第4章 导数及其应用 素能培优(六) 破解“双变量问题”的基本策略 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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在近几年的高考试题中,常常涉及“双变量”的相关问题,以求参数的取值范围和证明不等式为主,这类问题难度较大,对能力要求较高.破解这类问题的关键:一是转化,由已知条件入手,寻找双变量所满足的等量关系,将双变量化为单变量进行求解;二是巧妙构造函数,再借助导数,研究函数的单调性、极值和最值,进而解决问题.
命题点1 转化为函数单调性问题求解
在双变量问题中,如果已知函数的两个自变量x1,x2及其对应的函数值f(x1), f(x2)所满足的一个不等关系,则可根据函数单调性的定义,转化为一个与f(x)相关的函数的单调性问题,然后利用导数进行求解.
[对点训练1](2024·山东聊城模拟)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
命题点2 转化单变量问题求解
在双变量问题中,如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式,则可转化为含单变量的问题,然后再构造函数,利用导数研究该函数的单调性、极值,进而解决问题.
命题点3 构造对称和(差)证明双变量不等式
如果双变量问题是证明与函数的两个零点之和(之差)有关的不等式,可以利用构造对称和(差)的方法证明不等式,一般步骤如下:
命题点4 构造“根商”证明双变量不等式