
故D错误。
故选AB。
10．2020年2月，在国际单板滑雪U型场地赛中，我国运动员蔡雪桐勇夺冠军。如图，滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员以速度v0从PQ上的O点沿PQ的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后从PQ上的A点进入滑道。已知=90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．O、A两点间的距离为
B．运动员腾空中离PQ的最大距离为
C．若仅减小夹角，则运动员腾空时间可能保持不变
D．若仅增大v0的大小，则运动员再滑入轨道的速度方向不变
【答案】AD
【详解】
AB．将初速度v0和加速度g分别分解在沿斜面方向和垂直斜面方向，则垂直斜面方向
运动员腾空中离PQ的最大距离为
O、A两点间的距离为
选项A正确，B错误；
C ．运动员腾空时间
若仅减小夹角，则运动员腾空时间减小，选项C错误；
D．运动员再滑入轨道时，垂直斜面方向的速度不变，仍为
v1=v0csθ
沿斜面向下的速度
则合速度与斜面的夹角
与初速度无关，则选项D正确。
故选AD。
三、实验题
11．三个同学根据不同的实验条件，进行了探究平抛运动规律的实验：
（1）甲同学采用如图甲所示的装置。用小锤击打弹性金属片，金属片把A球沿水平方向弹出，同时B球被松开自由下落，观察到两球同时落地。改变小锤击打的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明平抛运动的物体在竖直方向上做_________运动。
（2）乙同学采用如图乙所示的装置，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，其中N的末端可看做与光滑的水平板相切，两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度使AC=BD，从而保证小铁球P、Q在轨道末端的水平初速度v0相等。现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出。实验可观察到的现象应是P球击中Q球。仅仅改变弧形轨道M的高度，重复上述实验，仍能观察到相同的现象，这说明平抛运动的物体在水平方向上做______________运动。
（3）丙同学采用频闪照相法拍摄到如图丙所示的小球做平抛运动的照片，图中每个小方格的边长为L=1.6cm，该小球做平抛运动的初速度大小为____m/s。（g取10m/s2，保留两位有效数字）
（4）下列哪个因素不会使“研究平抛物体的运动”实验误差增大( )
A．小球与斜槽之间有摩擦
B．安装斜槽时其末端切线不水平
C．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点
D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较近
【答案】 自由落体 匀速直线 0.80 A
【详解】
（1）[1]由于两球同时落地，这说明平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动。
（2）[2]两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出,两个小球相碰，这说明平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动。
（3）[3]平抛竖直方向上做匀加速直线运动，由匀加速直线运动的推论可知
其中，解得
平抛水平方向上做匀速直线运动
解得
（4）[4] A．小球每次从相同的位置释放，运动到斜槽末端的速度都相同，所以即使有摩擦力也不会对实验结构照成影响，故A正确；
B．安装斜槽时其末端切线不水平，小球做斜抛运动，使实验误差增大，故B错误；
C．建立坐标系时，应以小球的球心为坐标原点，以斜槽末端端口位置为坐标原点使实验误差增大，故C错误；
D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点时应离原点O较远一些，这样的读取的数值误差较小，故D错误。
故选A。
四、解答题
12．如图甲所示是一个滑雪赛道的示意图，运动员沿倾斜雪道从A点由静止滑下，经过一段时间后从C点沿水平方向飞出，落在雪道上的D点。已知C点是第二段雪道CD的起点，第二段雪道与水平面的夹角θ=37°，C、D间的距离s=25m，运动员的质量m=60kg，可视为质点，第二段雪道足够长，不计空气阻力，sin37°=0.60，cs37°=0.80，求：
（1）运动员从C点水平飞出到落在D点所用的时间t；
（2）运动员从C点水平飞出时的速度大小v0
（3）运动员飞行过程中，离雪道斜面最远时的速度大小v；
（4）如图乙，若在C点安装一斜向上θ=37°光滑直轨道（长度忽略），以相同速率v0在C点滑出并落至等高平台MN上的E点，求落点E与C点之间的距离s，。
