北师大版七年级下册第一章 整式的乘除5 平方差公式当堂检测题

这是一份北师大版七年级下册第一章 整式的乘除5 平方差公式当堂检测题，共14页。试卷主要包含了如图，从边长为，如图，边长为等内容，欢迎下载使用。
1．如图，用4个相同的小长方形与一个小正方形镶嵌而成一个大正方形图案，大正方形面积为25，小正方形面积为9．用x、y表示小长方形的长和宽（x＞y），由图可判断下列关系式中，不正确的是（ ）
A．x+y＝5B．x﹣y＝3C．4xy＝16D．x2﹣y2＝12
2．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
3．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）
4．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）
5．如图1，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a+1的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图2所示的长方形ABCD（不重叠、无缝隙），则AD，AB的长分别是（ ）
A．3，2a+2B．5，2a+8C．5，2a+3D．3，2a+5
6．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：
其中能够验证平方差公式有（ ）
A．①②③④B．①③C．①④D．①③④
7．如图，在边长为x的正方形纸片中间剪去一个边长为（a+2）的小正方形，将剩余部分剪开拼成一个不重叠，且无缝隙的平行四边形．若平行四边形的面积为3a2﹣4a﹣4，则原正方形纸片的边长x为（ ）
A．2aB．3aC．4aD．5a
8．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（ ）
A．（4a+4）cmB．（4a+6）cmC．（4a+8）cmD．（8a+4）cm
9．如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪去一个边长为m的正方形之后，余下部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则此长方形的周长是（ ）
A．2m+6B．4m+6C．4m+12D．2m+12
10．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，下列四种割拼方法中，能够验证平方差公式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共5小题）
11．如图，正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差是6，那么S阴＝ ．
12．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1中的阴影部分拼成一个矩形如图2，比较两图中阴影部分的面积，写出一个正确的等式： ．
13．如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是 ．
14．如图1，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b（a＞b）的正方形，剩余部分沿着虚线又剪拼成一个如图2所示的长方形（不重叠、无缝隙），根据阴影部分面积的不同求法，可以得到一个数学公式是 ．
15．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）．
三．解答题（共3小题）
16．如图1，是边长分别为a和b的两种正方形纸片．
（1）若用这两种纸片各1张按照如图2方式放置，其未叠合部分（阴影部分）面积为S1，则S1＝ ；（用含a，b的代数式表示）
（2）在（1）中图2的基础上，再在大正方形的右下角摆放一张边长为b的小正方形纸片（图3），两个小正方形叠合部分（阴影部分）面积为S2，试求S2．（用含a，b的代数式表示）
17．已知正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a（b＞a）．
（1）如图1，点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，请用两种不同方法求出阴影部分S1的面积（结果用a，b表示）．
（2）如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个和正方形EFGH一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和DC上，若题（1）中S1＝4，图2中S2＝1，求阴影部分S3的面积．
（3）如图3，若正方形EFGH的边GF和正方形ABCD的边CD在同一直线上，且两个正方形均在直线CD的同侧，若点D在线段GF上，满足DF＝GF，连接AH，HF，AF，当三角形AHF的面积为3时，求三角形EFC的面积，写出求解过程．
18．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请用含a．b的式子表示：S₁＝ ，S₂＝ ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
平方差的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据大正方形和小正方形的面积可分别计算出x+y与x﹣y的值，在通过两个完全平方式的转化可求出4xy的值，最后通过平方差公式可计算出的x2﹣y2值．
【解答】解：大正方形的面积为25，所以边长为5，即x+y＝5；正确，故A项不符合题意；
小正方形的面积为9，所以边长为3，即x﹣y＝3；正确，故B项不符合题意；
4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2＝25﹣9＝16；正确，故C项不符合题意；
x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×3＝15；错误，故D项符合题意．
故选：D．
【点评】本题目重点考查平方差公式的几何运用，学会转化运用是解题的关键．
2．【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
3．【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．
【解答】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，
拼成的矩形的面积是：（a+b）（a﹣b），
∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来．
4．【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：由图可知，
图1的面积为：x2﹣12，
图2的面积为：（x+1）（x﹣1），
所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
5．【分析】利用已知得出矩形的长分为两段，即大正方形边长+小正方形边长，宽AD为大正方形边长﹣小正方形边长即可求出．
【解答】解：由题意可得：
拼成的长方形一边的长AD＝（a+4）﹣（a+1）＝3，另一边的长为AB＝（a+4）+（a+1）＝2a+5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，正确理解题意分割矩形成两部分是解题关键．
6．【分析】分别对各个图形中的阴影面积用不同方法表示出来，即可得到等式，则可对各个选项是否可以验证平方差公式作出判断．
【解答】解：图①，左边图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故①可以验证平方差公式；
