北师大版七年级数学下册4.3.2用“角边角”“角角边”判定三角形全等练习

这是一份北师大版七年级数学下册4.3.2用“角边角”“角角边”判定三角形全等练习，共20页。
4.3.2 用“角边角”“角角边”判定三角形全等一、单选题1．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm2．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，过点E作EH⊥BC于H交BD于点P，若EH＝4CH，S△EBC＝40，则线段PE长为（　　）A．4 B．2 C．6 D．84．如图，已知等边ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的个数是（ ）个A．1 B．2 C．3 D．45．如图，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（　　）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，AC＝6，F是高AD和BE的交点，若AD＝BD，则BF的长是（ ）A．4 B．5 C．6 D．87．如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）A．68 B．65 C．62 D．50二、填空题8．如图，四边形ABDC中，AB＝AC，∠BAC＝∠BDC＝90°，过B作BE⊥AD于点E，且BE＝2AE，若△ACD的面积是6，则BE＝___．9．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在BA上，点E在BC的延长线上，且∠ADC＝2∠E＝60°，AD＝6，CD＝7，则线段CE的长为___．10．如图，点D为△ABC的边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四边形BDEC的面积为8，则AB的长度为___．11．如图，已知，，，是边的中点，为边上一点，．若，，则的值为________．三、解答题12．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC．（1）求证：OD＝OE；（2）求证：OA平分∠BAC．13．已知，如图∠A＝∠D＝90°，AC，BD相交于点E，BE＝CE．（1）求证△ABC≌△DCB．（2）若∠EBA＝36°，求∠CBE的度数．14．如图，点D在的BC边上，，，．（1）求证：；（2）若，，求CD的长，参考答案1．B【分析】根据题意证明即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴，∵∠ACE＝90°，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．2．D【分析】利用同角的余角相等求出∠A＝∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等，即可解答．【详解】∵∠B＝∠E＝90°，∴∠A+∠1＝90°，∠D+∠2＝90°，∵AC⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，故D错误；∴∠A＝∠2，故B正确；∴∠A+∠D＝90°，故A正确；在△ABC和△CED中， ，∴△ABC≌△CED（AAS），故C正确；故选：D．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件∠A=∠2．3．C【分析】过E作EG⊥AB于G，作EF平行BC，交AB与F，由EH＝4CH，EH⊥BC，根据勾股定理EC=，利用三角形面积可得4BC=,利用勾股定理CD=，设CD=m，BD=4m，可得AD=AC-CD=AC-m，利用勾股定理解得，根据角平分线性质EG=ED，可证Rt△BGE≌Rt△BDE（HL），可得BG=BD=4m，求出AG=AB-BG=，根据在Rt△AGE中，，解得，，解得，AF=AE=，再证△EGF≌△EDP（AAS），EF=EP，根据在Rt△EGF中，EP=EF=即可．【详解】解：过E作EG⊥AB于G，作EF平行BC，交AB与F，∵EH＝4CH，EH⊥BC，在Rt△EHC中，EC=，∵，∴4BC=，∴CD=，设CD=m，BD=4m，∴AD=AC-CD=AC-m，在Rt△ABD中即，解得，∵BE平分∠ABD交AC于E，BD⊥AC，EG⊥AB，∴EG=ED，在Rt△BGE和Rt△BDE中，，∴Rt△BGE≌Rt△BDE（HL），∴BG=BD=4m，∴AG=AB-BG=AC-BD=，∵AE=AC-CD-ED=，在Rt△AGE中，即，解得，∴EC=DE+CD=，∴，∴解得，∴∠GFE=∠ABC，∠AEF=∠C，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠GFE=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE=，∵BD⊥EC，EH⊥BC，∴∠EPD=90°-∠PED=90°-∠HEC=∠C，∴∠GFE=∠DPE，在△EGF和△EDP中，，∴△EGF≌△EDP（AAS），∴EF=EP，∴GF=AF-AG=AE-AG=，∴在Rt△EGF中，EP=EF=，∴EP=．故选择C．【点睛】本题考查等腰三角形判定与性质，三角形面积桥，勾股定理，三角形全等判定与性质，角平分线性质，本题难度大，条件分散，不易找到解题思路，仔细阅读题目，通过面积桥找到DB与DC的关系，再通过辅助线画出准确图形，实现条件转化是解题关键．4．C【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE＝CG，DE＝FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP＝∠GFP，EP＝PG，得出PC＋BE＝PE，就可以得出PE＝1，从而得出结论．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠GCF，∵DE⊥BC，FG⊥BC，∴∠DEB＝∠FGC＝∠DEP＝90°．在△DEB和△FGC中， ，∴△DEB≌△FGC（AAS），∴BE＝CG，DE＝FG，故①正确；在△DEP和△FGP中， ，∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确；∴PE＝PG，∠EDP＝∠GFP≠60°，故③错误；∵PG＝PC＋CG，∴PE＝PC＋BE．∵PE＋PC＋BE＝2，∴PE＝1，故④正确．故答案为：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明三角形全等．5．C【分析】利用等腰直角三角形的性质证得MC=MB，∠ACM =∠B，∠CMF=∠BME，从而证明△CMF≌△BME，根据四边形CEMF的面积=S△CMF+S△CEM= S△BCM求出答案．【详解】解：连接MC，∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中点，∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，∴MC=MB，∠BMC=90°，∵∠EMF=90°=∠BMC，∴∠EMF-∠CME=∠BCM-∠CME，即∠CMF=∠BME，∴△CMF≌△BME，∴S△CMF=S△BME，∴四边形CEMF的面积=S△CMF+S△CEM=S△BME+ S△CEM= S△BCM=S△ABC=，故选：C． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．6．C【分析】证△DBF≌△DAC，推出BF=AC即可解决问题．【详解】解：∵F是高AD和BE的交点，∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠FBD，在△DBF和△DAC中，，∴△DBF≌△DAC（ASA），∴BF=AC=6，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的余角相等，关键是推出△DBF≌△DAC．