【答案】（1）；（2） ；（3） ；（4）
【详解】
（1）平抛运动竖直方向上做自由落体运动
，
解得
（2）水平方向有
，
解得
（3）离斜面最远时，速度方向与斜面平行，有
解得
则
（4）由竖直方向分运动可得飞行时间
则水平方向
代入数据可得
13．在篮球比赛中，投篮的角度太大或太小，都会影响投篮的命中率．在某次投篮中，运动员恰好将篮球以45°的倾角准确投入篮筐，设运动员起跳投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，如图甲所示，设从抛出篮球到篮球入筐的时间为s，不考虑空气阻力，g取10m/s2。求：
（1）篮球到达最高点时相对篮筐的竖直高度h；
（2）篮球进入篮筐时速度v的大小；
（3）所有曲线运动，都能把曲线分割成许多很短的小段，每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分。这个圆的半径就是最接近该点处的曲线的圆弧的半径，即曲率半径，用字母ρ表示。如果我们把篮球运动到最高点附近的一小段距离看做圆的一部分，如图乙所示，求篮球在最高点处的曲率半径ρ的大小。
【答案】（1）2.5m；（2）10m/s；（3）5m
【详解】
（1）根据运动的对称性，可知篮球上升和下降所用时间均为
t=s
球由最高点到落地过程中，在竖直方向上可看作自由落体运动，由运动学公式可得
h=gt2
解得
h=2.5m
（2）篮球的运动可看成两个平抛运动组成，设球进入篮框时的速度为v
竖直方向：球的分运动为自由落体运动，由速度公式可得
vy=gt
球进入篮框瞬间，由运动的合成可得
vy=vsin45°
水平方向：球的分运动为匀速直线运动，可得
vx=vcs45°
由以上各式解得
v=10m/s
（3）设球在最高点时速度为vx，在最高点时只受到重力
由牛顿第二定律得
mg=m
球在水平方向做匀速直线运动，可得
vx=vcs45°
解得
ρ=5m
14．如图所示，某同学将篮球从O点斜向上抛出，篮球经过最高点M后落入P点处的篮框，N、Q与O点位于同一水平线上，且分别在M、P的正下方，已知O、N两点距离，N、Q两点距离，M、N两点距离，不计空气阻力，重力加速度，求：
（1）篮球从O到P的时间；
（2）篮球落入篮框时的速度。
【答案】（1）1.8s；（2），水平方向成37°
【详解】
（1）设从O点运动到M点的时间为，则
解得
从O点到P点，在水平方向做速度为的匀速运动，设从M点运动到P点的时间为，则
解得
篮球从O到P的时间
（2）由
解得
在P点时的竖直分速度
篮球落入篮框时的速度大小
设速度方向与水平方向成角，则
解得
因此篮球落入篮框时的速度为10m/s，方向与水平方向成37°。
15． 2020年2月，在国际单板滑雪U型场地赛中，我国运动员蔡雪桐勇夺冠军。如图，滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员以速度v0从PQ上的O点沿PQ的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后从PQ上的A点进入滑道。已知α+θ=90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力。求∶
（1）O、A两点间的距离；
（2）运动员腾空中离PQ的最大距离。
【答案】（1）；（2）
【详解】
(1)将初速度v0和加速度g分别分解在沿斜面方向和垂直斜面方向，则由垂直斜面方向的运动可得
O、A两点间的距离为
(2)运动员腾空中离PQ的最大距离为
一、单选题
1．如图所示，小球1从O点正上方离地h高处的P点以v1的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方抛出一小球2，两小球恰在O、S连线的中点正上方相遇。若不计空气阻力，则两小球抛出后至相遇过程中，下列说法正确的是（ ）
A．斜抛球水平速度分量比平抛球水平速度分量小
B．两小球相遇点一定在距离地面h处
C．两小球相遇时，小球2恰好到达其运动轨迹的最高点
D．两小球初速度大小关系为
2．图中虚线为某同学投出的铅球的运动轨迹，若不计空气阻力，则铅球抛出后（ ）
A．做变加速曲线运动
B．做匀变速曲线运动
C．某段时间内速度方向可能相同
D．加速度方向不同
3．某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一目标O发射炮弹A、B，炮弹轨迹如图所示，已知炮口高度相同，忽略空气阻力，则（ ）
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的短
C．B在最高点的速度比A在最高点的小
D．B打到目标时的速度比A打到目标时的大
4．如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球。某次球拍击球后，球斜向上飞出，并以速度垂直撞击竖直墙壁，球反向弹回后，正好回到击球点。已知球拍击球点离墙壁的水平距离为x，不计空气阻力，则（ ）
A．乒乓球往返的时间为
B．乒乓球撞击墙壁前后速度变化量为0
