2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是( )
A. y=1−3x3B. y=x2−5xC. y=x4+2x2−1D. y=1x2
2.若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O内D. 无法确定
3.3 . 某班5名学生的体重(单位：kg)分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是( )
A. 60kg，51kgB. 51kg，47kgC. 60kg，47kgD. 51kg，51kg
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正八边形
5.一元二次方程−2(2x+1)2+a2=0(a是常数，a≠0)的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定有没有实数根
6.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为2,0，0,2，二次函数y=x2−2ax+b(a,b是常数)的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为( )
A. 0B. 34C. 74D. 2
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.一元二次方程x2−x=0的根是 ．
8.若x1,x2是一元二次方程2x2−7x+5=0的两根，则x1+x2的值是 ．
9.若▵ABC内接于⊙O，∠AOB=120∘，则圆周角∠ACB的度数 ．
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=80∘，则∠DCE=
11.某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 ．
12.圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为 cm2．
13.杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩(单位：环)依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 环．
14.如图，点B，C在⊙O上，D为BC⌢的中点，直径AD交BC于点E，AD=6，BC=2 3，则DE的长为_ ____．
15.在平面直角坐标系中，函数y=x2−2x−3的图象与x轴交于点A，B，将函数y=x2−2x−3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D.若AB=2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为 ．
16.如图，在▵ABC中，∠ACB=90∘，点D，E分别在BC，AC上，DE与▵ABC的内切圆O相切．若▵ABC的面积是30，▵CDE的周长是4，则AB的长为 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2+2x−4=0；
(2)x(x−3)=3−x．
18.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点A−1,y1，B4,y2在这个函数的图像上，则y1___y2.(填“>”“0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
6.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值，解题的关键是先求出直线AB的解析式为：y=−x+2，求出顶点坐标为a,b−a2，根据二次函数y=x2−2ax+b(a,b是常数)的图象的顶点在线段AB上，得出b−a2=−a+20≤a≤2，根据二次函数的最值求出结果即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为：y=kx+mk≠0，把2,0，0,2代入得：
2k+m=0m=2,
解得：k=−1m=2,
∴直线AB的解析式为：y=−x+2，
∵二次函数y=x2−2ax+b=x−a2+b−a2，
∴顶点坐标为a,b−a2，
∵二次函数y=x2−2ax+b(a,b是常数)的图象的顶点在线段AB上，
∴b−a2=−a+20≤a≤2，
即b=a2−a+2=a−122+74，
∴当a=12时，b取最小值74．
故选：C．
7.【答案】x1=0，x2=1
【解析】【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】方程变形得：x(x−1)=0，
可得x=0或x−1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为 x1=0，x2=1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
8.【答案】72
【解析】【分析】本题考查了根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】∵x1,x2是一元二次方程2x2−7x+5=0的两根，
∴x1+x2=72，
故答案为：72．
9.【答案】60∘或120∘
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形性质，根据▵ABC内接于⊙O，∠AOB=120∘，分以下两种情况讨论，当点C在优弧上时，当点C在劣弧上时，根据以上两种情况画出图形进行分析，即可解题．
【详解】解：如图1，当点C在优弧上时，
则∠ACB=12∠AOB=60∘；
如图2，当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接DA、DB，
则可得∠ADB=12∠AOB=60∘，
