北师大版七年级下册6 完全平方公式复习练习题

这是一份北师大版七年级下册6 完全平方公式复习练习题，共11页。试卷主要包含了下列从左到右的变形，错误的是，下列计算正确的是，下列运算正确的是，有两个正方形A，B等内容，欢迎下载使用。
1．下列从左到右的变形，错误的是（ ）
A．﹣m+n＝﹣（m+n）B．﹣a﹣b＝﹣（a+b）
C．（m﹣n）3＝﹣（n﹣m）3D．（y﹣x）2＝（x﹣y）2
2．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，则阴影部分的面积为（ ）
A．9B．18C．27D．36
3．已知多项式x2+4x+k2是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．2B．4C．2或﹣2D．4或﹣4
4．下列计算正确的是（ ）
A．（x2）3＝x9B．（﹣x）2•x＝x3
C．（﹣2ab2）2＝﹣4a2b4D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
5．下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3ab2）2＝6a2b4D．a2•a4＝a6
6．已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是（ ）
A．16B．20C．25D．30
7．现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．18
8．有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
9．若x2+kx+16能写成一个多项式的平方形式，则k的值为（ ）
A．±8B．8C．±4D．4
10．若x2﹣6x+k是完全平方式，则k的值是（ ）
A．±9B．9C．±12D．12
二．填空题（共5小题）
11．若a2+b2＝10，ab＝﹣3，则（a﹣b）2＝ ．
12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝8，ab＝2，则阴影部分的面积为 ．
13．若（x﹣4）（5﹣x）＝﹣8，则（x﹣4）2+（5﹣x）2＝ ．
14．如图，长方形ABCD的面积为6，且AD比AB多3，以该长方形中相邻的两边为边长向外作两个正方形，则这两个正方形（阴影部分）的面积之和为 ．
15．如果关于x的多项式x2﹣8x+m是一个完全平方式，那么m＝ ．
三．解答题（共3小题）
16．已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．
17．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2021）2＝31，求（2020﹣x）（x﹣2021）的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，G分别是AD、AB上的点，且DE＝2，BG＝3，长方形AEFG的面积是90，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
18．如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ．
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值．
（3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值．
完全平方公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据添括号法则，幂的乘方的定义，完全平方公式判断即可．
【解答】解：A、﹣m+n＝﹣（m﹣n），原变形错误，故本选项符合题意；
B、﹣a﹣b＝﹣（a+b），原变形正确，故本选项不符合题意；
C、（m﹣n）3＝（m﹣n）（n﹣m）2＝﹣（n﹣m）（n﹣m）2＝﹣（n﹣m）3，原变形正确，故本选项不符合题意；
D、（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2＝（x﹣y）2，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了完全平方公式以及添括号法则，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2；括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
2．【分析】阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可．
【解答】解：∵a+b＝ab＝9，
∴S＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]＝×（81﹣27）＝27．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．【分析】根据完全平方式的定义计算即可．
【解答】解：∵多项式x2+4x+k2是一个完全平方式，
∴k＝±2，
即k＝2或﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
4．【分析】利用幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则，以及完全平方公式等知识化简求出答案即可．
【解答】解：A、（x2）3＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣x）2•x＝x3，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（﹣2ab2）2＝4a2b4，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则，以及完全平方公式等知识，能够正确运用法则和公式是解题的关键．
5．【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、原式＝2a2，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、原式＝a2+2ab+b2，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、原式＝9a2b4，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、原式＝a6，原变形正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
6．【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a＝5+4b，
∴a﹣4b＝5，
∴a2﹣8ab+16b2＝（a﹣4b）2＝52＝25．
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式、求代数式的值．能够根据完全平方公式整体代换是求解本题的关键．
7．【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，则（a﹣b）²＝4b²＝16，解得b＝2即可就得最后结果．
【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，
则（a﹣b）²＝（3b﹣b）²＝（2b）²＝4b²＝4²＝16，
解得b＝2或b＝﹣2（不合题意，舍去），
∴每个小长方形的面积为，
ab＝3b•b＝3×2²＝12，
故选：C．
【点评】此题考查了数形结合思想解决数学问题的能力，关键是能根据图形找到相关数量关系列出算式．
8．【分析】设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，可解得a﹣b＝1，图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，可得a+b＝5，所以图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+4ab，代入就可计算出结果．
【解答】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），
得图甲中阴影部分的面积为
（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，
解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），