C．球拍击球点与墙壁撞击点的高度差为
D．球离开球拍时速度方向与水平面的夹角满足
5．如图所示，安装在地面上的音乐喷泉可沿不同方向喷出相同速率的水，观察发现，当水的喷出方向从竖直逐渐转到水平的过程中，水平射程先增大后减小（不计空气阻力），A、B、C三径迹的水相比较（ ）
A．回到地面的水流速度相同B．沿B径迹运动的水，在空中时间最长
C．沿C径迹运动的水，在最高点的速度最大D．沿A径迹运动的水，在相同时间内速度变化量最大
二、多选题
6．如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，该同学某次使球拍与水平方向夹角在B点击球，球以速度垂直球拍离开B点，恰好与墙壁垂直在A点碰撞，忽略空气阻力。已知，。以下说法正确的是（ ）
A．球在A点与墙壁垂直碰撞时的速度大小
B．球在A点与墙壁垂直碰撞时的速度大小
C．球从B到A的运动时间是
D．球从B到A的运动时间是
7．如图所示，某同学在学校运动会的跳远比赛中，腾空离地面的最大高度为h，跳远成绩为L。假设该同学着地瞬间的速度方向与水平面夹角为，跳远过程中该同学可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．该同学在离地最高处的速度大小为
B．该同学着地前瞬间的速度大小为
C．
D．
8．如图甲所示，某篮球运动员正在进行超远三分球投篮。篮球的运动轨迹如图乙所示，A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为60°，在C点的速度大小为v0、与水平方向的夹角为45°，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．篮球在B点的速度B．从B点到C点，篮球的运动时间为
C．篮球在A点的速度为2v0D．A、C两点的高度差为
9．2022年北京冬奥会将在北京和张家口举行，北京将成为历史上第一个即举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度沿倾角、高倾斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角的斜面乙上，顺利完成飞越。把运动员视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度（，）。以下说法正确的是（ ）
A．运动员落至斜面乙时的速率为16m/s
B．斜面乙的高度为7.2m
C．运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20m
D．两斜面间的水平距离约为11.1m
10．2020年2月，在国际单板滑雪U型场地赛中，我国运动员蔡雪桐勇夺冠军。如图，滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员以速度v0从PQ上的O点沿PQ的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后从PQ上的A点进入滑道。已知=90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．O、A两点间的距离为
B．运动员腾空中离PQ的最大距离为
C．若仅减小夹角，则运动员腾空时间可能保持不变
D．若仅增大v0的大小，则运动员再滑入轨道的速度方向不变
三、实验题
11．三个同学根据不同的实验条件，进行了探究平抛运动规律的实验：
（1）甲同学采用如图甲所示的装置。用小锤击打弹性金属片，金属片把A球沿水平方向弹出，同时B球被松开自由下落，观察到两球同时落地。改变小锤击打的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明平抛运动的物体在竖直方向上做_________运动。
（2）乙同学采用如图乙所示的装置，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，其中N的末端可看做与光滑的水平板相切，两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度使AC=BD，从而保证小铁球P、Q在轨道末端的水平初速度v0相等。现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出。实验可观察到的现象应是P球击中Q球。仅仅改变弧形轨道M的高度，重复上述实验，仍能观察到相同的现象，这说明平抛运动的物体在水平方向上做______________运动。
（3）丙同学采用频闪照相法拍摄到如图丙所示的小球做平抛运动的照片，图中每个小方格的边长为L=1.6cm，该小球做平抛运动的初速度大小为____m/s。（g取10m/s2，保留两位有效数字）
（4）下列哪个因素不会使“研究平抛物体的运动”实验误差增大( )
A．小球与斜槽之间有摩擦
B．安装斜槽时其末端切线不水平
C．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点