又∵四边形ACBD为圆的内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180∘，
，
∴∠ACB的度数是60∘或120∘；
故答案为：60∘或120∘．
10.【答案】80∘
【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补求出∠BCD的度数，再根据平角的定义求出∠DCE的度数即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=80∘，
∴∠BCD=180∘−∠A=100∘，
∴∠DCE=180∘−∠BCD=80∘，
故答案为：80∘．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，平角的定义，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键．
11.【答案】361−x2=25
【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，这是一道典型的增长率问题，设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为361−x元，再经过一次下降后成本变为361−x1−x元，根据两次降低后的成本是25元列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，设平均每次降低成本的百分率为x，则：
361−x2=25，
故答案为：361−x2=25．
12.【答案】24π
【解析】【分析】根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，进而求得底面积，根据表面积等于底面积加侧面积，把相应数值代入即可求解．
【详解】∵圆锥的底面半径长为3cm，母线长为5cm，
∴圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm2，
∴圆锥的底面积=π×32=9π
∴圆锥的表面积为9π+15π=24πcm2，
故答案为：24π．
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键．
13.【答案】8
【解析】【分析】本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算方法是解题的关键．根据前3箭的平均成绩为7环，可得x1+x2+x3=21，再计算6箭的平均成绩，化简为含有x1+x2+x3的算式，即可求出结果．
【详解】解：∵前3箭的平均成绩为7环，
∴x1+x2+x33=7，
∴ x1+x2+x3=21，
∴这6箭的平均成绩为x1+x2+x3+x1+1+x2+2+x3+36=2x1+x2+x3+66=2×21+66=8，
故答案为：8．
14.【答案】3− 6
【解析】【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理．连接OB，根据垂径定理的推论，得到OD⊥BC，BE=12BC，利用勾股定理求出OE的长，进一步求出DE的长即可．
【详解】解：连接OB，
∵点B，C在⊙O上，D为BC⌢的中点，直径AD交BC于点E，AD=6，
∴OD⊥BC，BE=12BC= 3，OB=OD=3，
∴OE= OB2−BE2= 6，
∴DE=OD−OE=3− 6；
故答案为：3− 6．
15.【答案】y=x2−2x
【解析】【分析】本题考查二次函数图象的平移，一元二次方程根与系数之间的关系，先求出A,B的坐标，进而求出AB的长，设平移后的解析式为y=x2−2x−3+k，令y=0，得到x2−2x−3+k=0，根据根与系数的关系，结合AB=2CD，求出k值即可．
【详解】解：∵y=x2−2x−3，
∴当y=0时，x2−2x−3=0，
解得：x1=3,x2=−1，
∴AB=3−−1=4，
设平移后的解析式为y=x2−2x−3+k，设Cc,0，Dd,0，则：CD=12AB=2
∴c,d是方程x2−2x−3+k=0的两个实数根，
∴c+d=2,cd=k−3，
∴CD2=c−d2=c+d2−4cd=4−4k−3=4，
∴k=3，
∴平移后的解析式为y=x2−2x；
故答案为：y=x2−2x．
16.【答案】13
【解析】【分析】本题考查切线长定理，直角三角形的内切圆．设三角形与内切圆的三个切点分别为F,G,H，连接OG,OF,OH，连接OA,OB,OC，易得四边形OGCF为正方形，设⊙O的半径为r，根据切线长定理，得到AB=AC+BC+2r，▵CDE的周长为2r，求出r的值，再根据分割法求三角形的面积，列出方程求出AB的长即可．
【详解】解：设三角形与内切圆的三个切点分别为F,G,H，连接OG,OF,OH，连接OA,OB,OC，则：OG=OH=OF，OG⊥BC,OF⊥AC,OH⊥AB，
∵∠ACB=90∘，
∴四边形OGCF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴CG=CF=OG=OF=OH=r，
∵BG=BH=BC−r,AH=AF=AC−r，
∴AB=AH+BH=AC+BC−2r，
∴AB+AC+BC=2AB+2r，
∵DE与▵ABC的内切圆O相切，
∴DE=DG+EF，
∴▵CDE的周长是CD+CE+DE=CD+CE+DG+EF=CG+CF=2r=4，
∴r=2，
∵▵ABC的面积=12AB⋅r+12AC⋅r+12BC⋅r=12AB+AC+BC⋅r=AB+r⋅r=30，
∴AB=13；
故答案为：13．
17.【答案】【小问1详解】
解：移项，得x2+2x=4，
配方，得x2+2x+1=5，
写成标准形式，得(x+1)2=5，
解得：x1=−1+ 5,x2=−1− 5；
【小问2详解】
解：x(x−3)=3−x，
x(x−3)+x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
∴(x−3)=0或(x+1)=0，
解得：x1=3,x2=−1．

