第5章三角函数、解三角形 第3节两角和与差的三角函数、二倍角公式 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,能运用这些公式解决相关的求值与化简问题.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
微点拨(1)在两角和与差的正切公式中,tan α,tan β,tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用.(2)公式中的α,β都是任意角,也可以是几个角的组合.
2.辅助角公式asin x+bcs x(a,b为常数)可以化为　　　　　　　　　的形式,其中
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcs α
cs2α-sin2α　
微点拨(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α=β的特殊情况.(2)对二倍角余弦公式进行变形可得降幂公式: ,其实质是用倍角的余弦值表示单角正弦值和余弦值的平方,从降幂公式可以看出,在降幂的同时,角扩大为原来的2倍,因此又称“降幂扩角公式”.
2.两角和与差的正切公式的变形:(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);(2)tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).3.升幂公式:1±sin 2α=(sin α±cs α)2;1+cs 2α=2cs2α;1-cs 2α=2sin2α.
5.在非直角三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式中的角α,β是任意的.(　　)
题组二回源教材5.(人教A版必修第一册5.5.1节例6改编)在△ABC中,cs A= ,tan B=2,则tan(2A+2B)=　　　　. 
6.(人教A版必修第一册5.5.1节第220页练习第5题改编)已知
考点一 和、差、倍角公式的简单应用
(3)(2024·广东广州模拟)若tan β= ,则(　　)A.tan(α-β)=1B.tan(α-β)=-1C.tan(α+β)=1D.tan(α+β)=-1
考点二 和、差、倍角公式的逆用与变形(多考向探究预测)
考向1公式的逆用与辅助角公式
(2)(2020·北京,14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cs x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　. 
(2)(2024·山东德州模拟)若α,β为锐角,且α+β= ,则(1+tan α)(1+tan β) =　　　　. 
A.tan(α+β)=-1B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1D.tan(α-β)=1
(2)(2024·山东烟台模拟)已知α,β满足sin(2α+β)=cs β,tan α=2,则tan β的值为(　　)
解析 因为sin(2α+β)=cs β,所以sin(α+α+β)=cs(α+β-α),即sin αcs(α+β)+cs αsin(α+β)=cs(α+β)cs α+sin αsin(α+β),①显然cs α≠0,①式两边同时除以cs α,得tan αcs(α+β)+sin(α+β) =cs(α+β)+tan αsin(α+β),又tan α=2,所以2cs(α+β)+sin(α+β) =cs(α+β)+2sin(α+β),即cs(α+β)=sin(α+β),易知cs(α+β)≠0,则tan(α+β)=1,
[对点训练2](1)(2024·江苏盐城模拟)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°<θ<90°)的对应数表.晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积,即l=htan θ,对同一“表高”两次测量,第一次和第二次太阳天顶距分别为α,β,若第一次的“晷