重庆市第十八中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 已知，则等于（ ）
A. 10B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用向量数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.
【详解】由向量，可得，
所以.
故选：B.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，再利用诱导公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B.
3. 设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的模的平方结合单位向量的定义可得，由此即可得解.
【详解】由题意是两个单位向量，且，
所以，解得，
由，所以.
故选：C.
4. 在中，若，且，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解.
【详解】因为，则，
因为，则，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
5. 在中，在上，且在上，且．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的基本定理和平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】因，
所以，则．
因为，所以，则．
故选：C
6. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
【答案】C
【解析】
【分析】由题意易得的三个角的大小及边，再利用正弦定理即可得解.
【详解】解：如图，作出，由题意可知，
海里，，则，
因为，
所以海里，
即B，C两点间的距离是海里.
故选：C.
7. 已知向量，集合，其中，则（ ）
A.
B.
C. 若，则为钝角
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，令，求得，得到，可判定A、B错误；由，得到为锐角，可判定C错误；求得，可判定D正确.
【详解】由向量，
可得，
令，可得，解得，
此时，所以，所以A、B错误；
又由，可得，所以为锐角，所以C错误；
由向量，可得，所以D正确.
故选：D.
8. 已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意，所以，
即，所以，所以，
又，，
则，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，，
所以当取最大值时，.
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 向量在向量上的投影向量为
C. 与的夹角的余弦值为D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标运算法则，可判断A的正误；根据投影向量的求法，可判断B的正误；根据向量夹角的求法，可判断C的正误；根据向量垂直的坐标运算法则，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误；
对于B：向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C：，所以与的夹角的余弦值，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确；
故选：BD
10. 下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 已知在上的投影向量为且，则
C. 若非零向量满足，则与的夹角是
D. 已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量数量积的定义可判断A；利用向量投影向量的定义可判断B；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断C；判断与平行时的取值可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，因为在上的投影向量为，所以，
又，所以，则，故B正确；
对于C，因为非零向量满足，
则，即有，
所以，又，
所以与的夹角的余弦值为，
又，可得与的夹角为，故C正确；
对于D，因为，，所以，
当与平行时，，解得，
此时与的夹角不为锐角，故D错误.
故选：ABC.
11. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则有两解
C. 若为锐角三角形，则b取值范围是
D. 若D为边上的中点，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．
【详解】因为，所以，，又，所以，A错；
若，则，三角形有两解，B正确；
若为锐角三角形，则，，所以，，
，，C正确；
若D为边上的中点，则，，
又，，
由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，
所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知平面向量，若，则__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据，由求解.
【详解】解：因平面向量，且，
所以，解得，
故答案为：
13. 如图，在中，若，D为边上一点，，，，则__________．

【答案】6
【解析】
【分析】利用正弦定理解出，再利用，结合余弦定理即可求出结果.
【详解】中，由正弦定理得，
，则，
设，则，
又中，由余弦定理得
．
在中，由余弦定理得
，
又因为，
即：，
则，
故．
故答案为：6.
14. 设的面积为S，，已知，，则函数的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】由向量数量积公式和三角形面积公式得到，求出，三角恒等变换化简得到，结合的范围，结合正弦函数图象求出值域.
【详解】由题意，，
所以，所以，
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，最小值为；
当，即时，取得最大值，最大值为；
故.
故答案为：
三、解答题．
15. 已知.
（1）化简函数；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数关系化简函数即可；
（2）分式中分子分母同除，化弦为切即可求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，所以，
所以.
16. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
【答案】（1）或
（2），此时
【解析】
【分析】（1）先设,根据坐标求模公式，即可求解.
(2) 根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
因为，且，所以设，
所以，
解得，
所以或.
【小问2详解】
由，得，
所以，
因为，，可得，
因为，所以，
当且仅当，时取等号.
所以.
设与夹角为，则此时.
17. 已知函数，函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
（1）求，值；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若方程在有两个根，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据相邻的最高点与最低点的距离为4求得，根据图象关于对称求得.
（2）由解得的单调增区间；
（3）作出时的图象，观察图象得的取值范围．
【小问1详解】
∵图象上相邻的最高点与最低点的距离为4．且，
∴，∴即，∴，
又图象关于对称，
∴，，∴，，
又∵，∴．
【小问2详解】
，
由解得，
∴的单调增区间为．
【小问3详解】
当时，
作出时的图象如下图：
若方程在有两个根，则．
18. 设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）证明：．
（2）求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及正弦的和角公式化简变形条件结合角的范围证明即可；
（2）利用（1）结论及正弦定理、三角恒等变换化简得，换元利用导数判定单调性求值域即可.
【小问1详解】
证明如下：
由，
则有，所以，
因为，所以，则B为锐角．
所以，所以或，
则或，
由题意知，所以，
所以．
【小问2详解】
由（1）知，且，
由正弦定理，有
即
令，记，
．在上单调递增．
即．
故的取值范围为．
19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点．
（1）求角；
（2）若，求的值；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换即可结合同角关系求解，
（2）根据余弦定义以及等面积法可得，即可根据数量积的定义求解，
（3）根据余弦定理，结合（2）的结论可得，进而根据三角形相似可得，由基本不等式以及三角形边角关系可得，即可由函数的单调性求解.
【小问1详解】
，
，
，
，
又，，
，,，
小问2详解】
，
，又，
，
设，，，
，三角形的三个角均小于120，
根据题意可得，
又，
，
，
．
【小问3详解】
由 ，
，，
由余弦定理可得，
同理可得，，
相加可得，
又，
所以，
由于,
所以又
故，所以，
故，且
故，当且仅当时等号成立，
又，所以
，
令，则，
所以，
由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数，
故，进而
【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.