第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2节 基本不等式 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

这是一份第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2节 基本不等式 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt，共41页。PPT课件主要包含了目录索引，也叫均值不等式，a0b0，题组三连线高考，变式探究1，ACD等内容，欢迎下载使用。
研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.基本不等式: (1)基本不等式成立的条件:__________. (2)等号成立的条件:当且仅当__________时,等号成立. (3)其中__________称为正数a,b的算术平均数,__________称为正数a,b的几何平均数. 
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

微点拨可借助平面图形中线段长度的关系直观表示基本不等式:
3.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0.(1)如果积xy等于定值P,那么当__________时,和x+y有最小值__________. (2)如果和x+y等于定值S,那么当__________时,积xy有最大值__________. 
微点拨应用基本不等式求最值时,要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就有可能导致错误.
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
题组二 回源教材5.(人教B版必修第一册2.2.4节例4)已知x∈(-1,3),则y=(1+x)(3-x)的最大值为__________. 
6.(人教A版必修第一册2.2节练习5)已知直角三角形的面积等于50 cm2,当两条直角边的长度分别为__________、__________时,两条直角边的和最小,且最小值为__________. 
8.(多选题)(2022·新高考Ⅱ,12)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　)A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1
考点一 利用基本不等式求最值(多考向探究预测)
(2)(2024·上海宝山模拟)若实数x,y满足x+2y=1,则2x+4y的最小值为__________. 
(3)(2024·山东德州模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=1,则lg2a+lg2b的最大值为__________. 
(2)(2024·山东潍坊模拟)若实数a,b满足2a+3b=1,则ab的最大值是__________. 
规律方法配凑法求最值的关键点配凑法是指对所给或所求代数式进行适当的变形,通过拆(裂项、拆项),并(分组、并项),配(配式、配系数等),使得“和”是定值或“积”是定值,从而运用基本不等式求得最值.
(2)(2024·北京东城模拟)已知实数x,y满足2x+y=1,则xy的最大值为__________. 
变式探究2在本例中,若条件不变,试求xy的最小值为__________. 
变式探究3在本例中,若将条件改为“x+2y=4xy”,再求2x+y的最小值为__________. 
规律方法常数代换法求最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);(2)把确定的定值(常数)变为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,然后展开整理,构造和或积为定值的形式;(4)利用基本不等式求得最值.
考向4 通过构建不等式利用基本不等式求最值例4(多选题)(2024·河南濮阳模拟)已知a,b为正实数,且ab+a+b=8,则下列说法正确的是(　　)A.ab的最大值为4B.a+b的最小值为4C.2a+b的最小值为3
变式探究在本例中,若将条件改为“a,b是正实数,ab+2a+b=8”,(1)如何求ab的最值?(2)如何求a+b的最值?(3)如何求2a+b的最值?
规律方法构建不等式求最值的方法技巧(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此在解决条件最值时,如果在条件等式中,含有两个变量的“和”与“积”的形式,就可以利用基本不等式对“和”与“积”进行转化,这样就会得到只含有“和”或只含有“积”的一个一元二次不等式,然后通过解一元二次不等式即可求得最值.(2)如果是求“和式”的最值,可将“积式”转化为“和式”,构建关于“和式”的二次不等式求解;如果是求“积式”的最值,则可将“和式”转化为“积式”,构建关于“积式”的一元二次不等式求解.
考向5 通过消元利用基本不等式求最值例5(2024·天津和平模拟)已知x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+3y2的最小值是__________. 
规律方法消元法求最值的基本方法(1)在条件最值中,如果含有两个变量,可以根据所给两个变量满足的条件等式,用一个变量表示另一个变量,代入求最值的式子,则其只含有一个变量,通过基本不等式即可求得最值;(2)在条件最值中,如果含有三个变量,可以根据所给三个变量满足的条件等式,消去其中的一个变量,使得求最值的式子中含有两个变量,然后再利用基本不等式求得最值.
考点二 基本不等式与其他知识的综合应用
解析 根据椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=2a=8,|NF1|+|NF2|=8,因为|MF2|+|NF2|=6,所以8-|MF1|+8-|NF1|=6,
当且仅当|MF1|=|NF1|=5时,等号成立,所以|MF1|·|NF1|≤25,则|MF1||NF1|的最大值为25,故选C.
规律方法基本不等式是解决最值问题的一种常用方法,在解决最值问题中具有广泛的应用,数列、三角函数、解析几何、立体几何、向量等问题中的最值,常常用基本不等式求解.
[对点训练3](2024·山东泰安模拟)若正项等差数列{an}满足a3a5=4,则a1+a7的最小值为__________. 
考点三 基本不等式的实际应用
例7(2024·湖南娄底联考)某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道,则种植花卉区域的面积的最大值是(　　)A.1 208平方米B.1 448平方米C.1 568平方米D.1 698平方米
解析 设|AB|=x(x>0)米,
当且仅当x=60时,等号成立,则S≤-240+1 808=1 568,即当|AB|=60米,|BC|=30米时,种植花卉区域的面积取得最大值,最大值是1 568平方米,故选C.
规律方法利用基本不等式解决实际问题的方法(1)理解题意,明确数量关系,引进变量,注意设变量时,一般把求最大值或最小值的量定义为函数.(2)根据题意抽象出函数解析式,利用基本不等式求函数的最值.(3)当求最值时,注意在函数定义域内求解,并验证等号成立的条件.
[对点训练4](2024·陕西安康模拟)已知矩形ABCD的周长为36,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的侧面积最大时,它的体积为__________.