【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
(1)用配方法解一元二次方程的一般步骤：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法求解；
(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项整理，分解因式，转化为两个一元一次方程求解．
18.【答案】【小问1详解】
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意，得a+b+c=2c=54a+2b+c=1,
解得a=1c=5b=−4,
故解析式为y=x2−4x+5．
【小问2详解】
∵y=x−22+1
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，距离对称轴越远的点的函数值越大，
∵4−2=210m，舍去，
当x=5时，成立，
答：边AB的长为5米．

【解析】【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可．
20.【答案】【小问1详解】
证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ABC；
【小问2详解】
解：连接CD，如图所示：

∵∠CAD=∠ABC，
∴CD⌢=AC⌢，
∴AC=CD，
∵AD是⊙O的直径，AD=6，
∴∠ACD=90∘，
在Rt▵ACD中，2AC2=AD2=62，
解得：AC=3 2．
故答案为：3 2．

【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，掌握相关知识是解题的关键．
(1)由角平分线的定义可得∠DBC=∠ABC，由圆周角定理可得∠CAD=∠DBC，等量代换即可；
(2)根据圆周角定理的推论可得CD⌢=AC⌢，根据圆心角、弧、弦之间的关系可得AC=CD，由直径的性质可得∠ACD=90∘，最后利用勾股定理求解即可．
21.【答案】【小问1详解】
解：由题意，得：1a+1=13，
解得：a=2，经检验，a=2是原方程的解，
故答案为：2．
【小问2详解】
画出树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中摸到不同颜色的球的情况有4种，
∴P=49．

【解析】【分析】本题考查树状图法求概率．掌握概率公式以及树状图的画法，是解题的关键．
(1)根据概率公式，列出方程进行求解即可；
(2)画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
22.【答案】【小问1详解】
解：如图，A,B即为所求；
∵AB是直径，
∴∠APB=90∘；
【小问2详解】
解：如图，A,B即为所求．

证明：连接OA,AB，如图所示：

以 A 为圆心， OA 的长为半径画弧，交 ⊙O 于点 B ，
连接 OA,AB ，
则OA=AB=OB，
∴∠AOB=60∘，
∴∠APB=30∘

【解析】【分析】本题考查圆周角定理．掌握直径所对的 圆周角是直角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
(1)过圆心O，作一条直线，交圆上于A,B，A,B两点就是所求；
(2)在圆上选一点A，以A为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点B，A,B就是所求．
23.【答案】【小问1详解】
∵方程x2−2m+2x+m2+2m=0，a=1,b=−2m+2,c=m2+2m，
∴Δ=b2−4ac=−2m+22−4×1×m2+2m=4>0，
∴无论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【 小问2详解】
把x=1代入方程x2−2m+2x+m2+2m=0，
得1−2m−2+m2+2m=0，
解得m1=1,m2=−1．

【解析】【分析】(1)证明方程的根的判别式Δ=b2−4ac=−2m+22−4×1×m2+2m>0即可．
(2)把x=1代入方程x2−2m+2x+m2+2m=0，得到关于m的方程，解答即可．
本题考查了根的判别式，方程的根，熟练掌握定理是解题的关键．
24.【答案】【小问1详解】
根据题意，七天的最低气温的平均数为：
x=175−2−6−5+0−6−7=−3℃；
S2=175−−32+−2−−32+−6−−32+…+−7−−32=16℃.
【小问2详解】
∵周四与周五的温差为5−−2=7℃，降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
∴来临的冷空气的等级是中等强度冷空气，
故答案为：②．
【小问3详解】
风力逐渐增强．

【解析】【分析】(1)先确定最低气温，再计算平均数和方差即可．
(2)计算相邻两天的最低气温的变化，对照标准确定答案即可．
(3)答案不唯一，风力逐渐增强．
本题考查了平均数，方差的计算，温差的计算，熟练掌握公式是解题的关键．
25.【答案】解：设每天的总利润为y元，每件商品的售价为x元，由题意，得：
y=x−101200−100x−12，
整理，得：y=−100x2+3400x−24000=−100x−172+4900，
∴当x=17，y有最大值为4900元，
∴最大捐赠金额是4900×30=147000元，
答：当售价为17元时，该商家捐赠的金额最大为147000元．

【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，设每天的总利润为y元，每件商品的售价为x元，根据题意，列出二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可．正确的列出二次函数关系式，是解题的关键．
26.【答案】【小问1详解】
解：∵点Pa,b在反比例函数y=2x的图象上，
∴b=2a，
对于点2a,2b，则2a,4a，
x=2ay=4a
∴xy=4a⋅2a=8，
即y=8x，
∴点2a,2b一定在y=8x这个函数的图象上；
如下图所示：
【小问2详解】
点a+b,ab一定在y=29x2这个函数的图象上，理由如下：
∵点Pa,b在一次函数y=2x的图象上，
∴b=2a，
对于a+b,ab，则x=a+b=3a，y=ab=2a2，
∴y=2a2=2×x32=29x2，
∴y=29x2．
∴点a+b,ab一定在y=29x2这个函数的图象上．