7．D【分析】根据垂直及各角之间的变换可得，利用全等三角形的判定定理可得，由全等三角形的性质得出，，同理利用全等三角形判定及性质可得出，，由此即可计算梯形的面积，由梯形的面积减去三个三角形的面积即可得．【详解】解：∵，，，∴，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，同理，，∴，∴梯形的面积是：，∴实线所围成的图形的面积：，，，故选：D．【点睛】题目主要考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积进行计算．8．4【分析】延长DB至点P，连接AP，过点C作CF⊥AD于点F，可证明 ，从而得到AE=CF，可得BE=2CF，从而得到，进而得到，再证明△ABP≌△ACD，可得到AP=AD，∠BAP=∠CAD， ，从而得到，∠PAD=90°，再由，得到，即可求解．【详解】解：如图，延长DB至点P，连接AP，过点C作CF⊥AD于点F，∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠AFC=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF=90°，∴∠ABE=∠CAF，∵AB=AC，∴ ，∴AE=CF，∵BE＝2AE，∴BE=2CF，∵△ACD的面积是6，∴ ，∴ ，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，∵∠ABD+∠ABP=180°，∴∠ABP=∠ACD，∵PB=CD，AB=AC，∴△ABP≌△ACD，∴AP=AD，∠BAP=∠CAD， ，∴ ，∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°，∴∠BAP+∠BAD=90°，∴∠PAD=90°，∴ ，解得： 或-6（舍去），∵ ，∴BE=4．故答案为：4【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出适当的辅助线得到全等三角形是解题的关键．9．8【分析】作出如图的辅助线，利用AAS证明△CGA≌△AFC，在Rt△CDG中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DG、CG的长，再在Rt△AEF中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：过点C作CG⊥AD于点G，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，又∠CGA=∠AFC=90°，CA=AC，∴△CGA≌△AFC(AAS)，∴CG=AF，AG=FC，在Rt△CDG中，∠CDG=60°，CD=7，∴∠DCG=30°，DG=CD=，CG=，∵AD=6，∴FC=AG=AD-DG=6-=，AF=CG=，在Rt△AEF中，∵∠ADC＝2∠E＝60°，∴∠E＝30°，∴AE=2FC=15，∴EF=，∴CE=EF- FC=．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．10．7【分析】作CF⊥AB于F，利用“AAS”证得，得出， AF=AE=3．由，，可证明．再根据，即证明为等腰直角三角形，从而求得BF=FC=4，最后由可求得AB的长．【详解】解：过C作CF⊥AB于F，由作图可知，∴在和中， ∴，∴， AF=AE=3，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题的关键．11．【分析】先由平行线的性质证明∠A＝∠D＝90°，再证明四边形ABCD是平行四边形，从而证明四边形ABCD是矩形，CF＝3AF，延长DA、CE交于点G，证明△AGE≌△BCE，得到AG＝BC＝AD，再证明CF＝3AF，DF＝x，在△CDF中，用勾股定理列方程，先求出DF的长，再由AF＝AD−DF求出AF的长．【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠A＋∠D＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝90°，∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．CF＝3AF，延长DA、CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°．AD∥BC，∴∠GAE＝90°，∠G＝∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE＝BE，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG＝BC，∵F为AD的中点，∴AF＝DF＝AD＝BC，∴AG＝BC＝2AF，∴FG＝AG＋AF＝3AF，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠BCF，∠BCE＝∠G，∵∠DFC＝2∠BCE，∴∠BCE＝∠FCE＝∠G，∴CF＝FG＝3AF．若CE＝4，CF＝5，则AG＝BC，CF＝FG，GE＝CE＝4，AG＝AD，∴CG＝8，FG＝CF＝5，设DF＝x，根据勾股定理得，CD2＝CF2−DF2＝CG2−DG2，即52−x2＝82−（5＋x）2，解得，x＝，∴DG＝5＋＝，∴AD＝DG＝，∴AF＝AD−DF＝，故答案为：．【点睛】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识与方法，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，深入挖掘题中的隐含条件，构造出全等三角形，此题难度不大，适合作巩固练习用．12．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由条件可利用AAS先证明△BOD≌△COE，即可证明OD=OE；（2）利用角平分线的判定定理即可证明OA平分∠BAC．【详解】证明：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO．在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS），∴OD=OE．（2）∵OD⊥AB，OE⊥AC，且OD=OE，∴∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，利用三角形全等来找条件是解本题的关键．13．（1）见解析；（2）∠CBE=27°．【分析】（1）首先由BE＝CE得到∠DBC=∠ACB，然后根据AAS判定三角形全等即可；（2）首先根据直角三角形两锐角互余求出∠AEB的度数，然后根据三角形外角的性质和BE=CE即可求出∠CBE的度数．【详解】解：（1）证明：∵BE=CE，∴∠DBC=∠ACB，在△ABC和△DCB中，所以△ABC≌△DCB（AAS）；（2）∵∠EBA=36°，∴∠AEB=90°-36°=54°，∵BE=CE∴∠CBE=∠BCE= ∠AEB=27°【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，等腰三角形等边对等角性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是根据BE＝CE得到∠DBC=∠ACB．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．14．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据题意理由“”证明即可；（2）根据全等三角形性质可得结论．【详解】解：（1）∵，∴，在和中，，∴；（2）∵，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解题的关键．