D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较近
四、解答题
12．如图甲所示是一个滑雪赛道的示意图，运动员沿倾斜雪道从A点由静止滑下，经过一段时间后从C点沿水平方向飞出，落在雪道上的D点。已知C点是第二段雪道CD的起点，第二段雪道与水平面的夹角θ=37°，C、D间的距离s=25m，运动员的质量m=60kg，可视为质点，第二段雪道足够长，不计空气阻力，sin37°=0.60，cs37°=0.80，求：
（1）运动员从C点水平飞出到落在D点所用的时间t；
（2）运动员从C点水平飞出时的速度大小v0
（3）运动员飞行过程中，离雪道斜面最远时的速度大小v；
（4）如图乙，若在C点安装一斜向上θ=37°光滑直轨道（长度忽略），以相同速率v0在C点滑出并落至等高平台MN上的E点，求落点E与C点之间的距离s，。
13．在篮球比赛中，投篮的角度太大或太小，都会影响投篮的命中率．在某次投篮中，运动员恰好将篮球以45°的倾角准确投入篮筐，设运动员起跳投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，如图甲所示，设从抛出篮球到篮球入筐的时间为s，不考虑空气阻力，g取10m/s2。求：
（1）篮球到达最高点时相对篮筐的竖直高度h；
（2）篮球进入篮筐时速度v的大小；
（3）所有曲线运动，都能把曲线分割成许多很短的小段，每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分。这个圆的半径就是最接近该点处的曲线的圆弧的半径，即曲率半径，用字母ρ表示。如果我们把篮球运动到最高点附近的一小段距离看做圆的一部分，如图乙所示，求篮球在最高点处的曲率半径ρ的大小。
14．如图所示，某同学将篮球从O点斜向上抛出，篮球经过最高点M后落入P点处的篮框，N、Q与O点位于同一水平线上，且分别在M、P的正下方，已知O、N两点距离，N、Q两点距离，M、N两点距离，不计空气阻力，重力加速度，求：
（1）篮球从O到P的时间；
（2）篮球落入篮框时的速度。
15． 2020年2月，在国际单板滑雪U型场地赛中，我国运动员蔡雪桐勇夺冠军。如图，滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员以速度v0从PQ上的O点沿PQ的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后从PQ上的A点进入滑道。已知α+θ=90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力。求∶
（1）O、A两点间的距离；
（2）运动员腾空中离PQ的最大距离。
5.2.2 平抛运动的综合应用（解析版）（备作业）
姓名：___________班级：___________错题号：___________
一、单选题
1．如图所示，小球1从O点正上方离地h高处的P点以v1的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方抛出一小球2，两小球恰在O、S连线的中点正上方相遇。若不计空气阻力，则两小球抛出后至相遇过程中，下列说法正确的是（ ）
A．斜抛球水平速度分量比平抛球水平速度分量小
B．两小球相遇点一定在距离地面h处
C．两小球相遇时，小球2恰好到达其运动轨迹的最高点
D．两小球初速度大小关系为
【答案】D
【详解】
AD．由于两小球恰在O、S连线的中点正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又由于运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度大小相等，设与水平方向的夹角为，则
可得
故A错误D正确；
B．根据题意，只能求出两小球运动时间相同，但不知道斜抛球竖直方向初速度的大小，所以不能判断两小球相遇点距离地面的高度，故B错误；
C．根据题意，两小球的运动时间相等，只能得到它们竖直方向的速度变化量相等，不能得出小球2的末速度状态，故C错误。
故选D。
2．图中虚线为某同学投出的铅球的运动轨迹，若不计空气阻力，则铅球抛出后（ ）
A．做变加速曲线运动
B．做匀变速曲线运动
C．某段时间内速度方向可能相同
D．加速度方向不同
【答案】B
【详解】
AB．铅球抛出后，仅受重力，加速度为g，方向竖直向下，水平方向做匀速直线运动，整体为匀变速曲线运动，A错误，B正确；
C．速度方向始终在改变，不可能在某段时间相同，C错误；
D．加速度方向相同，始终竖直向下，D错误。
故选B。
3．某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一目标O发射炮弹A、B，炮弹轨迹如图所示，已知炮口高度相同，忽略空气阻力，则（ ）
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的短
C．B在最高点的速度比A在最高点的小