【解析】【分析】本题主要考查了函数图象上的点，解决问题的关键是理解函数图象上的点满足函数的表达式，满足函数表达式的点都在函数的图象上．(1)根据点Pa,b在反比例函数y=2x的图象上，得b=2a，对于点2a,2b，则x=2a,y=4a，则xy=8，由此可得出答案；(2)根据点Pa,b在一次函数y=2x的图象上，得b=2a，对于a+b,ab，则x=a+b=3a，y=ab=2a2，进而得得y=29x2，由此可得出结论．
27.【答案】【小问1详解】
如图，连接AE,BD,AD,BE，
∵点C运动到优弧AB的中点，A，B是⊙O的2个三等分点，
∴AC⌢=AB⌢=BC⌢，
∴AB=BC=AC，
∵D，E分别是AC⌢，BC⌢的中点，
∴DC=DA，
∵AB=BC，
∴BD是线段BC的垂直平分线，
∵AO=CO，
∴点O在线段BC的垂直平分线BD上，
∴BD是⊙O得直径，
∴∠BAD=∠BED=90∘，
同理可证，∠ADE=∠ABE=90∘，
故四边形ABED是矩形，
∴DE=AB且DE/​/AB．
【小问2详解】
如图，连接OA、OB、OC、连接OD交AC于点M，连接OE交BC于点N，
∵D，E分别是AC⌢，BC⌢的中点，
∴AM=MC，∠DMF=90∘，BN=NC，∠GNE=90∘，
∴∠AOD=∠COD,∠BOE=∠COE，
∵A，B是⊙O的2个三等分点，
∴∠AOB=120∘，
∴∠AOD+∠COD+∠BOE+∠COE=240∘，∠ACB=60∘，
∴∠AOD+∠COE=120∘，
∴∠DOE=∠AOB=120∘，
∴AB=DE，
∵OD=OE，
∴∠D=∠E=30∘，
∴∠MFG=∠CFG=∠NGE=∠CGF=60∘，
∴▵FGC是等边三角形，
∴FG=CF=CG，
∵∠D=∠E=30∘，
∴FM=12DF,GN=12GE，
∴AF+BG=AM+FM+BN+GN=FM+FM+FC+GN+GN+CG
=2FM+FG+2GN+FG
=DF+FG+GE+FG=DE+FG=AB+FG．
故AF+BG=AB+FG．
【小问3详解】
过点O作OQ⊥AB垂足为Q，交⊙O于点P，
．
根据题意，∠AOP=∠BOP=60∘，
∵OA=OB=OP，
∴▵AOP，▵BOP都是等边三角形，
∴PA=PO=PB，
∴A,O,B在以点P为圆心，以PO为半径的圆上，
在优弧AB⌢上任意取一点M，连接MA,MB，
∴∠AMB=60∘，
连接OA、OB、OD，OE，
∵∠DOE=∠AOB=120∘，
∴∠BOE+∠AOD=120∘，
∴∠IAB+∠IBA=12∠BOE+12∠AOD=60∘，
∴∠AIB=120∘，
∵∠AMB+∠AIB=180∘，
∴点I在以点P为圆心，以PO为半径的圆上的劣弧AB⌢上，
当点I与点O重合时，d最小，且最小值为0；
当点I与点A或点B重合时，d取最大值，
根据题意，得AQ=BQ=12AB=3，
∴OA=AQsin60∘=3 32=2 3，
故d的取值范围是0≤d≤2 3．

【解析】【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角函数，垂径定理．
(1)连接AE,BD,AD,BE，根据线段垂直平分线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，证明四边形ABED是矩形即可．
(2)连接OA、OB、OC、连接OD交AC于点M，连接OE交BC于点N，利用垂径定理，等边三角形的判定和性质，含30∘角的直角三角形的性质，证明即可．
(3)过点O作OQ⊥AB垂足为Q，交⊙O于点P，利用四点共圆，垂径定理，三角函数，计算求解即可．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
序号
等级
冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况
①
弱冷空气
降温幅度小于6℃
②
中等强度冷空气
降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
③
较强冷空气
降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃
④
强冷空气
降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃
⑤
寒潮
降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