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第2章 一元二次函数、方程和不等式 素能培优(二) 恒成立与能成立问题 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt
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这是一份第2章 一元二次函数、方程和不等式 素能培优(二) 恒成立与能成立问题 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt，共20页。PPT课件主要包含了11+∞，-∞1，2+∞等内容，欢迎下载使用。
恒成立与能成立(存在性)问题,是不等式中常遇到的两类基本问题,解决这两类问题,最终都要转化为最值问题加以解决,具体转化方法如下:
1.单个变量的恒成立问题①∀x∈D,f(x)a恒成立,则f(x)min>a;③∀x∈D,f(x)g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)>0,所以F(x)min>0.2.单个变量的能成立(存在性)问题①∃x∈D,使得f(x)a成立,则f(x)max>a;③∃x∈D,使得f(x)g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)>0,所以F(x)max>0.
3.双变量的存在性与任意性问题①∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)g(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)min;③∀x1∈D,∀x2∈E,f(x1)
在解决形如f(x)≥a(>a)或f(x)≤a(
解析 令f(x)=x2-2x+5,则函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,则当x>1时,x2-2x+5>12-2+5=4,因此a2≤4,解得-2≤a≤2,故选A.
[对点训练2](2024·江苏常州模拟)已知函数f(x)=ax2-(2a+3)x+6(a∈R),若当a=1时,关于x的不等式f(x)≤-(m+5)x+3+m在[-2,2]上有解,则m的取值范围是________________.
(-∞,-7]∪[2,+∞)
命题点2 分离参数法
形如k·f(x)>g(x)或k+f(x)>g(x)等的不等式恒成立问题,可把不等式化简为k>h(x)或k
命题点3 更换主元法
解决含参数不等式恒成立(能成立)的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化,方便问题的求解.
例5已知当a∈[2,3]时,不等式ax2-x+1-a≤0恒成立,求x的取值范围.
[对点训练5]若对任意实数x∈[-1,1],不等式m2-1>x(m+1)恒成立,则实数m的取值范围是______________.
(-∞,-1)∪(2,+∞)
解析 对任意实数x∈[-1,1],不等式m2-1>x(m+1)恒成立,即(m+1)x-(m2-1)<0在x∈[-1,1]恒成立,令f(x)=(m+1)x-(m2-1),
命题点4 双变量的任意存在性问题
恒成立与能成立(存在性)问题,是不等式中常遇到的两类基本问题,解决这两类问题,最终都要转化为最值问题加以解决,具体转化方法如下:
1.单个变量的恒成立问题①∀x∈D,f(x)
3.双变量的存在性与任意性问题①∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)
在解决形如f(x)≥a(>a)或f(x)≤a(
解析 令f(x)=x2-2x+5,则函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,则当x>1时,x2-2x+5>12-2+5=4,因此a2≤4,解得-2≤a≤2,故选A.
[对点训练2](2024·江苏常州模拟)已知函数f(x)=ax2-(2a+3)x+6(a∈R),若当a=1时,关于x的不等式f(x)≤-(m+5)x+3+m在[-2,2]上有解,则m的取值范围是________________.
(-∞,-7]∪[2,+∞)
命题点2 分离参数法
形如k·f(x)>g(x)或k+f(x)>g(x)等的不等式恒成立问题,可把不等式化简为k>h(x)或k
命题点3 更换主元法
解决含参数不等式恒成立(能成立)的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化,方便问题的求解.
例5已知当a∈[2,3]时,不等式ax2-x+1-a≤0恒成立,求x的取值范围.
[对点训练5]若对任意实数x∈[-1,1],不等式m2-1>x(m+1)恒成立,则实数m的取值范围是______________.
(-∞,-1)∪(2,+∞)
解析 对任意实数x∈[-1,1],不等式m2-1>x(m+1)恒成立,即(m+1)x-(m2-1)<0在x∈[-1,1]恒成立,令f(x)=(m+1)x-(m2-1),
命题点4 双变量的任意存在性问题
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