D．B打到目标时的速度比A打到目标时的大
【答案】C
【详解】
A．炮弹在空中运动忽略空气阻力，即做斜上抛运动，只受重力，加速度相同都为重力加速度，故A错误；
B．斜上抛运动在竖直方向为竖直上抛运动，水平方向为匀速直线运动，设上升的高度为，上升运动的时间为，下降的高度为，下降的时间为，根据竖直上抛运动的规律可知
，
由图可知，B上升的高度和下降的高度都比A大，故B运动时间比A运动时间长，故B错误；
C．根据斜上抛运动的规律可知，在运动的最高点只有水平方向的速度，两炮弹从最高点开始做平抛运动，由图可知，A的水平位移更大，A运动的时间更短，故A水平方向的速度更大，即B在最高点的速度比A的小，故C正确；
D．两炮弹从最高点平抛，则打到目标时的速度为
B的水平速度小，但其竖直高度比A大，则打到目标时的速度两者无法比较大小，故D错误。
故选C。
4．如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球。某次球拍击球后，球斜向上飞出，并以速度垂直撞击竖直墙壁，球反向弹回后，正好回到击球点。已知球拍击球点离墙壁的水平距离为x，不计空气阻力，则（ ）
A．乒乓球往返的时间为
B．乒乓球撞击墙壁前后速度变化量为0
C．球拍击球点与墙壁撞击点的高度差为
D．球离开球拍时速度方向与水平面的夹角满足
【答案】D
【详解】
A．球反向弹回到击球点的运动是平抛运动，则水平方向有
则乒乓球往返的时间为
故A错误；
B．速度垂直撞击竖直墙壁，球反向弹回后，正好回到击球点，说明反向弹回时速度大小还是，但方向与撞前相反，故乒乓球撞击墙壁前后速度变化量为，故B错误；
C．由平抛运动规律可知
故C错误；
D．球离开球拍时，速度方向与水平面的夹角等于球弹回到球拍时速度方向与水平面的夹角，由平抛运动规律
联立可得
故D正确。
故选D。
5．如图所示，安装在地面上的音乐喷泉可沿不同方向喷出相同速率的水，观察发现，当水的喷出方向从竖直逐渐转到水平的过程中，水平射程先增大后减小（不计空气阻力），A、B、C三径迹的水相比较（ ）
A．回到地面的水流速度相同B．沿B径迹运动的水，在空中时间最长
C．沿C径迹运动的水，在最高点的速度最大D．沿A径迹运动的水，在相同时间内速度变化量最大
【答案】C
【详解】
A．整个过程为斜抛运动，看成两个平抛运动，落回地面时速度方向与初速度不一样，选项A错误；
B．竖直分速度越大，则运动时间越长，则沿A轨迹运动时时间最长，选项B错误；
C．因最高点时只剩水平方向速度，C轨迹竖直分速度最小，水平分速度最大，则沿C径迹运动的水，在最高点的速度最大，选项C正确；
D．三个轨迹都是匀变速曲线运动，所以相同时间速度变化量相同，选项D错误。
故选C。
二、多选题
6．如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，该同学某次使球拍与水平方向夹角在B点击球，球以速度垂直球拍离开B点，恰好与墙壁垂直在A点碰撞，忽略空气阻力。已知，。以下说法正确的是（ ）
A．球在A点与墙壁垂直碰撞时的速度大小
B．球在A点与墙壁垂直碰撞时的速度大小
C．球从B到A的运动时间是
D．球从B到A的运动时间是
【答案】AC
【详解】
AB．小球由B点到A点所做的抛体运动可以反向看成小球由A点到B点做平抛运动，对小球在B点的速度进行分解，可得
故A正确B错误；
CD．由几何关系知，球速度竖直分速度为
球从B到A的运动时间
解得
故C正确D错误。
故选AC。
7．如图所示，某同学在学校运动会的跳远比赛中，腾空离地面的最大高度为h，跳远成绩为L。假设该同学着地瞬间的速度方向与水平面夹角为，跳远过程中该同学可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．该同学在离地最高处的速度大小为
B．该同学着地前瞬间的速度大小为
C．
D．
【答案】AC
【详解】
AB．由最高点落地过程，竖直方向，根据
可得落地时，竖直速度
落地用时
则水平速度
该同学在离地最高处的速度大小为水平速度大小，即为，故A正确，B错误；
CD．根据速度的合成与分解有
故C正确，D错误。
故选AC。
8．如图甲所示，某篮球运动员正在进行超远三分球投篮。篮球的运动轨迹如图乙所示，A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为60°，在C点的速度大小为v0、与水平方向的夹角为45°，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．篮球在B点的速度B．从B点到C点，篮球的运动时间为
C．篮球在A点的速度为2v0D．A、C两点的高度差为
【答案】AD
【详解】
A．篮球的运动轨迹如图乙所示，篮球做的是斜抛运动，由斜抛运动的规律可知，在水平方向为匀速直线运动，在竖直方向为竖直上抛运动，已知在C点的速度大小为v0、与水平方向的夹角为45°，则有在水平方向的速度为
vx=v0cs45°=
B点是最高点，在竖直方向的速度是零，只有水平方向的速度，所以篮球在B点的速度，A正确；
B．篮球在C点时，竖直方向的速度为