图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，
可得（a+b）²
＝a²+2ab+b²
＝a²﹣2ab+b²+4ab
＝（a﹣b）²+4ab
＝1+2×12
＝25，
解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），
∴图丙中阴影部分的面积为
（2a+b）²﹣（3a²+2b²）
＝a²+4ab﹣b²
＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab
＝5×1+2×12
＝5+24
＝29，
故选：B．
【点评】此题考查了灵活利用乘法公式求图形面积问题的能力，关键是能根据图形列出对应的算式．
9．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵x2+kx+16＝x2+kx+42，x2+kx+16能写成一个多项式的平方形式，
∴kx＝±2•x•4，
解得k＝±8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
10．【分析】根据平方项和乘积二倍项列式即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣6x+k是完全平方式，
∴k＝32＝9．
故选：B．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项和乘积二倍项确定出k的值是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，a2+b2＝10，ab＝﹣3，
∴（a﹣b）2＝10﹣2×（﹣3）＝10+6＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12．【分析】由题意得阴影部分面积为a²+b²﹣﹣＝﹣﹣＝[（a+b）²﹣3ab]，将a+b＝8，ab＝2代入计算即可．
【解答】解：由题意得阴影部分面积为，
a²+b²﹣﹣＝﹣﹣＝（a²﹣ab+b²）＝[（a+b）²﹣3ab]，
∴当a+b＝8，ab＝2时，
阴影部分面积为，
（8²﹣3×2）＝×58＝29，
故答案为：29．
【点评】此题考查了利用数形结合解决问题的能力，关键是能根据图形达到正确的数量关系并列式计算．
13．【分析】设（x﹣4）＝a，（5﹣x）＝b，根据已知等式和完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）设x﹣4＝a，5﹣x＝b，则（x﹣4）（5﹣x）＝ab＝﹣8，a+b＝（x﹣4）+（5﹣x）＝1，
∴（x﹣4）2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣8）＝1+16＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了完全平方公式和多项式乘法．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
14．【分析】将完全平方公式a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²变形为a²+b²＝（a﹣b）²﹣2ab并应用．即这两个正方形（阴影部分）的面积之和为：AD²+AB²＝（AD﹣AB）²+2AD•AB．
【解答】解：∵长方形ABCD的面积为6，
∴AD•AB＝6，
∵AD比AB多3，
∴AD﹣AB＝3，
∴这两个正方形（阴影部分）的面积之和为：
AD²+AB²
＝（AD﹣AB）²+2AD•AB
＝3²+2×6
＝21．
答：这两个正方形（阴影部分）的面积之和为21．
【点评】本题考查是否掌握将完全平方公式a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²变形为a²+b²＝（a﹣b）²﹣2ab并应用．
15．【分析】根据两数和的完全平方等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案．
【解答】解：由x2﹣8x+m是一个完全平方式，得
m＝42＝16，
故答案为：16．
【点评】本题是完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
三．解答题（共3小题）
16．【分析】（1）把a﹣b＝6两边平方，展开，即可求出ab的值；
（2）先分解因式，再整体代入求出即可．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，a2+b2＝20，
∴（a﹣b）2＝36，
∴a2﹣2ab+b2＝36，
∴﹣2ab＝36﹣20＝16，
∴ab＝﹣8；
（2）∵a2+b2＝20，ab＝﹣8，
∴﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3
＝﹣ab（a2+2ab+b2）
＝﹣（﹣8）×（20﹣16）
＝32．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键，注意：完全平方公式有：①a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
17．【分析】（1）按照题干中思路，设2020﹣x＝a，x﹣2021＝b，根据完全平方公式，运用a2+b2与（a+b）2求出ab即可；
（2）由题意得GF＝x﹣2，GJ＝x﹣3，设x﹣2＝m，x﹣3＝n，可得mn＝90，m﹣n＝1，所以（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝361，可求得m+n＝19，所以阴影部分的面积为m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝19×1＝19．
【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2021＝b，
则a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2021）＝﹣1，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2+b2+2ab＝31+2ab＝（﹣1）2＝1，
∴2ab＝1﹣31＝﹣30，
∴ab＝＝﹣15，
即（2020﹣x）（x﹣2021）＝﹣15；
（2）由题意得GF＝x﹣2，GJ＝x﹣3，
设x﹣2＝m，x﹣3＝n，
可得mn＝90，m﹣n＝1，
∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝361，
解得m+n＝19或m+n＝﹣19（不合实际，舍去）
∴阴影部分的面积为m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝19×1＝19．
【点评】此题考查了数形结合解决问题的能力和乘法公式灵活应用的能力，关键是能结合图形列出算式、灵活运用乘法公式变式应用．
18．【分析】（1）由观察图形可得，（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2；
（2）由（1）题结论（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，将x+y＝5，xy＝代入，可求得（x﹣y）2的值，最后就可求出结果；
（3）由（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝，运用整体代入法可求出结果．
【解答】解：（1）由题意得图1中长方形面积为4ab，图2中阴影部分面积是（a﹣b）2，整体面积是（a+b）2，
∴（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2，
故答案为：（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2；
（2）由（1）题结论（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
当x+y＝5，xy＝时，
∴（x﹣y）2
＝52﹣4×
＝16，
∴x﹣y＝±＝±4
（3）由（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝，
∴（2019﹣m）（m﹣2021）
＝{[（2019﹣m）+（m﹣2021）]2﹣[（2019﹣m）2+（m﹣2021）2]}
＝[（﹣2）2﹣20]
＝×（﹣16）
＝﹣8．
【点评】此题考查了数形结合与完全平方公式的变形应用能力，关键能将公式变形应用．