第4章 导数及其应用 第4节 利用导数研究函数的极值、最值 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.函数的极值与导数
函数极值反映的是函数局部的性质
微点拨对函数极值的理解(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗?
提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值.
2.函数的最值与导数(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的__________; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值__________比较,其中最大的一个是__________,最小的一个是__________. 
反映的是函数整体的性质
微点拨对函数最值的理解(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一性,即只能有一个最大(小)值;(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在端点处取得;(3)当函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值;若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最大值、最小值.
常用结论1.有极值的函数一定不是单调函数.2.如果函数f(x)在(a,b)内只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.3.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f(x)可导,且在x=x0取得极值,则必有f'(x0)=0.(　　)2.一个函数的极大值一定比极小值大.(　　)3.函数在闭区间上的最值一定在端点处取得.(　　)4.函数在开区间上的最值一定是相应的极值.(　　)
题组二 回源教材5.(人教B版选择性必修第三册6.2.2练习B第3题)设函数f(x)=ax3+3x+2有极值,则实数a的取值范围是__________,极值点是__________. 
6.(人教A版选择性必修第二册5.3.2例7改编)给定函数f(x)=(x+1)ex,则函数的最小值为__________. 
8.(2021·新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为__________. 
考点一 利用导数研究函数的极值(多考向探究预测)
考向1 求函数的极值(极值点)例1(1)(2024·浙江杭州模拟)设函数f(x)=2ln x-x2,则(　　)A.x=e为极大值点B.x=1为极大值点C.x=1为极小值点D.无极值点
令f'(x)=0,解得x=1,当x>1时,f'(x)