篮球从B点到C点，竖直方向为自由落体运动，则有
vy=gt
篮球从B点到C点，篮球的运动时间为
B错误；
C．篮球在A点的水平方向速度为
vx=
篮球在A点的速度为
C错误；
D．设篮球由A到C的高度差为h，由机械能守恒定律可得
解得
D正确。
故选AD。
9．2022年北京冬奥会将在北京和张家口举行，北京将成为历史上第一个即举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度沿倾角、高倾斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角的斜面乙上，顺利完成飞越。把运动员视为质点，忽略空气阻力，已知重力加速度（，）。以下说法正确的是（ ）
A．运动员落至斜面乙时的速率为16m/s
B．斜面乙的高度为7.2m
C．运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20m
D．两斜面间的水平距离约为11.1m
【答案】AB
【详解】
A．运动员水平方向做匀速直线运动，水平方向速度为
落到乙斜面时，设速度大小为，则满足
解得
故A正确；
B．设乙斜面高度为，从甲斜面到乙斜面过程中，由机械能守恒定律得
解得
故B正确；
C．从甲斜面飞出时，运动员竖直方向的速度
则运动员在空中飞行时离地面的最大高度为
故C错误；
D．运动员到达乙斜面的竖直方向速度为
则在空中运动的时间
则水平距离为
故D错误。
故选AB。
10．2020年2月，在国际单板滑雪U型场地赛中，我国运动员蔡雪桐勇夺冠军。如图，滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员以速度v0从PQ上的O点沿PQ的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后从PQ上的A点进入滑道。已知=90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．O、A两点间的距离为
B．运动员腾空中离PQ的最大距离为
C．若仅减小夹角，则运动员腾空时间可能保持不变
D．若仅增大v0的大小，则运动员再滑入轨道的速度方向不变
【答案】AD
【详解】
AB．将初速度v0和加速度g分别分解在沿斜面方向和垂直斜面方向，则垂直斜面方向
运动员腾空中离PQ的最大距离为
O、A两点间的距离为
选项A正确，B错误；
C ．运动员腾空时间
若仅减小夹角，则运动员腾空时间减小，选项C错误；
D．运动员再滑入轨道时，垂直斜面方向的速度不变，仍为
v1=v0csθ
沿斜面向下的速度
则合速度与斜面的夹角
与初速度无关，则选项D正确。
故选AD。
三、实验题
11．三个同学根据不同的实验条件，进行了探究平抛运动规律的实验：
（1）甲同学采用如图甲所示的装置。用小锤击打弹性金属片，金属片把A球沿水平方向弹出，同时B球被松开自由下落，观察到两球同时落地。改变小锤击打的力度，即改变A球被弹出时的速度，两球仍然同时落地，这说明平抛运动的物体在竖直方向上做_________运动。
（2）乙同学采用如图乙所示的装置，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q，其中N的末端可看做与光滑的水平板相切，两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度使AC=BD，从而保证小铁球P、Q在轨道末端的水平初速度v0相等。现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出。实验可观察到的现象应是P球击中Q球。仅仅改变弧形轨道M的高度，重复上述实验，仍能观察到相同的现象，这说明平抛运动的物体在水平方向上做______________运动。
（3）丙同学采用频闪照相法拍摄到如图丙所示的小球做平抛运动的照片，图中每个小方格的边长为L=1.6cm，该小球做平抛运动的初速度大小为____m/s。（g取10m/s2，保留两位有效数字）
（4）下列哪个因素不会使“研究平抛物体的运动”实验误差增大( )
A．小球与斜槽之间有摩擦
B．安装斜槽时其末端切线不水平
C．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点
D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较近
【答案】 自由落体 匀速直线 0.80 A
【详解】
（1）[1]由于两球同时落地，这说明平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动。
（2）[2]两小球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的末端射出,两个小球相碰，这说明平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动。
（3）[3]平抛竖直方向上做匀加速直线运动，由匀加速直线运动的推论可知
