第5章三角函数、解三角形 第8节解三角形的实际应用 2025年高考总复习数学配人教版(适用于新高考新教材)ppt

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能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
1.实际测量中的有关几个术语
2.解三角形实际应用题的步骤
所谓解三角形,就是已知三角形的几个元素(边或角)求其余元素的过程
微点拨要厘清各种角的含义,尤其是方位角和方向角,解题中出现较多的是方向角.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.东南方向就是指南偏东45°的方向.(　　)2.若从A处看B处的仰角为α,从B处看A处的俯角为β,则α+β=180°.(　　)3.点A在B的南偏西20°方向上,若以点B为基点,点A的方位角为200°.(　　)4.俯角是铅垂线与目标视线所成的角,其取值范围是[0, ].(　　)
题组二回源教材5.(人教B版必修第四册9.2节例1改编)如图所示,A,B是某沼泽地上不便到达的两点,C,D是可到达的两点.已知A,B,C,D4点都在水平面上,而且已经测得∠ACB=45°,∠BCD=30°,∠CDA=45°,∠BDA=15°,CD=100 m,则AB的长为　　　　 m. 
解析 因为A,B,C,D 4点都在水平面上,所以∠BDC=∠BDA+∠CDA =15°+45°=60°,因此∠CBD=180°-30°-60°=90°,所以在Rt△BCD
6.(人教A版必修第二册6.4.3节例10)如图所示,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度.
解 如图所示,选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上,在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a,测角仪器的高是h,那么,在
题组三连线高考7.(2021·全国甲,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)(　　)
A.346B.373C.446D.473
解析 如图,过点C作CD⊥BB',垂足为点D,过点D作DE⊥AA',垂足为点E,连接CE,过点B作BF⊥AA',垂足为点F,则由题意可得∠BCD=15°, ∠ABF=45°,FE=BD=BB'-CC'=100,AF=BF=DE,所以AA'-CC'=BF+100.易得CD∥C'B',DE∥B'A',EC∥A'C',所以∠ECD=∠A'C'B'=45°, ∠EDC=∠A'B'C'=60°.在Rt△CDB中,
8.(2021·全国乙,理9)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=(　　)
考点一 解三角形在实际测量问题中的应用(多考向探究预测)
考向1测量距离问题例1(多选题)(2024·安徽池州模拟)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是(　　)A.∠CAD=60°
解析 由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°, ∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误; ∠ADB=15°+45°=60°,在△ACD中,由正弦定理得
考向2测量高度问题例2(2024·重庆高三临门一卷)如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度,先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°,又利用无人机在离地面高300 m的M处(即MD=300 m),观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,则山高BC=　　　　 m. 
[对点训练1](2024·湖南岳阳模拟)如图,在山脚A测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a m到达B处,在B处测得山顶P的仰角为γ.想在山高
(1)当走私船发现了巡逻艇时,两船相距多少海里.(2)巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船?
解 (1)由题意知,当走私船发现了巡逻艇时,走私船在D处,巡逻艇在C
所以∠ACB=180°-60°-45°=75°,又∠CBD=180°-45°-45°-60°=30°,
[对点训练2]位于灯塔A处正西方向相距( -5)n mile的B处有一艘甲船需要海上救援,位于灯塔A处北偏东45°相距 n mile的C处的一艘乙船前往营救,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西(　　)A.30°B.60°C.75°D.45°
考点二 解三角形在实际最值问题中的应用
例4(2024·江西宜春模拟)某公园为了吸引更多的游客,准备进一步美化环境.如图,准备在道路AB的一侧进行绿化,线段AB长为4百米,C,D都设计在以AB为直径的半圆上.设∠COB=θ.(1)现要在四边形ABCD内种满郁金香,若∠COD= ,则当θ为何值时,郁金香种植面积最大?(2)为了方便游客散步,现要铺设一条栈道,栈道由线段BC,CD和DA组成,若BC=CD,则当θ为何值时,栈道的总长l最长,并求l的最大值(单位:百米).
在△DEF中,由余弦定理得EF2=DE2+DF2-2DE·DF·cs∠EDF,即DE2+DF2+DE·DF=3,即(DE+DF)2-DE·DF=3,
所以DE+DF≤2,当且仅当DE=DF=1时,取等号,所以观光线路之和最长是2千米.