北师大版七年级数学下册5.3.1等腰三角形的性质练习

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5.3.2等腰三角性的性质单选题1．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°2．等腰三角形两条边的长分别为5，2，则该等腰三角形的周长为(　　)A．9 B．10 C．12 D．9或123．有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（ ）A．55° B．45° C．35° D．65°5．如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　）△ABD≌△EBC B．△NBC≌△MBD C．DM=DC D．∠ABD=∠EBC解答题6．如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O（1）连接OA，求∠OAC的度数；（2）求：∠BOC．7．如图，在等腰三角形ABC中，AD、BE分别是底边BC和腰AC上的高线，DA、BE的延长线交于点P．若∠BAC=110°，求∠P的度数．8．已知在△ABC中，AB=AC．（1）若D为AC的中点，BD把三角形的周长分为24cm和30cm两部分，求△ABC三边的长；（2）若D为AC上一点，试说明AC＞（BD+DC）．9．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？参考答案单选题1．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，根据平角的定义即可求出∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°【详解】∵AC＝CD＝BD＝BE∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED∵∠CDA=∠B+∠DCB即∠CDA=2∠B∴∠B=25°∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°故答案选D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．2．等腰三角形两条边的长分别为5，2，则该等腰三角形的周长为(　　)A．9 B．10 C．12 D．9或12【答案】C【详解】试题分析：当三角形的腰长为2时，则2、2、5无法构成三角形；当三角形的腰长为5时，则三角形的三边长分别为5、5、2，则周长为12，故选择C．点睛：本题主要考查的就是三角形的三边关系和等腰三角形的性质，属于简单题型．对于解等腰三角形的题目时，我们要时刻牢记是否需要进行分类讨论，告诉我们两边时，我们需要对这两边是腰长还是底边进行分类；如果出现腰上的高线时，我们要注意高线是在三角形内部还是在三角形外部等等，总之，看到等腰三角形我们就要考虑全面一点．3．有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】①中，必定正确．如果两个角的和不大于90°，则第三个内角将大于或等于90°，该三角形将不是锐角三角形；②中，这两个概念不能混淆，当等腰三角形的顶角是钝角时，该三角形是钝角三角形，故错误；③中，若等腰三角形有一个外角等于120°，则等腰三角形有一个内角等于60°，则这个三角形一定是等边三角形，故正确；④中，此题应分为两种情况，底角可以是40°或70°，故错误；⑤中，显然正确，如果都小于60°，则该三角形的内角和小于180度.所以正确的是①，③，⑤三个.故选B.4．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（ ）A．55° B．45° C．35° D．65°【答案】A【详解】∵∠1=125°，DE∥BC，∴∠B=180°–125°=55°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=55°，故选A．5．如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　）A．△ABD≌△EBC B．△NBC≌△MBD C．DM=DC D．∠ABD=∠EBC【答案】C【详解】选项A，可以利用SAS验证，正确；选项B，可以利用AAS验证，正确；选项C，可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°，∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误；选项D，可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确.所以错误的是第三个,故选C.解答题6．如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O（1）连接OA，求∠OAC的度数；（2）求：∠BOC．【答案】(1) 40°;(2) 130°【详解】试题分析：（1）连接AO，利用等腰三角形的对称性即可求得∠OAC的度数；（2）利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求∠BOC与∠A的关系，再把∠A代入即可求∠BOC的度数．试题解析：（1）连接AO，∵在等腰△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，∴等腰△ABC关于线段AO所在的直线对称，∵∠A=80°，∴∠OAC=40°（2）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（ ∠ABC+∠ACB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+∠A．∴当∠A=80°时，∠BOC＝180°− (∠B+∠C)＝90°+∠A=130°．7．如图，在等腰三角形ABC中，AD、BE分别是底边BC和腰AC上的高线，DA、BE的延长线交于点P．若∠BAC=110°，求∠P的度数．【答案】35°【详解】试题分析：根据等腰三角形三线合一的性质可求得∠DAC的度数，根据对顶角相等求得∠EAP的度数，再由直角三角形的两锐角互余即可求得∠P的度数.试题解析：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=110°，∴∠DAB=∠DAC=55°，∵∠DAC=∠EAP（对顶角相等），∴∠EAP=∠DAC=55°，又∵BE是腰AC上的高，【详解】试题分析：根据已知条件易证△BFD≌△CDE，得出∠BFD=∠CDE，再由角之间的转化，进而可得出结论．【解析过程】试题解析：∠α=∠B，理由为：证明：∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角），在△BDF和△CED中， ∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE（全等三角形对应角相等），又∵∠FDC=∠B+∠BFD（外角性质），∴∠α=∠B（等式性质）．点睛：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．8．已知在△ABC中，AB=AC．（1）若D为AC的中点，BD把三角形的周长分为24cm和30cm两部分，求△ABC三边的长；（2）若D为AC上一点，试说明AC＞（BD+DC）．【答案】（1）三角形的三边长为16，16，22或20，20，14；（2）理由见解析【详解】试题分析：（1）分两种情况讨论：当AB+AD=30，BC+DC=24或AB+AD=24，BC+DC=30，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16，16，22或20，20，14；（2）根据三角形两边之和大于第三边即可得到AC＞（BD+DC）.试题解析：（1）设三角形的腰AB=AC=x，若AB+AD=24cm，则：x+x=24∴x=16三角形的周长为24+30=54cm所以三边长分别为16，16，22；若AB+AD=30cm，则：x+x=30∴x=20∵三角形的周长为24+30=54cm∴三边长分别为20，20，14；因此，三角形的三边长为16，16，22或20，20，14．（2）∵AC=AD+CD，AB=AC，∴2AC=AB+AD+CD＞BD+DC，∴AC＞（BD+DC）．点睛：主要考查了等腰三角形的性质；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．同时考查了三角形三边关系．9．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？【答案】△BEF为正三角形，理由见解析【详解】试题分析：根据已知条件易证△BDE≌△BCF，即可求得∠FBD+∠DBE=60°，根据一个内角为60°的等腰三角形可以判定为等边三角形，即可得结论．试题解析：△BEF为正三角形证明：∵AE+CF=a，AE+ED=a，∴DE=CF，在△BDE和△BCF中，∴△BDE≌△BCF，∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，又∵∠CBF+∠FBD=60°，∴∠FBD+∠DBE=60°，∴△BEF为等边三角形．点睛：本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了等边三角形的判定，本题中求证△BDE≌△BCF是解题的关键．