其中，解得
平抛水平方向上做匀速直线运动
解得
（4）[4] A．小球每次从相同的位置释放，运动到斜槽末端的速度都相同，所以即使有摩擦力也不会对实验结构照成影响，故A正确；
B．安装斜槽时其末端切线不水平，小球做斜抛运动，使实验误差增大，故B错误；
C．建立坐标系时，应以小球的球心为坐标原点，以斜槽末端端口位置为坐标原点使实验误差增大，故C错误；
D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点时应离原点O较远一些，这样的读取的数值误差较小，故D错误。
故选A。
四、解答题
12．如图甲所示是一个滑雪赛道的示意图，运动员沿倾斜雪道从A点由静止滑下，经过一段时间后从C点沿水平方向飞出，落在雪道上的D点。已知C点是第二段雪道CD的起点，第二段雪道与水平面的夹角θ=37°，C、D间的距离s=25m，运动员的质量m=60kg，可视为质点，第二段雪道足够长，不计空气阻力，sin37°=0.60，cs37°=0.80，求：
（1）运动员从C点水平飞出到落在D点所用的时间t；
（2）运动员从C点水平飞出时的速度大小v0
（3）运动员飞行过程中，离雪道斜面最远时的速度大小v；
（4）如图乙，若在C点安装一斜向上θ=37°光滑直轨道（长度忽略），以相同速率v0在C点滑出并落至等高平台MN上的E点，求落点E与C点之间的距离s，。
【答案】（1）；（2） ；（3） ；（4）
【详解】
（1）平抛运动竖直方向上做自由落体运动
，
解得
（2）水平方向有
，
解得
（3）离斜面最远时，速度方向与斜面平行，有
解得
则
（4）由竖直方向分运动可得飞行时间
则水平方向
代入数据可得
13．在篮球比赛中，投篮的角度太大或太小，都会影响投篮的命中率．在某次投篮中，运动员恰好将篮球以45°的倾角准确投入篮筐，设运动员起跳投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，如图甲所示，设从抛出篮球到篮球入筐的时间为s，不考虑空气阻力，g取10m/s2。求：
（1）篮球到达最高点时相对篮筐的竖直高度h；
（2）篮球进入篮筐时速度v的大小；
（3）所有曲线运动，都能把曲线分割成许多很短的小段，每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分。这个圆的半径就是最接近该点处的曲线的圆弧的半径，即曲率半径，用字母ρ表示。如果我们把篮球运动到最高点附近的一小段距离看做圆的一部分，如图乙所示，求篮球在最高点处的曲率半径ρ的大小。
【答案】（1）2.5m；（2）10m/s；（3）5m
【详解】
（1）根据运动的对称性，可知篮球上升和下降所用时间均为
t=s
球由最高点到落地过程中，在竖直方向上可看作自由落体运动，由运动学公式可得
h=gt2
解得
h=2.5m
（2）篮球的运动可看成两个平抛运动组成，设球进入篮框时的速度为v
竖直方向：球的分运动为自由落体运动，由速度公式可得
vy=gt
球进入篮框瞬间，由运动的合成可得
vy=vsin45°
水平方向：球的分运动为匀速直线运动，可得
vx=vcs45°
由以上各式解得
v=10m/s
（3）设球在最高点时速度为vx，在最高点时只受到重力
由牛顿第二定律得
mg=m
球在水平方向做匀速直线运动，可得
vx=vcs45°
解得
ρ=5m
14．如图所示，某同学将篮球从O点斜向上抛出，篮球经过最高点M后落入P点处的篮框，N、Q与O点位于同一水平线上，且分别在M、P的正下方，已知O、N两点距离，N、Q两点距离，M、N两点距离，不计空气阻力，重力加速度，求：
（1）篮球从O到P的时间；
（2）篮球落入篮框时的速度。
【答案】（1）1.8s；（2），水平方向成37°
【详解】
（1）设从O点运动到M点的时间为，则
解得
从O点到P点，在水平方向做速度为的匀速运动，设从M点运动到P点的时间为，则
解得
篮球从O到P的时间
（2）由
解得
在P点时的竖直分速度
篮球落入篮框时的速度大小
设速度方向与水平方向成角，则
解得
因此篮球落入篮框时的速度为10m/s，方向与水平方向成37°。
15． 2020年2月，在国际单板滑雪U型场地赛中，我国运动员蔡雪桐勇夺冠军。如图，滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员以速度v0从PQ上的O点沿PQ的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后从PQ上的A点进入滑道。已知α+θ=90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力。求∶
（1）O、A两点间的距离；
（2）运动员腾空中离PQ的最大距离。
【答案】（1）；（2）
【详解】
(1)将初速度v0和加速度g分别分解在沿斜面方向和垂直斜面方向，则由垂直斜面方向的运动可得
O、A两点间的距离为
(2)运动员腾空中离PQ的最大距离为
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