图②，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故②可以验证平方差公式；
图③，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故③可以验证平方差公式；
图④，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故④可以验证平方差公式．
∴正确的有①②③④．
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键．
7．【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
【解答】解：x2﹣（a+2）2＝3a2﹣4a﹣4，
x2＝3a2﹣4a﹣4+a2+4a+4
x2＝4a2，
x＝2a
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
8．【分析】先根据图形求出长方形的长和宽，再求出周长即可．
【解答】解：长方形的宽为（a+2）﹣（a﹣1）＝3cm，
长为（a+2）+（a﹣1）＝（2a+1）cm，
所以长方形的周长为2（2a+1+3）＝（4a+8）cm．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，能正确根据图形表示出采访中的长和宽是解此题的关键．
9．【分析】根据面积的和差，可得长方形的面积，根据长方形的面积公式，可得长方形的长，根据长方形的周长公式，可得答案．
【解答】解：由面积的和差，得
长方形的面积为（m+3）2﹣m2＝（m+3+m）（m+3﹣m）＝3（2m+3）．
由长方形的宽为3，可得长方形的长是（2m+3）．
长方形的周长是2[（2m+3）+3]＝4m+12．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，利用了面积的和差．
10．【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式．
【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b）．可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（2b+2a）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边阴影部分面积＝（a+b）•（a﹣b），可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式．
能够验证平方差公式有：①②③④．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
二．填空题（共5小题）
11．【分析】设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得b2﹣a2＝6．再根据图形写出S阴的表达式，将b2﹣a2＝6整体代入计算即可．
【解答】解：设正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a和b，由题意得：
b2﹣a2＝6．
由图形可得：
S阴＝a（b﹣a）+（b2﹣ab）
＝ab﹣a2+b2﹣ab
＝（b2﹣a2）
＝×6
＝3．
故答案为：3
【点评】本题考查了整式的乘法在几何图形面积计算中的应用，根据图形正确列出算式是解题的关键．
12．【分析】分别写出图1和图2中阴影部分的面积，再根据两者相等可得等式．
【解答】解：如图1，阴影部分的面积为S1＝a2﹣b2；
如图2，阴影部分是一个矩形，长为（a+b），宽为（a﹣b），面积为S2＝（a+b）（a﹣b）．
由阴影部分面积相等可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景、正方形和矩形的面积计算等知识点，数形结合是解题的关键．
13．【分析】首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式．
【解答】解：∵S甲＝（a2﹣b2），S乙＝（a+b）（a﹣b）
又∵S甲＝S乙
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【点评】本题考查的重点是平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
14．【分析】根据阴影部分面积的不同求法图1中阴影部分的面积是：a2﹣b2，图2的面积：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）可解得．
【解答】解：图1中阴影部分的面积是：a2﹣b2
图2的面积：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题主要考查了平方差公式几何背景．
15．【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．
【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（）2﹣4×（）2＝ab．
故答案为：ab．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键．
三．解答题（共3小题）
16．【分析】（1）由题意可得S1＝a²﹣b²；
（2）由题意得S2＝2b²﹣ab．
【解答】解：（1）由题意可得，
S1是图1中两个正方形面积的差，
又∵图1中大正方形的面积为a²，小正方形的面积为b²，
∴S1＝a²﹣b²，
故答案为：a²﹣b²；
（2）由题意可得，
S2是两个小正方形在长为a，宽为a﹣b的矩形内的重叠部分，
∴S2＝b²+b²＝2b²﹣ab．
【点评】此题考查了数形结合思想解决数学问题的能力，关键是能用代数式表示相关图形的面积．
17．【分析】（1）根据面积等于大正方形面积﹣小正方形面积或等于两个长方形面积之和即可得出结论；
（2）用a，b表示S1和S2，根据S1＝4，S2＝1，求求出a和b的值，将a和b的值代入即可；
（3）见解答．
【解答】解：（1）①；②S1＝（a+b）（b﹣a）；
（2）S1＝4＝（a+b）（b﹣a），又因为S2＝1，所以BE＝1，即b﹣a＝1，所以a+b＝4；所以，解得：．
S3表示边长为（2a﹣b）的正方形的面积，所以，所以．
（3）如图，记AD与HF的交点为M，AD与HE交于点N．
GFEH为正方形，HF为对角线，
∴∠ADF＝90°∠DFM＝45°
∴△DMF为等腰直角三角形，
则NE＝DF＝DM＝，
FC＝b﹣a，

＝
＝
＝3．
．
【点评】本题考查整式乘法与图形面积，掌握割补法求图形面积的方法是解决（1）的关键；（2）（3）中解题的关键是正确理解图形面积公式，会表示相应线段的长和图形的面积．
18．【分析】（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得答案；
（2）由（1）中所得的S₁和S₂的面积相等，可得答案；
（3）根据（2）中的公式，将2019×2021写成（2020﹣1）×（2020+1），然后按照平方差公式进行化简，再按照有理数的混合运算计算出答案即可．
【解答】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S₁＝a2﹣b2，S₂＝（a+b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）以上结果可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（3）20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202+1
＝1．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键．